19.1二次根式及其性质寒假预习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级下学期（4知识点+5题型专练+14巩固提升练习）

第十九章 19.1二次根式及其性质寒假预习讲义（人教版） （4知识点+5题型+14巩固提升） 01预习目标 1. 理解什么是二次根式的概念 2.掌握二次根式有意义的条件 3会利用二次根式的非负性解决相关问题 常考题型精讲精练 巩固提升练习 02知识点梳理 知识点1二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.a叫做被开方数. 要点提醒： (1) 二次根式的三个要素：a.含有 b.根指数为2； c.被开方数为非负数. (2) 任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果.如：，都是二次根式; (3) 二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a≥0 (4) 实际问题中，若已知是二次根式，相当于给出a≥0. 知识点2二次根式有意义的条件 （1） 单个的一个二次根式，如有意义的条件是a≥0； （2） 二次根式作为分母时，如有意义的条件是a>0； （3） 二次根式与分式相加，如+有意义的条件是a≥0且b>0 知识点3二次根式的性质 (1) (a≥0)既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（≥0），所以具有双重非负性； (2) （2 )=a(a≥0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； (3) （）=|a|=,即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点4二次根式的化简 （1） 利用二次根式的基本性质进行化简； （2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简. =·(a≥0,b≥0).=(a≥0,b>0) 易错提醒 1. 在使用=·(a≥0,b≥0)时，一定要注意a≥0,b≥0的条件限制； 2. 在使用=(a≥0,b>0)时，一定要注意a≥0,b>0的条件限制. 03题型解读专练 （题型1二次根式的识别 例1．下面是二次根式的是()     A． B． C． D． 专练1．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 题型2求二次根式的值 例2．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 专练1．当时，二次根式的值为 ． 专练2．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型3求二次根式中的参数 例3．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 专练1．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 专练2．已知是整数，求自然数n的值． 题型4二次根式有意义的条件 例4．若是二次根式，则的值不能是（　　） A． B．3.14 C． D．0 专练1．当 时，二次根式无意义． 专练2．当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 题型5利用二次根式的性质化简 例5．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 专练1．若，化简 ． 专练2．计算： (1)； (2)． 04巩固提升 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 4．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 6．请任意写一个二次根式： ． 7．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 8．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 9．已知x，y均为实数，，则的值为 ； 10．已知，化简 ． 三、解答题 11．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； 12．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 13．已知实数x、y满足，求的立方根． 14．计算： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 19.1二次根式及其性质寒假预习讲义（人教版） （4知识点+5题型+14巩固提升） 01预习目标 1. 理解什么是二次根式的概念 2.掌握二次根式有意义的条件 3会利用二次根式的非负性解决相关问题 常考题型精讲精练 巩固提升练习 02知识点梳理 知识点1二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.a叫做被开方数. 要点提醒： (1) 二次根式的三个要素：a.含有 b.根指数为2； c.被开方数为非负数. (2) 任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果.如：，都是二次根式; (3) 二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a≥0 (4) 实际问题中，若已知是二次根式，相当于给出a≥0. 知识点2二次根式有意义的条件 （1） 单个的一个二次根式，如有意义的条件是a≥0； （2） 二次根式作为分母时，如有意义的条件是a>0； （3） 二次根式与分式相加，如+有意义的条件是a≥0且b>0 知识点3二次根式的性质 (1) (a≥0)既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（≥0），所以具有双重非负性； (2) （2 )=a(a≥0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； (3) （）=|a|=,即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点4二次根式的化简 （1） 利用二次根式的基本性质进行化简； （2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简. =·(a≥0,b≥0).=(a≥0,b>0) 易错提醒 1. 在使用=·(a≥0,b≥0)时，一定要注意a≥0,b≥0的条件限制； 2. 在使用=(a≥0,b>0)时，一定要注意a≥0,b>0的条件限制. 03题型解读专练 题型1二次根式的识别 例1．下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 专练1．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 题型2求二次根式的值 例2．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 专练1．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 专练2．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 题型3求二次根式中的参数 例3．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 专练1．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 专练2．已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 题型4二次根式有意义的条件 例4．若是二次根式，则的值不能是（　　） A． B．3.14 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：若是二次根式，则被开方数需满足， 选项A、B、D均满足，此时属于二次根式，不符合题意； 选项C为负数，不满足，此时没有意义，不属于二次根式． 故选：C． 专练1．当 时，二次根式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“二次根式无意义时，被开方数小于”，进而列不等式求解． 二次根式无意义的条件是被开方数小于，据此分析即可． 【详解】解：二次根式​有意义的条件是被开方数，反之，当被开方数时，二次根式无意义． 解不等式，得： ，即． 故答案为：． 专练2．当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解不等式，熟知二次根式的被开方数为非负数是解答的关键． （1）根据二次根式的被开方数为非负数得到，进而解不等式即可； （2）根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为零得到，然后解不等式即可； （3）根据x为任意实数时，，即可解答． 【详解】（1）解：要使有意义，则，解得， 即当时，有意义； （2）解：要使有意义，分母，且被开方数， ∴，解得． 即当时，有意义； （3）解：因为，所以， 即无论x取何实数，都大于0，所以对任意实数x都有意义． 即当x为任意实数时，有意义． 题型5利用二次根式的性质化简 例5．化简的结果为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的平方运算，掌握积的乘方规则以及二次根式的平方等于其被开方数是解题的关键． 平方运算会使负号消失，因为负数的平方是正数，且平方根平方后得到原数． 【详解】解：∵， ∴结果为7． 故选：C． 专练1．若，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 专练2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算，算术平方根的性质等知识；掌握这些知识是关键； （1）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即 04巩固提升 一、单选题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 3．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 4．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 5．化简的结果是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算平方运算，再取算术平方根． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．请任意写一个二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 7．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 8．对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 9．已知x，y均为实数，，则的值为 ； 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和零指数幂，根据二次根式有意义的条件，确定x的值，进而求出y的值，最后计算的值． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，解得， 代入得， 所以， 故答案为：1． 10．已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 三、解答题 11．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 12．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 13．已知实数x、y满足，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而得到，再结合分母不为零，得到，进而求出 的值，然后计算代数式的值，最后求立方根． 【详解】解：∵实数、 满足， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴， ∴， ∵分母 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的立方根为， ∴的立方根为 ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算，零指数幂，负指数幂，绝对值化简，二次根式化简，完全平方公式，二次根式乘法等． （1）先将每项计算化简，后从左到右依次计算即可； （2）先将完全平方公式计算，再计算二次根式乘法，后计算加减法即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $