精品解析：山西省朔州市怀仁市峪宏中学校2025-2026学年八年级上学期期中质量检测数学试卷

峪宏中学2025-2026学年八年级第一学期期中质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 为弘扬体育精神，学校组织了“运动会图标赏析”活动，下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选C． 2. 现有长度分别为和的两根木条，若要与第三根木条组成三角形，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系，第三边必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，据此求解即可． 【详解】解：设第三边长为， 根据题意，得，即， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 3. 一块含角直角三角板与一把直尺按如图方式放置．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角板中的角度计算，三角形内角和的性质．掌握三角形内角和的性质是解题关键． 【详解】解：如图； ∵ ∴ 故选：A． 4. 如图，在中，，为边上的中线．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：在中，，为边上的中线， ，即， ， ， 故选：D． 5. 如图是一个篮球架，主框架依靠三角形结构支撑，其中蕴含的道理是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质在实际生活中的应用，需要根据各个选项所涉及的三角形性质，结合篮球架的结构特点进行判断． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形角的性质，与篮球架的结构和功能没有关联，故A错误； B、三角形具有稳定性，篮球架的设计正是利用了这一性质，使其能够稳定地支撑整个篮球架，故B正确； C、三角形的两边之和大于第三边，这主要是用于三角形的三边关系的判断，与篮球架的结构特点无关，故C错误； D、三角形的内角和等于，这是关于三角形内角关系的知识，与篮球架的结构和功能没有关系，故D错误； 故选：B． 6. 如图，在中，，在上分别截取相等的两条线段，连接交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟知各种判定方法是解题的关键．根据题意先利用判定证明，从而有，，，再用判定证，从而能一一判别各选项的正误． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴并不能证明出，，，故A、B、C选项错误，D选项正确， 故选：D． 7. 如图，在等边三角形中，点D为边的中点，过点D作的垂线，垂足为E，延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质及三角形外角的定义．根据已知条件得出，，由得到的度数，从而利用三角形外角的定义求得，得出，通过点D为的中点得到的边长，紧接着利用含直角三角形的性质求得的值，最终求得的值． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴的边长为4， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，则点关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于某条直线对称点的坐标，根据题意可知点C到直线的距离为3，则点到直线的距离也是3，即可求解. 【详解】解：∵点是关于直线的对称点，，， ∴， 故选：C. 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，准确添加辅助线是解题的关键． 过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： 根据该作图方式，可判断为的角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 10. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质及全等三角形的判定与性质．根据题中给出的已知条件分别对每个选项进行分析即可． 【详解】解：A项：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 仅根据已知条件，无法得出，只有当平分时，才成立，故A错误； B项：∵四边形是长方形， ∴，即， 由折叠性质可知：， ∴， 又∵，且， ∴，故B错误； C项：∵， ∴， 虽然，但仅根据现有条件无法得出，故C错误； D项：∵四边形是长方形， ∴，， 由折叠的性质可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题__________． 【答案】如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等 【解析】 【分析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 【详解】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等. 故答案为：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等. 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12. 如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，，，则的长为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据已知条件利用“”证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵在和中， ∴ ∴ ∴ 故答案：5． 13. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E．已知的长为，则的周长为________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E ∴ ∴的周长 故答案为：10. 14. 如图，某体育馆为稳固顶部桁架，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，，分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线定义，含的直角三角形的性质．根据，，得出，再由得出，又由，分别为，的中点，推出，分别为和斜边上的中线，从而可知，，最终求得所需钢架的总长度． 详解】解：，， ， 又， ， 又，分别为，的中点， ，分别为和斜边上的中线， ， ， 需要的钢架总长度为． 故答案为：． 15. 和按如图方式摆放，其中，，点为上一点，连接交于点，．若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．