精品解析：湖北省武汉市常青第一学校2025-2026学年上学期八年级12月月考数学试卷

武汉市常青一校2025～2026学年上学期八年级月考（12月） 数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（    ） A. B. 1 C. 7 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是关于轴对称点的坐标特点． 根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解a和b，再计算即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称， ，， 解得：，， ． 故选：A． 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 5. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 6. 如果把分式中都扩大倍，那么分式的值会（ ） A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小到原来 D. 扩大倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的性质和约分，是解题的关键．根据分式的基本性质，即可得到答案． 【详解】解：原分式为， ∵和都扩大倍， ∴新分式为， 又∵原分式可化为 ∴新分式原分式， 故分式的值扩大倍． 故选：A． 7. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为9，则的周长为（ ） A. 13 B. 15 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质，可知，，根据的周长为9，求得，即可求出的周长． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：C． 8. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 9. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 10. 如图，在中，，，平分，平分，且交于点，延长至点，使，连接；延长交于点．则下列结论：① ；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等，由“”可证，即可判定①；由全等三角形的性质得，进而可得，即得，即可证，得到，假设，则，连接，可证，得到，即得，可得四边形是正方形，得，与矛盾，即可判定②；利用全等三角形的性质可判定③和⑤；由为的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，与矛盾， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ， 即，故⑤正确； ，， 为的垂直平分线， ， ∴， ， ， 又平分，平分， ， ， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上，①③④⑤正确， 故选：． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一种病毒的直径约为，将数据用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为 （其中 ， 为整数）．根据科学记数法的定义，确定和的值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为___________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时， 则， ∴， 故答案为：2． 14. 若，，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过因式分解将原式化为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：6． 15. 若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是____________________． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 16. 如图，在中，，，为线段边上的动点，以为边向上作等边，连接、，则的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】以为边，在的左侧作等边，连接，先根据“"证明，从而得出，然后根据，，可证F，A，C在同一条直线上，根据“两点之间，线段最短”可得的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图：以为边，在的左侧作等边，连接， 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ，， ， 点F，A，C在同一条直线上， ， ， 当点C，E，F在同一直线上时，取最小值，最小值为， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间，线段最短等知识，构造，从而把求的最小值转化为的最小值是解题的关键． 三、解答题：（本题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算与分式的混合运算． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算括号里的加减，再计算乘方，最后计算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． （）利用平方差公式因式分解即可； （）先提公因式法，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 19. （1）解方程：； （2）先化简：，再从1，2，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式（或当时，原式） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值． （1）解分式方程，通过去分母转化为整式方程求解，并检验； （2）先因式分解化简分式，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入求值即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解为； （2）解：原式 ， ∵，且， ∴且且，从1，2，，中选或， 当时，原式； 当时，原式． 20. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】 证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 21. 如图，由小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（保留连线痕迹）． （1）如图1，点A，B在格点处，点C在格线上， （填写度数）； （2）在图1中，画出中边上的高； （3）在图1中，画出中边上的中线； （4）在图2中，点M，N，G在格线处，点P在上，点Q在小正方形内，在上画点F，使最小． 【答案】（1） （2） 中边上的高如图所示： （3） 中边上的中线如图所示： （4） 如图，点F，使最小． 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图，利用轴对称画线段和最小； （1）画出中边上的高，则是等腰直角三角形，即可得到； （2）直接在图形上取格点即可； （3）取的中点，连接与的交点即为中点； （4）先作P关于的对称点H，连接，与的交点即为所求点F． 【小问1详解】 解：画出中边上的高，则是等腰直角三角形，即可得到； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用，两种自主移动机器人搬运化工原料． （1）若有化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． （2）若型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （3）若型机器人比型机器人每小时多搬运，用相同的时间，型机器人搬运化工原料，型机器人多搬运，则型机器人每小时搬运______化工原料． 【答案】（1），， （2）型机器人每小时搬运化工原料，型机器人每小时搬运化工原料 （3） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，准确的表示 A，B 两种自主移动机器人搬运化工原料的工作时间是解本题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可； （3）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得型机器人每小时搬运化工原料， B型机器人每小时搬运化工原料， 两种机器人合作搬运完成需要的时间为小时， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以型机器人每小时搬运化工原料，型机器人每小时搬运化工原料． 【小问3详解】 解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以型机器人每小时搬运化工原料． 故答案为：． 23. 【阅读材料】对于两个正数a，b，其中，如果，那么可将指数c记作，即．例如：，则． 【问题解决】 （1）填空：________；________． （2）小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：，并给出了如下证明：设，，则，， ， ， ． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若，．求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形分成4个小长方形．其中，长方形的面积是a，长方形、的面积都是b，长方形的面积是c．若，求的值． 【答案】（1）6；1 （2）①192；②． 【解析】 【分析】（1）根据所给的新定义运算即可解答； （2）①根据新定义给出的特证求得，，再根据完全平方公式变形，计算即可；②设，，，，则，，根据题意得到，，，计算得到，再根据新定义给出的特证运算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6；1； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵两个正方形的边长分别为m，n， ∴这两个正方形的面积之和； ②由题意，设，，，，则，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，掌握并灵活运用对应法则是解题的关键． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足． （1）则______，______； （2）如图1，若点，于点，交于点，点是线段上一点，且，求的长； （3）如图2，点，点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，算术平方根的非负性，直角三角形的两锐角互余，坐标与图形，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据算术平方根和完全平方式的非负性求解； （2）过点B作轴交延长线于点M，先证明，再证明，即可求解； （3）在轴上取点，连接，作交延长线于点，作轴于点，连接，先证明，再证明，最后根据面积关系求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作轴交延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在轴上取点，连接，作交延长线于点，作轴于点，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市常青一校2025～2026学年上学期八年级月考（12月） 数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（    ） A. B. 1 C. 7 D. 3 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 6. 如果把分式中都扩大倍，那么分式的值会（ ） A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小到原来 D. 扩大倍 7. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，若，，的周长为9，则的周长为（ ） A. 13 B. 15 C. 19 D. 20 8. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，在中，，，平分，平分，且交于点，延长至点，使，连接；延长交于点．则下列结论：① ；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一种病毒的直径约为，将数据用科学记数法表示应为______． 12. 因式分解：_______． 13. 如图，在中，，．将从点处沿虚线剪开，当线段的长度为___________时，剪下的两个三角形全等． 14. 若，，则的值为______． 15. 若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是____________________． 16. 如图，在中，，，为线段边上的动点，以为边向上作等边，连接、，则的最小值为___________ 三、解答题：（本题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 因式分解： （1） （2） 19. （1）解方程：； （2）先化简：，再从1，2，，中选一个合适的数代入求值． 20. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 21. 如图，由小正方形构成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（保留连线痕迹）． （1）如图1，点A，B在格点处，点C在格线上， （填写度数）； （2）在图1中，画出中边上的高； （3）在图1中，画出中边上的中线； （4）在图2中，点M，N，G在格线处，点P在上，点Q在小正方形内，在上画点F，使最小． 22. 人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用，两种自主移动机器人搬运化工原料． （1）若有化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． （2）若型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （3）若型机器人比型机器人每小时多搬运，用相同的时间，型机器人搬运化工原料，型机器人多搬运，则型机器人每小时搬运______化工原料． 23. 【阅读材料】对于两个正数a，b，其中，如果，那么可将指数c记作，即．例如：，则． 【问题解决】 （1）填空：________；________． （2）小茗同学在研究这种运算时发现一个规律：，并给出了如下证明：设，，则，， ， ， ． 请利用小茗探究的结论，解决下列问题： ①已知两个正方形的边长分别为m，n，若，．求这两个正方形的面积之和． ②如图，把长方形分成4个小长方形．其中，长方形的面积是a，长方形、的面积都是b，长方形的面积是c．若，求的值． 24. 已知，在平面直角坐标系中，点，点，且，满足． （1）则______，______； （2）如图1，若点，于点，交于点，点是线段上一点，且，求的长； （3）如图2，点，点在轴上，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $