重难点01 一次函数（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦一次函数中考核心考点，涵盖正比例函数与一次函数的定义、图象性质、参数求解、实际应用及几何综合等内容，通过“考点梳理-典例精析-分层训练”架构，帮助学生构建知识体系，突破重难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于以真题为载体培养核心素养，如行程问题典例渗透模型意识，几何综合题提升几何直观，分层练习适配不同学生。通过题型变式训练强化推理能力，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题与应考能力。

第三章 函数 重难点01 一次函数 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 13 重难点一 正比例函数 1．正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数. 2．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 题型01根据正比例函数概念求参数的值 / 【典例】（2025·江苏无锡·二模）若点都在同一个正比例函数图像上，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，设正比例函数解析式为，把点代入即可求解，熟练掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】设正比例函数为， 则， ∵点都在该正比例函数图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式】 1．（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．先求出k，得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案． 【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点， ∴，得， ∴， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（2025·陕西西安·二模）已知一条直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法，坐标关于原点对称规律；由坐标关于原点对称规律得，，再由待定系数法求直线解析式即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，，直线为正比例函数， ，， 点， 设直线对应的函数关系式为， ， ， ． 故选：． 题型02正比例函数的图象与性质 / 【典例】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 【变式】 1．（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键．根据正比例函数（为常数，）的性质，结合图像经过的象限判断的符号，进而分析各选项． 【详解】解：函数（是常数，）的图像经过第二象限， ， 函数的图像经过第二、四象限，的值随的值增大而减小． 当时，；正比例函数的图像是倾斜直线． 所以选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 2．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， 一次函数的图象过第一、二、三象限， 故A，B，C选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， 一次函数的图象过第一、二、四象限， 故D选项符合题意． 故选：D． 重难点二 一次函数 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2．一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 3．一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 题型01 根据一次函数经过的点求参数的值 / 【典例】（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 【变式】 1．（2025·湖南株洲·一模）已知点是直线上一点，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：把点代入直线， 可得， 解得， 故选：A． 2．（2025·江苏连云港·一模）已知点，在直线（为常数，）上，则的最大值为8，则的值为（   ） A．或 B．4或12 C．2或 D．或14 【答案】C 【分析】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为8求出的值．把代入后表示出，再根据最大值求出，最后把代入即可． 【详解】解：把代入得：， ， ， 当时，有最大值为， 的最大值为8， ， 解得， 直线解析式为或， 把代入得，， 把代入得， 故选：C． 题型02 利用一次函数的增减性比较大小 / 【典例】（2025·山西长治·二模）已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵是一次函数图象上的两点，且， ∴． 故选：A． 【变式】 1．（2025·广东东莞·二模）已知点，在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质．欲求与的大小关系，通过题中即可判断随着的增大而减少，就可判断出与的大小． 【详解】解：， ， 随着的增大而减少， 点，在一次函数的图象上，， ， 故选：C． 2．（2025·广东清远·二模）已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握“时，随的增大而增大；时，随的增大而减小”是解题的关键．由题意可知，，那么随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：一次函数， ， 随的增大而减小， 图象上两点、，， ， 故选：B． 题型03 利用一次函数图象解一元一次方程 / 【典例】（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 【变式】 1．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴， ∴， 将代入中，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2025·陕西渭南·二模）如图，一次函数为常数，的图象与轴、轴的交点分别为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据图象法得到当时，，即：，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：当时，，即：， ∴方程的解为； 故选D． 题型04 利用一次函数图象解二元一次方程组 / 【典例】（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 2．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ 题型05 利用一次函数的图象解一元一次不等式 / 【典例】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 【变式】 1．（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键．根据图象即可求得． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集是， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C． 2．（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，运用数形结合思想，且结合一次函数与的图象交于点，且经过点，即可得出的解集． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，且经过点， ∴当时，则， 故选：B 题型06 一次函数的实际应用1行程问题 / 【典例】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2； (2)； (3)或． 【分析】（1）①根据题意可直接得到a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出甲骑行的路程，即b的值； ②根据“路程＝速度×时间”计算即可； ③根据“路程＝速度×时间”计算即可； （2）分段用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，作出乙离A地的距离与时间的图象，根据甲、乙之间的距离列绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ； ∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为， ∴． 故答案为：40，5． ②甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：7.5； ③乙骑行的速度为， 故答案为：0.2； （2）解：当时，设函数解析式为， 将代入得：，求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 将代入得： ，解得， 当时， 综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为； （3）解：设乙的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为． 根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示： 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 综上，或70． ∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或． 【变式】 1．（2025·黑龙江·模拟预测）甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程与时间的函数图象． (1)分别写出甲、乙的行驶路程与时间的函数表达式； (2)求途中甲乙相遇时的时间； (3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为，图2是关于的函数图象，则______，______． 【答案】(1)甲的行驶路程与时间的函数表达式为：；乙的行驶路程与时间的函数表达式为 (2)分 (3)1850， 【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的实际应用，根据图象得出未知的条件是解题的关键． （1）根据图1得出甲行驶的时间和路程，计算出甲行驶的速度，即可得到甲的行驶路程与时间的函数表达式，再分别求得乙行驶两段的时间和路程，计算两段路程的速度，即可得到乙的行驶路程与时间的函数表达式； （2）根据图1得出当甲、乙行驶的路程一样的时候是甲乙两人相遇的时候，即与相交时，求得交点的坐标即为甲乙相遇时的时间； （3）先根据图2得出a，b两点表示的意义，再结合图1对应的最远距离和相遇时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意，∵乙比甲晚4分钟到校，再结合乙所用时间24分钟， ∴甲所用时间为20分钟， ∴甲的速度（米／分）， ∴甲的行驶路程与时间的函数表达式为：， 由图1知，乙的行程分成、两段， 当时，乙的速度（米／分）， ∴此时表达式为， 当时，乙的速度（米／分）， ∴此时可设表达式为：， 将点代入表达式，即， ∴乙的行驶路程与时间的函数表达式为， 故：甲的行驶路程与时间的函数表达式为：，乙的行驶路程与时间的函数表达式为； （2）解：由题意，设甲行驶了分钟后与乙相遇， ∴， ∴（分）； （3）解：根据图2得，5分钟时两人相距最大，当时，两人相遇， ∴当时，根据乙的行程减去甲的行程可以得； ∵当甲到达图1中时，两人相遇， ∴， 故答案为：1850，． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 【答案】(1)， (2) (3)2小时或5小时或小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图像、待定系数法确定函数解析式等知识点，正确从函数图像上获取信息、确定快车与慢车的速度是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，然后根据行程问题即可求得速度和；由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走，即快车与慢车的速度比为，进而求得快车到达乙地的时间； （2）由题意可得：，再求得点C的坐标为，然后运用待定系数法求解即可； （3）分相遇前两车间的距离是200千米、快车到达乙地前、快车返回甲地前三种情况，分别运用一次函数和行程问题求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲乙两地相距，相遇时间为，则快、慢两车的速度和是； 由图像可知：在B点时，快车到达乙地，此快车走，慢车走， ∴快车与慢车的速度比为， ∴快车的速度为，慢车的速度为， ∴快车到达乙地的时间为小时． 故答案为：，6． （2）解：由题意可得：，当快车到达乙地的时，总共行驶了6小时，慢车行驶了， 则从B点到点C，快车休息了半小时，即C点的横坐标为，慢车行驶路程为：，即C点的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 设的解析式为， 则，解得：， ∴． （3）解：如图：当相遇前两车间的距离是200千米时， 由图像可知：， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶小时，两车相距200千米； ②如图：当快车到达乙地前，两车相距200千米时， 由题意的点，， 设函数解析式为， 则，解得：， ∴， 当，即时，解得：小时， ∴当快车行驶5小时，两车相距200千米； ③当快车返回甲地前，两车相距200千米时， 由题意可得：快车到达乙地共用时6小时，返回甲地行驶时间小时， ∴快车返回甲地的速度为， ∴快车返回甲地前，两车相距200千米，快车行驶时间为 小时． 综上，快车行驶2小时或5小时或小时时，两车间的距离是200千米． 题型07 一次函数的实际应用2销售问题 / 【典例】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【变式】 1．（2025·江苏宿迁·三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【答案】(1)制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元 (2)当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元，根据“制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签，根据“A主题书签的制作数量不少于B主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设全部售出后的获得的总利润为w元，利用总利润每套A主题书签的销售利润制作A主题书签的套数每套B主题书签的销售利润制作B主题书签的套数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签， 根据题意得：， 解得：， 设全部售出后的获得的总利润为w元， 则， 即， ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， （套）． 答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元． 2．（2025·江苏南通·二模）某超市准备购进甲，乙两种商品共80件（其中甲商品不少于15件），相关信息如下： 信息一 商品 每件进价 （单位：元） 每件售价 （单位：元） 购买总资金 （单位：元） 甲 28 不超过820 乙 13 信息二 用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同． (1)求的值； (2)现该超市准备对甲商品每件优惠元出售，乙商品售价不变，则该超市怎样选择进货方案，能使销售完这80件商品所获利润最大？ 【答案】(1)18 (2)当时，甲商品购进18件，乙商品购进62件；当时，甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；当时，甲商品购进15件，乙商品购进65件． 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式是关键． （1）用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设甲商品购买件，销售总利润为元．列出一次函数并分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意列方程，得．    方程两边乘， 得． 解得．     检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：的值为18； （2）设甲商品购买件，销售总利润为元． 则 ．     ，且， ．     ①当时，，此时随的增大而增大． 当时，取得最大值， 即甲商品购进18件，乙商品购进62件；     ②当时，，此时与无关． 即甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；      ③当时，，此时随的增大而减小． 当时，取得最大值， 即甲商品购进15件，乙商品购进65件． 题型08 一次函数与几何综合问题 / 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)、、 、； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可； （3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ，解得：， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ①当， ，即 ，即， ∴，； ②当； ，即， ，即， ∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 【变式】 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) ， (2)①，其中t的取值范围是：；② 【分析】（1）解直角三角形可得，，从而可得B、C坐标； （2）①由平移的性质可得， ，．利用三角函数表示出和和的面积，根据即可求重叠部分的面积； ②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直，将折线段拼接起来后，利用两点之间线段最短求最值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，，， ∴， 故B的坐标为，的坐标为， 故作案为：，； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 在中，，则，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，，设， ∴，，， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点． (1)求点，点的坐标； (2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，二次函数的性质，熟练利用相关函数的性质是解题的关键． （1）根据含有的直角三角形中边的关系，得到，再利用勾股定理即可解答； （2）求得直线的解析式，再证明四边形为矩形，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， . ； （2）解：设的解析式为， 将点，代入， 得， 解得， 的解析式为， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，， 垂直于轴，垂直于轴，， ， 四边形是矩形， ， ， 点在线段上， ， 当时，四边形的面积有最大值， 当时，点纵坐标为， ． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．将各选项中的横坐标代入一次函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中给出的纵坐标对比，判断该点是否在函数图象上． 【详解】解：当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 当时，．故在一次函数图象上； 当时，．故不在一次函数图象上； 故选：C． 2．（2025·江苏淮安·一模）若点是一次函数图象上的点，则点P在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，先根据题意判断出函数图象所在的象限，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数中， ，， 此函数的图象经过第一、二、三象限， 点是一次函数图象上的点，m与互为相反数， 点在第二象限． 故选：B． 3．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 4．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·安徽淮南·一模）已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与其系数之间的关系，先把点的坐标代入解析式得到，再讨论k的符号，从而确定一次函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵图象经过点， ∴，即， ∴， 当时，一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，不符合题意； 综上所述，， 故选：A． 6．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点解方程，一次函数的平移，理解函数平移的性质，两直线交点解方程的方法是关键． 根据函数图象的平移得到平移后的解析式，再根据两直线交点解方法即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∴直线与直线的交点为， ∴方程的解为， 故选：B ． 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 函数与（） 的图像相交于点， 则关于x的不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、根据函数图像求不等式解集等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．首先求出点A坐标，进而根据函数图像得出不等式的解集． 【详解】解：将点代入一次函数， 可得，解得，即， 结合图像可知，关于x的不等式的解集为． 故选：D． 9．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 【答案】(1) (2)①该时刻高架路上每百米车的数量为15辆，②最晚10分钟需启动限流措施． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且），将坐标和分别代入y关于x的函数解析式求解即可； （2）①令，列方程求解即可；②令，求出，再计算即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入y关于x的函数解析式， 得， 解得， 关于x的函数解析式为； （2）解：①当时，得， 解得， 答：该时刻高架路上每百米车的数量为15辆； ②当时，得， 解得， （分钟）， 答：最晚10分钟需启动限流措施． 10．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 1．（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度 (2)直线的函数表达式 (3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为 【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义． （1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度； （2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式； （3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可． 【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； （2）解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立， 解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为． 2．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 【答案】(1)4500元 (2)5种 (3)购进甲型号手机8台，乙型号手机12台 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键． （1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意建立方程就可以求出其值； （2）设购甲型手机y台，则购乙型手机台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论； （3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故原方程的根是． 故一月份甲型号手机每台售价为4500元； （2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台， 由题意得：， 解得， ∵y为整数， ∴y=8，9，10，11，12， ∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8， ∴有五种购货方案： 一、甲型手机8台，乙型手机12台； 二、甲型手机9台，乙型手机11台； 三、甲型手机10台，乙型手机10台； 四、甲型手机11台，乙型手机9台； 五、甲型手机12台，乙型手机8台； （3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元， 故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元， 则方案一盈利：（元）； 方案二盈利：（元）； 方案三盈利：（元）； 方案四盈利：（元）； 方案五盈利：（元）； 因为， 所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最大． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 【答案】(1)，，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、翻折变换、点的“参照线”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解； （1）根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，； （2）由题意可知，点的横坐标为3，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分两种情形①如图1中，当点在参照线上时，设．②如图2中，当点在参照线上时，设．分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，， 故答案为，，，； （2）解：，点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为3， 又点有一条参照线是， 时，， 点坐标为， 故答案为． （3）解：①如图1中，当点在参照线上时，设． ，，， ， ， 在中， ， ， ， ， ②如图2中，当点在参照线上时，设． ，，， ， 在中， ， ， ， ， 综上可知，点的坐标为或． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点01 一次函数 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 13 重难点一 正比例函数 1．正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数. 2．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 题型01根据正比例函数概念求参数的值 / 【典例】（2025·江苏无锡·二模）若点都在同一个正比例函数图像上，则m的值为 ． 【变式】 1．（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·二模）已知一条直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 题型02正比例函数的图象与性质 / 【典例】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 2．（2025·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 重难点二 一次函数 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2．一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 3．一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 题型01 根据一次函数经过的点求参数的值 / 【典例】（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式】 1．（2025·湖南株洲·一模）已知点是直线上一点，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 2．（2025·江苏连云港·一模）已知点，在直线（为常数，）上，则的最大值为8，则的值为（   ） A．或 B．4或12 C．2或 D．或14 题型02 利用一次函数的增减性比较大小 / 【典例】（2025·山西长治·二模）已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·广东东莞·二模）已知点，在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2025·广东清远·二模）已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 题型03 利用一次函数图象解一元一次方程 / 【典例】（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·甘肃·模拟预测）若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西渭南·二模）如图，一次函数为常数，的图象与轴、轴的交点分别为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型04 利用一次函数图象解二元一次方程组 / 【典例】（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 2．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 题型05 利用一次函数的图象解一元一次不等式 / 【典例】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（a、b均为常数，且）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型06 一次函数的实际应用1行程问题 / 【典例】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【变式】 1．（2025·黑龙江·模拟预测）甲、乙两名学生同时从同一地点出发，前往同一学校．甲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程与时间的函数图象． (1)分别写出甲、乙的行驶路程与时间的函数表达式； (2)求途中甲乙相遇时的时间； (3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为，图2是关于的函数图象，则______，______． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)快、慢两车的速度和是_________千米/时；快车到达乙地的时间是_________小时； (2)求出线段的解析式，写出自变量的取值范围； (3)快车行驶多长时间时，两车间的距离是200千米． 题型07 一次函数的实际应用2销售问题 / 【典例】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【变式】 1．（2025·江苏宿迁·三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 2．（2025·江苏南通·二模）某超市准备购进甲，乙两种商品共80件（其中甲商品不少于15件），相关信息如下： 信息一 商品 每件进价 （单位：元） 每件售价 （单位：元） 购买总资金 （单位：元） 甲 28 不超过820 乙 13 信息二 用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同． (1)求的值； (2)现该超市准备对甲商品每件优惠元出售，乙商品售价不变，则该超市怎样选择进货方案，能使销售完这80件商品所获利润最大？ 题型08 一次函数与几何综合问题 / 【典例】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【变式】 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点． (1)求点，点的坐标； (2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·一模）若点是一次函数图象上的点，则点P在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽淮南·一模）已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 6．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）将直线向上平移个单位长度后与直线交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 函数与（） 的图像相交于点， 则关于x的不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？ 10．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 2．（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元． (1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？ (2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？ (3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最大？ 3．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $