专题01 导数运算与切线问题五大题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第二册

专题01 导数运算与切线问题五大题型 题型一：变化率问题 题型二：导数概念中极限的计算 题型三：导数的运算 题型四：在一点处的切线方程问题 题型五：过一点处的切线方程问题 题型五：公切线问题 题型一：变化率问题 1．为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 2．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果. 【详解】易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A 3．已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，求出函数在区间上的平均变化率，进而可得，解出方程可得的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数在区间上的平均变化率为： ， 所以 . 故选：B. 4．某质点的运动速度v（单位：米/秒）与时间t（单位：秒）满足函数关系，其运动的加速度为（单位：米/秒2），则加速度为米/秒2的时刻是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求导，得到，求出答案. 【详解】，令，解得. 故选：D． 5．一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系式为，则该物体在3秒末位移的瞬时变化率是（    ） A．6米/秒 B．5米/秒 C．4米/秒 D．3米/秒 【答案】C 【分析】首先求出函数的导数，求出时的导数值，利用导数的定义即可求解. 【详解】由题意可知：物体的位移(米)与时间(秒)的关系式为，则， 当时，，即3秒末位移的瞬时变化率是米/秒. 故选：C. 题型二：导数概念中极限的计算 6．设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】由导数的概念求解即可. 【详解】由. 故选：B. 7．若函数在处的导数等于，则的值为（    ） A．0 B． C．a D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 【详解】. 故选：D. 8．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 9．已知，则 . 【答案】 【分析】根据极限的运算法则，以及导数的定义，即可求解. 【详解】由 ， 因为，所以. 故答案为：. 题型三：导数的运算 10．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的运算法则求导函数，从而得所求. 【详解】因为， 所以，故. 故选：B. 11．已知函数的导函数为，若，则（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】D 【分析】先利用导数的运算法则求出，将代入解出的值，再求即可. 【详解】由得， 所以，即，解得， 所以，则， 故选：D 12．下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解判断A；求出导数并列式求得判断B；利用导数的运算法则求解判断C；两边求导再赋值求出判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，求导得，则由，解得，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，求导得， 则，解得，D正确. 故选：D 13．已知函数，那么=（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先应用复合函数求导及导数运算律求出函数的导函数，再代入应用特殊角三角函数值求解即可. 【详解】因为函数，所以， . 故选：A. 14．下列求导运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项求导判断即可. 【详解】因为：， ， ， 故ACD计算正确； 因为，故B计算错误. 故选：B 15．已知函数 ，则 . 【答案】 【分析】先根据复合函数求导法则求出函数的导数，再将代入中，即可求出的值。 【详解】根据复合函数求导法则，所以.   将代入中，可得. 故答案为：. 16．已知函数，则的导函敎 . 【答案】 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的加法运算法则即可. 【详解】因，则 故答案为： 17．若，则 ． 【答案】1 【分析】求出导函数，再求值即可． 【详解】的定义域为， ， ， 故答案为： 题型四：在一点处的切线方程问题 18．已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求出抛物线在点处的切线的斜率，即可得出该切线的倾斜角. 【详解】抛物线在点处的切线的斜率为 ，故切线的倾斜角为． 故选：B. 19．若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】运用导数几何意义得答案. 【详解】曲线在处的切线方程为， 则运用导数几何意义，知道. 故选：D. 20．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求导得到切线的斜率，根据点斜式可得切线的方程. 【详解】由得， 所以，即所求切线的斜率为4， 由点斜式可得所求切线方程为，即. 故选：B. 21．已知曲线在，处的切线斜率分别为，，则（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用导数的几何意义，求得，结合指数幂的运算法则，进行计算，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 即，所以. 故选：D. 22．若直线是曲线的切线，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义计算即可求解. 【详解】设，则， 设直线与图象相切的切点为A， 则，解得， 所以，代入方程， 得，解得. 故答案为：1 题型五：过一点处的切线方程问题 23．过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 24．若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切点的坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程可将问题转化为方程有三个不同的实数根，令，可将问题转化为有三个零点，结合导数研究其单调性，极值即可求解. 【详解】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为. 故选：A 25．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 【答案】和 【分析】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 26.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 【答案】 【解析】时，，设切点，则， 切线过， ，， 时，，切点， ， 切线过， ，， 故. 故答案为：. 题型五：公切线问题 27．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 28．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（   ） A．e B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，同样可推的切线方程为．两条切线重合，即可得出有唯一实根．构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案． 【详解】设直线与的切点为， 因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为， 即该直线的方程为， 即． 设直线与的切点为， 因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为， 即该直线的方程为， 即． 因为函数和有且只有一条公切线， 所以有， 即有唯一实根． 令， 则. 解，可得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以在处取得最大值. 当x→0时，，函数图象如图所示， 因为有唯一实根，所以只有． 故选：C 29．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程． 【详解】的导数为， 曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为， 即为． 故答案为：． 30．已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 【答案】3 【分析】因为中不含有参数，所以根据可求得的值，再根据的切线为求得参数，要注意切点既在曲线上也在切线上的隐含条件. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为切点既在曲线上也在切线上，所以. 又，所以，且， 即切线的斜率且. 由解得，所以切线为. 设直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 又切点既在曲线上也在切线上，所以. 由解得. 故答案为：3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数运算与切线问题五大题型 题型一：变化率问题 题型二：导数概念中极限的计算 题型三：导数的运算 题型四：在一点处的切线方程问题 题型五：过一点处的切线方程问题 题型五：公切线问题 题型一：变化率问题 1．为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 2．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．某质点的运动速度v（单位：米/秒）与时间t（单位：秒）满足函数关系，其运动的加速度为（单位：米/秒2），则加速度为米/秒2的时刻是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系式为，则该物体在3秒末位移的瞬时变化率是（    ） A．6米/秒 B．5米/秒 C．4米/秒 D．3米/秒 题型二：导数概念中极限的计算 6．设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D． 7．若函数在处的导数等于，则的值为（    ） A．0 B． C．a D． 8．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 9．已知，则 . 题型三：导数的运算 10．若函数，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的导函数为，若，则（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 12．下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 13．已知函数，那么=（　　） A． B．2 C． D． 14．下列求导运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数 ，则 . 16．已知函数，则的导函敎 . 17．若，则 ． 题型四：在一点处的切线方程问题 18．已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 19．若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 20．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 21．已知曲线在，处的切线斜率分别为，，则（   ） A． B．1 C． D．4 22．若直线是曲线的切线，则 . 题型五：过一点处的切线方程问题 23．过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 24．若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 26.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______. 题型五：公切线问题 27．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 28．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（   ） A．e B． C． D． 29．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为 ． 30．已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $