8.2 特殊的平行四边形（3）----菱形（1） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“菱形（1）”，核心内容为菱形的定义与性质。通过生活中伸缩围栏的情境引入，从平行四边形出发，引导学生探索邻边相等的特殊平行四边形，构建特殊与一般的知识联系，搭建从已知到未知的学习支架。 此导学案注重探究过程，引导学生经历性质推导，培养合情推理能力。习题设计分层，涵盖基础强化、拓展提高及达标检测，结合具体例题深化应用，助力学生发展抽象能力、推理意识与应用意识，有效提升数学思维与问题解决能力。

2025年秋八年级数学下册导学案(8-7) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：8.2 特殊的平行四边形（3）----菱形（1） 学习目标： 1、理解菱形的定义，掌握菱形的性质。 2、引导学生经历由平行四边形到菱形的探索过程，合情推理能力和有条理的表达能力。 3、在对菱形特殊性质的探究过程中，引导学生理解特殊与一般的关系。 学习重点：探索菱形的性质及其性质的简单应用 学习难点：菱形与平行四边形之间的内在联系与区别 自学要求：认真阅读教材P77-79，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、 情境引入： 生活中常常见到一种伸缩围栏， 它由一些小的平行四边形构成， 这些平行四边形的邻边都相等。 如图，有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus). 那么菱形的有哪些性质呢？ 2、探索新知： 问题：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外， 哪些特殊性质? 如图，在ABCD中，AB=BC,对角线AC，BD相交于点O。 由平行四边形的性质定理1，可得AB=DC，AD=BC.，以AB=BC=CD=DA。 由平行四边形的性质定理2，可得AO=CO，所以BD⊥AC。 小结： 矩形菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 几何语言：四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD。 讨论：特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形.，菱形是轴对称图形吗? 由轴对称性你能得到哪些结论? 试一试： （1）菱形是轴对称图形，对称轴是 ， 又是中心对称图形，对称中心是 。 （2）菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 三角形。 （3）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC＝6cm， BD＝8cm，则菱形的边长是 cm，周长为 cm，高为 cm。 （4）菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的 。 二、例题讲解 例1、 如图8-24，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成.， 已知菱形ABCD的边长为13cm,，上、下两排挂钩间的距离 AC为24cm.，求点B，M之间的距离.。 例2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE∶AC=1∶2， 连接CE，OE，连接AE交OD于点F. (1)求证：OE=CD； (2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长. 三、基础强化： 1、如图1,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO. 若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为 ( 　　) A、28° B、52° C、62° D、72° 2、如图2，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm，BO＝4cm， 则AC= m，BD= cm. 3、 如图3,菱形ABCD的对角线BD,AC的长分别为2和5,P是对角线AC上任意一点 (不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面积是　　. 4、如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上. (1)如图①,若E为BC的中点,∠AEF=60°,求证：BE=DF； (2)如图②,若∠EAF=60°,求证：△AEF是等边三角形. 4、 拓展提高： 定义：如果三角形有两个内角的差为90°,那么称这样的三角形为“准直角三角形"。” (1)已知△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°,若∠A=40°,求∠B的度数； (2)如图,在菱形ABCD中，∠B>90°,AB=5,连接AC,若△ABC正好为一个准直角三角形， 求菱形ABCD的面积. 五、总结反思： 1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus). 2、菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 几何语言：四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD。 3、菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半。 六、达标检测： 1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （　 　） 　A、对角线互相平分 B、邻角互补 C、对角线相等 D、对角线互相垂直 2、如图,P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点, M,N分别是AB,BC边的中点，则MP+PN的最小值是（ ） A、2 B、1 C、E D、2 3、如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O, E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G, 连接FG,若AC=12,BD=16,则 FG的长度为 。 答案： 试一试：（1）两条对角线所在的直线 对角线的交点。 （2）4 直角三角形 （3）5 20 4.8 （4）一半 二、例题讲解 解：如图，连接AC，BD，相交于点0， ∵四边形ABCD是菱形，AB=13，AC=24, ∴∠AOB=90(菱形的性质定理)， ∴AO=AC=×24=12.BO= , ∴BD=2BO=10. BM=3BD=30. 例2、解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形,∴OC=OA=AC,AC⊥BD. ∵DE∶AC=1∶2,∴DE=OC.∵DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形. ∵AC⊥BD,∴四边形OCED是矩形,∴OE=CD. (2)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=BC=CD=2.又∵∠ABC=60°,∴AC=AB=2. ∵OA=AC,∴OA=1.在矩形OCED中,CE=OD===. 在Rt△ACE中,AE===. 三、基础强化：1、C 2、6 8 3、2.5 4、证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=BC=CD=AD, ∴△ABC是等边三角形,∠BCD=180°-∠B=120°. ∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°, ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°, ∴∠FEC=∠CFE,∴CE=CF.∵BC=CD,∴BE=DF. (2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠ACB=60°, ∴∠B=∠ACF=60°.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD. ∵在菱形ABCD中,∠D=∠B=60°,∴∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD, ∴∠AEB=∠AFC.在△ABE和△ACF中, ∴△ABE≌△ACF(AAS),∴AE=AF.又∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形. 四、拓展提高：（1）25°或10° 六、达标检测： 1、D 2、B 3、5 学科网（北京）股份有限公司 $