第07讲 分式方程（复习讲义，3考点13题型4重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦分式方程专题，覆盖概念解法、含参问题、实际应用三大核心考点，以“基础概念-综合应用-重难突破”递进架构组织知识，通过考情剖析、考点解析、真题训练等环节，帮助学生系统突破分式方程复习难点。 特色在于分层进阶设计与跨学科融合，基础巩固到全国新趋势练习适配不同学生，物理类跨学科题型、新定义题型培养数学眼光与应用意识，如工程问题建模训练模型意识，参数分类讨论强化推理能力，助力师生高效提升应考能力，精准把控复习节奏。

第二章 方程(组)与不等式(组) 第07讲 分式方程 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 分式方程的概念及解法 题型01 分式方程的概念 题型02 解分式方程中判断去分母是否正确 题型03 解分式方程 命题点二 根据分式方程解的情况求参数 题型01 已知分式方程的解求参数 题型02 已知分式方程增根或无解求参数 题型03 已知分式方程的解正负求参数 题型04 已知分式方程的整数解求参数 命题点三 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02 行程问题 题型03 工程问题 题型04 销售利润问题 题型05 和差倍问题 题型06 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 21 突破一 已知分式方程与不等式(组)的解情况求参数(整数) 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 突破三 解分式方程中新定义类题型 突破四 分式方程中探究类题型 06·优题精选·练能提分 27 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 分式方程的概念及解法 湖南省T5 长沙卷 T13 湖南省T13 了解分式方程的概念；掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道解分式方程时可能产生增根的原因；掌握分式方程验根的基本方法。 根据分式方程解的情况求参数 / / 能根据分式方程的解的情况（如解为正数、无解、有增根等）确定方程中待定系数的值或取值范围；理解分式方程有解、无解与方程变形过程中产生增根的区别。 分式方程的应用 / / 能根据具体问题中的数量关系列出可化为一元一次方程的分式方程，并求解；能对分式方程的实际意义进行检验，并解释结果的合理性。 命题预测 2026年湖南省中考数学分式方程模块命题将延续“概念与解法考查基础性、应用问题贴近生活实际”的特点。题型预计仍以填空题、选择题和解答题中的方程应用题为主。分式方程的概念及解法强调规范步骤和验根意识；分式方程的应用多与二元一次方程组、一元一次不等式结合，考查建立模型、解决实际问题的综合能力。根据分式方程解的情况求参数这一考点在近年真题中未直接出现，但仍需作为重要考点进行备考，注意理解增根产生的原因及对参数取值的影响。 备考建议 备考分式方程模块时，应围绕核心考点进行针对性训练：熟练掌握去分母、求解整式方程、检验增根的完整步骤；强化从生活情境中抽象出分式方程模型的能力，关注销售利润、工程进度、行程问题等典型背景；加强对含参数分式方程有解、无解、有增根等情况的分类讨论练习，明确分母不为零的根本限制条件，确保解题过程的严谨性和完整性。 考点一 分式方程的概念及解法 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，核心区别于整式方程(分母不含未知数)。示例：是分式方程；是整式方程。 2.核心解题思想 转化思想：通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 3.增根的概念 增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程的最简公分母会使分母为0，导致分式无意义，因此增根不是原分式方程的解。 4.解分式方程步骤（以为例） 1.找最简公分母：分析各分母的因式，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 本题分母为x和x-1,最简公分母为x(x-1)。 若分母是多项式，需先因式分解。 2.去分母，化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘(包括不含分母的常数项)，约去分母得到整式方程。（本题两边同乘，得：） 3.解整式方程：按照一元一次方程(或其他整式方程)的解法求解。 本题展开：→移项得：。 4.验根(必不可少的步骤)：将整式方程的解代入最简公分母检验： ①若最简公分母≠0,则是原分式方程的解； ②若最简公分母=0,则是增根，原方程无解。 本题把x=3代入x(x-1),得,故是原方程的解。 5.写出结论：明确原方程的解或无解的最终结果。 1．（2025·湖南省卷·真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南省卷·真题）分式方程=1的解是 ． 3．（2025·长沙卷·真题）分式方程的解为 ． 考点二 根据分式方程解的情况(增根、无解、正负解)求参数 1.已知分式方程有增根，求参数 核心逻辑：增根的本质是使最简公分母为0的根，且是整式方程的解。 【解题步骤】 ①找增根：令最简公分母等于0，求出所有可能的增根； ②化整式方程：分式方程两边乘最简公分母，得到整式方程； ③代根求参：将增根代入整式方程，解方程即可求出参数的值。 2.已知分式方程无解，求参数 核心逻辑：分式方程无解分两种情况，需分类讨论，缺一不可： 情况1：整式方程的解是增根(即解使最简公分母为0)； 情况2：整式方程本身无解(仅当整式方程是0·x=a且a≠0时成立)。 【解题步骤】 ①去分母转化为整式方程； ②分两类讨论： ★整式方程有解，但解是增根→按“题型1”求参数； ★整式方程无解→令整式方程的一次项系数为0,常数项不为0,求参数； ③整合两类情况的参数值。 1．（2025·湖南常德石门·模拟）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 考点三 分式方程的应用 1.解分式方程实际应用的一般思路 步骤 具体操作 关键注意事项 ①审题 标注已知量、未知量，梳理各量之间的公式关系 （如路程 = 速度 × 时间） 抓住“相等”“多/少“提前”/推迟”“相同” 等关键词，锁定等量关系 ②设未知数 ① 直接设元：求什么设什么（如求速度设为xkm/h） ② 间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量（如求时间设速度为x） 设未知数时要带单位 ③列分式方程 根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程 确保方程两边的量纲统一，避免单位混乱 ④解方程 按照 “找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程” 的步骤求解 去分母时，方程中所有项都要乘最简公分母，常数项不能漏乘 ⑤双重验根 ① 增根检验：将解代入最简公分母，若为 0 则是增根，舍去 ② 实际检验：判断解是否符合实际意义（如速度、单价、时间不能为负或 0） 双重验根是得分关键，缺一不可 ⑥作答 写出最终结论，带单位 结论要与题目所求一致，语言简洁规范 2.与分式方程有关应用题的常见类型： 1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 2．（2025·湖南湘潭·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）在国家大力推动低空经济高质量发展的战略背景下，某航摄公司为扩大业务，计划购买，两款无人机．已知款无人机的单价比款无人机的单价贵3500元，用250000元购买款无人机的架数是用240000元购买款无人机架数的． (1)求款无人机和款无人机的单价； (2)航摄公司采购时恰逢该厂家进行促销：A款无人机八折优惠．若购买A，B两款无人机共120架，且款无人机架数不少于款无人机架数的一半，请问分别购买，款无人机多少架时，航摄公司花费最少？ 命题点一 分式方程的概念及解法 ►题型01 分式方程的概念 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 【典例】（2025·湖南岳阳·模拟预测）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1-1】（2025·湖南永州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 【变式1-1-3】（2025·湖南永州·中考模拟）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． ►题型02 解分式方程中判断去分母是否正确 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错点类型 具体表现 判断方法 漏乘常数项或整式项 只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项 检查方程中所有项是否都乘了最简公分母，无分母的项也要乘 最简公分母找错 1.分母是多项式时，未因式分解直接找公分母 2. 忽略分母间的公因式 分母是多项式时，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积作为最简公分母 符号处理失误 1.分母互为相反数时（如x−2和2−x），未统一符号直接乘 2.去分母时忽略分子的括号，导致符号错误 1. 遇到a−b和b−a，先转化为相同形式（提取负号） 2. 分子是多项式时，去分母后保留括号，再去括号 错用 “约分” 代替去分母 直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构 去分母必须是方程两边同乘最简公分母，不能直接交叉约分；约分仅适用于分式内部的分子分母 忽略分母不为0 的前提 去分母后未考虑最简公分母可能为 0，直接判定整式方程的解是原方程的解 去分母是 “等价变形” 的前提是最简公分母≠0，因此去分母后必须验根，不能直接判定解的有效性 【典例】（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 【变式1-2-1】（2025·湖南张家界·模拟预测）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(     ) A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x﹣2＝3(2x﹣1) D．x+2＝3(2x﹣1) 【变式1-2-2】（2025·湖南益阳·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2-3】（2025·湖南郴州·模拟预测）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 解分式方程 解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解. ①去分母，不漏乘，分母是多项式，因式分解找最简公分母； ②分子是多项式括起来，互为相反数先转化； ③解整式，验根不可少，最简公分母零就是增根； ④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟）解分式方程：． 【变式1-3-1】（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解是 ． 【变式1-3-2】（2025·湖南郴州·模拟）解方程：． 【变式1-3-3】（2025·湖南永州·模拟）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______ 得．                            第一步 去括号，得．                    第二步 移项、合并同类项，得．                    第三步 系数化为1，得．                            第四步 (1)第一步中横线处应填__________，这一步的依据是__________． (2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 命题点二 根据分式方程解的情况求参数 ►题型01 已知分式方程的解求参数 已知分式方程的解求参数，就是把它的解代入原方程中去求参数。 【典例】（2025·湖南怀化·三模）关于的分式方程的解是，那么的值是 . 【变式2-1-1】（2025·湖南·模拟预测）已知是分式方程的解，那么实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1-2】（2025·湖南张家界·中考模拟）若关于的分式方程 的解为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式2-1-3】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． ►题型02 已知分式方程增根或无解求参数 已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下： 概念 本质特征 关键区别 增根 1.是去分母后整式方程的解 2.代入原分式方程的最简公分母= 0（使分母无意义） 增根是“整式方程的解，但不是分式方程的解”；有增根≠分式方程无解 无解 分式方程无解分两类情况： 1.整式方程的解都是增根 2.去分母后的整式方程本身无解（仅一元一次方程中 0⋅x=a，a=0时成立） 无解包含 “有增根导致无解” 和 “整式方程无解导致无解” 两种情况 【典例】（2025·湖南长沙·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【变式2-2-1】（2025·湖南·模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【变式2-2-2】（2025·湖南衡阳·模拟）如果关于x的方程无解，则m的值是 ． 【变式2-2-3】（2025·湖南岳阳·模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． ►题型03 已知分式方程的解正负求参数 已知分式方程的解为正数或负数，求参数的取值范围，是中考分式方程含参问题的高频题型。解题核心是 “先解整式方程，再结合解的符号限制 + 增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法如下： 一、 通用解题步骤（四步法） 去分母，化分式方程为整式方程方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为一元一次整式方程（形如ax=b) 注意：去分母时每一项都要乘，常数项、整式项不能漏乘；分母是多项式先因式分解，分母互为相反数先统一符号。 二、解整式方程，用参数表示解 把参数当作已知数，解出整式方程的解，结果用含参数的代数式表示（如x=m+2，m为参数） 注意：若整式方程的一次项系数含参数，需先讨论系数是否为0： 若系数为 0 且常数项≠0 → 整式方程无解，原分式方程也无解； 若系数为 0 且常数项 = 0 → 整式方程有无数解，结合分母限制判断是否符合题意。 三、列不等式，限制解的符号 若解为正数 → 列不等式：解大于0； 若解为负数 → 列不等式：解大于0； 解不等式，初步确定参数的取值范围。 四、排除增根，补充限制条件 增根是使最简公分母为 0 的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母 ≠ 0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【变式2-3-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2-3-2】（2025·湖南永州·模拟）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2-3-3】（2025·湖南·模拟预测）若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． ►题型04 已知分式方程的整数解求参数 1.忽略参数的限定条件 如例题变式中，题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。 规避：审题时圈画参数的限定词（如 “整数”“正整数”“负整数”）。 2.未排除增根直接求参数 只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。 规避：步骤 4 是必做环节，增根一定要排除。 3.解的形式为分式时，不会分析倍数关系 如解为且为整数→m+3必须是2的倍数，即 技巧：若 4.忽略整式方程无解的情况 当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为 0 的情况，直接求解导致漏解或错解。 规避：先讨论系数是否为 0，再分析整数解条件。 【典例】（2025·湖南衡阳衡南·二模）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【变式2-4-1】（2025·湖南·模拟预测）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【变式2-4-2】（2025·湖南·模拟）已知关于x的分式方程有正整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【变式2-4-3】（2025·湖南湘潭·模拟）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 【典例】（2025·湖南·模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式3-1-1（2025·湖南·模拟）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ） A． B． C． D． 【变式3-1-2】（2025·湖南·模拟）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式3-1-3】（2025·湖南湘西·模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（    ） A． B． C． D． ►题型02 行程问题 分式方程解决行程问题的核心是利用 “路程、速度、时间” 的基本关系，抓住题干中 “时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下： 核心公式与等量关系 1.基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒ 行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。 2.常见的等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 速度变化导致时间差 原时间−现时间=提前时间 现时间−原时间=推迟时间 提速后提前到达、减速后迟到 顺逆流 / 顺风逆风航行 顺流时间−逆流时间=时间差 或反之 轮船航行、飞机飞行 不同主体行驶同一路程 甲的时间−乙的时间=时间差 两人同时出发，一人先到 3.特殊场景速度公式 顺流速度=静水速度+水流速度（） 逆流速度=静水速度-水流速度（） 顺风/逆风同理 【典例】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【变式3-2-1】（2025·湖南长沙立信·一模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2-2】（2025·湖南怀化·模拟）如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（       ） A． B． C． D． 【变式3-2-3】（2025·湖南常德·模拟预测）今年五一节期间，小欣一家乘出租车去飞机场乘机旅游，有两条路线可供选择：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达飞机场问走路线一时的平均车速是每小时多少千米？ ►题型03 工程问题 分式方程解决工程问题的核心是 以 “工作总量、工作效率、工作时间” 的基本关系为依托，抓住 “时间差”“合作效率” 等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算， 核心公式与等量关系 1.基本公式 工作总量=工作效率×工作时间 变形公式： 关键技巧：当题目未给出具体工作总量时，常设工作总量为1。此时单人工作效率 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单人效率变化 原工作时间−现工作时间=提前完成时间 提高效率后提前完工 多人合作 甲工作量+乙工作量=总工作量 合作效率=甲效率+乙效率 甲乙合作完成任务 分段工作 先做工作量+后做工作量=总工作量 先单独做，再合作做 【典例】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【变式3-3-1】（2024·湖南·模拟预测）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． (1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 【变式3-3-2】（2024·湖南·模拟预测）某零件制造车间可生产甲、乙两种零件，已知每名工人每天可生产甲种零件的数量比每天可生产的乙种零件的数量多1个，且一天内生产甲种零件180个和生产乙种零件150个所需要的工人数相同． (1)求每名工人每天可生产甲种零件的数量； (2)已知车间现有工人20名，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，设该车间每天安排x名工人制作甲种零件，且制造乙种零件的人数不超过制造甲种零件人数的3倍，则怎样的安排才能使获利最大？最大利润为多少？ 【变式3-3-3】（2025·湖南·中考模拟）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ ►题型04 销售利润问题 分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量” 的基本关系，抓住题干中 “总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。 核心公式与等量关系 1.基本公式：总价=单价×数量 变形公式（列分式方程的关键）：数量=​ 该变形是销售问题列分式方程的核心依据，因为分式方程的分母通常为单价。 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单价变化导致数量差 原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数 降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数 用固定总价买商品，单价变化引发数量变化 两种商品单价对比 甲单价=k×乙单价（k为倍数） 甲购买数量=乙购买数量±差值 已知两种商品单价关系和数量差，求单价 总价相同的两种方案 方案一总价=方案二总价 不同单价和数量组合，总价相等 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同． (1)求两种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用． 【变式3-4-1】（2025·湖南·模拟预测）“低空经济”激活了无人机产业，新型无人机不断面世．某科研公司研发生产了型、型两种新型无人机对外销售，已知型无人机比型无人机的单价少万元，用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等． (1)求型、型无人机的单价各是多少万元； (2)某商家决定购买型、型无人机共50个，且花费不超过28万元，则至少购买型无人机多少个？ 【变式3-4-2】（2025·湖南郴州·二模）某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A、B两款吉祥物的销售单价； (2)A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式3-4-3】（2025·湖南长沙·二模）时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． ►题型05 和差倍问题 【典例】（2024·湖南·模拟预测）某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 【变式3-5-1】（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【变式3-5-2】（2025·湖南长沙·模拟）初二年级购进光学和电学两种器材，花费分别是35000元和70000元，电学器材订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，并且订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套．设购买光学器材的单价为元． (1)初二年级购买的两种实验器材的单价各为多少元？ (2)初二年级某班计划再订购这两种器材共10套来备用，其中电学器材订购数量不低于3套，且两种器材总费用不超过1240元，这个班订购这两种器材有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【变式3-5-3】（2025·湖南永州·中考模拟）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． (1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ (2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ ►题型06 其它问题 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【变式3-6-1】．（2025·湖南常德·模拟）创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树x（）棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①甲组完成该任务需要____________天，乙组完成该任务需要____________天；（均用含x的式子表示） ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用如下所示的作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确． 作差法：通过作差，利用差的符号确定两个代数式的大小． 即要比较代数式A，B的大小，只要算的值． 若，则；若，则，若，则． 【变式3-6-2】（2025·湖南长沙长郡·模拟）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【变式3-6-3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 突破一 已知分式方程与不等式(组)的解情况求参数(整数) 【典例】（2025·湖南衡阳·自主招生）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为多少？ 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟）如果关于的不等式的解中仅含有两个正整数，且关于的分式方程的解为非负数，那么整数的值为 ． 【变式3】关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式4】（2025·湖南株洲·模拟预测）从3，，，1，这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（   ） A． B．3 C． D． 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 【典例】某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了． 知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求滑动变阻器的最大电阻； (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【变式1】在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图（1）），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端．”如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是 ． 【变式4】19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 突破三 解分式方程中新定义类题型 【典例】对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．2 D．3 【变式3】对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【变式4】定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 突破四 分式方程中探究类题型 【典例】阅读下列材料，完成探究与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…． 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…． 【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． (1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______； 【运用】 (2)请用上述规律，解分式方程． 【变式1】）项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． (2)完成任务二． 【变式2】阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 【变式3】阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 1.（2025·湖南常德·模拟）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 2.（2025·湖南岳阳·模拟）若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3.（2025·湖南·模拟预测）将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（    ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南娄底·模拟）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 5.（2025·湖南湘潭·模拟）关于的方程的解不大于3，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 6.（2025·湖南株洲·模拟）解方程： (1)； (2)． 7.（2025·湖南岳阳·模拟）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 8.（2025·湖南株洲·模拟预测）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 9.（2025·湖南·模拟预测）若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 10.（2025·湖南长沙·二模）时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 11.（2025·湖南邵阳·模拟）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 1.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 4.（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 5.（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 6.（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 7.（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 8.（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程(组)与不等式(组) 第07讲 分式方程 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 分式方程的概念及解法 题型01 分式方程的概念 题型02 解分式方程中判断去分母是否正确 题型03 解分式方程 命题点二 根据分式方程解的情况求参数 题型01 已知分式方程的解求参数 题型02 已知分式方程增根或无解求参数 题型03 已知分式方程的解正负求参数 题型04 已知分式方程的整数解求参数 命题点三 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02 行程问题 题型03 工程问题 题型04 销售利润问题 题型05 和差倍问题 题型06 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 47 突破一 已知分式方程与不等式(组)的解情况求参数(整数) 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 突破三 解分式方程中新定义类题型 突破四 分式方程中探究类题型 06·优题精选·练能提分 65 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 分式方程的概念及解法 湖南省T5 长沙卷 T13 湖南省T13 了解分式方程的概念；掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道解分式方程时可能产生增根的原因；掌握分式方程验根的基本方法。 根据分式方程解的情况求参数 / / 能根据分式方程的解的情况（如解为正数、无解、有增根等）确定方程中待定系数的值或取值范围；理解分式方程有解、无解与方程变形过程中产生增根的区别。 分式方程的应用 / / 能根据具体问题中的数量关系列出可化为一元一次方程的分式方程，并求解；能对分式方程的实际意义进行检验，并解释结果的合理性。 命题预测 2026年湖南省中考数学分式方程模块命题将延续“概念与解法考查基础性、应用问题贴近生活实际”的特点。题型预计仍以填空题、选择题和解答题中的方程应用题为主。分式方程的概念及解法强调规范步骤和验根意识；分式方程的应用多与二元一次方程组、一元一次不等式结合，考查建立模型、解决实际问题的综合能力。根据分式方程解的情况求参数这一考点在近年真题中未直接出现，但仍需作为重要考点进行备考，注意理解增根产生的原因及对参数取值的影响。 备考建议 备考分式方程模块时，应围绕核心考点进行针对性训练：熟练掌握去分母、求解整式方程、检验增根的完整步骤；强化从生活情境中抽象出分式方程模型的能力，关注销售利润、工程进度、行程问题等典型背景；加强对含参数分式方程有解、无解、有增根等情况的分类讨论练习，明确分母不为零的根本限制条件，确保解题过程的严谨性和完整性。 考点一 分式方程的概念及解法 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，核心区别于整式方程(分母不含未知数)。示例：是分式方程；是整式方程。 2.核心解题思想 转化思想：通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 3.增根的概念 增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程的最简公分母会使分母为0，导致分式无意义，因此增根不是原分式方程的解。 4.解分式方程步骤（以为例） 1.找最简公分母：分析各分母的因式，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 本题分母为x和x-1,最简公分母为x(x-1)。 若分母是多项式，需先因式分解。 2.去分母，化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘(包括不含分母的常数项)，约去分母得到整式方程。（本题两边同乘，得：） 3.解整式方程：按照一元一次方程(或其他整式方程)的解法求解。 本题展开：→移项得：。 4.验根(必不可少的步骤)：将整式方程的解代入最简公分母检验： ①若最简公分母≠0,则是原分式方程的解； ②若最简公分母=0,则是增根，原方程无解。 本题把x=3代入x(x-1),得,故是原方程的解。 5.写出结论：明确原方程的解或无解的最终结果。 1．（2025·湖南省卷·真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 2．（2024·湖南省卷·真题）分式方程=1的解是 ． 【答案】x=1 【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可． 【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1， 解得x=1． 检验：当x=1时，x+1=2≠0． 所以原方程的解为x=1． 故答案为：x=1． 【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键． 3．（2025·长沙卷·真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再把求出的值代入最简公分母检验是否增根即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时， 可得：， 是原分式方程的解． 故答案为：． 考点二 根据分式方程解的情况(增根、无解、正负解)求参数 1.已知分式方程有增根，求参数 核心逻辑：增根的本质是使最简公分母为0的根，且是整式方程的解。 【解题步骤】 ①找增根：令最简公分母等于0，求出所有可能的增根； ②化整式方程：分式方程两边乘最简公分母，得到整式方程； ③代根求参：将增根代入整式方程，解方程即可求出参数的值。 2.已知分式方程无解，求参数 核心逻辑：分式方程无解分两种情况，需分类讨论，缺一不可： 情况1：整式方程的解是增根(即解使最简公分母为0)； 情况2：整式方程本身无解(仅当整式方程是0·x=a且a≠0时成立)。 【解题步骤】 ①去分母转化为整式方程； ②分两类讨论： ★整式方程有解，但解是增根→按“题型1”求参数； ★整式方程无解→令整式方程的一次项系数为0,常数项不为0,求参数； ③整合两类情况的参数值。 1．（2025·湖南常德石门·模拟）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足 解得： 故选：D． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解，即化为整式方程后，整式方程无解，或者整式方程的解是分式方程的增根，分情况讨论即可．注意考虑整式方程的解是分式方程增根的情况，属于易错题． 【详解】解：方程的增根为， 当时，化为整式方程，等号两边同时乘， 得：， 若原分式方程无解，则： ①无解， ，解得， 时，方程无解； ②的解是增根， 把代入， 得：， 时，方程无解； 的值为1或． 故选：C． 3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 考点三 分式方程的应用 1.解分式方程实际应用的一般思路 步骤 具体操作 关键注意事项 ①审题 标注已知量、未知量，梳理各量之间的公式关系 （如路程 = 速度 × 时间） 抓住“相等”“多/少“提前”/推迟”“相同” 等关键词，锁定等量关系 ②设未知数 ① 直接设元：求什么设什么（如求速度设为xkm/h） ② 间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量（如求时间设速度为x） 设未知数时要带单位 ③列分式方程 根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程 确保方程两边的量纲统一，避免单位混乱 ④解方程 按照 “找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程” 的步骤求解 去分母时，方程中所有项都要乘最简公分母，常数项不能漏乘 ⑤双重验根 ① 增根检验：将解代入最简公分母，若为 0 则是增根，舍去 ② 实际检验：判断解是否符合实际意义（如速度、单价、时间不能为负或 0） 双重验根是得分关键，缺一不可 ⑥作答 写出最终结论，带单位 结论要与题目所求一致，语言简洁规范 2.与分式方程有关应用题的常见类型： 1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 2．（2025·湖南湘潭·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)小时，小时 (2)小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； （2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）在国家大力推动低空经济高质量发展的战略背景下，某航摄公司为扩大业务，计划购买，两款无人机．已知款无人机的单价比款无人机的单价贵3500元，用250000元购买款无人机的架数是用240000元购买款无人机架数的． (1)求款无人机和款无人机的单价； (2)航摄公司采购时恰逢该厂家进行促销：A款无人机八折优惠．若购买A，B两款无人机共120架，且款无人机架数不少于款无人机架数的一半，请问分别购买，款无人机多少架时，航摄公司花费最少？ 【答案】(1)款无人机的单价为12500元，B款无人机的单价为9000元． (2)当购买款无人机40架，B款无人机80架时，航摄公司花费最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设B款无人机的单价为元，则款无人机的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买款无人机架，花费为元，则B款无人机架，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B款无人机的单价为元，则款无人机的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：款无人机的单价为12500元，B款无人机的单价为9000元． （2）解：设购买款无人机架，则B款无人机架，航摄公司花费为元， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时， 答：当购买款无人机40架，B款无人机80架时，航摄公司花费最少． 命题点一 分式方程的概念及解法 ►题型01 分式方程的概念 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 【典例】（2025·湖南岳阳·模拟预测）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 【变式1-1-1】（2025·湖南永州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 【变式1-1-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 【答案】3 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为3． 【变式1-1-3】（2025·湖南永州·中考模拟）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 【答案】 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴，解得， 故答案为：． ►题型02 解分式方程中判断去分母是否正确 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错点类型 具体表现 判断方法 漏乘常数项或整式项 只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项 检查方程中所有项是否都乘了最简公分母，无分母的项也要乘 最简公分母找错 1.分母是多项式时，未因式分解直接找公分母 2. 忽略分母间的公因式 分母是多项式时，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积作为最简公分母 符号处理失误 1.分母互为相反数时（如x−2和2−x），未统一符号直接乘 2.去分母时忽略分子的括号，导致符号错误 1. 遇到a−b和b−a，先转化为相同形式（提取负号） 2. 分子是多项式时，去分母后保留括号，再去括号 错用 “约分” 代替去分母 直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构 去分母必须是方程两边同乘最简公分母，不能直接交叉约分；约分仅适用于分式内部的分子分母 忽略分母不为0 的前提 去分母后未考虑最简公分母可能为 0，直接判定整式方程的解是原方程的解 去分母是 “等价变形” 的前提是最简公分母≠0，因此去分母后必须验根，不能直接判定解的有效性 【典例】（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘，即可求出结果． 【详解】解：， 方程两边同乘， 得． 故选：B． 【变式1-2-1】（2025·湖南张家界·模拟预测）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(     ) A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x﹣2＝3(2x﹣1) D．x+2＝3(2x﹣1) 【答案】C 【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以(2x﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程． 【详解】方程两边都乘以(2x﹣1)，得 x﹣2＝3(2x﹣1)， 故选C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【变式1-2-2】（2025·湖南益阳·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过观察方程，分母有 和 ，其中，则把方程两边乘以去分母即可得到答案． 【详解】解： 把方程两边同时乘以得， 故选：B． 【变式1-2-3】（2025·湖南郴州·模拟预测）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解分式方程，将方程两边同时乘以最简公分母即可去分母，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键 【详解】解： 去分母得 故选：D ►题型03 解分式方程 解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解. ①去分母，不漏乘，分母是多项式，因式分解找最简公分母； ②分子是多项式括起来，互为相反数先转化； ③解整式，验根不可少，最简公分母零就是增根； ④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，通过去分母把分式方程化为整式方程，是解题的关键．先去分母，把分式方程化为整式方程，进而即可求解． 【详解】解：原方程化为： ， 等式两边同乘以得， ， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 【变式1-3-1】（2025·湖南·模拟预测）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为：， 故答案为：． 【变式1-3-2】（2025·湖南郴州·模拟）解方程：． 【答案】是增根，原分式方程无解 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程化为整式方程求解，最后要进行检验． 先将方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程，求解整式方程后，检验所得的解是否使原分式方程的分母为零，若使分母为零，则为增根，原方程无解． 【详解】解：， ， 即， 合并同类项得：， 解得， 检验：当时，，所以是增根，原分式方程无解． 【变式1-3-3】（2025·湖南永州·模拟）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______ 得．                            第一步 去括号，得．                    第二步 移项、合并同类项，得．                    第三步 系数化为1，得．                            第四步 (1)第一步中横线处应填__________，这一步的依据是__________． (2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 【答案】(1)；等式的基本性质 (2)步骤见解析，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是熟练掌握分式方程的求解步骤． （1）根据分式去分母的原则可知，该方程等号两边同乘即可去分母； （2）根据分式方程中分母不为零的原则即可知需进行检验． 【详解】（1）解：第一步中划横线处应为， 这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质； 故答案为：；等式的基本性质； （2）解：检验：当时，， 是原方程的增根，原方程无解. 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验． 命题点二 根据分式方程解的情况求参数 ►题型01 已知分式方程的解求参数 已知分式方程的解求参数，就是把它的解代入原方程中去求参数。 【典例】（2025·湖南怀化·三模）关于的分式方程的解是，那么的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程中，即可求得的值． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1-1】（2025·湖南·模拟预测）已知是分式方程的解，那么实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将代入原方程，即可求出值． 【详解】解：将代入方程中，得 解得： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法． 【变式2-1-2】（2025·湖南张家界·中考模拟）若关于的分式方程 的解为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接解分式方程进而得出答案． 【详解】解分式方程得，x=m-2， ∵关于x的分式方程的解为x=2， ∴m-2=2， 解得：m=4． 故选B． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键． 【变式2-1-3】（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． ►题型02 已知分式方程增根或无解求参数 已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下： 概念 本质特征 关键区别 增根 1.是去分母后整式方程的解 2.代入原分式方程的最简公分母= 0（使分母无意义） 增根是“整式方程的解，但不是分式方程的解”；有增根≠分式方程无解 无解 分式方程无解分两类情况： 1.整式方程的解都是增根 2.去分母后的整式方程本身无解（仅一元一次方程中 0⋅x=a，a=0时成立） 无解包含 “有增根导致无解” 和 “整式方程无解导致无解” 两种情况 【典例】（2025·湖南长沙·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 【变式2-2-1】（2025·湖南·模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母，得， 整理可得 ， 由于分式方程的增根是， 将代入，得， 解得：． 故答案为：． 【变式2-2-2】（2025·湖南衡阳·模拟）如果关于x的方程无解，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解分式方程，根据其无解，得出，即可得到答案． 【详解】方程去分母，得：， ∴， ∵关于x的方程无解， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2． 【变式2-2-3】（2025·湖南岳阳·模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得． ►题型03 已知分式方程的解正负求参数 已知分式方程的解为正数或负数，求参数的取值范围，是中考分式方程含参问题的高频题型。解题核心是 “先解整式方程，再结合解的符号限制 + 增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法如下： 一、 通用解题步骤（四步法） 去分母，化分式方程为整式方程方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为一元一次整式方程（形如ax=b) 注意：去分母时每一项都要乘，常数项、整式项不能漏乘；分母是多项式先因式分解，分母互为相反数先统一符号。 二、解整式方程，用参数表示解 把参数当作已知数，解出整式方程的解，结果用含参数的代数式表示（如x=m+2，m为参数） 注意：若整式方程的一次项系数含参数，需先讨论系数是否为0： 若系数为 0 且常数项≠0 → 整式方程无解，原分式方程也无解； 若系数为 0 且常数项 = 0 → 整式方程有无数解，结合分母限制判断是否符合题意。 三、列不等式，限制解的符号 若解为正数 → 列不等式：解大于0； 若解为负数 → 列不等式：解大于0； 解不等式，初步确定参数的取值范围。 四、排除增根，补充限制条件 增根是使最简公分母为 0 的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母 ≠ 0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解方程及不等式的方法是解题的关键．解分式方程，得到解，根据解是非负数且分母不为零的条件，得关于n的不等式，解不等式即可确定 n 的取值范围． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故选：D． 【变式2-3-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解得情况求参数的范围，求出方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义的条件，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵分式方程的解为正实数， ∴且， ∴且， ∴且； 故选C． 【变式2-3-2】（2025·湖南永州·模拟）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 【变式2-3-3】（2025·湖南·模拟预测）若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．再解答时注意分母不能为0的条件．将分式方程化为整式方程，解得，根据解为非正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 由于解为非正数，即， 所以， 即， 又因为分母且，即且， 当时，，解得，但此时，不符合非正数条件； 当时，，解得，但此时分母，分式无意义， 因此需排除， 故的取值范围是且． 故答案为：且． ►题型04 已知分式方程的整数解求参数 1.忽略参数的限定条件 如例题变式中，题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。 规避：审题时圈画参数的限定词（如 “整数”“正整数”“负整数”）。 2.未排除增根直接求参数 只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。 规避：步骤 4 是必做环节，增根一定要排除。 3.解的形式为分式时，不会分析倍数关系 如解为且为整数→m+3必须是2的倍数，即 技巧：若 4.忽略整式方程无解的情况 当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为 0 的情况，直接求解导致漏解或错解。 规避：先讨论系数是否为 0，再分析整数解条件。 【典例】（2025·湖南衡阳衡南·二模）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． 【变式2-4-1】（2025·湖南·模拟预测）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【答案】m的值为3或0或4 【分析】解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． 【变式2-4-2】（2025·湖南·模拟）已知关于x的分式方程有正整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的求解和一次函数的图象与性质，熟练掌握解分式方程的方法、熟知一次函数的图象与性质是解题的关键； 先求出分式方程的解，结合分式方程的解是正整数得到a的取值，再根据一次函数的图象与性质得出a的范围，进而确定符合题意的a的值，再求和即可． 【详解】解：分式方程去分母，得， 整理得：， 当，即时，， ∵分式方程有正整数解，且， ∴或或或或， ∴， ∵关于x的一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 解得， 综上，满足条件的整数， 它们的和是； 故答案为：2． 【变式2-4-3】（2025·湖南湘潭·模拟）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 【典例】（2025·湖南·模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键． 根据“第二次每人所得与第一次相同”，列方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【变式3-1-1（2025·湖南·模拟）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键． 【变式3-1-2】（2025·湖南·模拟）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【变式3-1-3】（2025·湖南湘西·模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． ►题型02 行程问题 分式方程解决行程问题的核心是利用 “路程、速度、时间” 的基本关系，抓住题干中 “时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下： 核心公式与等量关系 1.基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒ 行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。 2.常见的等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 速度变化导致时间差 原时间−现时间=提前时间 现时间−原时间=推迟时间 提速后提前到达、减速后迟到 顺逆流 / 顺风逆风航行 顺流时间−逆流时间=时间差 或反之 轮船航行、飞机飞行 不同主体行驶同一路程 甲的时间−乙的时间=时间差 两人同时出发，一人先到 3.特殊场景速度公式 顺流速度=静水速度+水流速度（） 逆流速度=静水速度-水流速度（） 顺风/逆风同理 【典例】（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 【变式3-2-1】（2025·湖南长沙立信·一模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得： 故答案为：A． 【变式3-2-2】（2025·湖南怀化·模拟）如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间差列方程．共享单车先出发6分钟（即小时），同时到达，因此共享单车行驶时间比共享电动车多小时． 【详解】解：设共享单车速度为，则共享电动车速度为， 共享单车行驶时间： 小时， 共享电动车行驶时间： 小时． ∵ 共享单车先出发小时，且同时到达， ∴ ． 故选：B． 【变式3-2-3】（2025·湖南常德·模拟预测）今年五一节期间，小欣一家乘出租车去飞机场乘机旅游，有两条路线可供选择：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达飞机场问走路线一时的平均车速是每小时多少千米？ 【答案】50千米 【分析】设走路线一时的平均车速是每小时千米，则走路线二时的平均车速是每小时千米，利用时间路程速度，结合走路线二能比走路线一少用分钟到达飞机场，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设走路线一时的平均车速是每小时千米，则走路线二时的平均车速是每小时千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：走路线一时的平均车速是每小时千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． ►题型03 工程问题 分式方程解决工程问题的核心是 以 “工作总量、工作效率、工作时间” 的基本关系为依托，抓住 “时间差”“合作效率” 等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算， 核心公式与等量关系 1.基本公式 工作总量=工作效率×工作时间 变形公式： 关键技巧：当题目未给出具体工作总量时，常设工作总量为1。此时单人工作效率 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单人效率变化 原工作时间−现工作时间=提前完成时间 提高效率后提前完工 多人合作 甲工作量+乙工作量=总工作量 合作效率=甲效率+乙效率 甲乙合作完成任务 分段工作 先做工作量+后做工作量=总工作量 先单独做，再合作做 【典例】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 【变式3-3-1】（2024·湖南·模拟预测）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． (1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 【答案】(1)B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天 (2)组至少增加17人 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用． （1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据两组合作完成，需12天可完成此项任务，列出分式方程求解即可，注意检验； （2）设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则（天） 答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天； （2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， m最小可取17， 答：组至少增加17人． 【变式3-3-2】（2024·湖南·模拟预测）某零件制造车间可生产甲、乙两种零件，已知每名工人每天可生产甲种零件的数量比每天可生产的乙种零件的数量多1个，且一天内生产甲种零件180个和生产乙种零件150个所需要的工人数相同． (1)求每名工人每天可生产甲种零件的数量； (2)已知车间现有工人20名，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，设该车间每天安排x名工人制作甲种零件，且制造乙种零件的人数不超过制造甲种零件人数的3倍，则怎样的安排才能使获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)6个 (2)安排5名工作制作甲种零件，15名工人制作乙种零件时获利最大，最大利润为24000元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的应用． （1）设每名工人每天可生产甲种零件个，则每名工人每天可生产乙种零件个，根据“一天内生产甲种零件180个和生产乙种零件150个所需要的工人数相同”列出分式方程求解，即可解题； （2）根据制造乙种零件的人数不超过制造甲种零件人数的3倍，可列不等式求解，得出的取值范围，设利润为，根据题意列出关于的函数解析式，根据一次函数增减性取得的值，从而解题． 【详解】（1）解：设每名工人每天可生产甲种零件个，则每名工人每天可生产乙种零件个， 由题可得：，解得：， 经检验，是原方程的解， 每名工人每天可生产甲种零件6个； （2）解：由（1）可知：每名工人每天可生产甲种零件6个，则每名工人每天可生产乙种零件个， 制造乙种零件的人数不超过制造甲种零件人数的3倍， ，解得：， 设利润为，则有， 由关系式可知：随的增大而减小，故取最小，即时，有最大利润， 此时安排人制作甲种零件，人制作乙种零件，最大利润为：元． 【变式3-3-3】（2025·湖南·中考模拟）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． (2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． ►题型04 销售利润问题 分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量” 的基本关系，抓住题干中 “总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。 核心公式与等量关系 1.基本公式：总价=单价×数量 变形公式（列分式方程的关键）：数量=​ 该变形是销售问题列分式方程的核心依据，因为分式方程的分母通常为单价。 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单价变化导致数量差 原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数 降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数 用固定总价买商品，单价变化引发数量变化 两种商品单价对比 甲单价=k×乙单价（k为倍数） 甲购买数量=乙购买数量±差值 已知两种商品单价关系和数量差，求单价 总价相同的两种方案 方案一总价=方案二总价 不同单价和数量组合，总价相等 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同． (1)求两种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元； (2)购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元 【分析】此题考查的是分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． （1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元，然后根据题意列分式方程即可求出结论； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台，然后根据题意列一元一次不等式组和一次函数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（万元）； 答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台， 根据题意得：， 解得：； 设总费用为w，则， ∵， ∴当时，； 答：购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元． 【变式3-4-1】（2025·湖南·模拟预测）“低空经济”激活了无人机产业，新型无人机不断面世．某科研公司研发生产了型、型两种新型无人机对外销售，已知型无人机比型无人机的单价少万元，用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等． (1)求型、型无人机的单价各是多少万元； (2)某商家决定购买型、型无人机共50个，且花费不超过28万元，则至少购买型无人机多少个？ 【答案】(1)A型无人机的单价为万元，则B型无人机的单价为万元 (2)35个 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A型无人机的单价为x万元，则B型无人机的单价为万元，根据用10万元购买型无人机与用14万元购买型无人机的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A型无人机m个，则购买B型无人机个，根据花费不超过28万元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A型无人机的单价为x万元，则B型无人机的单价为万元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型无人机的单价为万元，则B型无人机的单价为万元； （2）解：设购买A型无人机m个，则购买B型无人机个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为35， 答：至少购买型无人机35个． 【变式3-4-2】（2025·湖南郴州·二模）某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A、B两款吉祥物的销售单价； (2)A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元； (2)当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元． 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验． （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款吉祥物的销售单价，注意分式方程要检验； （2）根据题意可以得到利润与购买A款吉祥物数量的函数关系，然后根据B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，可以求得A款吉祥物数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设A款吉祥物的单价是a元，则B款吉祥物的单价是元， 根据题意得：， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元； （2）解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物个，利润为w元， ， ∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍， ∴， 解得，， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 120-x=40， 答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元． 【变式3-4-3】（2025·湖南长沙·二模）时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】任务1：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元；任务2：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，确定当m的最大值，再求解即可． 【详解】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元． 根据题意，，解得， 经检验，是原方程的根， ． 答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元． （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台， ， 解得． 又型机器人模型要尽可能的多， 取最大值15，此时． 答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台． ►题型05 和差倍问题 【典例】（2024·湖南·模拟预测）某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 【答案】(1)原计划每年产量为万台 (2)实际平均每年产量至少还要增加万台 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台，根据“预计可提前2年完成任务”列出分式方程，解分式方程即可得出答案； （2）由（1）可得，实际每年产量就是万台，设实际平均每年产量至少还要增加万台，根据“要求从2023年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴原计划每年产量为万台； （2）解：由（1）可得，实际每年产量就是万台， 设实际平均每年产量至少还要增加万台， 由题意得：， 解得：， ∴实际平均每年产量至少还要增加万台． 【变式3-5-1】（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨 【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可． 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 【变式3-5-2】（2025·湖南长沙·模拟）初二年级购进光学和电学两种器材，花费分别是35000元和70000元，电学器材订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，并且订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套．设购买光学器材的单价为元． (1)初二年级购买的两种实验器材的单价各为多少元？ (2)初二年级某班计划再订购这两种器材共10套来备用，其中电学器材订购数量不低于3套，且两种器材总费用不超过1240元，这个班订购这两种器材有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)购买光学器材的单价为元，购买电学器材的单价为元 (2)有4种方案，最低费用为元 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式组的实际应用： （1）根据电学器材订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，并且订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套，列出方程进行求解即可； （2）设电学器材订购数量为套，根据题意，列出不等式组，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； 将检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：购买光学器材的单价为元，购买电学器材的单价为元； （2）设电学器材订购数量为套，则：光学器材的订购数量为套；由题意，得： ，解得：， ∵为正整数， ∴， ∴共有4种方案： 方案一：电学器材订购套，光学器材订购套，总费用为：（元）； 方案二：电学器材订购套，光学器材订购套，总费用为：（元）； 方案三：电学器材订购套，光学器材订购套，总费用为：（元）； 方案四：电学器材订购套，光学器材订购套，总费用为：（元）； 最低费用为：元； 答：有4种方案，最低费用为元． 【变式3-5-3】（2025·湖南永州·中考模拟）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． (1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ (2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【答案】(1)A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个 (2)最多可购进A型玩具25个 【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解； （2）根据题意列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）设型玩具的单价为元/件． 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解 B型玩具的单价为元/个 ∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个． （2）设购进A型玩具个． 解得： ∴最多可购进A型玩具25个． 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式． ►题型06 其它问题 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； (2)在（1）的条件下，若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元，若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为5000元和8300元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用) 【答案】(1)燃油车每千米行驶费用为元；纯电新能源车每千米行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据表中的信息，用油和电的费用除以a，表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，求出燃油车和纯电新能源车的每千米费用，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为：（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为：（元）； （2）解：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意； 故，， 设每年行驶里程超过x千米时，新能源车的年费用比燃油车更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低． 【变式3-6-1】．（2025·湖南常德·模拟）创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树x（）棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①甲组完成该任务需要____________天，乙组完成该任务需要____________天；（均用含x的式子表示） ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用如下所示的作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确． 作差法：通过作差，利用差的符号确定两个代数式的大小． 即要比较代数式A，B的大小，只要算的值． 若，则；若，则，若，则． 【答案】(1) (2)， 嘉淇的说法正确 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减的实际应用（作差法），列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵，由题意得，解方程即可求出的值，切记：勿忘检验； （2）①依据题意直接列式即可；②利用作差法，可得，再结合，即可得出其符号，进而说明嘉淇的说法是否正确． 【详解】（1）解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值是； （2）解：①甲组每天植树棵，乙组每天植树棵， 甲组完成棵任务需要天，乙组完成棵任务需要天， 故答案为：，； ② ， ， ， ， 即：， ， 甲组完成任务所用的时间更少， 嘉淇的说法正确． 【变式3-6-2】（2025·湖南长沙长郡·模拟）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． (2)购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 【变式3-6-3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 突破一 已知分式方程与不等式(组)的解情况求参数(整数) 【典例】（2025·湖南衡阳·自主招生）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为多少？ 【答案】16 【分析】本题考查解分式方程及一元一次不等式组的解，解题的关键是由为非负整数确定a的值，容易忽略． 由不等式组无解，可得a的范围，根据分式方程有非负整数解，可确定a的值，从而可得答案． 【详解】解：由不等式组可得且， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 解分式方程得 ， ∵， ∴， ∴， ∵分式方程有非负整数解， ∴为非负整数， ∴ 且为整数，解得且，为偶数， ∴或6或4或0或， ∴满足条件的所有整数a的和为， 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟）如果关于的不等式的解中仅含有两个正整数，且关于的分式方程的解为非负数，那么整数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程与不等式，熟练掌握解法是解题的关键．先解不等式得出，根据分式方程的解为非负数，且方程有解，得出且；即可求解． 【详解】解：解不等式 ，得 ． 题目要求解中仅含两个正整数，因此最大的两个正整数解为 和 ， ∴即 ∴整数 的可能值为 或 ． 解方程 ，化简得 ，且 即， 解得：且； 综上所述，且； ∴ 时，分式方程解为 ，符合非负且分母不为零； 的值为 ． 故答案为：． 【变式3】关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组合一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集，通过解不等式组确定一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定一个取值范围，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴， ∴， 又∵关于的分式方程有非负整数解， ∴为非负整数， 由为整数可知， 为偶数，即为奇数， 由分母可知， ，则，解得， 综上，符合条件的整数需满足， 为奇数且， ∴的取值为，， 所有整数的和为 故答案为：2． 【变式4】（2025·湖南株洲·模拟预测）从3，，，1，这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 不等式组变形后，根据无解确定出a的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有整数解，确定出5个数中满足条件a的值，进而求出之积． 【详解】解： 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， 分式方程去分母得：， 解得： 又∵即, 由分式方程有整数解，3，，，1，这5个数中，得到，1，， ∵， ∴、． 则这5个数中所有满足条件的a的值之积为， 故选：C． 突破二 分式方程实际应用之物理类跨学科题型 【典例】某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了． 知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求滑动变阻器的最大电阻； (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)． (2)学校买这批仪器至少要花费670元． 【分析】本题主要考查欧姆定律、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质．解题关键在于理解电路中电阻与电流的关系，利用条件准确列出分式方程求解电阻值；通过设未知数建立函数和不等式模型，结合函数性质求出费用最小值． （1）设滑动变阻器最大电阻为，分别表示出滑动变阻器滑片在不同位置时的电阻，再结合两种情况下电流的差值为列出分式方程，求解并检验得到滑动变阻器的最大电阻． （2）通过设未知数建立函数关系来求解费用最小值．设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍列出不等式，确定的取值范围．再根据单价列出总费用关于的一次函数表达式，利用一次函数的性质（当时，随的增大而减小 ），在的取值范围内找到使最小的值，进而求出最小花费． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知：，解得：， 总费用，即， ∵，∴y随m的增大而减小． ∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 【变式1】在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考要了分式方程的应用，根据压强公式，结合题目中压强之比为的条件，建立分式方程求解． 【详解】解：铁块A的重量为50N，底面积为，对桌面的压强为， 铁块B的重量为100N，底面积为，对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， ∴， 故选：D． 【变式2】在物理学中，我们常常使用公式“密度”来计算密度．已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是，乙物体的质量是，乙物体的体积比甲物体的体积大．如果设甲物体的体积是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． 根据题意得到乙物体的体积为，甲物体的密度为，乙物体的密度为，结合题意列式即可． 【详解】解：乙物体的体积比甲物体的体积大，设甲物体的体积是， ∴乙物体的体积为， ∴甲物体的密度为，乙物体的密度为， ∵甲物体的密度是乙物体密度的， ∴， 故选：A ． 【变式3】大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图（1）），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端．”如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，设蜡烛火焰倒立的像的高度为，利用比例关系建立方程来求解蜡烛火焰倒立的像的高度即可． 【详解】解：蜡烛火焰的高度与蜡烛火焰倒立的像的高度的比值等于物距与像距的比值． 设蜡烛火焰倒立的像的高度为，则， 解得，经检验其是分式方程的根， 即蜡烛火焰倒立的像的高度为． 故答案为：． 【变式4】19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)学校购买这批仪器至少要花396元 【分析】（1）设滑动变阻器的最大电阻是，根据分式方程的解法求解； （2）设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元，根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：（1）设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意得 解得 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元． 由题意得 解得 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时，396（元）． 答：学校购买这批仪器至少要花396元． 【点晴】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答关键． 突破三 解分式方程中新定义类题型 【典例】对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了新运算的定义、解分式方程等知识，根据题意新定义运算将方程转化为分式方程并求解，检验即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程． 根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：∵ ， 当 时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； 当时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； ∴ 的值为1或3． 故选：B 【变式3】对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键； 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：根据题意：方程即为：， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 【变式4】定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 突破四 分式方程中探究类题型 【典例】阅读下列材料，完成探究与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…． 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…． 【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． (1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______； 【运用】 (2)请用上述规律，解分式方程． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据阅读材料和探究材料可直接得出答案； （2）直接利用（1）中发现的规律解分式方程即可． 【详解】（1）解：小恒同学发现的规律为：已知a，b，c，d均不为0， 若，则①，②； 故答案为：； （2）解：， 从而可得：， ∴， ∴， ∴， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 故原方程的解为，． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，读懂材料，发现规律是解题的关键． 【变式1】）项目学习方案： 项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍 任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程： 素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务 二 求的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______． (2)完成任务二． 【答案】(1)；每枝种花卉单价为元 (2) 【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键． （1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，根据用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可得到答案； （2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，可得方程，解分式方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元， 每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元， 每枝种花卉单价为元， 用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍， ； ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉单价为元； 故答案为：；每枝种花卉单价为元； （2）解：单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务， 完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为， 完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同， ，解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 【变式2】阅读材料，解答问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 (1)若方程，设，则原方程可化为____________． (2)模仿上述换元法解方程： (3)已知满足方程，结合换元法的思路，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)14或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，换元法解分式方程，公式法因式分解，将原式进行正确的换元是解题的关键． （1）设则原方程化为即可． （2）设，则原方程化为，解方程检验即可； （3），从而得到关于a的一元二次方程，解方程并代入求值即可． 【详解】（1）解：若方程，设，则原方程可化为， 故答案为：； （2），设， 则原方程可化为， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． （3）设， 则原方程为， ， ， ， 当时，， 当时， 【变式3】阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，，…，， ； 故答案为：，； （2）解：原式… ； （3）解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 1.（2025·湖南常德·模拟）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 2.（2025·湖南岳阳·模拟）若关于x的分式方程的解为2，则m的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考出了分式方程的解、解分式方程等知识点，掌握方程的解使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程可得，然后解关于m的分式方程即可． 【详解】解：将代入方程可得，即， ， ， 经检验，是分式方程的解， 所以m的值为2． 故选D． 3.（2025·湖南·模拟预测）将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，找出分式方程的最简公分母即可解答． 【详解】解：将分式方程化为整式方程时， 方程两边可以同时乘． 故选：D． 4.（2025·湖南娄底·模拟）已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握增根的定义成为解题的关键． 由题意可知关于x的方程的增根为，再将分式方程化成整式方程，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程有增根， ∴是该分式方程的增根， 将分式方程化为整式方程为， 将代入可得：，即． 故答案为1． 5.（2025·湖南湘潭·模拟）关于的方程的解不大于3，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，即依次经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及以及检验和增根等过程，是正确解答的关键．根据分式方程的解法求出关于x的分式方程的解，再根据分式方程的解不大于3和分式方程的增根确定m的取值范围即可． 【详解】解：将关于x的分式方程的两边都乘以，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 即， 由于分式方程的解不大于3，即， 解得， 而分式方程有增根， 当时，即， 解得， 综上所述，m的取值范围为且 故选：C． 6.（2025·湖南株洲·模拟）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可． 【详解】（1）解： ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 7.（2025·湖南岳阳·模拟）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 8.（2025·湖南株洲·模拟预测）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】(1)该商店“湘湘”的购进单价为30元 (2)“超超”的售价最低应该定为每件42元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据要使得总利润不低于640元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； （2）解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 9.（2025·湖南·模拟预测）若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故答案为：． 10.（2025·湖南长沙·二模）时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】任务1：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元；任务2：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，确定当m的最大值，再求解即可． 【详解】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元． 根据题意，，解得， 经检验，是原方程的根， ． 答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元． （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台， ， 解得． 又型机器人模型要尽可能的多， 取最大值15，此时． 答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台． 11.（2025·湖南邵阳·模拟）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 1.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 2.（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 3.（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 4.（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 5.（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 6.（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 7.（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 8.（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $