精品解析：海南省海口市2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期 初三年级期末联考数学科试卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确． 1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下图是由一个长方体和一个正方体组成的几何体，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年4月14日，“投资中国·2025海南自由贸易港全球产业招商大会”在海南海口举行，总签约额约2336亿元．越来越多国内外企业和投资者用实际行动投出信任票，成为海南自贸港建设见证者、参与者、贡献者和受益者．数据233600000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 当，时，代数式的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 6. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 两组身高数据的方差分别是，，那么乙组的身高比较整齐 B. “明天下雨”是必然事件 C. 一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5 D. 为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行 8. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是、的中点，则长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 3 12. 如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 比较大小：2____．（填“＞”、“＜”或“=”） 14. 分解因式：________． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 16. 如图，为正方形的对角线，点O为的中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F，过点A作于点P，连接，若正方形的边长为2，则________，的最小值为________．（结果保留根号） 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. （1）计算： （2）解不等式组： 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知 ，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题解析发现： “设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 [迁移类比] （2）小军看了对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．海口市某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机抽样调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：本次抽样调查的样本容量是________，________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”项目意向的学生有________人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从这4人中选2人到华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 20. 综合与实践 海口钟楼历史悠久，跨越近百年岁月，是海口市著名八景之一、为了测量钟楼的高度，某校两个“综合与实践”小组设计了不同的方案，测量方案和数据如下表： 测量钟楼的高度 第一小组 第二小组 测量工具 测量角度和长度的仪器 测量角度和长度的仪器及无人机 测量方案示意图 测量方法及测量数据 （1）在钟楼正面点测得钟楼顶端点仰角； （2）在钟楼背面点测得钟楼顶端点的仰角为； （3）测得米． （1）让无人机上升到点处，测得点距地面的高度为37米，此时测得钟楼顶端点处的俯角为； （2）让无人机沿水平方向由点飞行10米到达点，测得钟楼顶端点处俯角为． 说明 是地平面，钟楼宽度不计 是地平面，钟楼宽度不计 请你根据以上信息解决下列问题 （1）填空：图1中，_______度，图．2中，_____度，______米； （2）请你选择其中的一个方案及其数据求钟楼的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 21. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数经过 ①求二次函数解析式． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，求t的取值范围． （2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 22. 【问题探究】旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智利用旋转的方法解决了一道几何题，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，、，求证：； 小智这样作辅助线，如图②，把绕点A旋转至，连接， （1）请你利用小智的方法，求证：． 【问题迁移】 （2）的直角顶点E在菱形的对角线上运动，斜边交于G点，且 ①如图1，当，，，则值为________； ②如图2，当，，，求的值． 【问题拓展】 （3）如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期 初三年级期末联考数学科试卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确． 1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2. 下图是由一个长方体和一个正方体组成的几何体，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看到的图形为主视图，由此可解． 【详解】解：从正面看，可得选项B的图形． 故选B． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握主视图的定义． 3. 2025年4月14日，“投资中国·2025海南自由贸易港全球产业招商大会”在海南海口举行，总签约额约2336亿元．越来越多国内外企业和投资者用实际行动投出信任票，成为海南自贸港建设见证者、参与者、贡献者和受益者．数据233600000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据233600000000用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：数据233600000000用科学记数法表示为， 故选：C 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则对各选项逐一判断即可． 【详解】A. ，无法计算，不合题意； B. ，正确； C.，故此选项错误； D.，故此选项错误； 故选：B 【点睛】本题考查的是整式的运算，如何合并同类项，同底数幂的乘法、除法、幂的乘方基本法则. 5. 当，时，代数式的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．将，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 6. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤即可解答．本题考查了解分式方程一般步骤，学会将分式方程化为一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， ， 去括号，得， ， 移项，得， ， 合并同类项，得， ， 系数化为，得， ， 检验：将代入， ∴是原分式方程的解， 故选． 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 两组身高数据的方差分别是，，那么乙组的身高比较整齐 B. “明天下雨”是必然事件 C. 一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5 D. 为了解某灯管使用寿命，可以采用普查的方式进行 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的意义、随机事件、众数、中位数、平均数以及全面调查和抽样调查的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A.∵S甲2＝0.01，S乙2＝0.02，∴S甲2＜S乙2，∴甲组的身高比较整齐，故A选项是假命题； B.“明天下雨”是随机事件，故B选项是假命题； C.数据3，5，4，5，6，7的众数是5，中位数是5，平均数是（3＋5＋4＋5＋6＋7）÷6＝5，故C选项是真命题； D.由于了解某灯管的使用寿命会给灯管带来损伤破坏，所以不宜采用普查的方式进行，故D选项是假命题； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，用到的知识点方差的意义、随机事件、众数、中位数、平均数以及全面调查和抽样调查等知识点；解决本题要熟悉这些常用知识． 8. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角，城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，等腰三角形性质及三角形外角性质，先根据平行线的性质，由得到，然后根据等腰三角形性质及三角形外角性质即可计算的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 10. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 11. 如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是、的中点，则长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形，判断出长最大时，为直径是解题的关键． 根据三角形中位线的性质可知，则当最大时，最大，当最大时是直径，此时根据直径所对的圆周角为直角，可得，然后根据解直角三角形求得直径，即可解答． 【详解】解：∵点M、N分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最大时，最大，当最大时是直径， 如图所示， 此时， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：B． 12. 如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案． 【详解】过点A向BC作AH⊥BC于点H， 所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x） 所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6） 该函数图象是抛物线的一部分， 故选D． 【点睛】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 比较大小：2____．（填“＞”、“＜”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】用作差法比较即可. 【详解】∵2-()=2-+1=3-=->0. 故答案为>. 【点睛】本题考查了实数的大小比较，比较时数的大小的方法有：求差法、平方法以及近似值法． 14. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式，即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°， ∵∠B=90°， ∴∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF=， ∴cos∠EFC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，余弦的概念． 16. 如图，为正方形的对角线，点O为的中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F，过点A作于点P，连接，若正方形的边长为2，则________，的最小值为________．（结果保留根号） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取的中点，连接、，，根据正方形的性质可得，，进而根据勾股定理可求得，得到，再由勾股定理得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后根据三角形三边关系可知，即可解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接、，， ∵为正方形的对角线，点O为的中点，正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂、正弦值、化简二次根式和绝对值，然后计算加减即可； （2）先求出每个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以原不等式组得解集为． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知 ，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现： “设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 [迁移类比] （2）小军看了对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． 【答案】（1）② （2）方程见解析；A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据方程可得表示的是B品牌足球的单价，据此可得答案； （2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据方程可知，表示的是B品牌足球的单价， ∴A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元， ∴例题中被覆盖的条件是②， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元 根据题意得， 解得， 答：A种品牌足球的单价为80元．B种品牌足球的单价为50元． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．海口市某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机抽样调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 03 （1）填空：本次抽样调查的样本容量是________，________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”项目意向的学生有________人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从这4人中选2人到华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1）80；0.1；126 （2）180 （3） 【解析】 【分析】本题考查了样本容量、频率、扇形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握以上知识点的概念及计算公式是解题的关键． （1）根据C（语音类人工智能）的人数和所占百分比列式即可的样本容量；进而根据样本容量即可求得a类型的频率；直接利用360度乘以C（语音类人工智能）的占比即可的圆心角度数； （2）根据九年级的人数乘以D（视觉类人工智能）的频率列式计算即可； （3）根据题意列出表格，得到所有等可能的结果数和两位同学选的项目一样的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，样本容量为（人）， ， 扇形统计图中C（语音类人工智能）所对应的圆心角的度数为； 故答案为：80；0.1；126． 【小问2详解】 解：（人）， 估计该中学选择“D（视觉类人工智能）”专业意向的学生约有180人． 故答案为：180． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果， 由于甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”， 因此两位同学选的项目一样的结果有：甲，乙；乙，甲，共2种， 这两位同学选的项目一样的概率为． 20. 综合与实践 海口钟楼历史悠久，跨越近百年岁月，是海口市著名八景之一、为了测量钟楼的高度，某校两个“综合与实践”小组设计了不同的方案，测量方案和数据如下表： 测量钟楼的高度 第一小组 第二小组 测量工具 测量角度和长度的仪器 测量角度和长度的仪器及无人机 测量方案示意图 测量方法及测量数据 （1）在钟楼正面点测得钟楼顶端点仰角为； （2）在钟楼背面点测得钟楼顶端点的仰角为； （3）测得米． （1）让无人机上升到点处，测得点距地面的高度为37米，此时测得钟楼顶端点处的俯角为； （2）让无人机沿水平方向由点飞行10米到达点，测得钟楼顶端点处俯角为． 说明 是地平面，钟楼宽度不计 是地平面，钟楼宽度不计 请你根据以上信息解决下列问题 （1）填空：图1中，_______度，图．2中，_____度，______米； （2）请你选择其中的一个方案及其数据求钟楼的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】（1）75，30，10 （2）钟楼的高度为28米 【解析】 【分析】（1）图1中，在中，，图2中，延长交直线于点F，在中，，得； （2）若选第一小组方案设．根据在中，，得 ，在中，根据，得．得，解得，得（米）；若选第二小组方案，延长交于．根据，得，在中，．得，证明四边形是矩形，得，即得（米）． 【小问1详解】 解：图1中， ∵中，， ∴； 图2中， 延长，交直线于点F， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：75，30，10； 【小问2详解】 解：选第一小组方案： 设． ∵在中，，， ∴， ∴， ， 在中，， ∴， ． ， 解得， （米） 答：钟楼的高度为28米． 选第二小组方案： 延长交于． ，， ， ， ， 在中，． ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （米）． 答：钟楼的高度为28米． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用——仰俯角问题．熟练掌握三角形内角和，含30度的直角三角形性质，等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，是解题的关键． 21. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数经过 ①求二次函数解析式． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，求t的取值范围． （2）若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）①把点的坐标代入函数解析式中求出即可；②分别求出当时，当时，当时，各自对应的值，再结合题意进行判断即可； （2）根据抛物线开口向上得，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出的值，即可求出点和点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性分类讨论的取值范围． 【小问1详解】 解：①二次函数经过， ， ， 二次函数的解析式是； ②由①得该二次函数对称轴为，， ∴该二次函数开口向上， 当时， ； 当时， ； 由题意得，最大值与最小值的差为，而． 当时， 解得， ∴当时，最小值为；当时，的函数值不超过， ∴的取值范围：； 【小问2详解】 解：抛物线开口方向向上， ， ， 这个抛物线的顶点为， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 最低点， ， 当时，， 最高点， ， 解得：， 点和点坐标为：，； 【小问3详解】 解：①当时，如图所示： 则有当时，随增大而减小； 当时，随增大而增大， 又当时，总有，此时， ； ②当时，如图所示： 则有当时，随增大而增大； 当时，随增大而减小， 又当时，总有， ∴此时， 综上，当时，；当时，． 22. 【问题探究】旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智利用旋转的方法解决了一道几何题，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，、，求证：； 小智这样作辅助线，如图②，把绕点A旋转至，连接， （1）请你利用小智的方法，求证：． 【问题迁移】 （2）的直角顶点E在菱形的对角线上运动，斜边交于G点，且 ①如图1，当，，，则值为________； ②如图2，当，，，求的值． 【问题拓展】 （3）如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）①5；②；（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质，可推出，，，进而得到，，即可证得结论； （2）①由（1）中结论可得，根据勾股定理求得，设，则，代入结论，解方程即可； ②把绕点A逆时针旋转至，作，连接，，根据旋转的性质和菱形的性质，易证，得到，然后求得、，设，则，再求得、，最后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答； （3）延长至点P，并使得，连接，作于点R，作于点Q，易证，得到，进而证明和，得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵把绕点A旋转至， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①∵菱形，，， ∴，， 则由（1）可得，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故答案为：5； ②如图所示，把绕点A逆时针旋转至，作，连接，， 则，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，，， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的值； （3）解：如图所示，延长至点P，并使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， 作于点R，作于点Q， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理和方程思想，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形的性质，灵活掌握旋转的辅助线作法是解题关键，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $