14.3.2 角的平分线（第2课时 角的平分线判定）课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

人教版 八年级上册 14.3（第2课时） 第十四章 全等三角形 角的平分线的判定 复习回顾 FU XI HUI GU 角的平分线的性质 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 证明线段相等. 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 定理的作用： 复习回顾 FU XI HUI GU 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 思考 利用全等的知识，该如何证明这个结论呢？ 思考 你能写出已知和求证分别是什么吗？ 新知导入 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 证明线段相等. 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 定理的作用： 新知讲解 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ S 角的平分线上的点到角的两边距离相等。那么，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？请你试着证明一下。 新知讲解 已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB , ∴∠PDO=∠PEO=90°, 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO ≌Rt△PEO (HL) , ∴∠POD=∠POE ,即点P在∠AOB的角平分线上. 归纳总结 角平分线的判定定理 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的角平分线上. 定理的作用： 新知讲解 　角的平分线的性质与判定定理的关系： (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　 (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等； 判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上． 知识点二：应用角的平分线的判定解决问题 3. 如图，在∠AOB内，点P是射线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB；PD＝PE.若∠POD＝20°，则∠POE＝________． 20° 4. (2025·广州南沙区月考)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝50°，则∠BOC＝___________． 115° 知识点三：应用角的平分线的性质和判定解决问题 5. (1)角平分线具有“角的平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，在解题时可以将判定和性质结合起来使用； (2)例如，已知某条线是角平分线，就可以得到点到角两边距离相等的结论，反之，若通过判定得到角平分线，也能利用其性质继续解题． 角平分线的性质 角平分线的判定 图示 已知条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 归纳 课堂小结 角平分线的判定 内容 作用 结论 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 判断一个点是否在角的平分线上 知识点1 角的平分线的判定 1． 如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC＝PD时，Rt△OPC≌Rt△_________(HL)，∴∠POC＝∠_________. OPD POD 2．已知∠AOB在正方形网格中的位置如图所示，则到∠AOB两边距离相等的点应是( ) A．点C B．点D C．点E D．点F C 3．(驻马店期中)如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠COD的度数为( ) A.30° B．45° C．60° D．50° A 4．(教材习题变式)如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE相交于点O，BD＝CE，连接AO.求证：AO平分∠BAC. 1. 将两个全等的直角三角形摆放在如图所示的△ABC中,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组对应直角边所对的顶点重合于点M,则点M一定在 (　　) A. ∠A的平分线上 B. 边AC的高上 C. 边BC的高上 D. ∠B的平分线上 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF交于点D.给出下列结论:① △ABE≌△ACF;② △BDF≌△CDE;③ 点D在∠BAC的平分线上.其中,正确的是 (　　) A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图所示为三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地点有 (　　) A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [易错分析]因考虑问题不全面致错. 4.如图,O是△ABC内一点,且点O到△ABC的三边AB, BC,AC的距离相等,即OF=OD=OE.若∠BAC=76°,则∠BOC=　　　　. 128° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 归纳总结 利用三角形的内角平分线的性质求值 例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 方法点拨 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 归纳总结 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°. 在△OBD和△OCE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BOD＝∠COE，,∠ODB＝∠OEC，,BD＝CE，)) ∴△OBD≌△OCE(AAS). ∴OD＝OE. 又∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AO平分∠BAC. $