考点07 反比例函数 学案 2026年中考数学一轮基础复习（安徽专用）

反比例函数 1． 解析式求解 - 核心方法：待定系数法，已知函数图像上一点坐标，代入求k值；k的几何意义为双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，所得矩形/三角形的面积与|k|相关（三角形面积为，常以填空、选择题考查。 2． 图像与性质 - 图像分布：k>0时，双曲线在一、三象限；k<0时，在二、四象限，多为选择题判断图像位置。 - 增减性：在每个象限内，k>0时y随x增大而减小，k<0时y随x增大而增大，需强调“在每个象限内”的前提，避免忽略范围出错。 3． 与一次函数的综合应用 - 考查两类函数图像的交点问题：联立解析式求解交点坐标，结合图像判断不等式（或<）的解集，是解答题高频考法。 - 结合几何图形（如三角形、矩形），利用函数性质求线段长度、图形面积，需注意自变量的取值范围。 4． 实际应用 - 结合反比例关系的实际场景（如路程一定时速度与时间、压强一定时压力与受力面积），建立函数模型解决实际问题，难度中等。 1．反比例函数的图像与性质 一、单选题 1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图．下列说法正确的是（　　） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 将代入求出U的值，即可判断A，B，C，利用反比例函数的增减性可判断D． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D正确， 故选：D． 2．关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象关于直线轴对称 D．的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象关于原点对称，位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，据此逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、当时，，即图象经过点，原说法正确，不符合题意； B、反比例函数图象关于原点中心对称，原说法正确，不符合题意； C、若满足，则交换得满足，即，与原方程一致，即图象关于直线轴对称，原说法正确，不符合题意； D、因为，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，原说法错误，符合题意． 故选：D． 3．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 4．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 5．点，在反比例函数，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由可知反比例函数图象经过第二、四象限，通过判断点A，B的横坐标的正负性可得点A，B所在的象限，即可解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ∵， ∴反比例函数图象上的点位于第二象限，点位于第四象限， ∴． 故选：A． 6．若点都是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． 结合已知条件可知该反比例函数的图象在第一、三象限，题中已知，则在第一象限，在第三象限，至此，结合各个象限中点的坐标特征即可得解． 【详解】解：反比例函数为，， 函数图象在第一、三象限， ， 点在第一象限，点在第三象限， ，， ． 故选：B． 二、填空题 7．反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图像、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取，进而求得k的值即可． 【详解】解：由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取， 则． 故答案为：（答案不唯一）． 8．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的中心对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称，因此它们的交点也关于原点对称，据此解答即可． 【详解】解：正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∵其中一个交点的坐标为， ∴另一个交点为 ． 故答案为：． 9．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数图象的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．根据正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 10．已知，，在双曲线上，则，，的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，当时，函数图像分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小．当时，函数图像分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大．熟练掌握函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数的增减性及图像所在象限即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴图像分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么的值为_____（写出一个符合条件的的值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，由点A和点B的横坐标大小关系及，可知函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，故． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且，， ∴在同一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴k可取任意正数，如． 故答案为：1（答案不唯一）． 12．已知点，，在反比例函数的图象上，当时，，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数的图象分布的象限，以及在每个象限内的增减性，根据可得到三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第三象限，且在第一象限， ∴， 故答案为：． 13．反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而减小，请写出一个符合条件的的整数值是________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在每个象限内随的增大而减小，可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内随的增大而减小， ∴， ∴， 因此符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14．已知反比例函数的图象在所在象限内y的值随x的值增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 【详解】解；∵反比例函数的图象在所在象限内，y的值随x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，指数部分应为，且图象在第二、四象限时比例系数小于0． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得，或， 又∵图象在第二、四象限， ∴比例系数，即， ∴不符合，符合， 故答案为． 2．反比例函数的解析式求解 一、单选题 1．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】解：∵反比例函数图象经过点， ∴设解析式为，代入得， ∴， ∴解析式为． A．当时，，不符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，符合题意． 故选：D． 2．若反比例函数的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而判断出反比例函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，再求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， 在中，当时，， ∴当时，函数值的取值范围是， 故选：D． 3．若点在反比例函数（k为常数，且）的图像上，则（   ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 将点代入反比例函数解析式即可求得k的值． 【详解】解：∵点在函数上， ∴当时，，即，解得：． 故选D． 4．若反比例函数（k为常数，且）的图象经过点和点，则n的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标． 利用反比例函数图象上点的坐标满足函数关系式，先由点A求出k，再代入点B求n． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴． 故选：C． 5．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入求值即可．将点的坐标代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 代入得， ． 故选：D． 6．若双曲线（k是常数且）经过点，则下列也在该双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质；将点P代入求出k值，再验证各选项点是否满足方程． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得， ∴双曲线方程为． A、：，该选项不符合题意； B、：，该选项不符合题意； C、：，该选项不符合题意； D、：，该选项符合题意； 故选：D． 7．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为：， 由图象可知：图象过点， ∴， ∴； 故选D 8．已知正比例函数的图像与反比例函数图像相交于点，下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的解析式是 B．两个函数图像的另一交点坐标为 C．当或时， D．反比例函数随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，涉及求函数解析式，函数图像的交点，函数的性质，掌握这些知识点是关键；由点可求正比例函数和反比例函数的解析式，再逐一判断选项． 【详解】解：设正比例函数， ∵点在正比例函数上， ∴， ∴， ∴； 设反比例函数， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴； A错误，反比例函数解析式为，不是； B错误，联立和，即， 解得：， 则两图像交点为和， ∴两个函数图像的另一交点坐标为，不是； D错误，反比例函数在每个象限内y随x增大而减小，但选项未指定区间，表述不准确； C正确，由于两图像交点为和， 当或时，． 故选C． 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图像交于点B，垂直于x轴，垂足为点C，且．求反比例函数的解析式____________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，求反比例函数解析式，求出点B坐标是解题的关键． 标记直线与y轴交点为点D，根据一次函数解析式求出点D，A坐标，再证，根据对应边成比例求出，得出点B坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式． 【详解】解：如图，直线与y轴交于点D， 对于，令，得， 令，得，解得， ，， ，， ， ，， 轴， ， ，， ， ，即， ， ， 设反比例函数的解析式为， 将代入，得：， 解得， 反比例函数的解析式为， 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，我们称任意一点的横纵坐标之和为“坐标和”，用字母H表示．如的坐标和为3，记作；已知为反比例函数上一点，为反比例函数上一点，若且，则称x为点B相对于点A的“和谐数”．若时，点B相对于点A的“和谐数”为，则_________；若，时，（a，b均为正整数），则点B相对于点A的“和谐数”为的概率为_________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用和概率问题，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据“坐标和”定义计算点的坐标和，再根据反比例函数性质得，代入“和谐数”的两个定义条件，得到点横纵坐标的和与积，利用一元二次方程根与系数的关系构造方程，求解得的值； 代入“和谐数” 到定义条件，得到点横纵坐标的和与积，构造一元二次方程，通过判别式判断是否存在（即方程是否有实数解），列出和的所有可能取值，统计满足判别式条件的组合数，用满足条件的组合数除以总组合数，得到概率． 【详解】解：，在上， 故，， 在上， 故，， 由“和谐数”定义，且， 当，时：，； 将代入得：， 整理得：， 解得； 由“和谐数”定义，，故： ，； 将代入整理得： ， 判别式， 要求，即分子， 的取值为2，3，4，5（共4种），的取值为8，9，10，11（共4种）， 总情况数为， 分情况讨论： 当时，，分子为，所有都满足，对应，，，，共4种， 当时，，分子为，当，9，10，11时，分子分别为17，28，41，56，均，对应，，，，共4种， 当 时，，分子为，当，9，10，11时，分子分别为，，，，对应满足条件， 当时，，分子为，当，9，10，11时，分子分别为，，，，均，无满足条件的， 符合条件的情况数为， 故概率为． 故答案为：，． 11．如图，在平面直角坐标系中．的顶点A，C在坐标轴上，，，，反比例函数的图象经过点B．则k的值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求得点B的坐标是解题的关键． 过作于，可得，再求解，证明，从而得到，，，从而可得答案． 【详解】解：过作于， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数的图象经过点B， ． 故答案为：3． 12．如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_____． 【答案】 【分析】作轴于点C，作轴于点D，易证，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键． 【详解】解：作轴于点C，作轴于点D． 则 则 又 ∵第二象限的点在反比例函数上， ，则， 由图可知， ∴， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，的平分线与相交于点，反比例函数经过点，那么的值为______． 【答案】 【分析】作，借助角平分线性质与全等三角形可得，根据可求出，设的坐标为，用表示、，根据勾股定理列方程求出，进而求出的坐标，将坐标代入反比例函数即可算出值． 【详解】解：如图，过点作， 由、坐标和勾股定理，可得，，，， 平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的坐标为， 点在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，结合线段关系和勾股定理列方程求的坐标是解题关键． 14．如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键.依据题意，由是的中点，，从而，进而设，再表示出，进而代入反比例函数解析式可以得解． 【详解】解：由题意，∵由是的中点，， ∴， 设， 又， ∴， 又∵在函数， ∴， ∴． 故答案为：． 3．反比例函数的实际应用 一、解答题 1．水箱是一种储存水的容器，在各个领域都有广泛用途．某水箱的容量一定，注入水的流量与注满水箱的时间成反比例关系，且当时，． (1)求关于的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当时，求水流量的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）设P与t之间的函数表达式为，根据当时，，代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， ∵当时，， ， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：将代入中， 得， 水流量的值为． 2．如今太阳能进入了千家万户，一个太阳能热水器，每次排完水后再进行蓄水，且在蓄满水后能连续排水的时间y（分钟）与每分钟的排水量x（升）之间满足反比例函数关系，当每分钟的排水量x为12升时，排水时间y为20分钟． (1)求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)48分钟 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确地列式是解题的关键． （1）设，把，代入求解即可； （2）当时，求得y的值即可． 【详解】（1）解：设， 把，代入，得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴该热水器连续排水的时间是48分钟． 3．根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【答案】(1) (2) 电阻 的值为 4 Ω 【分析】本题考查反比例函数的应用．熟练掌握电路中电流、电压、电阻的关系，是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将代入函数关系式解出即可． 【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，且，当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得， 答：电阻R的值为． 4．笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）与电磁波的频率（单位：）之间为反比例函数的关系，已知当波长时，频率． (1)求电磁波的频率关于电磁波的波长的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：设频率关于电磁波的波长的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． 答：当时，此电磁波的波长为． 5．榆林山地苹果具有色泽艳丽，脆甜多汁，耐储藏等特点．金秋收获季，李叔叔承包的苹果园喜获丰收，他雇用的工人们平均每天摘的苹果y（吨/天）与摘完这片果园所需时间x（天）之间成反比例函数关系，其图像如图所示．请你求出这个反比例函数的表达式；当工人们每天摘苹果吨时，摘完这片果园的苹果要多少天？ 【答案】，摘完这片果园的苹果要天． 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用． 根据待定系数法求出反比例函数解析式，把代入函数解析式求出函数解析式即可． 【详解】解：设与的函数解析式为， 依题意得：， 即 ∴与的函数解析式为， 把代入得：. 即摘完这片果园的苹果要天． 6．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点的注意力指标数是________． (2)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为，将代入可得双曲线的解析式，把代入解析式中即可得解； （2）当时，设的解析式为，代入，两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 将点代入得， ， 当时，， ， 由图可知：点的注意力指标数是． 故答案为：． （2）解：由（1）可知， 当时，设的解析式为， 将点、代入得： ，解得． ． （3）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，， 解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． 当时，注意力指标数都不低于． 而， 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 7．如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：），动力臂长为（单位：）．（杠杆平衡时，动力×动力臂阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计） (1)求关于的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)王先生若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】(1) (2)撬动石头至少需要的力 (3)不能撬动这块石头，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意中给出的等式，表示出两变量之间的关系是解题关键． （1）根据杠杆定理的等式，表示出x与y的关系即可； （2）代入，求此时y的值即可； （3）根据x的取值范围，求出y的取值范围，与王先生的要求进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得，则， 与的函数表达式为． （2）当时，， 当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． （3）他不能撬动这块石头， 理由如下：， 又， 根据反比例函数的增减性， ， ∵， 他不能撬动这块石头． 8．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)求出注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式； (2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟? 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的就是函数图像的基本应用问题，属于基础题型．求函数解析式的时候我们用的就是待定系数法，在设函数关系式的时候一定要正确． （1）利用待定系数法分别求出函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式分别求出x的值，然后进行作差得出答案． 【详解】（1）解：设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴解析式为：， 设所在双曲线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴曲线的解析式为：， ； （2）解：将代入，得，解得：， 将代入，得，解得．， ， ∴完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟． 9．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式． (2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议． 【答案】(1) (2)近视眼镜度数小于400度时符合医生的建议 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，其中，将代入即可求解； （2）求出时对应的D的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：设，其中， 将代入，得：， 解得， 故度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式为． （2）解：当时，， 由图可知，D随f的增大而减小， 故近视眼镜度数小于400度时符合医生的建议． 10．为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：，利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，设y与x的函数关系式为：， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：将代入得：，解得：， 代入得，解得：． 综上，或； （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 11．“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的变化关系如下表： /（） … … (1)根据表中数据，求电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于且小于时，且驾驶人员血液中酒精浓度约等于其呼出气体中酒精浓度的100倍，该驾驶员为饮酒后驾驶．当测酒仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内，驾驶员为饮酒后驾驶？ 【答案】(1) (2) 当测酒仪中核心部件电阻的阻值在范围内，驾驶员为饮酒后驾驶 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是通过表格数据判断函数类型，再利用待定系数法确定函数关系式，最后根据函数的增减性解决实际范围问题． （1）通过计算表中与的乘积，发现结果均为，故与成反比例函数关系，即； （2）根据饮酒驾驶的血液酒精浓度范围（血液浓度 ），结合血液浓度与呼出气体浓度的比例关系（血液浓度呼出浓度），得出呼出浓度的范围为，再代入反比例函数中结合函数的增减性求出的范围． 【详解】（1）解：根据表格数据，计算： ，，，， ，即， 电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式为． （2）解：：饮酒驾驶条件为血液酒精浓度不低于且小于， 血液浓度 呼出浓度， ，即， 观察表格可知，当时，， 当时，， 对于， 随增大而减小，且， ． 答：当测酒仪中核心部件电阻的阻值在范围内，驾驶员为饮酒后驾驶． 12．【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②减小；（3）①见解析；②． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及根据函数关系式求值、绘制函数图象以及根据图象求解不等式的解集，用到的知识点有反比例函数的图象与性质、函数值的计算等． （1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）根据函数的表达式，通过确定两个点的坐标，然后连线画出函数的图象；根据所绘制的两个函数的图象，找出当时，函数的图象在函数的图象下方(包括相交)部分对应的的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得， 故答案为：；． （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 故答案为：减小． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图： ②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数 1． 解析式求解 - 核心方法：待定系数法，已知函数图像上一点坐标，代入求k值；k的几何意义为双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，所得矩形/三角形的面积与|k|相关（三角形面积为，常以填空、选择题考查。 2． 图像与性质 - 图像分布：k>0时，双曲线在一、三象限；k<0时，在二、四象限，多为选择题判断图像位置。 - 增减性：在每个象限内，k>0时y随x增大而减小，k<0时y随x增大而增大，需强调“在每个象限内”的前提，避免忽略范围出错。 3． 与一次函数的综合应用 - 考查两类函数图像的交点问题：联立解析式求解交点坐标，结合图像判断不等式（或<）的解集，是解答题高频考法。 - 结合几何图形（如三角形、矩形），利用函数性质求线段长度、图形面积，需注意自变量的取值范围。 4． 实际应用 - 结合反比例关系的实际场景（如路程一定时速度与时间、压强一定时压力与受力面积），建立函数模型解决实际问题，难度中等。 1．反比例函数的图像与性质 一、单选题 1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图．下列说法正确的是（　　） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是 C．当时， D．当时， 2．关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象关于直线轴对称 D．的值随值的增大而增大 3．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．定义新运算例如：．则函数的图象大致是（   ）． A． B． C． D． 5．点，在反比例函数，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法判断 6．若点都是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 8．若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是______． 9．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_________． 10．已知，，在双曲线上，则，，的大小关系是________． 11．已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么的值为_____（写出一个符合条件的的值即可）． 12．已知点，，在反比例函数的图象上，当时，，，的大小关系是________（用“”连接）． 13．反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而减小，请写出一个符合条件的的整数值是________． 14．已知反比例函数的图象在所在象限内y的值随x的值增大而增大，那么m的取值范围是________． 15．已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 2．反比例函数的解析式求解 一、单选题 1．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（    ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若点在反比例函数（k为常数，且）的图像上，则（   ）． A．4 B．5 C．6 D．7 4．若反比例函数（k为常数，且）的图象经过点和点，则n的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C．6 D．8 6．若双曲线（k是常数且）经过点，则下列也在该双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 7．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是（   ） A． B． C． D． 8．已知正比例函数的图像与反比例函数图像相交于点，下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的解析式是 B．两个函数图像的另一交点坐标为 C．当或时， D．反比例函数随的增大而减小 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图像交于点B，垂直于x轴，垂足为点C，且．求反比例函数的解析式____________． 10．在平面直角坐标系中，我们称任意一点的横纵坐标之和为“坐标和”，用字母H表示．如的坐标和为3，记作；已知为反比例函数上一点，为反比例函数上一点，若且，则称x为点B相对于点A的“和谐数”．若时，点B相对于点A的“和谐数”为，则_________；若，时，（a，b均为正整数），则点B相对于点A的“和谐数”为的概率为_________． 11．如图，在平面直角坐标系中．的顶点A，C在坐标轴上，，，，反比例函数的图象经过点B．则k的值为__________． 12．如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，的平分线与相交于点，反比例函数经过点，那么的值为______． 14．如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是_______． 3．反比例函数的实际应用 一、解答题 1．水箱是一种储存水的容器，在各个领域都有广泛用途．某水箱的容量一定，注入水的流量与注满水箱的时间成反比例关系，且当时，． (1)求关于的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当时，求水流量的值． 2．如今太阳能进入了千家万户，一个太阳能热水器，每次排完水后再进行蓄水，且在蓄满水后能连续排水的时间y（分钟）与每分钟的排水量x（升）之间满足反比例函数关系，当每分钟的排水量x为12升时，排水时间y为20分钟． (1)求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少分钟？ 3．根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 4．笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）与电磁波的频率（单位：）之间为反比例函数的关系，已知当波长时，频率． (1)求电磁波的频率关于电磁波的波长的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 5．榆林山地苹果具有色泽艳丽，脆甜多汁，耐储藏等特点．金秋收获季，李叔叔承包的苹果园喜获丰收，他雇用的工人们平均每天摘的苹果y（吨/天）与摘完这片果园所需时间x（天）之间成反比例函数关系，其图像如图所示．请你求出这个反比例函数的表达式；当工人们每天摘苹果吨时，摘完这片果园的苹果要多少天？ 6．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点的注意力指标数是________． (2)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 7．如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：），动力臂长为（单位：）．（杠杆平衡时，动力×动力臂阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计） (1)求关于的函数表达式． (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)王先生若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 8．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)求出注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式； (2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟? 9．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求出度数（度）关于镜片焦距（米）的反比例函数解析式． (2)为了保护视力，医生建议镜片焦距不宜低于0.25米，通过计算判断近视眼镜度数在什么范围内符合医生的建议． 10．为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 11．“喝酒不开车，开车不喝酒”，交警经常选择使用测酒仪来检测驾驶人员是否酒后开车，测酒仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的变化关系如下表： /（） … … (1)根据表中数据，求电阻的阻值与驾驶人员呼出的气体中酒精浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)查阅资料发现，当驾驶人员血液中酒精的质量不低于且小于时，且驾驶人员血液中酒精浓度约等于其呼出气体中酒精浓度的100倍，该驾驶员为饮酒后驾驶．当测酒仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内，驾驶员为饮酒后驾驶？ 12．【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 学科网（北京）股份有限公司 $