考点14 轴对称 学案 2026年中考数学一轮基础通关手册（安徽专用）

轴对称 1.轴对称与轴对称图形的概念 -轴对称：两个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，这条直线叫对称轴，对应点叫对称点。 -轴对称图形：一个图形自身沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合（如等腰三角形、矩 形、圆等)；常考与中心对称图形的区分判断。 一核心区别：轴对称指两个图形的关系，轴对称图形指一个图形的特性。 2.轴对称的性质 -对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线；对应线段相等、对应角相等。 -轴对称变换不改变图形的形状、大小，只改变位置。 3.线段、角的轴对称性 -线段：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（逆定理也成立）；线段的对称轴是其垂直 平分线和本身所在直线。 -角：角平分线上的点到角两边的距离相等（逆定理也成立）；角的对称轴是角平分线所在直线。 4.坐标系中的轴对称规律 -点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y)；关于y轴对称的点为(-x,y);关于直线x=a对称的点为 (2a-x,y),关于直线y=b对称的点为(x,2b-y)。 -安徽中考常结合坐标几何，考查点或函数图像轴对称后的坐标、解析式求解。 5.轴对称的作图与综合应用 -作图步骤：确定对称轴→找图形关键点→作关键点关于对称轴的对称点→连接对称点得 到对称图形。 -综合题型： -利用轴对称求最短路径问题（如将军饮马模型），为安徽中考高频考点； -结合等腰三角形、矩形、菱形等图形性质出题； -与平移、旋转结合构成图形变换综合题。 轴对称的作图 一、解答题 1.如图所示的平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标依次为A(-1,4),B(-1,0),C(-4,3), 3 2 -4-3-2-10 234 -2 -3 (1)请在坐标系中作出ABC关于y轴对称的△A,B,C,并写出点A的坐标为_； (2)若点P是图中所在区域x轴上一动点，当△BCP是等腰三角形时.则点P的坐标为_； (3)直线x=m是平行于y轴的一条直线，若点C关于直线x:m的对称点为点C,当点C落在ABC的 内部时，则m的取值范围是_ 2.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上，点D是线段BC上的一点（点D 不在格点上)，请用无刻度的直尺，画出AC边上的高BM;在直线AB上求作一点N,使DN+MN的 和最小，并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明） BD C 3.如图在平面直角坐标系中，ABC各顶点的坐标分别为：A4,0),B(-1,4),C(-3,1). y (1)在图中作出ABC关于y轴的对称图形△A,B,C,,并写出点C关于y轴的对称点C的坐标. (2)点P为x轴上一动点，且使得△PBC周长最小，直接写出△PBC周长的最小值： (3)坐标轴上有一点M,△MAC为等腰三角形，满足条件的M点有几个： 4.如图，在平面直角坐标系中，己知ABC的三个顶点的坐标分别为A1,0),B(2,-3),C(4,-2). 4年 3 -2 5-4-3-2-10 3345x (1)画出ABC关于y轴的对称图形△AB,C,. (2)己知P为x轴上一点，若aABP的面积为3，求P的坐标 (3)D是x轴上任一点，使△ABD是等腰三角形，直接写出D点坐标. 5.如图所示，在边长为1的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知ABC的顶点都在格点上，直线 1经过(-1,0)且与y轴平行. B t- (1)请画出ABC关于x轴对称的△A,B,C; (2)直线I上有一动点D,当△ABD的周长取最小值时，请在图中画出点D(保留作图痕迹)； (3)若点E在第一象限格点上，使△ABE是以AB为腰的等腰直角三角形，则点E的坐标为 6.如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1,B(4,2),C(3,4. 54 32 A 5-4-3-2-10 2345x 2 3 (1)画出ABC关于y轴成轴对称的△A,B,C,顶点B坐标为_， ②点卫在y轴上，且Sw:点Q的华标为： (3)在x轴上求一点P,使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标是_· 7.如图，每一个小正方形的边长为1. (1)画出格点ABC关于直线DE的对称的△A'B'C'; (2)在DE上画出点P,使PA+PC最小，并且求出最小值为 (3)在DE上画出点Q,使2A-QB最大；并且求出最大值为 (4)求点B到AC所在直线的距离为 8.在平面直角坐标系x0y中，ABC的一个顶点为A(2,4. ○ (1)作ABC关于x轴的对称图形△AB,C,并求出ABC的面积； (2)若P是x轴上一点，且△A,B,P与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标. (3)在y轴上作出点Q,使△ABQ的周长最小（保留作图痕迹）· 9.如图所示，在平面直角坐标系x0y中，ABC的三个顶点坐标分别为A1,1,B(4,2),C(2,3). 5 4 B 3 2 -5-4-3-2-10 2345x 4 -5 (1)在图中画出ABC关于x轴对称的图形△AB,C,; (2)在图中，若B,-4,2)与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是， 此时C点关于这条直 线的对称点C,的坐标为； (3)在y轴上确定一点P,使△APB的周长最小.（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） (④)在y轴上一点M的坐标为0，-5)，在x轴上有一动点Q满足QM-QB最大，此时Q点的坐标为 ,最大值为 10.如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A4,-1),B(-5,-4),C(-1,-3). 4 3 2 -4-3-2-10 12345x (1)画△A'B'C',使aA'B'C'与ABC关于x轴对称； (2)求aA'B'C'的面积； (3)在y轴上作一点P,使得PC-PA最大. 折叠问题的求解 一、填空题 1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，边BC上有一点D,将△ADB沿线段AD折叠得△ADB',线 段g与边4C交于点，者品-子则能 B'E C D 2.如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上任取一点E,连接BE,取BE的中点P,连接AP, 将aBCE沿BE折叠，当点C恰好落在AD边上的点F处时，则AP的长为 E B 3.如图，在Rt△ABC中，点D为AB边上的点，将△ACD沿CD折叠，使点A落在点E处，连接BE,己 知AB=6√5，AC=6,则当BDE为直角三角形时，BD的长为 E A D B 4.如图，裁剪出一正方形纸片ABCD,若AB=2,且E为BC的中点，将△ABE沿着AE所在直线折叠， 使点B落在正方形内点F处，连接BF、CF,BF交AE于H,则CF的长为 B∠ E 5.如图，把一个长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D,C分别落在H,G的位置，若LAEH=30°，则 ∠DEF等于一 6.如图，点D是ABC的边BC上一点，将△ADC沿AD翻折，点C落在点E处，AE与BC相交于点F, 若EF=3,CF=17,AF=AD,则FD的长是 B E 7.如图，ABC中，AB=AC,∠A=30°，D是射线AB上的动点，连接CD,令∠ACD=Q0°<a<75), 将△ACD沿CD所在射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形， 则∠a的度数为一· B 二、解答题 8.我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等. 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究.如图是长方形纸片ABCD,点E是 边AD的中点.先将△EDC沿着EC翻折，得到EGC;再将EA翻折至与EG重合，折痕是EF.请 你帮助小亮解决下列问题： D B (1)判断△CEF的形状，并说明理由； (2)己知BF=3cm,FC=5cm,求EF的长. 9.综合实践： 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图. 他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=√2AB,他先将A4纸沿过点A的直线折叠， 使点B落在AD上，点B的对应点为点E,折痕为AF;再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上， 点C的对应点为点H,折痕为FG,则∠AFG的度数为度 然后连接AG,沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG, D 夕 G B 图① 【问题解决】请对上面△ADG≌△AFG的猜想进行证明. 【结论应用】 ∠DAG的度数为 度， FG的值为 A 10.折纸是有趣的数学活动，通过折纸可以发现数学结论，折纸的过程蕴含着丰富的数学知识. 【特例感受】 如图1，在折叠等腰三角形ABC纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等. 【操作探究】 问题1：如图2，ABC中，AB=AC,∠B=70°，直线AP与线段BC相交于点D,将△ABD沿直线 AP翻折至△ADB'处，点B的对应点为B,求∠BAD与∠CDB'之间的数量关系. A D B B D 图1 图2 图3 【拓展延伸】 问题2：如图3，若AB=AC,∠ABC=60°，直线AP与线段BC相交于点D,将边AB沿直线AP翻折， 得到AB',射线CB交AP于点E,连接BE,探究并证明CE,EB'与AE之间的数量关系. 11.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点， 将BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F. 图① 图② (1)若AB=a,直接写出CD的长（用含a的代数式表示）； (2)若DF⊥BC,垂足为G,点F与点D在直线CE的异侧，连接CF,如图②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由； (3)若DF⊥AB,直接写出∠BDE的度数. 12.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点Aa,0)、点B(0,b),且a、b满足a-3+b2-8b+16=0, AB=5,M是线段OB上一点，若将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点P处， B M D (1)求点P的坐标； (2)求△MPA的面积； (3)在y轴上是否存在点N,使△APN是以PN为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点N的坐标， 若不存在，请说明理由. 13.如图，等腰ABC中，CA=CB,∠ACB=120。,CP=4,点D在线段AB上运动（不与A,B重合）， 将△CAD与△CBD分别沿直线CA,CB翻折得到△CAP与△CBO. B (1)CQ的长度为 (2)求LPC0的度数； (3)当点D是AB的中点时，判断DPQ是何种三角形，并说明理由. 14.如图，己知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE,连接EA并延长交 直线CD于点F. (1)若AC=8,则CE=轴对称 1.轴对称与轴对称图形的概念 八 轴对称：两个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，这条直线叫对称轴，对应点叫对称点。 -轴对称图形：一个图形自身沿某条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合（如等腰三角形、矩 形、圆等)；常考与中心对称图形的区分判断。 -核心区别：轴对称指两个图形的关系，轴对称图形指一个图形的特性。 2.轴对称的性质 一对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线：对应线段相等、对应角相等。 -轴对称变换不改变图形的形状、大小，只改变位置。 3.线段、角的轴对称性 -线段：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（逆定理也成立）：线段的对称轴是其垂直 平分线和本身所在直线。 -角：角平分线上的点到角两边的距离相等（逆定理也成立）；角的对称轴是角平分线所在直 线。 4.坐标系中的轴对称规律 -点(x,y)关于x轴对称的点为(x,-y);关于y轴对称的点为(-x,y);关于直线x=a对称的点为 (2a-x,y),关于直线y=b对称的点为(x,2b-y)。 -安徽中考常结合坐标几何，考查点或函数图像轴对称后的坐标、解析式求解。 5.轴对称的作图与综合应用 一作图步骤：确定对称轴→找图形关键点→作关键点关于对称轴的对称点→连接对称点得 到对称图形。 -综合题型： -利用轴对称求最短路径问题（如将军饮马模型），为安徽中考高频考点： -结合等腰三角形、矩形、菱形等图形性质出题； -与平移、旋转结合构成图形变换综合题。 轴对称的作图 一、解答题 1.如图所示的平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标依次为A(-1,4),B(-1,0),C(-4,3). 3 2 -2-10 234 -2 -3 (1)请在坐标系中作出△ABC关于'轴对称 △AB,C, 并写出点的坐标为； (2)若点P是图中所在区域x轴上一动点，当△BCP是等腰三角形时.则点P的坐标为： (3)直线x=m是平行于y轴的一条直线，若点C关于直线x=m的对称点为点C',当点C落在△ABC的 内部时，则m的取值范围是_ 【答案】()见详解，L,4) 2)点P为-4,0或3V2-1,0 (3)-4<m<-2.5 【分析】本题主要考查网格的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是分类 讨论思想的应用 (1)根据轴对称作图即可，结合对称的性质即可求得对应点的坐标： (2)分BP为腰和BC为腰，结合等腰三角形的性质、勾股定理和坐标点即可求得答案； AB∥y (3)根据题意得 6'轴，即可知点C到线段MB的距离为3，进一步得到点C到线段B的中点距 离为1.5，再结合直线x=m过点C时和直线x=-2.5时，满足题意即可求得. 【详解】(1)解：如图， 11 3 C 2 B B -4-3-2-10 234 -2 则点A的坐标为1,4)」 故答案为：（们4 (2)解：如图， 4 A 3 C B B -4Pr3-2-10 23P24x -2 3 当BP为腰时，点(-4,0)」 当BC为腰时， 由网格知BC=V32+32=3V2 则B跳=BC=3V2 :点0) ∴点32-1,0) 则点P为4,0)或3W2-,0), (3)解：如图， 3 2 xX-m B -4-3-2-10 1234 -3 :A(-1,4),B(-1,0), ∴.AB∥y轴， ∴.点C到线段AB的距离为3， ∴.点C到线段AB垂直距离的中点距离为1.5， 当直线x=m过点C时，点C和点C'重合， 当直线x=-4+1.5=-2.5时，点C位于线段AB上， 则-4<m<-2.5. 2.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上，点D是线段BC上的一点（点D 不在格点上)·请用无刻度的直尺，画出AC边上的高BM;在直线AB上求作一点N,使DN+MN的 和最小，并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明） B D 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质· 取格点E,作射线BE交AC于点M,BM即为所求；取格点F,作射线BF,连接FM交AB于点G,作 射线EG交BF于点H,连接DH,交AB于点N,点N即为所求. 【详解】解：如图，取格点E,作射线BE交AC于点M, :BN=AN=4,EN=CN=L,∠BWE=∠ANC=90° ∴.△BNE≌△ANC(SAS) .∠ACN=∠BEN, ∴.∠ACN+∠EBN=∠BEN+∠EBN=90° ∠BMC=180°-（∠BBN+∠EBN=90°，即BM⊥AC,故BM即为所求： 取格点F,作射线BF,连接FM交AB于点G,作射线EG交BF于点H,连接DH,交AB于点N, BF=BE==17 AF=AE=3.AB=AB, ∴.△AFB≌△AEB|SSS) .∠FBA=∠EBA, .BG=BG,BF=BE, ∴.△FGB≌△EGB(SAS ∴.∠BFG=∠BEG,FG=EG. .∠GFH=∠GEM, ·∠FGH=∠EGM,FG=EG, .，∴△FGH≌△EGM(AAS) .FH EM, ∴.BF+FH=BE+EM,即BH=BM, ∴点H是点M关于AB对称的点， ∴.NM+ND=HWN+ND, 当H,N,D三点共线时NM+ND最小，故点N即为所求. B 3.如图在平面直角坐标系中，△4BC各顶点的坐标分别为：4(4,0)，B(-1,4,C-3, ()在图中作出△MBC关于'轴的对称图形△AB,G C 并写出点C关于》轴的对称点的坐标。 (2)点P为x轴上一动点，且使得△PBC周长最小，直接写出△PBC周长的最小值： (3)坐标轴上有一点M,△MAC为等腰三角形，满足条件的M点有几个： 【答案】(1)图见解析， C,(3,1) 2)v29+3 (3)9 【分析】本题考查坐标与图形变换轴对称、等腰三角形的定义、勾股定理，正确画出图形是解答的关 键 (1)根据对称性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形，再根据图形可得点的坐标： 2)作点B关于轴对称的点品，连接CB,交轴于点户，则PB=P3,此时△PBC周长最小值为 PB+PC+BC=CB,+BC,利用勾股定理求 CB,BC即可解答： (3)分AM=AC、CA=CM、MA=MC三种情况，可画草图找寻满足条件的M点. 【详解】1)解：如图，△48C即为所求，点C的坐标为3,1 B -5-4-3-2 (2)解：如上图，点P即为所求， B 2 A1 5 2 4 5 由图知，△PBC周长最小值为 B+PC+BC=CB,+BC CB,=V22+5=V29.BC=V2+3=√3 :△PBC周长最小值为V29+5 √29+√13 故答案为： (3)解：如图， 当AM=AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交坐标轴于点M,有4个M点满足△MAC为等腰三 角形： 当CA=CM时，以C为圆心，AC长为半径画圆，交坐标轴于点M,有3个M点满足△MAC为等腰三 角形 当MA=MC时，作AC的垂直平分线，交坐标轴于点M,有2个M点满足△MAC为等腰三角形： 综上，共有9个M点满足△MAC为等腰三角形， 故答案为：9 4.如图，在平面直角坐标系中，已知△18C的三个顶点的坐标分别为11,0)，B(2-到，C4,-2) 3 2 -5-4-3-2-10 45x -2 ()画出△ABC关于y轴的对称图形 ABC (2)己知P为x轴上一点，若△ABP的面积为3，求P的坐标. (3)D是x轴上任一点，使△ABD是等腰三角形，直接写出D点坐标 【答案】(1)作图见详解 ②P3,0或-Lo （③点D坐标为1-0,0或1+0,0或(3,0)或6,0) 【分析】本题考查了作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用参数构建方程 解决问题， (1)利用轴对称变换的性质分别作出A,B,C的对应点， 4,B,G,并依次连接即可： P(m,0 (2)设 ,构建方程求解即可； n,0 (3)画出图象，分情况讨论：AB=AD,AB=BD和AD=DB时，设 ,构建方程求解即可。 【详解】(1)解：如图所示， △AB,C即为所求， 5 A (2)解：设点Pm,0) 由题意得，SBr 2×m-x3=3, .m=3或-1， :P3,0)或-l0 (3)解：由图象可知，AB=VP+32=V0 要使△ABD为等腰三角形，分情况讨论： A A 3 A D.D3 D 34 56 ①如图，当AB=AD时， 设D(n0) 4D=-1=1o :.n=l+0成l-V10 或 .D1-i0,0)或D1+i0,0； ②如图，当AB=BD时， 由图象可知，点D坐标为3,0)， ③如图，当AD=DB时， .AD2=DB2, 由勾股定理得，DB2=(n-2}2+32=n2-4+13 :-4+13=(n-,解得n=6, :D,(6,0 综上所述，点D坐标为1-而，0)或1+0,0或3,0或6,0 5.如图所示，在边长为1的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知△ABC的顶点都在格点上，直线 1经过(-1,0)且与y轴平行.