2026年中考数学一轮基础通关手册 考点13 旋转（安徽专用）

旋转 1． 旋转的基本概念与性质 - 定义：图形绕定点（旋转中心）沿一定方向转动一定角度的变换，不改变图形的形状、大小，只改变位置。 - 性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应线段、对应角分别相等。 2． 中心对称与中心对称图形 - 中心对称：把一个图形绕某点旋转能与另一个图形重合，这两个图形关于该点中心对称；对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 - 中心对称图形：绕自身某点旋转后能与自身重合的图形（如平行四边形、圆等），常考与轴对称图形的区分判断。 3． 坐标系中的旋转规律 - 平面直角坐标系内，点(x,y)绕原点旋转的常见情况： - 旋转：顺时针得(y,-x)，逆时针得(-y,x)； - 旋转：得(-x,-y)（与中心对称规律一致）。 - 安徽中考常结合平面直角坐标系，考查点或简单图形旋转后的坐标求解。 4． 旋转的作图与综合应用 - 作图步骤：确定旋转中心、旋转方向和角度 → 找出图形关键点 → 分别将关键点绕旋转中心旋转对应角度 → 连接对应点得到旋转后的图形。 - 综合题型：与三角形全等/相似、四边形、圆结合，利用旋转构造辅助线，求解线段长度、角度或证明线段关系；常作为几何压轴题的解题突破口。 旋转的作图 一、解答题 1．在如图所示的正方形网格中，按要求画出图形． (1)画出绕点O逆时针旋转后得到的； (2)画出与关于点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作关于某点旋转的图形，关于某点中心对称的图形，掌握其方法是解题的关键． （1）利用网格，分别找到各点绕点逆时针旋转的对称点，然后顺次连接起来即可； （2）利用网格，分别找到各点绕点逆时针旋转的对称点，然后顺次连接起来即可； 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：如图即为所求作： 2．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为，，，． (1)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，写出点的坐标； (2)将以点为位似中心放大得到，点的对应点为，请画出． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，坐标系中画位似图形，熟知旋转的性质，位似图形的性质是解题的关键． （1）先按照旋转的性质画出，然后结合坐标系写出点D的坐标即可； （2）根据点B和点的坐标可知，把A、C的横、纵坐标都乘以即可得到、的坐标，描出、、，并顺次连接、、即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． 由图知：； （2）解：如图所示，即为所求作． ． 3．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； (2)以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，则点B2的坐标为_______． (3)点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析， (2)图形见解析， (3) 【分析】本题考查作图—作旋转图形、作位似图形，“将军饮马”问题： （1）作出各顶点绕原点顺时针旋转后的点，连接各点即可； （2）将各顶点与原点O连接并延长两倍得到对应的点，连接各点即可得到放大二倍的位似图形； （3）取关于x轴对称点为，连接，与x轴的交点即为所求P点． 【详解】（1）解：如图： 点的坐标为； （2）解：如图： 的坐标为． （3）解：如图： 关于x轴对称点为，连接，与x轴的交点即为所求P点， 设直线为， 则，解得， ∴直线为， 当时，，解得， 故P为． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、中心对称图形，一次函数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别作出点向左平移5个单位后的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕原点O旋转后得到的点，再顺次连接即可； （3）连接，交点即为对称中心，再求出直线和直线的表达式，然后求出交点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，连接，交点即为对称中心， 可得，，， 设直线， 则， 解得， ∴直线； 同理可求直线， ∴， 解得， ∴与关于点中心对称， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中． (1)画出绕原点按顺时针方向旋转后的； (2)求点旋转到点所经过的路线长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了图形的旋转变换作图及弧长公式的应用，解题的关键是掌握旋转的性质确定对应点坐标，以及利用弧长公式计算路线长． （1）根据旋转性质，确定、、绕原点顺时针旋转后的对应点，顺次连接得到； （2）先求点到原点的距离（即旋转半径），再结合旋转角，用弧长公式计算路线长． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）， 点旋转到点所经过的路线长为． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转得到，请画出旋转后的，并直接写出顶点，，的坐标； (2)若与关于点Q对称，请在图中标出对称中心Q，并写出点Q的坐标． 【答案】(1)画图见解析，，， (2)画图见解析， 【分析】本题考查了坐标平面内图形的变换：中心对称，旋转，熟练掌握旋转性质，中心对称性质，是解题的关键． （1）作出点A，B，C绕原点O顺时针旋转得到的对应点，，，写出顶点，，的坐标即可； （2）连接，交点Q即为对称中心，由，，写出中点坐标，即为点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴将绕原点O顺时针旋转得到； 顺次首尾连接得到， 即为所求，如图， ，，的坐标为； （2）解：如图，连接，交于点Q，点Q即为对称中心， 由图看出， ∵， ∴，， ∴． 7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、，． (1)画出绕原点按顺时针方向旋转后得到的； (2)写出点的坐标； (3)求出旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求弧长． （1）根据旋转方式结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）所画图形，写出对应点的坐标即可； （3）由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长，先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，点； （3）解：由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点A旋转到点所经过的路线长． 8．每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)写出A、B、C的坐标． (2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的． (3)将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的．并求出在旋转的过程中扫过的面积． 【答案】(1)；； (2)作图见解析 (3)作图见解析；扫过的面积为 【分析】本题考查平面坐标系点的坐标、中心对称点的特征、扇形面积公式，熟练掌握中心对称点的特征和扇形面积公式是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （2）关于原点O对称点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都为相反数，据此得到点、、的坐标，依次连接，得到； （3）作出绕点A逆时针旋转后得到的，扫过的图形为扇形，计算扇形的面积即可． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可知： 点A、B、C的坐标为：、、； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如（2）图，即为所求， 扫过的图形为扇形，且， 则在旋转的过程中扫过的面积为： ． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕原点O逆时针旋转得到． ①画出并写出点的坐标； ②直接写出线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，，② 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转和原点对称，求图形扫过的面积，一次函数与几何综合，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）①根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接即可；②可证明直线和直线都经过原点，则线段扫过的面积即为扇形减去扇形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①如图所示，即为所求，则点的坐标； ②由（2）①得， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∴直线和直线都经过原点， ∴线段扫过的面积即为扇形减去扇形的面积， 由旋转的性质可得， ∵，， ∴线段扫过的面积． 10．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出以原点为中心的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)画出将绕原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形． （1）根据中心对称的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出，并写出点的坐标； （2）根据旋转的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出，并写出点的坐标 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求；． 11．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积 ． 12．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将向左平移2个单位，画出平移后的； (2)以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得，画图，并写出的坐标______； (3)在（2）旋转过程中线段扫过的面积为______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查作图—平移变换、旋转变换，扇形面积公式，网格与勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而得出对应点坐标即可； （3）根据旋转的性质以及运用扇形面积公式进行列式计算，得出线段扫过的面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， （2）解：如图所示：即为所求，， 故答案为：； （3）解：根据题意，每个小正方形的边长为， ∴， ∴在（2）旋转过程中线段扫过的面积为 13．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的； (3)求出（2）中点旋转到点所经过的路径长（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，勾股定理及弧长公式，解题的关键是能够准确找出对应点． （1）找到点A、B、C的对应点、、的位置，然后描点即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点、，则可得到； （3）C点旋转到点所经过的路径是以B点为圆心，为半径，圆心角为的弧，求出，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，为所作，点的坐标为； （2）解：如图，为所作； （3）解：， 所以C点旋转到点所经过的路径长． 旋转综合 一、解答题 1．如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到矩形，点B的对应点E恰好落在边上，点C、D的对应点分别为点F、G，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了旋转的性质、等边对等角等知识．根据旋转的性质和矩形的性质得到，再求出，根据即可得到结论． 【详解】解：∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到矩形，点B的对应点E恰好落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 2．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，； (3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)能得到，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由可得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）证明，即可得解． 【详解】（1）解：能得到． 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当时，． 理由：∵， ∴， ∴， 又∵四边形和四边形均为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积的最大值为，旋转角 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 4．在中，于点D，点P为射线上任一点（点B除外），连接，将线段绕点P顺时针方向旋转α，，得到，连接． (1)【观察发现】如图1，当，且时，与的数量关系是_，与的位置关系是_． (2)【猜想证明】如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理） (3)【拓展探究】在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)不成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，证明，可得结论； （2）连接，由，，得到，，由旋转的性质得，，，得到，，再证明，得到，则； （3）分当P在线段上时和当P在延长线上时两种情况证明，推出 ，由此求解即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）不成立，结论是；理由如下： 连接， ∵，，， 由旋转的性质得，，， ∴、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ∴， ，， ， ， ∴ ， ∴不成立，结论是， （3）当点P在线段上时，如图2中， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图3所示，当P在延长线上时，连接， ，，，， ，，即∠BAP=∠CAE， 同（2）可得， ， ∴， ， 同理可求得：，， ， ∴． 综上所述：或 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 5．正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，；由和四边形是正方形，可得，从而得出，利用得出，即可求解； （2）由得，正方形的边长为，从而求出，根据求出的长，设，则，在中，由勾股定理得： ，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的定理及性质． 6．如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)A，90 (2)证明见解析 (3)正方形的边长为 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 7．如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：． (2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质证明，即可得出答案； （2）先证明四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明； （3）设正方形边长为，在中用勾股定理建立关于的方程，求解即可 【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（1）得：，且， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 设正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识点，运用了方程的思想．熟练掌握全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质是解题的关键． 8．将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．    (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或，见解析 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，等边三角形的判定及性质． （1）①由矩形的性质可证；②由矩形的性质及旋转的性质可证（），从而可得，即可求证； （2）由线段垂直平分线的判定定理可得点G在的垂直平分线上，①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，可证是等边三角形，即可求解；②当点G在左侧时， 同理可得是等边三角形，即可求解； 掌握性质，并能根据G点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， ， 故答案：； ②由旋转可得： ， ， ， ， 又， ， ， 在和中 ， （）， ， 又， ． （2）解：如图，当时， 则点G在的垂直平分线上， ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，   ， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 旋转角； ②如图，当点G在左侧时，    同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 9．如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．    (1)若，写出旋转角及其度数； (2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，，即可求解； 【详解】（1）当时， ， ∵旋转得到，其中旋转到. ∴旋转角为； （2）∵， ， ∵旋转得到， ， ， 即， ， 即， ； 【点睛】该题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答该题的关键是掌握旋转的性质． 10．中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)当点E在线段上，时，如图①，求证：： (2)当点E在线段延长线上，时，如图②；当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段，，的数量关系； (3)在（1）、（2）的条件下，若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)1或7 【分析】（1）根据，，推出，，根据旋转的性质得出，则，即可得出，最后根据即可求证； （2）用和（1）相同的方法证明，得出即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再根据（1）（2）得出的结论进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，如图②： ∵，， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图③： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或； （3）解：由（1）可知，当点E在线段上，时，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由②可知：或， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 或(不符合题意，舍去)， 或， 综上：或7． 故答案为：1或7． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法，证明，以及掌握全等三角形对应边相等，平行四边形对边相等． 11．如图1，四边形都是正方形，E．G分别在边上，已知.    (1)求正方形的周长； (2)将正方形绕点A逆时针旋转时，如图2，求证：． (3)将正方形绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长交于点H，设与的交点为M． ①求证：； ②当时，求线段的长． 【答案】(1)16 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据周长的定义求解； （2）由正方形，知， 可证， 于是； （3）①证明：由，知，结合三角形内角和定理，可证， 于是；②解：连结交于点N，连结，如图， 由正方形绕点A逆时针旋转45°， 得与互相垂直平分，且在上， 求得，， 在中，；由， 解得， 于是. 【详解】（1）解：正方形的周长； （2）证明：∵四边形都是正方形， ∴， ∵将正方形绕点A逆时针旋转， ∴， 在和，， ∴， ∴； （3）①证明：∵， ∴， ∵, 又∵， ∴， ∴； ②解：连结交于点N，连结，如图，    ∵正方形绕点A逆时针旋转45°， ∴与互相垂直平分，且在上， ， ∴， ∴， 在中，； ， ， ， . 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理；通过全等三角形求证角相等、线段相等是解题的关键． 12．已知是等腰直角三角形，，直线m是过点C的任一条直线，于点E，于点D；    (1)如图（1），求证：； (2)当直线m绕点C旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE与DE和BD的正确数量关系，并加以证明． (3)当直线m绕点C旋转到如图（3）时，请直接写出AE与DE和BD的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （2）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论； （3）先利用同角的余角相等判断出，进而得出，最后用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，新结论为： 证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握“三垂线模型”是解题的关键． 13．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点 (1)求证：； (2)把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由： (3)把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论 （2）先判断出，得出，同(1)的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论. 【详解】（1）解：点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，， ， ， ， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，， ， 是等腰三角形， 同（1)的方法得，， ， 同(1)的方法得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，， 最大时，面积最大，即：最大时，面积最大， ∴点D在的延长线上， ， ， ． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PMCE，PNBD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出BD最大时，△PMN的面积最大． 14．如图1，已知正方形，点为上的一点，，交于点． (1)如图1，直接写出的值_______； (2)将绕点顺时针旋转，得到，连接、， ①如图2，当时，猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点与点重合，点和点重合，且时，将绕点顺时针旋转，旋转后连接、，若，则_______．（直接写结果） 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】（1）利用正方形对角线平分内角的性质，结合垂直条件得到等腰直角三角形，利用计算与的数量关系； （2）①通过旋转性质得到边角关系，证明，从而得到与的比例关系；②分两种情况讨论，由，点在的中垂线上，结合正方形的性质，证明是等边三角形，利用，计算旋转角度即可． 【详解】（1）解：是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：①猜想， 理由：由（1）知，，， ， 由旋转知，， ， ， ； ②情况一：根据题意画图，连接，， ， ∴点在的中垂线上， ， ， ， ∵四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形， ， 如图3，， 即：， 情况二：，即：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、相似的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质和判定等几何知识；解题的关键是识别旋转过程中的不变量，通过构造相似三角形推导线段比例关系． 15．在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $旋转 1. 旋转的基本概念与性质 一定义：图形绕定点（旋转中心)沿一定方向转动一定角度的变换，不改变图形的形状、大小， 只改变位置。 -性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应线 段、对应角分别相等。 2.中心对称与中心对称图形 -中心对称：把一个图形绕某点旋转180°，能与另一个图形重合，这两个图形关于该点中心对称： 对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 -中心对称图形：绕自身某点旋转180°后能与自身重合的图形（如平行四边形、圆等），常考与 轴对称图形的区分判断。 3.坐标系中的旋转规律 平面直角坐标系内，点(x,y)绕原点旋转的常见情况： - 旋转90°：顺时针得(y,-x),逆时针得(-y,x); -旋转180°：得(-x,-y）(与中心对称规律一致)。 安徽中考常结合平面直角坐标系，考查点或简单图形旋转后的坐标求解。 4.旋转的作图与综合应用 -作图步骤：确定旋转中心、旋转方向和角度→找出图形关键点一→分别将关键点绕旋转中心 旋转对应角度→连接对应点得到旋转后的图形。 -综合题型：与三角形全等/相似、四边形、圆结合，利用旋转构造辅助线，求解线段长度、角度 或证明线段关系；常作为几何压轴题的解题突破口。 旋转的作图 一、解答题 1.在如图所示的正方形网格中，按要求画出图形， ●】 (1)画出ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△AB,C; (2)画出与ABC关于点O对称的△A,B,C2. 2.如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC的三个顶点的坐标分别 为A-2,2,B-4,-2,C(-1,-1,B'(8,4. (1)以点A为旋转中心，将AC逆时针旋转90°得到AD,写出点D的坐标； (2)将ABC以点O为位似中心放大得到△A'B'C',点B的对应点为B,请画出△A'B'C'. 3.如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-2),B-5,-4),C(-1,-5) (1)画出ABC绕原点顺时针旋转90的△A,B,C,则点C的坐标为 (2)以点O为位似中心，在第一象限内，将ABC放大为原来的2倍，得到△A,B,C2,请在网格中画出 △4，B,C2,则点B2的坐标为 (3)点P是x轴上一点，若点P到A,B的距离之和最小.请写出点P的坐标. 4.如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，ABC的三个顶点分别是A(1,3),，B(4,4), C(2,1). (1)把ABC向左平移5个单位后得到对应的△AB,C,请画出平移后的△A,B,C; (2)把ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△AB,C2,请画出旋转后的△A,B,C2; (3)观察图形可知，△AB,C与△A,B,C关于点(，)中心对称. 5.如图，在平面直角坐标系中. 4 3 2 ---B -5-4-3-2-10 1 2345x 2 -4 -5 (1)画出ABC绕原点按顺时针方向旋转90°后的△A'B'C'; (2)求点A旋转到点A所经过的路线长.（结果保留） 6.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A2,3),B(3,2),C(1,I. 543 2 1 -5-43-2-10 12345x B 2 3 4 5 (1)将ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A,B,C,请画出旋转后的△AB,C,并直接写出顶点A, B,C的坐标： (2)若△ABC与ABC关于点Q对称，请在图中标出对称中心Q,并写出点Q的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,-1)、B(-5,-4),C(-1,-3) 6 5 -6-5 4-3-2-10 123456x B h (1)画出ABC绕原点按顺时针方向旋转90°后得到的△A'B'C': (2)写出点C的坐标； (3)求出A旋转到点所经过的路线长（结果保留刀）· 8.每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上 y (1)写出A、B、C的坐标. (2)以原点O为对称中心，画出ABC关于原点O对称的△A,BC. (3)将ABC绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后的△AB,C,·并求出在旋转的过程中AB扫过的面积. 9.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为A2,4),B1,2,C(5,3). 5-4-3-2-1012345x -2 -5 (1)画出ABC关于原点O对称的△AB,C; (2)将ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A,B,C2· ①画出△A,B,C,并写出点B的坐标： ②直接写出线段AB扫过的面积. 10.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△0AB的三个 顶点0(0,0)，A(4,1,B3,4)均在格点上. 4 3 -5-4-3210 12 345x 2 4 (1)画出△OAB以原点O为中心的中心对称图形△OAB,,并写出点A的坐标： (2)画出将△0AB绕原点O顺时针旋转90°得到的△OAB2,并写出点A的坐标. 11.如图，ABC三个顶点的坐标分别为A1,1,B(4,2),C(3,4. (1)请画出ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转180°后得到的图形△A'B'C'(A的对应点为，B的 对应点为B,C的对应点为C); (2)求ABC的面积. 12.在平面直角坐标系中，已知A2,0),B(3,1,C(1,3). (1)将ABC向左平移2个单位，画出平移后的△A,B,C1; (2)以A点为旋转中心，将△AB,C,逆时针方向旋转90°得△AB,C2,画图，并写出C,的坐标； (3)在(2)旋转过程中线段AB扫过的面积为 13.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3,（每个小方格都是 边长为1个单位长度的正方形)， 3 2 1 B 5-4-3-2-1012345衣 -2 -3 (1)请画出ABC关于x轴对称的△AB,C,并写出点A的坐标： (2)请画出ABC绕点B逆时针旋转90后的△A,BC2; (3)求出(2)中C点旋转到C,点所经过的路径长（结果保留根号和刀）， 旋转综合 一、解答题 1.如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到矩形AEFG,点B的对应点E恰好落在边 CD上，点C、D的对应点分别为点R、G,连接BE,求证：∠CBE=∠BAE. 2.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点EE,A,D在同一条直线 上)，发现BE=DG且BE⊥DG. 4 D G B 图① G B 图② 图③ 图④ 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图②），还能得到BE=DG吗？若能，请给出证明， 请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如 图③)，试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，BE=DG; 份如到0，北存某中的正方形分别收写戏矩形4G精范形8CD,日怎治-子前直接写出 BE与DG满足的数量关系. 3.如图1，在ABC中，∠A=90°，AB=AC=√2，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2-√2 ,连接DE.现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为a(0°<a<360°)，分别连接CE、BD. B F D D 图1 图2 图3 (1)如图2，当0°<a<90°时，求证：CE=BD: (2)如图3，当a=90°时，延长CE交BD于点F,求证：CF垂直平分BD: (3)连接CD,在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角a的度数， 4.在ABC中，BD⊥AC于点D,点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP,将线段PA绕点P顺 时针方向旋转a,a=LABC,得到PE,连接CE. 图1 图2 图3 (I)【观察发现】如图1，当BA=BC,且LABC=60°时，BP与CE的数量关系是_，BC与CE的位 置关系是 (2)【猜想证明】如图2，当BA=BC,且∠ABC=90°时，(1)中的结论是否成立？若成立，请予以 证明；若不成立，请说明理由.（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理） (3)【拓展探究】在(2)的条件下，若AB=4V2,AP=5,请直接写出CE的长. 5.正方形ABCD的边长为5，E,F分别是AB,BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针 旋转90°，得到△DCM. D B (1)求证： EF=AE+CF； (2)当 AE=2 时，求EF 的长. 6.如图，点M、N分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，且 $$\angle M A N = 4 5 ^ { \circ } ，$$ 把 △ADN 顺时针旋转一定角度 后得到 △ABE D N E B M C (1)填空： △ADN 绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到 △ABE； (2)求证： △AEM △ANM； (3)若 BM=3，DN=2， ，求正方形 ABCD 的边长. 7.如图1，正方形 ABCD 的边长为5 ，点E为正方形CD边上一动点，过点B作 BP⊥AE 于点P，将AP绕 点A逆时针旋转 $$9 0 ^ { \circ }$$ 得 AP'， ，连接P'D . D E C D E C F P P A B A B 备用图 (1)证明： PB=P'D. (2)延长BP交P'D于点F.判断四边形 AP'FP 的形状，并说明理由； (3)若 DF=1， ，求线段 AP 的长度 8.将矩形 ABCD 绕点A顺时针旋转 $$\alpha \left( 0 ^ { \circ } < \alpha < 3 6 0 ^ { \circ } \right) ，$$ ，得到矩形 AEFG. C D F C D E G B A B A 4 备用图 (1)如图，当点E在BD 上时 ① 若 $$\angle B A E = 6 2 ^ { \circ } ，$$ 则 ∠DAG=