重难点02 二次函数（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦二次函数中考核心考点，涵盖概念、三种解析式、图象性质、与方程关系、应用及几何综合，通过“考点梳理-方法指导-真题训练”环节，如对比三种解析式特征、设计典例与变式题，帮助学生系统构建知识网络，突破重难点。 亮点在于“情境化问题”与“分层思维”设计，如利润问题建模培养数学眼光，几何综合题分类讨论发展数学思维，分层练习配合即时反馈，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 重难点02 二次函数 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 102 重难点一 二次函数的图象与性质 1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）两根式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 3.二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小 4.二次函数与一元二次方程的关系： （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． （2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． （3）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。 题型01根据二次函数解析式求顶点坐标 / 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 【变式】 1．（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 2．（2025·江西宜春·模拟预测）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记“二次函数的顶点坐标是”是解题的关键． 利用二次函数的性质，可求出二次函数的顶点坐标． 【详解】解：，，， ，， 二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 题型02二次函数图象和性质的综合判断 / 【典例】（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可． 【详解】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴，故结论③不正确； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 【变式】 1．（2025·广西来宾·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由抛物线对称轴为，即，可判断②；由抛物线开口向下，，，再根据与y轴交于正半轴，即，则，故可判定①；由，则，将代入可得，即可判定③；当时，，则，将代入，即可判断④． 【详解】解：由图像可知：抛物线对称轴为，即，则，故②错误； 抛物线开口向下，即，所以，与y轴交于正半轴，即，则，故①错误； 由，则，将代入，因为，即，故③错误， 当时，，则，将代入，即，故④正确． 综上，错误的有①②③． 故答案为：A． 2．（2025·上海·二模）抛物线的图像如图所示，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线图像的识别问题，熟悉二次函数图像的相关性质是解题的关键． 根据图像可知与轴的交点坐标为，得到，根据开口及对称轴可确定，，由此可判断A、B，再根据对称轴可判断C；最后由图知时，可确定D． 【详解】由图知，抛物线开口向上，， 对称轴，， 又抛物线与轴的交点坐标为，，故A错误； ，故B错误； 又对称轴，，即，故C错误； 由图可知时，，故D正确． 故选：D． 重难点二 二次函数的应用 1.利润相关公式 （1）单件利润 = 单件售价 单件进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 销售数量 2.二次函数的最值性质 （1）一般式：（），顶点横坐标 。 （2）（最值判定：当时，抛物线开口向下，顶点为最大值；当时，开口向上，顶点为最小值（利润问题中通常为负数，求最大利润）。 （3）自变量取值范围约束：售价≥进价、销量≥0，由此确定的取值范围。 3.二次函数应用解题一般步骤： （1）审题设元； （2）列销量与单件利润的表达式； （3）构建总利润的二次函数解析式； （4）确定自变量的取值范围； （5）求最值并检验作答，检验结果的实际合理性，规范书写答案。 题型01 最大利润问题 / 【典例】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 【变式】 1．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 题型02 拱桥问题 / 【典例】（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式】 1．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 2．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 题型03 图形最大面积问题 / 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【变式】 1．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 题型04 投球问题 / 【典例】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 【变式】 1．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 2．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型05 喷泉问题 / 【典例】（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． （2）求出时的横坐标，根据图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． ∴抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：，令，代入抛物线的解析式， 得，， 线段的取值范围为． 【变式】 1．（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究． 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型． 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题： 任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围． 【答案】任务一：时间为，图象见解析；任务二：；任务三：水流速度的取值范围为． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可求解，再作图即可． （2）把代入二次函数解析式中，可得，进一步即可求解． （3）根据最大高度为时或者最大高度，分别求出水流速度即可求解． 【详解】解：任务一： 当时，， 令， 解得（舍去），， ∴水流从喷出到落地需要的时间为．画出函数图象如图所示； 任务二： 令， 则， 即v随t的增大而增大， ∴当时，； 任务三： ∵， ∵， 当最大高度为米时，有， 解得（不合题意，舍去）或； 当最大高度为米时，有， 解得：（不合题意，舍去）或； 故水流速度的取值范围为． 2．（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 (1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； (2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； (3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 【答案】(1)， (2)喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为： (3)6； 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、直线与抛物线的位置关系，解题的关键是掌握并能灵活应用知识解决问题． （1）代入，求得的高度，利用二次函数顶点坐标公式求出的最大值即可； （2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，对称轴关于y轴对称，据此求出左侧抛物线的解析式； （3）①先求出新的过点的抛物线解析式，再求出它与轴正半轴的交点，结合整数要求确定水池半径； ②设过点的直线解析式为，射灯照射出的光线穿过三段水流，两个临界状态分别是直线过G点和直线与新抛物线相切时，求出临界状态时相应的正切值，进而得到正切值的范围． 【详解】（1）解：当时，； ， 故答案为：，； （2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，轴右侧的抛物线的解析式为：， ∴设轴左侧的抛物线的解析式为：， ∵两条抛物线关于轴对称， ∴两条抛物线对称轴关于y轴对称， ∴， ， 喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：； （3）根据题意，， 右侧原抛物线， ∵新抛物线与原抛物线形状大小相同， ∴设新抛物线为， ∵过点，且顶点纵坐标为， ∴ 解得：，（舍掉，与原抛物线重合）， 则， 故新抛物线解析式为： ， 令，得 解得：（舍）， 水池半径要求整数，且要保证水流不落在池外， 水池半径至少为6米； ②设过点的直线解析式为， 射灯照射出的光线穿过三段水流，则直线过G点和直线与新抛物线相切是两个临界状态， 设切点为，作轴，轴， 当直线过G点时，在中，， 当直线与新抛物线相切时， ， 即， ∵直线与新抛物线相切， ∴， （舍）， 此时抛物线与直线切点为， ∴此时，在中，， 射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围是． 重难点三 二次函数与几何综合 1.数形结合思想，是解决此类问题的根本思想。将二次函数的代数表达式转化为平面直角坐标系中的图像，利用图像的顶点、对称轴、与坐标轴交点等特征，分析几何图形的位置；同时通过几何图形的性质（如等腰、直角、平行）建立代数方程。 2.分类讨论思想，几何图形的位置或形状存在多种可能性时，需分类讨论（如等腰三角形的顶点不确定、平行四边形的顶点组合不同），避免漏解。 3.转化思想，将复杂问题转化为基础问题，例如：将线段最值转化为二次函数最值；将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差；将存在性问题转化为方程是否有解的问题。 4.此类问题的通用解题步骤：此类问题的解题流程具有固定性，可按以下步骤逐步突破： 第一步：求二次函数解析式（代数基础） 已知条件：函数图像上的点坐标、顶点坐标、对称轴等。 常用方法：待定系数法，分3种形式： 一般式：（已知3个普通点坐标）。 顶点式：（已知顶点和1个普通点）。 交点式：（已知与轴的两个交点、和1个普通点）。 关键：代入点坐标时注意符号，计算后验证解析式正确性。 第二步：分析几何图形的性质与关键点坐标（几何分析） 确定几何图形的类型（三角形、四边形、圆等），提取核心性质（如等腰三角形两腰相等、平行四边形对边平行且相等）。 用坐标法表示几何图形的顶点坐标：若顶点在二次函数图像上，坐标可设为；若在坐标轴或定直线上，按直线解析式设坐标（如在直线上，设为）。 第三步：建立函数与几何的联系（数形转化） 利用几何性质建立代数关系式： 线段长度：两点间距离公式 ；若线段平行于坐标轴，直接用坐标差计算（如水平线段长度）。 角度关系：垂直时斜率乘积为（）；平行时斜率相等（）。 面积关系：割补法（将不规则图形拆分为三角形、矩形等）、铅垂高法（三角形面积）。 全等/相似关系：对应边成比例、对应角相等，转化为坐标的比例方程。 第四步：求解与验证（结果处理） 解建立的方程（组），得到未知数的值（如点的坐标、参数的值）。 验证解的合理性：需满足自变量的取值范围（如点在函数图像上、几何图形存在），排除增根。 题型01 二次函数与线段、面积最值问题 / 【典例】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． （1）先分别根据一次函数的性质，二次函数的性质求出，，，求出抛物线的对称轴为直线，则，根据求出，则； （2）根据等腰三角形三线合一得到，求出直线的表达式为，直线的表达式为，当在右侧时，证明，则，当在左侧时，设与交于点，设，过的直线交于点，根据等角对等边得到，则在中垂线上，根据中点坐标公式可知的坐标为，根据勾股定理求出将点代入，得； （3）设，，设直线的表达式为，直线的表达式为，将，坐标代入，求出，则直线的表达式为，同理得直线的表达式为，则，直线与抛物线，得到，即，，代入得到，即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，则，即当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，，即，， 抛物线的对称轴为直线． 将代入抛物线表达式得，即， ， ，得， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 即， 设直线的表达式为， 将，代入， 则，解得， 则直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为． ①如图1，当在右侧时，， 则， ． ②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得， 在中垂线上． 的坐标为． 设， 则， 解得， 即， 将点代入，得． 综上所述，的取值为或； （3）解：设，， 设直线的表达式为，直线的表达式为． 将，坐标代入，有 则，， ∴ 即． 直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 则，， 即，， 即， 整理得， 联立直线与抛物线得到 整理得， ，． ． 即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点， ． 当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为． 【变式】 1．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），设点的横坐标为．若，且线段与抛物线有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)线段存在最大值，最大值为，此时点的坐标为，理由见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的结合，求线段的长度及最值问题，求自变量的取值范围等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）分析出线段存在最大值时的点位置，求出点坐标，然后借助几何图形和勾股定理求出此时线段的长度； （3）假设，根据线段长度列出一元二次方程进行求解，结合图象即可求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值，最大值为，此时点的坐标为，理由如下： 如果过点作直线，那么当直线与抛物线相切时，的值最大， 假设直线的解析式为，将代入解析式得， 解得 ∴直线的解析式为， ∴直线的， 假设直线的解析式为， 联立得 ， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 此时点的坐标为， 直线可以看作直线向上平移了个单位长度得到的， 如果过点作轴的平行线，交直线于一点，此时该点与两点够成了等腰直角三角形， 根据勾股定理得, 解得； （3）解：假设， ∴， 解得或， 结合二次函数和一次函数图象得， 的取值范围为或． 2．（2025·安徽阜阳·二模）如图，已知，，三点的坐标分别为，，，抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的解析式． (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段最长时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)菱形，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法，平行四边形与菱形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法即可求函数的解析式； （）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立联立，可知点的坐标，即可得出结论； （）设设，则，表示出的长，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入得， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：四边形是菱形，理由： 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，三点的坐标分别为，，， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：设，则， ∴ ， ∴当时，线段最长， ∴点的坐标为． 题型02 二次函数与全等三角形 / 【典例】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质． （1）将、代入中，解二元一次方程组即可； （2）先根据二次函数解析式求出，进而得，，再分两种情况讨论：①若，如图1，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标；②若，如图2，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标． 【详解】（1）解：将、代入中， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：， ， ， ， ，                             ①若，如图1， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ；                         ②若，如图2， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ． 综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与全等，当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或． 【变式】 1．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在点 (3)或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，直线与圆位置关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点在函数图象上，对称轴是直线，运用待定系数法求解即可． （2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可． （3）先算出①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 二次函数解析式为：， ， 令，解得：或4， 令，则， ，， 故此抛物线的解析式为：，． （2）解：如图，对称轴是直线， ①当时，P在第一象限，， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， ． ②当时，P在第四象限，显然与不全等； （或者， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， 与不全等） 综上所述，存在点，使与全等． （3）解：依题意知：的半径， ①当与线段相切时，如图所示， 设切点为H，连接，则，，， ，， ， ， ， ； ②当经过点时，M为中点，． ③当经过点时，如图， ，，， ， ， ， ， 当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或． 2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等 【分析】（1）令代入解析式求出A，将函数化成顶点式求解即可得到P，即可得到答案； （2）本题考查二次函数综合运用题，先根据题意求出H点坐标，从而求出，，设点，根据得到，从而得到，最后根据三角形全等分类讨论列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等. 题型03 二次函数与直角三角形 / 【典例】（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【变式】 1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，， ∴点横坐标为，横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ∴，．    如图，作点关于轴的对称点为点，连接，交x轴于点D，则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 令，解得， 即点D的坐标为； 故答案为： （3）解：由（2）得：，， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， 设直线与交于点P，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ∴， ∴．    ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∵， ∴或 ∴或， ∴点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或 （4）解：存在， 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图，过点M作于点N，则，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或0； 此时点Q的坐标为； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：（舍去）或； ∴点； 如图，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时，， 同理 ∴，， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得：或0（舍去）； ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 2．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理、点的对称性等知识． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M使时，M的坐标为； （3）设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 题型04 二次函数与等腰三角形 / 【典例】（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为：；直线的解析式为 (2) (3)或或 【分析】（）待定系数法即可求出二次函数解析式，再求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的表达式； （2）过点作轴于点，交于点，由（1）知直线的解析式为，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移个单位得到，，勾股定理分别表示出，，，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； ∵与轴交于点，， 当时，， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 由（1）知直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为； （3）解：∵抛物线， 将该抛物线向左平移个单位，得到，对称轴为直线， 由（2）知点D的横坐标为2，则， ， 点向左平移个单位得到， ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴， ∴， ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点， 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图像顶点C的坐标是． (1)若，求二次函数表达式； (2)点，是该函数图像上的两个不同的点，若，请判断，的大小关系，并说明理由； (3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图像上，点D在该二次函数图像的对称轴上，若，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或或 【分析】（1）当时，，设二次函数表达式为，利用待定系数法可得，进而可求解； （2）由（1）可知，，可得，，则，由，得，分两种情况：当时，当时，判断的正负即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可知，，当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则，先证明，得，，则，即：，可得点在直线上，结合，求得点的坐标为或，即可求得或，进而求得的值；当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，同理即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∵图象顶点C的坐标是，则设二次函数表达式为， 把代入可得：， ∴， ∵，则， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， 则 ∵， ∴， 当时，， ∵，，， ∴，即：； 当时，， ∵，，， ∴，即：； 综上：当时，；当时，； （3）解：∵为等腰直角三角形，，且 ∴，， ∴，， 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则， 解得：或，即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：（负值舍去）或（负值舍去）， 当时，；当时，； 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， 同理， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：（负值舍去）或（负值舍去）， 当时，；当时，； 综上，或或． 2．（2025·广东云浮·一模）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接， (1)求的值及抛物线的解析式． (2)点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值． (3)在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】利用待定系数法把点的坐标代入，即可求出的值，把点和点的坐标代入，求出、的值即可得到二次函数的解析式； 根据平行线的性质可证，根据相似三角形的性质可得，设点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标是，把的长度用含的代数式表示出来，可得：，从而可得：，利用二次函数的数质可知的最大值是； 利用待定系数法分别求出、的解析式，根据直线的解析式和直线的解析式可以求出点的坐标，然后分四种情况求重叠部分面积的解析式，第一种情况、点下方时，第二种情况、线段与线段相交时，第三种情况、线段与线段相交时，第四种情况、点在点上方时． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得： ， 抛物线的解析式为； （2）解：由可知直线的解析式为， 如下图所示，分别过点 、 作 轴平行线分别交 于点 、， ， ，， ， ， ， ， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 由点和点的坐标， 可得：，， ， ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值是；     （3）解：在的条件下，点的坐标是， 设过点和点的直线的解析式为， 可得：， 解得：， 过点和点的直线的解析式为， 设直线的解析为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析为， 解方程组， 可得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标是，则点的坐标是， 则点的坐标为， 当时，与公共部分的面积为的面积， ； 如下图所示，当轴时，线段与直线相交时， 则有， 解得：， 当时，线段与相交， 点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标为， 则， 重叠部分的面积是的面积， 点的坐标为， 当点的纵坐标为时，可得：， 解得：， ， ， 整理得：； 当点的坐标为时，点到达点的位置， 当时，线段与线段相交， 如下图所示， 点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标为， 当时，可得：， 此时重叠部分原面积为， 整理得：； 当点与点重合时，点的坐标是，点的坐标是， 此时记与公共部分的面积为． 综上所述， 题型05 二次函数与相似三角形 / 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【变式】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点，顶点，． (1)求抛物线的解析式． (2)作，斜边的两个端点D与E都在抛物线上，且分别位于第二象限和第一象限，过点E作垂直于x轴于点F．若与相似，求点E的坐标． (3)将抛物线平移，得到新抛物线W，已知W的对称轴为直线，点，，均在新抛物线W上．若时，都有，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为， (3)或 【分析】本题考查二次函数与几何的综上，涉及待定系数法、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，画出相应的图形求解即可； （3）分和两种情况，分别画出图形，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，则， 将，代入中，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，如图，则， ∴轴， 设，则，， ∵A与B关于y轴对称， ∴， 过D作轴于G，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 则； 当时，如图，则，延长交延长线于H， 则，又， ∴， ∴， 设，则点H的横坐标为t，点D横坐标为，纵坐标为， ∴， 过D作轴于G，同理可证， ∴，即， 解得（负值已舍去），则， 综上，满足条件的点E坐标为，； （3）解：由题意，， 当时，，，如图， ∴点和点关于对称轴对称， ∵对于时，都有， ∴，则； 当时，，，如图， 点关于对称轴的对称点为，点和点关于对称轴对称， ∵对于时，都有， ∴且，则， 综上，t的取值范围为或． 2．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 题型06 二次函数与特殊四边形 / 【典例】（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式； (2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 (4) 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出、，得到抛物线解析式． （2）先利用待定系数法求直线、的解析式，再设点坐标，根据轴得、坐标，利用是中点列方程求解． （3）分情况讨论：①当，证明得，根据比例即可；②当，证明得，根据比例即可． （4）先通过竖直距离转化求到距离最大时的点，再利用三角函数将转化为竖直距离，结合垂线段最短求最小值． 【详解】（1）解：将，代入， ， 化简得， 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为； 设， ∵轴， ∴，， ∵是线段的中点， ∴， ， 化简得：， 解得：（舍去），， ∴， ∴； （3）解：存在，点的坐标为或． 分以下三种情况讨论： ①当时，如图，过点作轴于点， 过点作，交的延长线于点． 设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， 解得． ∴， ∴； ②当时，如图，过点作轴，过点作于点， 过点作交的延长线于点． 设，则，． ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当时，该情况不存在． 综上所述，点的坐标为或． （4）解：设，作轴交于，交轴于， ∵直线解析式为， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴 ∴， ∵在中，， ∴， ∵二次函数开口向下，当时，点到的距离最大， 此时即， 过作轴于，连接， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 当、、共线（即在上）时，， ∵，为到轴的距离， ∴，即的最小值为． 【变式】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【答案】(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 题型07 二次函数与圆形 / 【典例】（2025·四川自贡·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)动直线图象交该抛物线于，两点，以为直径作圆与抛物线始终交于一定点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为 【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而表示出，，再通过证明，推出，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，得出点的坐标，再检验是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴ ∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点是定点， ∴，，， 解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 【变式】 1．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标； (3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，可证明是等腰直角三角形，，据此利用两点距离计算公式建立方程求解即可； （3）分点D在点A左侧和点D在点A右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接，设， ∵以为直径的圆与直线的一个交点为C， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ； 如图所示，当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ； 综上所述，的值为或． 2．（2025·广东·二模）已知直线过点，且与抛物线交于A，B两点，与x负半轴交于点M，其中点A在第二象限，点O为坐标原点． (1)当A是中点时，求直线l的解析式； (2)若点M的横坐标为m，，中点C的纵坐标为y，求y与m的函数关系式； (3)以为直径的圆C交直线于D，是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且为2，见解析 【分析】（1）根据，设直线的解析式为，则，根据点A是中点，得到，结合点A在抛物线上，且点A在第二象限解答即可； （2）根据，设直线的解析式为，结合，得到，于是，得到直线的解析式为，设，，根据题意，得是方程的两个根，利用中点坐标公式解答即可； （3）设，，根据题意，得是方程的两个根，则，，，，设，过点O作圆的切线，切点为Q，连接，延长到点N，利用中点坐标公式，根与系数关系定理，勾股定理，切线性质定理，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）解：∵，设直线的解析式为， 则， ∵点A是的中点， ∴， ∵点A在抛物线上，且点A在第二象限， ∴， 解得，（舍去）， 故直线的解析式为． （2）解：∵，设直线的解析式为， ∵，得到， 解得， 故直线的解析式为， 设，， 根据题意，得是方程的两个根， ∴， ∴， ∵中点C的纵坐标为y， ∴． （3）解：∵，设直线的解析式为， ∵，得到， 解得， 故直线的解析式为， 设，， 根据题意，得是方程的两个根， ∴，， ∴，， 设， ∵为直径的圆C交直线于D，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴圆C的半径为， 过点O作圆的切线，切点为Q，连接，延长到点N， 则，，， ， ∴， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故是定值，且为2． 1．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．以上结果都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大． 根据时抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是y轴，离对称轴越远函数值越大． ∵， ∴． 故选C． 2．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式：由平移性质得，再根据顶点坐标写出顶点式函数，展开得一般式后求值． 【详解】∵抛物线可由平移得到， 又∵顶点坐标为， ∴抛物线为． 展开得， 故选：A。 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．（2025·江苏泰州·三模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ） A．没有最大值，有最小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．有最大值，也有最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．解题的关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ∴， ∵， 随t的增大而减小， ∵， ∴， ∴有最小值，没有最大值． 故选：． 6．（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为； ③图象无最高点且分为两段； ④若，在图象上且，则； ⑤若，在图象上，且，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标特征，函数的最值，以及函数图象的形状．对于判断函数图象是否过某点，将点代入函数解析式看是否成立，对于函数的最值以及函数值的大小，需对函数进行变形分析是解决本题的关键． 将点代入函数解析式可判断①；将函数解析式进行变换并换元为二次函数，根据二次函数的开口方向和对称轴可判断②；根据变形后的函数解析式结合二次函数的性质可判断④；取两个满足的x的值代入，求解并对比函数值即可判断④；将进行变形并换元，根据求出元的范围，再代入到函数解析式即可判断⑤． 【详解】解：函数为， 将代入函数解析式， 函数图象过点，①正确； 函数，令， 函数可化为， 是关于t的二次函数，开口方向向上，且对称轴为直线， 当时，函数有最低点，此时， 当时，， 函数图象的最低点坐标为，②正确； 由②知，函数有最低点无最高点， 函数， ， 即函数在处取不到函数，即函数图象为两段， 图象无最高点且分为两段，③正确； 若，在图象上且， 令， ，， ，④错误； ，在图象上，且， ， 令，则有，， 对于函数，则有，， ， ， ，⑤正确 正确结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 8．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)售价为元时，每天最大利润为3310元 【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可； （2）设应降y元，依素材2可列方程求解； （3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用． 【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x， 依素材1，可得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为． （2）解：设应降y元，依素材2，可列方程， 解得． 答：应降5元． （3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得： ， 当时，W取得最大值为3310． 答：售价为元时，每天最大利润为3310元． 9．（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【答案】(1)矩形田地的面积的最大值为 (2)当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，，再由篱笆总长可得，进而可用含x的代数式表示出、，再根据矩形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，解得，，再根据二次函数的性质求取值范围即可． 【详解】（1）根据题意可得矩形，矩形，矩形，矩形的面积相等， ∴，，     ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴，     ∴， ∵， 解得， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 答：矩形田地的面积的最大值为； （2）根据（1）可得， 令， 解得，，     ∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，     ∴当时，，     ∴当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为． 10．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)的最大值为 (3) 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的定义等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后求得点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式； （2）由题意可知，此时，且点在点上方，据此得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可求得最值； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，可知此时点纵坐标为3，则有，据此即可解答． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得， 解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得， 解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； （3）解：轴， 当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3， ，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ． 1．（2025·江苏镇江·一模）在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线（且a，b均为常数）的图象上，以下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ；  ②抛物线与x轴的交点坐标是和； ③ 当时，关于x的一元二次方程有两个实数根； ④若和都是抛物线上的点且，则． 上述结论中正确的结论 （填写序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法． 利用待定系数法可得抛物线经过点A和点C，其解析式为，故①正确；令，可得抛物线与x轴的交点坐标是和，故②错误；利用一元二次方程根的判别式，可得，故③错误；根据抛物线与x轴的交点坐标是和，且抛物线开口向上，可得，故④正确． 【详解】解：∵三点中恰有两点在抛物线的图像上， ∴分三种情况讨论： 当抛物线图象经过点A和点B时，将分别代入， 得， 解得，不符合题意； 当抛物线图象经过点B和点C时，将分别代入， 得 ，此时方程组无解； 当抛物线图象经过点A和点C时，将分别代入， 得 ，解得       ∴点A和点C在抛物线的图象上． ∴ ∴抛物线的对称轴是直线，①正确． 当时， ∴ ∴抛物线与x轴的交点坐标是和，②错误． 当即，有两个实数根时，， ∴， ∴，③错误． ∵抛物线与x轴交于点和，且其图象开口向上，若和都是抛物线上的点，且，得． ∴④正确． ∴①④正确． 故答案为：①④ 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）对于函数，有以下结论： ①函数图像为轴对称图形，对称轴是轴； ②当时，函数有最小值； ③若函数图像与轴有3个交点，； ④若关于方程有4个实数根，则； ⑤若图像上有两点，当时，，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查二次函数的性质，包括对称性、最值、与坐标轴的交点以及方程根的情况．解题的关键是根据函数的性质逐一分析每个结论．①对于函数，函数与轴交点是，当时，，其图象开口向上，对称轴为，最小值为；当时，，其图象开口向上，对称轴为 ，最小值为，即可判断①．当时，函数，当时， ，其图象开口向上，对称轴为，此时的最小值为；当时， ，其图象开口向上，对称轴为，此时的最小值为，即可判断②．函数与轴有 3 个交点，即方程有 3 个不同的实数根，当时，方程为；当时，方程为；因为函数图象关于轴对称，所以其中一个方程有一个根为 0 ，另一个方程有两个非零根．当时，代入得0 ，求出，即可判断③．方程有 4 个实数根，即函数与直线有 4 个交点，要使函数与直线有 4个交点，则，即可判断④．因为函数在时，，对称轴为，在时，随的增大而减小；在时，，对称轴为，在时，随的增大而减小；结合当时，，即可判断⑤． 【详解】①对于函数， 函数与轴交点是， 当时，，其图象开口向上，对称轴为，最小值为； 当时，，其图象开口向上，对称轴为 ，最小值为． 所以函数的图象关于轴对称，故①正确． ②当时，函数， 当时， ，其图象开口向上，对称轴为，此时的最小值为； 当时， ，其图象开口向上，对称轴为，此时的最小值为． 所以当时，函数的最小值是，不是，故②错误． ③函数与轴有 3 个交点，即方程有 3 个不同的实数根， 当时，方程为；当时，方程为； 因为函数图象关于轴对称，所以其中一个方程有一个根为 0 ，另一个方程有两个非零根． 当时，代入得0 ， 此时方程，即， 解得：，满足与轴有 3 个交点，故③正确． ④方程有 4 个实数根，即函数与直线有 4 个交点， 当时，，其图象开口向上，对称轴为，最小值为； 当时，，其图象开口向上，对称轴为 ，最小值为． 函数与轴交点是， 要使函数与直线有 4个交点，则，故④正确． ⑤当时，． 因为函数在时，，对称轴为，在时，随的增大而减小； 在时，，对称轴为，在时，随的增大而减小； 所以当时，， 则，且到的距离小于到1的距离， 当时，或， 则结合图象可得，时，，故⑤正确． 综上，正确的结论是①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 3．（2025·四川南充·一模）某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． (1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； (2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ (3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)元或元 (2)当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． (1)根据总利润=单利润数量列出一元二次方程求解； (2)将利润函数配方成顶点式求最大值； (3)降价后的利润函数为，结合销售量条件和确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大的要求，得到关于a的不等式，解不等式得到 a 的范围． 【详解】（1）解：由题意可得方程：， 整理，得， 解得，． 答：销售单价为元或元． （2）解：由题意可得． ， 当时，有最大值，最大值为． 答：当每块销售单价定为元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大，最大利润为元． （3）解：， ∴对称轴为直线． ∵每天的销售量不低于块， ， ， 随的增大而增大，且开口向下， ， ， ， ． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式和点C的坐标求解即可； （2）求出，得到，则；设，则，，证明是等腰直角三角形，得到，则，可求出，据此可得答案； （3）求出图象M对应的抛物线解析式，进而求出图象M对应的抛物线恰好经过点A，点C和恰好与直线只有一个交点时m的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，的面积分别为，， ∴， ， ∴ ， ∵点P是抛物线在第四象限内的一点， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：原抛物线的函数解析式为，则顶点坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G， 则图象G对应的抛物线的顶点坐标为， ∵将图象G沿直线平移，得到新的图象M， ∴图象M对应的抛物线的顶点在平行于的直线上运动，即在直线上运动， 图象对应的抛物线的顶点坐标为， ∴图象对应的抛物线解析式为， 当图象过点（由（2）可得点A坐标）时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； ∴由函数图象可知，当时，符合题意； 同理可得直线的解析式为， 当抛物线与直线恰好只有一个交点时， 联立得， 即； 则， 解得， ∴， ∵， ∴此时抛物线与直线的交点恰好在线段上，符合题意； 综上所述，的范围是或． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 6．