14.3.2 角的平分线（第2课时 角的平分线判定） 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.3　角的平分线 第2课时　角的平分线的判定 Administrator (A) - 每课时设置的三大版块，重在让学生学会学习。及时回顾反思。 　1.角的平分线的性质定理是什么? 2.回忆这个定理的证明过程，说一下文字证明题的一般步骤. 知识关联 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 (1)根据题意画图，标注字母，写出已知. (2)观察图形，由几何直观猜想命题正确，写出求证. (3)分析问题，写出证明过程. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PEO=∠PDO=90°. ∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. O A B C P D E ┐ ┐ 复习回顾 FU XI HUI GU 角的平分线的判定 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用： 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 　 (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　 (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等； 判定定理反映只要是到角两边距离 相等的点，都应在角的 平分线上． 角的平分线的性质与判定定理有何关系？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 解决问题 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？ 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求. 【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. D C 典例精析 D E F A B C P N M 例、 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° 2.若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC( )的交点． A．角平分线 B．高线 C．中线 D．边的垂线 A A 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上. 4.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°, 则∠PCA=______. 6 55° 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，则下列结论中正确的有__________(填序号). ①AD平分∠BAC； ②AD⊥BC； ③BD＝CD； ④∠EDA＝∠BDE. ①②③ 【典例导引】 7. 【例1】如图，∠AOB＝40°，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE＝PF，则∠POE＝_________． 20° 【变式训练】 8. 如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠BPC的度数为________． 90° 9. 【例2】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB. ∴∠BFD＝∠CED＝90°. ∴△BDF≌△CDE(AAS)， ∴DF＝DE， ∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴AD平分∠BAC 1.如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证 EB = FC. 【教材P52习题14.3 第1题】 复习巩固 证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF. BD = CD， DE = DF， 在Rt△DEB 和 Rt△DFC 中， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）. ∴EB = FC. 课堂练习 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，BD，CE 相交于点 F. 求证：FA 平分∠DFE. 【教材P52习题14.3 第2题】 课堂练习 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB =∠AEC = 90°. 在△ADB 和 △AEC 中， ∠ADB =∠AEC， ∠BAD = ∠CAE， AB = AC， ∴△ADB≌△AEC（AAS）. ∴AD = AE. 又 AB⊥CE，AC⊥BD，∴ FA 平分∠DFE. 课堂练习 3. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD 相交于点 O，OB = OC. 求证∠1 = ∠2. 【教材P52习题14.3 第3题】 课堂练习 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO =∠CEO = 90°. 在△BDO 和△CEO 中， ∠BDO =∠CEO， ∠DOB =∠EOC， OB = OC， ∴△BDO≌△CEO（AAS）. ∴OD = OE. ∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴∠1 =∠2. 课堂练习 5.如图,BF⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为F,E,BF与CE相交于点D,BD=CD.求证:点D在∠BAC的平分线上. ∵ BF⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BED=∠CFD=90°.在 △BDE和△CDF中,∴ △BDE≌ △CDF.∴ DE=DF.又∵ BF⊥AC,CE⊥AB,∴ 点D 在∠BAC的平分线上 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图,在△ABC中,P是BC上一点,PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别为R,S,PR= PS,Q是AC上一点,且∠CAP=∠APQ. (1) 求证:QP∥AR. (2) AR和AS相等吗?请说明理由. (1) ∵ PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,∴ AP平分∠BAC. ∴ ∠BAP=∠CAP.又∵ ∠CAP=∠APQ,∴ ∠BAP= ∠APQ.∴ QP∥AR　 (2) 相等　理由:∵ PR⊥AB,PS⊥AC,∴ ∠ARP=∠ASP=90°. 在Rt△APR和Rt△APS中,∴ Rt△APR≌Rt△APS.∴ AR=AS. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,△ABC的外角平分线BD,CE相交于点P.若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=15cm,AC=17cm,P是到△ABC的三边距离相等的点,则点P到△ABC的三边的距离为　　　　cm. C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为12,10,6,其三条角平分线的交点为O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=　　　　　. 6∶5∶3 解析:过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F.∵ AO,BO, CO分别位于△ABC的角平分线上,∴ OD=OE=OF.∴ S△ABO∶S△BCO∶ S△CAO= =AB∶BC∶CA=12∶10∶6 =6∶5∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图,PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一点.求证:∠BDP=∠CDP. ∵ PB⊥AB,PC⊥AC,PB=PC,∴ AP平分∠BAC,即∠BAP= ∠CAP.∵ ∠BAP+∠BPA=90°,∠CAP+∠CPA=90°,∴ ∠BPA=∠CPA.在△PBD和△PCD中, ∴ △PBD≌△PCD.∴ ∠BDP=∠CDP 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在△BDF和△CDE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BFD＝∠CED，,∠BDF＝∠CDE，,BD＝CD，)) $