第二章 不等式与不等式组（复习课件）数学新教材北师大版八年级下册

单元复习课件 第二章 不等式和不等式组 新教材北师大版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统梳理不等式的概念、基本性质、解集表示，一元一次不等式（组）的定义、解法等核心知识，构建完整的单元知识网络。熟练运用不等式基本性质进行变形，精准求解一元一次不等式（组）并规范表示解集；能快速识别实际问题中的不等关系，准确列出不等式（组）并检验解的合理性；提升运用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力。 3.规范解题步骤，减少计算和表示解集时的失误；形成主动梳理知识、总结解题规律的复习习惯，增强学习数学的信心。 2. 突破不等式基本性质3的应用误区、不等式组解集的确定、实际问题建模等难点；能综合运用不等式与一次函数、方程的知识解决综合题，提高知识迁移和综合运用能力。 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一、不等式(组)的概念及性质 1.不等式的概念 一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫作不等式。 在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 求不等式解集的过程叫做解不等式。 考点串讲 方法技巧 知识点一、不等式(组)的概念及性质 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 区别 定义 使不等式成立的 未知数的某个值 使不等式成立的未知数的所有值 特点 个体 全体 形式 如：78是 的一个解 如：x＞75是 的解集 联系 某个解一定是解集中的一员 解集一定包括了某个解 考点串讲 知识点一、不等式(组)的概念 2.不等式组的概念 一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 一元一次不等式组中各不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 求不等式组解集的过程叫做解不等式。 考点串讲 知识点一、不等式(组)的概念及性质 基本性质 文字语言 符号语言 基本性质1 基本性质2 基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变。 如果 a＞b，那么 a±c＞b±c 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc， a÷c＞b÷c 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc， a÷c＜b÷c 3.不等式的基本性质 考点串讲 知识点二、不等式(组)的解法 1.在数轴上表示不等式解集的步骤 包含界点用实心，不包含用空心； ①画数轴 标出原点，正方向，长度； ②定界点 ③定方向 左小右大。 2.用数轴表示不等式解集的四种情况 考点串讲 知识点二、不等式(组)的解法 3.解一元一次不等式组的基本步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)在同一条数轴上画出这些不等式的解集； (3)找出它们的公共部分，写出不等式组的解集。 考点串讲 知识点二、不等式(组)的解法 4.一元一次不等式组的解集的四种情况 最简不等式组(a＜b) 在数轴上表示 解集 口诀 x＞b x＜a a＜x＜b 无解 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 考点串讲 知识点三、一元一次不等式的应用 一元一次不等式解决实际问题的一般步骤 审：审题，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系 找：找出能表示题目含义的一个不等关系 设：设出适当的未知数 列：根据题目中的不等关系，列出不等式 解：解一元一次不等式，求出其解集 验：检验解集是否符合题意与实际情况 答：写出答案 考点串讲 知识点三、一元一次不等式与一次函数 一元一次不等式 kx+b>0 (或kx+b<0)与一次函数 y=kx+b的关系 x O y y=kx+b kx+b＞0 的解集 kx+b＜0 的解集 数 形 y=kx+b中，y>0时x的取值范围 y=kx+b中，y<0时x的取值范围 直线位于x轴上方部分对应的x的取值范围 直线位于x轴下方部分对应的x的取值范围 考点串讲 题型一、不等式及不等式的解(解集) 1．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． ① x＋y；② 3x＞7；③ 5＝2x＋3；④ x2＞0； ⑤ 2x－3y＝1；⑥ 52；⑦ 2＞3. 解：等式有③⑤，不等式有②④⑦，既不是等式也不是不等式的有①⑥. 题型剖析 题型一、不等式及不等式的解(解集) D 题型剖析 题型一、不等式及不等式的解(解集) B 题型剖析 题型一、不等式及不等式的解(解集) 4．如果a<b，下列各式中不正确的是（　　） A．a-2>b-2 B．-6a<-6b C．0.5a<0.5b D．a-b<0 5．如图，数轴上的A点与B点所表示的数分别为a，b，则下列不等式不成立的是（    ） A. B. C. D. C A 题型剖析 题型二、 解一元一次不等式(组) 1．关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（　B　） A．3 B．2 C．1 D．0 B 2．若5x－6＜5y－6，则x y．(填“＞”“＜”或“＝”) ＜　 题型剖析 题型二、 解一元一次不等式(组) 3.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. B C. D. B 4．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1 g，则物体A的 质量m(g)的取值范围在数轴上可表示为（　A　） A． B． C． D． A 题型剖析 题型二、 解一元一次不等式(组) 5．解不等式：≤. 解：去分母，得3(x－2)≤2(7－x)． 去括号，得3x－6≤14－2x. 移项、合并同类项，得5x≤20. 两边都除以5，得x≤4. 题型剖析 题型二、 解一元一次不等式(组) 6．解下列不等式( 组 )： 解：去分母，得6x+3x+2x＞66. 合并同类项，得11x＞66. 两边都除以11，得x＞6. 这个不等式的解集在数轴上表示如图所示. 题型剖析 题型二、 解一元一次不等式(组) 解下列不等式组： 7. 解：(1) 解不等式①，得x≥－1. 解不等式②，得x＜2. 所以该不等式组的解集为－1≤x＜2. 题型剖析 题型三、一元一次不等式与一次函数 (2) 解不等式①，得x＞－4. 解不等式②，得x≥－1. 所以该不等式组的解集为x≥－1. 题型剖析 题型二、 解一元一次不等式(组) (3) 解不等式①，得x＜－1. 解不等式②，得x＜4. 所以该不等式组的解集为x＜－1. 不等式组的解集在数轴上表示如图所示. 题型剖析 题型三、一元一次不等式(组)与一次函数 1. 如图是一次函数 y＝kx＋b 的图象，当 y＜2 时，x 的取值范围是 ( ) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3 C 2. 某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体车主收费 y1 元，国营出租车公司收 费为 y2 元，观察下列图象可知，当 x________时，选用个体车较合算． ＞1500 题型剖析 题型三、一元一次不等式(组)与一次函数 3.某工厂要招聘A，B两个工种的工人150人，A，B两个工种的工人的月工资分别为1500元和3000元. 现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？ 解：设招聘A工种工人x人，则招聘B工种工人(150－x)人， 由题意知150－x≥2x，解得x≤50. 设每月所付工资为y元， 由题意，得y=1500x+3000(150－x)=450000－1500x. 故当x=50时，y取最小值. 所以当招聘A工种工人50人时，可使每月所付工资最少. 题型剖析 题型三、一元一次不等式(组)与一次函数 4.甲、乙两车从相距20km的A、B两地相向而行，​分别表示甲、乙到A地的距离s（km）与时间t（h）的函数关系： ① 哪辆车速度快？② 何时甲到B地的距离＞乙到B地的距离？ 解： ①乙车速度快（图象更陡，相同时间路程变化快）； ② 甲到B地距离=20−​， 乙到B地距离=20−​， 由 20− ​>20− ​得> ， 结合图像得t<0.4h（示例值需看图确认交点） 题型剖析 题型四、一元一次不等式(组)的应用 1.水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，销去一 半后为尽快销售完，准备打折出售，如果要使总利润不低于3450元，那么 余下水果可按原定价打( ) 折出售． D A．7 B．8 C．8.5 D．9 2.天天商店计划用不超过8 400元的货款，购 进 ， 两种单价分别为120元,200元的商品共50件，据市场行情，销售 ， 商品各一件分别可获利20元，40元，两种商品均售完．若所获利润大 于1 500元，则该商店进货方案有( ) . B A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 题型剖析 题型四、一元一次不等式(组)的应用 3.某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9 000元． (1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵； 解：设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗(2x－40)棵， 由题意可得，30x＋20(2x－40)＝9 000，70x＝9 800， x＝140，2x－40＝240. ∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵． 题型剖析 题型四、一元一次不等式(组)的应用 (2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案． 解：设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗(10－y)棵． 根据题意可得，30y＋20(10－y)≤230，10y≤30，∴y≤3. 又∵y＞0且y为整数，∴y的值为3，2，1. 购买方案1：购买甲种树苗3棵，乙种树苗7棵； 购买方案2：购买甲种树苗2棵，乙种树苗8棵； 购买方案3：购买甲种树苗1棵，乙种树苗9棵． 题型剖析 针对训练 1．如图，数轴上表示的不等式的解集为 ⁠. 2．不等式x－2＜1的正整数解是 ⁠． x≥－1　 1，2　 4．关于x的一元一次不等式x－1≤m的解集在数轴上的 表示如图所示，则m的值为（　B　） A．3 B．2 C．1 D．0 B 3．若5x－6＜5y－6，则x y．(填“＞”“＜”或“＝”) ＜　 针对训练 5. 使不等式 x－1≥2 与 3x－7＜8 同时成立的 x 的整数值 是 . 3 或 4 6. 若关于 x 不等式组 有解，则 m 的取值范围是 ( ) A. m＞ B. m≤ C. m＞ D. m≤ C 7.解不等式组 把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来.   解：解不等式，得 x≤3. 解不等式，得 所以这个不等式组的解集是 ，解集在数轴上表示如下： 不等式组的整数解为 2，3. 2 3 1 0 4 针对训练 8．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1 600元，售价2 000元；乙型平板电脑进价2 500元，售价3 000元． (1)设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y(元)与x(台)之间的函数表达式． 解：由题意得y＝(2 000－1 600)x＋(3 000－2 500)(20－x)＝－100x＋10 000， ∴y与x之间的函数表达式为y＝－100x＋10 000. 针对训练 (2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39 200元，全部售出所获利润不低于8 500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润． 针对训练 共有四种采购方案： ①甲型电脑12台，乙型电脑8台， ②甲型电脑13台，乙型电脑7台， ③甲型电脑14台，乙型电脑6台， ④甲型电脑15台，乙型电脑5台， ∵y＝－100x＋10 000，且－100＜0，∴y随x的增大而减小， ∴当x取最小值时，y有最大值，即当x＝12时，y最大＝－100×12＋ 10 000＝8 800.∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8 800元． 针对训练 (1) 用“＜”“＞”或“=”填空： 52+32 2×5×3；32+32 2×3×3； (－3)2+22 2×(－3)×2；(－4)2+(－4)2 2×(－4)×(－4). 19. ＞ = ＞ = (2) 观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？你能用一个含有字母a，b的式子表示上述规律吗？再换几个数试一试. (2)任意两个数的平方和大于或等于这两个数乘积的2倍，即a²+b²≥2ab. 如5²+6²＞2×5×6，7²+7²=2×7×7，8²+9²＞2×8×9等. (3) 运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性. (3)因为(a－b)²≥0，所以a²－2ab+b²≥0. 故a²+b²≥2ab，当a=b时等号成立. ✅ 知识构建： 1.不等式、不等式的解、不等式的解集、一元一次不等式、一元一次不等式组、不等式组的解集 对比等式基本性质，突出性质3的特殊性，这是解不等式的易错点 2. 一元一次不等式解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（注意系数为负数时不等号方向改变）→数轴表示解集 3一元一次不等式组解法：分别解每个不等式→在数轴上表示各解集→确定公共部分（遵循“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”原则）→写出不等式组的解集 4. 实际应用解题步骤：审（找不等关系）→设（未知数）→列（不等式或不等式组）→解（不等式或不等式组）→验（检验解的合理性）→答 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 类比思想：类比一元一次方程的定义，理解一元一次不等式的定义；类比一元一次方程的解法步骤，探究一元一次不等式的解法 数形结合思想：用数轴表示不等式的解集，直观反映解集的范围；借助数轴确定不等式组的公共解集，化解“确定公共部分”的抽象难点 建模思想：从实际问题中抽象出不等关系，构建一元一次不等式（组）模型，解决实际问题 分类讨论思想：解含参数的不等式（组）时，根据参数的不同取值范围，讨论解集的情况；判断不等式组解集的不同类型 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! 3．下列式子中，一元一次不等式组有(　　) ①②③ ④⑤ A．1个　　　 B．2个 C．3个　　　 D．4个 解：由题意得 解得12≤x≤15，∵x为正整数，∴x＝12，13，14或15. $