连接，根据已知条件证明和都是等腰三角形，从而可得是的垂直平分线，得出，再由得到，从而得到，，推出，得到，由，，可推出，最后根据线段间的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 和都是等腰三角形， 是的垂直平分线，即， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，，，平分，交于点，平分，交于点．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．由等腰三角形的性质可得，由平分，得到，根据三角形的外角性质求出，再根据平分，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， 平分， ， ． 17. 如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF． 求证：（1） ；（2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出，结合，得出三角形全等；（2）根据三角形全等得出，根据同位角相等，两直线平行得到答案． 【详解】解：（1）∵， ， 又∵，， ∴ （2）∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查三角形全等的性质与应用，平行线的判定，熟练掌握以上定理是解答本题的关键. 18. 如图，某社区要在区域内修建一个快递自提点，按照规划要求，快递自提点需与两个居民小区，的距离相等，且到两条人行道，的距离也相等，快递自提点应修建在什么位置？利用尺规作图，请在图中找出快递自提点的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和角平分线的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法是解答关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等来求解． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，再作、两条人行道夹角的平分线相交于点，则，到、两条人行道的距离也必须相等，点即为所求． 19. 如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点与点重合，展开得到折痕，设与交于点，连接，． （1）猜想和的数量关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握折叠的性质． （1）先通过折叠的性质得出，，，，进而推导出，证明推出，又由得出结论； （2）根据已知条件得出，再由折叠可得，，，推出，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 由折叠可得，，，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． （2）点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】（1）①作图见详解，点的坐标为；②作图见详解，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及图形的轴对称变换． （1）①根据题意分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； ②同①方法，分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； （2）先根据的坐标求出的坐标，再根据的坐标求出的坐标即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． ②如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意知，点关于轴对称的点的坐标为，且点在内部， ∴点的坐标为， 又∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 21. 阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究 在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P， ∴，（依据）． ∴． 由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”． 由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究． 如图2，在中，平分，平分，与交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H． 根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知， …… 因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： （1）上述学习笔记中的“依据”是指________． （2）补全学习笔记中“……”部分的证明过程． （3）如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义及三角形面积公式的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质补充完整依据即可； （2）根据角平分线的定义将剩余的步骤补充完整即可； （3）过点P作于点F，于点H，于点G，连接，根据角平分线的定义可知求得，再根据三角形的面积公式及周长求得的面积． 【小问1详解】 解：由垂直平分线的定义可知，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴点P在的平分线上． 【小问3详解】 解：如答图，过点P作于点F，于点H，于点G，连接． ∵点P到的距离为， ∴． ∴， ∵的周长为，即， ∴． 22. 以下为某班级撰写的项目报告，根据报告内容完成相应的任务 项目主题 测量城市广场喷水池的直径 项目背景 为优化居住环境，市政府在城市广场修建了喷水池，数学兴趣小组发现，喷水池近似于圆形，由于无法直接测量喷水池的直径，兴趣小组的同学准备利用所学知识，设计可行方案来测量喷水池的直径 驱动问题 如何运用数学知识（或数学原理）设计方案测量喷水池的直径？（喷水池边缘忽略） 测量规划 现状：喷水池的直径无法直接测量． 数学原理：全等三角形或等腰三角形的性质． 工具：皮尺、测角仪等． 分工：工具准备组、测量组、记录组、安全保障组． 测量方案 方案一：如图1，将喷水池看作圆，在与圆同一水平面上，取两点，，使，，三点共线，且，点，分别为与圆的两个交点，在经过圆心且垂直于的直线上，用测角仪选择一点，使．通过测量，的长，即可计算得到圆（喷水池）的直径的长 方案二：如图2，将喷水池看作圆，在与圆同一水平面上，取三点，，，使，，三点共线，与，与分别能直接到达，与圆分别交于点，．测得，的长，在，的延长线上分别取点，，连接．用皮尺分别测量，，的长，即可计算得到圆（喷水池）的直径的长． 成果展示 … 评价反思 … 任务： （1）方案一中，若测得，，求圆（喷水池）的直径的长． （2）判断方案二是否可行、若可行，请写出所用的数学知识（或数学原理）；若不可行，请写出还需要满足哪些条件，即可利用方案二测量圆（喷水池）的直径，并进行证明． 【答案】（1） （2）方案二不可行，需要满足，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由，，，可得垂直平分，推出，证明是等边三角形，得到，即可求解； （2）方案二不可行，需要满足，，可证明得到，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ，即， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 方案二不可行，需要满足，，证明如下： ，，， ， ， ． 23. 综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ；（2）与的位置关系和数量关系没有发生变化，见解析；（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 峪宏中学2025-2026学年八年级第一学期期中质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 为弘扬体育精神，学校组织了“运动会图标赏析”活动，下列图标中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 现有长度分别为和的两根木条，若要与第三根木条组成三角形，则第三根木条的长度可以是（ ） A B. C. D. 3. 一块含角的直角三角板与一把直尺按如图方式放置．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，为边上的中线．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个篮球架，主框架依靠三角形结构支撑，其中蕴含的道理是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 6. 如图，在中，，在上分别截取相等两条线段，连接交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边三角形中，点D为边的中点，过点D作的垂线，垂足为E，延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，则点关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 14 10. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C落在点E处，与交于点F，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题__________． 12. 如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，，，则的长为____________． 13. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E．已知的长为，则的周长为________cm． 14. 如图，某体育馆为稳固顶部桁架，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，，分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为________． 15. 和按如图方式摆放，其中，，点为上一点，连接交于点，．若，，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，在中，，，平分，交于点，平分，交于点．求的度数． 17. 如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF． 求证：（1） ；（2）． 18. 如图，某社区要在区域内修建一个快递自提点，按照规划要求，快递自提点需与两个居民小区，的距离相等，且到两条人行道，的距离也相等，快递自提点应修建在什么位置？利用尺规作图，请在图中找出快递自提点的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 19. 如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使落在上，展开得到折痕．继续折叠，使点与点重合，展开得到折痕，设与交于点，连接，． （1）猜想和的数量关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． （2）点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 21. 阅读与思考 下面是小刘同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 三角形“特殊线”的共点性探究 在三角形的研究中，有一类特殊线段具有“共点”的性质，即这些线段所在的直线会交于一点．例如，三角形三边的垂直平分线交于一点．如图1，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，，则． 证明：∵边，的垂直平分线相交于点P， ∴，（依据）． ∴． 由此我得到点P也在边的垂直平分线上，所以三边的垂直平分线交于一点P．由于题目中的三角形具有一般性，因此这个结论可推广为“三角形三边的垂直平分线必定交于一点”． 由以上结论引发联想：三角形三个内角的平分线是否也交于一点？并进行如下探究． 如图2，在中，平分，平分，与交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：如图3，过点P分别作三边的垂线，垂足分别为F，G，H． 根据定理“角的平分线上的点到角两边的距离相等”可知， …… 因此，三个内角的平分线交于一点P，由于图2中具有一般性，因此，该结论可推广为“三角形三个内角的平分线必定交于一点”． 任务： （1）上述学习笔记中“依据”是指________． （2）补全学习笔记中“……”部分的证明过程． （3）如图2，若的周长为，点P到的距离为，求的面积． 22. 以下为某班级撰写的项目报告，根据报告内容完成相应的任务 项目主题 测量城市广场喷水池的直径 项目背景 为优化居住环境，市政府在城市广场修建了喷水池，数学兴趣小组发现，喷水池近似于圆形，由于无法直接测量喷水池的直径，兴趣小组的同学准备利用所学知识，设计可行方案来测量喷水池的直径 驱动问题 如何运用数学知识（或数学原理）设计方案测量喷水池的直径？（喷水池边缘忽略） 测量规划 现状：喷水池的直径无法直接测量． 数学原理：全等三角形或等腰三角形的性质． 工具：皮尺、测角仪等． 分工：工具准备组、测量组、记录组、安全保障组． 测量方案 方案一：如图1，将喷水池看作圆，在与圆同一水平面上，取两点，，使，，三点共线，且，点，分别为与圆的两个交点，在经过圆心且垂直于的直线上，用测角仪选择一点，使．通过测量，的长，即可计算得到圆（喷水池）的直径的长 方案二：如图2，将喷水池看作圆，在与圆同一水平面上，取三点，，，使，，三点共线，与，与分别能直接到达，与圆分别交于点，．测得，的长，在，的延长线上分别取点，，连接．用皮尺分别测量，，的长，即可计算得到圆（喷水池）的直径的长． 成果展示 … 评价反思 … 任务： （1）方案一中，若测得，，求圆（喷水池）的直径的长． （2）判断方案二是否可行、若可行，请写出所用的数学知识（或数学原理）；若不可行，请写出还需要满足哪些条件，即可利用方案二测量圆（喷水池）的直径，并进行证明． 23. 综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $