14.3.2角的平分线（第2课时 角的平分线判定） 课件-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 第2课时 14.3 角的平分线 人教版（2024）数学八年级上册 1.探索并证明角的平分线的判定定理，感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力； 2.能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题. 学习目标 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 回顾复习 叙述角的平分线的性质定理. （不必再证全等） 课堂导入 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 动手操作 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线相交于一点 Lenovo (L) - 处理方式：让学生分组交流讨论，说出自己的答案以及理由，教师适当引导学生发现其中的差异，分析找出存在差异的原因是标准不同。 动手操作 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明结论 D E F A B C P N M 分析:(1)由已知可得点P到边AB、BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等。 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明:(1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上, ∴PD=PE. 求证：(2)△ABC的三条角平分线交于一点. 探究与应用 【探究2】三角形的内角平分线 证明结论 D E F A B C P N M 分析：要证△ABC的三条角平分线交于一点， 只要证点P也在∠A的平分线上. 证明：由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等, ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 证明 ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△OPD和Rt△OPE中， ∴ Rt△OPD≌Rt△OPE(HL). ∴ ∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB， ∴点P在∠AOB的平分线上. 已知： 求证： 点P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.PD=PE. 点P在∠AOB的平分线上. 角的平分线的判定: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴ OP平分∠AOB . 例2 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证: (1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等； 证明 (1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 分析 (1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等. 例2 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证: (2)△ABC的三条角平分线交于一点. 证明 (2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上， ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 分析 (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上. 面积如何求？与角的平分线有何联系？ 例3 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为4，5，6，其三条角平分线交于点O，求S△ABO∶S△BCO∶S△CAO. 解：∵OA,OB,OC为三条角平分线， ∴点O到AB,AC,BC的距离相等为r， ∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= ·AB·r： ·BC·r： ·AC·r =4:5:6. M N H ┐ ┐ ┐ 例4 在∠AOB的平分线上 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q A 解：到∠AOB两边距离相等的点在∠AOB的平分线上 由网格可知，∠AOB的平分线为射线l， 而点M在射线l上，故选A. l 看到角的平分线就要想其性质 例5 如图，CP，BP是△ABC两外角的平分线，PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条线段有什么关系？ 解：如图，作PD⊥BC，垂足为D. ∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD， 在Rt△PDC和Rt△PEC中， PD＝PE， PC＝PC， ∴Rt△PDC ≌ Rt△PEC(HL)， ∴CD＝CE.同理可证BD＝BF. ∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF. 将三角形面积的表达式写出来再思考 如图，在△ABC中，请证明： (1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC； 例6 证明：如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. (1)∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∴S△ABD∶S△ACD＝（ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC. 例6 和第（1）问的条件与结论互换，你还会证明吗？ 如图，在△ABC中，请证明： (2)设D为BC上的一点，连结AD，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC， 则AD为∠BAC 的平分线． (2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC ∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD为∠BAC的平分线.   ∴ （ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC， 1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF. 关于点P有下列三种说法： ①点P在∠DBC的平分线上； ②点P在∠BCE的平分线上； ③点P在∠BAC的平分线上. 其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 D C A E B D F P ┐ ┐ 作业布置 作业布置 2.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处. 3.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______. 4 5 作业布置 4. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF 的距离相等， ∴点D在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 作业布置 5. 如图，电信部门要在 S 区修建一座发射塔 P. 按照设计要求，发射塔 P 到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应建在什么位置? 在图上标出它的位置. (尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程). B A O S P 解：如右图所示. 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，在边 AC 上求作一点 P，使点 P 到边 BC 和边 AB 的距离相等 . 【教材P52习题14.3 第4题】 解：如图所示. 作业布置 课堂练习 7. 如图，在△ABC中，AD 是它的角平分线，P 是 AD 上一点，PE // AB，交 BC 于点 E，PF // AC，交 BC 于点 F. 求证：点 D 到 PE 和 PF 的距离相等 . 作业布置 课堂练习 证明：如图，过点 D 分别作 DM⊥PE，DN⊥PF，垂足分别为 M，N. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1 =∠2. 又 PE∥AB，PF∥AC， ∴∠3 =∠1，∠4 =∠2. ∴∠3 =∠4，即 PD 是∠EPF 的平分线. ∴DM = DN，即点 D 到 PE 和 PF 的距离相等. 课堂练习 8. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，F 是 OC 上的另一点，连接 DF，EF，求证 DF = EF. 【教材P53习题14.3 第6题】 作业布置 课堂练习 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE，∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP， PD = PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）. ∴∠OPD =∠OPE. 课堂练习 ∴∠DPF =∠EPF（等角的补角相等）. PD = PE， ∠DPF =∠EPF， PF = PF， ∴△DPF≌△EPF（SAS）. ∴DF = EF. 在 △DPF 和△EPF 中， 课堂练习 9．如图，P是△ABC内的一点，且PD＝PE＝PF，则点P是( ) A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．以上选项均可以 B 作业布置 10．如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝________________． 2∶3∶4 作业布置 11．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置． 解：图略．提示：作∠AOB的平分线，与AB的交点即为点M的位置． 作业布置 12． 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是△ABC三条____________(填“中线”“角平分线”或“高所在直线”)的交点，这样的点一共有____处． 角平分线 4 作业布置 13． 如图，现有两把一样的半截直尺，将其中一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在∠AOB的内部交于点P，作射线OP，若∠AOB＝50°，则∠AOP的度数为( ) A．25° B．30° C．40° D．50° A 作业布置 $