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴直线为． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在直线上方的抛物线上，平分，求点M坐标； (3)如图2，点D与点C关于直线对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线与x轴交于点G，直线交抛物线于P，Q两点，连接交y轴正半轴于点E，连接交y轴负半轴于点F，探究的值是否变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）将对称轴，点的坐标代入关系式，即可求出答案； （2）过点作轴，与的延长线交于点．则，证明，则，可得直线的解析式为，联立方程求解即可； （3）设直线的解析式为：，将代入，得，可得，则直线与抛物线有唯一的公共点，可得，然后可设直线为解析式为，再直线的解析式为，设直线的解析式为，联立即可求解. 【详解】（1）解：据题意可得： 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点作轴，与的延长线交于点．则． ，点关于直线对称， ． ． ∵抛物线与轴交于点， ． 又∵， ． ， ， ． 平分， ．又， ， ． ． 设直线的解析式为：，则， 解得：． ∴ 联立得 解得或 ∴． （3）解：的值不变化． 点与点关于直线对称， ． 设直线的解析式为：，将代入，得， ． ． 联立，则． ∵直线与抛物线有唯一的公共点， ． 解得， ． ∵直线， 设直线为解析式为：． 联立，则． ， 设直线的解析式为，将代入，得， ． ，点在轴正半轴， ． 联立，则． ， ， ． 设直线的解析式为，将代入，得， ． ，点在轴负半轴， ． 同理可得：． ． ． ． 2 / 125 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点02 二次函数 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 13 重难点一 二次函数的图象与性质 1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）两根式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 3.二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小 4.二次函数与一元二次方程的关系： （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． （2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． （3）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。 题型01根据二次函数解析式求顶点坐标 / 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ． 2．（2025·江西宜春·模拟预测）二次函数的顶点坐标为 ． 题型02二次函数图象和性质的综合判断 / 【典例】2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】 1．（2025·广西来宾·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确 2．（2025·上海·二模）抛物线的图像如图所示，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点二 二次函数的应用 1.利润相关公式 （1）单件利润 = 单件售价 单件进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 销售数量 2.二次函数的最值性质 （1）一般式：（），顶点横坐标 。 （2）（最值判定：当时，抛物线开口向下，顶点为最大值；当时，开口向上，顶点为最小值（利润问题中通常为负数，求最大利润）。 （3）自变量取值范围约束：售价≥进价、销量≥0，由此确定的取值范围。 3.二次函数应用解题一般步骤： （1）审题设元； （2）列销量与单件利润的表达式； （3）构建总利润的二次函数解析式； （4）确定自变量的取值范围； （5）求最值并检验作答，检验结果的实际合理性，规范书写答案。 题型01 最大利润问题 / 【典例】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【变式】 1．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 题型02 拱桥问题 / 【典例】（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【变式】 1．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 2．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 题型03 图形最大面积问题 / 【典例】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【变式】 1．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 题型04 投球问题 / 【典例】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【变式】 1．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 2．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 题型05 喷泉问题 / 【典例】（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 【变式】 1．（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究． 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型． 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题： 任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围． 2．（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 (1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； (2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； (3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 重难点三 二次函数与几何综合 1.数形结合思想，是解决此类问题的根本思想。将二次函数的代数表达式转化为平面直角坐标系中的图像，利用图像的顶点、对称轴、与坐标轴交点等特征，分析几何图形的位置；同时通过几何图形的性质（如等腰、直角、平行）建立代数方程。 2.分类讨论思想，几何图形的位置或形状存在多种可能性时，需分类讨论（如等腰三角形的顶点不确定、平行四边形的顶点组合不同），避免漏解。 3.转化思想，将复杂问题转化为基础问题，例如：将线段最值转化为二次函数最值；将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差；将存在性问题转化为方程是否有解的问题。 4.此类问题的通用解题步骤：此类问题的解题流程具有固定性，可按以下步骤逐步突破： 第一步：求二次函数解析式（代数基础） 已知条件：函数图像上的点坐标、顶点坐标、对称轴等。 常用方法：待定系数法，分3种形式： 一般式：（已知3个普通点坐标）。 顶点式：（已知顶点和1个普通点）。 交点式：（已知与轴的两个交点、和1个普通点）。 关键：代入点坐标时注意符号，计算后验证解析式正确性。 第二步：分析几何图形的性质与关键点坐标（几何分析） 确定几何图形的类型（三角形、四边形、圆等），提取核心性质（如等腰三角形两腰相等、平行四边形对边平行且相等）。 用坐标法表示几何图形的顶点坐标：若顶点在二次函数图像上，坐标可设为；若在坐标轴或定直线上，按直线解析式设坐标（如在直线上，设为）。 第三步：建立函数与几何的联系（数形转化） 利用几何性质建立代数关系式： 线段长度：两点间距离公式 ；若线段平行于坐标轴，直接用坐标差计算（如水平线段长度）。 角度关系：垂直时斜率乘积为（）；平行时斜率相等（）。 面积关系：割补法（将不规则图形拆分为三角形、矩形等）、铅垂高法（三角形面积）。 全等/相似关系：对应边成比例、对应角相等，转化为坐标的比例方程。 第四步：求解与验证（结果处理） 解建立的方程（组），得到未知数的值（如点的坐标、参数的值）。 验证解的合理性：需满足自变量的取值范围（如点在函数图像上、几何图形存在），排除增根。 题型01 二次函数与线段、面积最值问题 / 【典例】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且． (1)求抛物线的表达式． (2)若，求的值． (3)直线与直线交于点，求的最小值． 【变式】 1．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），设点的横坐标为．若，且线段与抛物线有交点，求的取值范围． 2．（2025·安徽阜阳·二模）如图，已知，，三点的坐标分别为，，，抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的解析式． (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段最长时，求点的坐标． 题型02 二次函数与全等三角形 / 【典例】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 【变式】 1．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03 二次函数与直角三角形 / 【典例】（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】 1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． (4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由． 2．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标． 题型04 二次函数与等腰三角形 / 【典例】（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图像顶点C的坐标是． (1)若，求二次函数表达式； (2)点，是该函数图像上的两个不同的点，若，请判断，的大小关系，并说明理由； (3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图像上，点D在该二次函数图像的对称轴上，若，直接写出a的值． 2．（2025·广东云浮·一模）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接， (1)求的值及抛物线的解析式． (2)点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值． (3)在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ． 题型05 二次函数与相似三角形 / 【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【变式】 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点，顶点，． (1)求抛物线的解析式． (2)作，斜边的两个端点D与E都在抛物线上，且分别位于第二象限和第一象限，过点E作垂直于x轴于点F．若与相似，求点E的坐标． (3)将抛物线平移，得到新抛物线W，已知W的对称轴为直线，点，，均在新抛物线W上．若时，都有，请直接写出t的取值范围． 2．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型06 二次函数与特殊四边形 / 【典例】（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式； (2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 【变式】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 题型07 二次函数与圆形 / 【典例】（2025·四川自贡·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)动直线图象交该抛物线于，两点，以为直径作圆与抛物线始终交于一定点，求出点的坐标． 【变式】 1．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标； (3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值． 2．（2025·广东·二模）已知直线过点，且与抛物线交于A，B两点，与x负半轴交于点M，其中点A在第二象限，点O为坐标原点． (1)当A是中点时，求直线l的解析式； (2)若点M的横坐标为m，，中点C的纵坐标为y，求y与m的函数关系式； (3)以为直径的圆C交直线于D，是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值，请说明理由． 1．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．以上结果都有可能 2．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 5．（2025·江苏泰州·三模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ） A．没有最大值，有最小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．有最大值，也有最小值 6．（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．下面五个结论： ①图象过点； ②图象的最低点坐标为； ③图象无最高点且分为两段； ④若，在图象上且，则； ⑤若，在图象上，且，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 8．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 9．（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 10．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 1．（2025·江苏镇江·一模）在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线（且a，b均为常数）的图象上，以下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ；  ②抛物线与x轴的交点坐标是和； ③ 当时，关于x的一元二次方程有两个实数根； ④若和都是抛物线上的点且，则． 上述结论中正确的结论 （填写序号） 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）对于函数，有以下结论： ①函数图像为轴对称图形，对称轴是轴； ②当时，函数有最小值； ③若函数图像与轴有3个交点，； ④若关于方程有4个实数根，则； ⑤若图像上有两点，当时，，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 3．（2025·四川南充·一模）某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元． (1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值； (2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？ (3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 6．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴直线为． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在直线上方的抛物线上，平分，求点M坐标； (3)如图2，点D与点C关于直线对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线与x轴交于点G，直线交抛物线于P，Q两点，连接交y轴正半轴于点E，连接交y轴负半轴于点F，探究的值是否变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由． 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $