专题19.2二次根式的乘法与除法（寒假衔接讲义）（4大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期

19.2二次根式的乘法与除法 知识点1：二次根式的乘法法则及逆用 1.乘法法则：（，），即二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。 2.逆用（乘法法则的逆用）：（，），即积的算术平方根，可拆分为各因数（或因式）算术平方根的乘积（需满足被开方数均非负）。 3.推广应用：（，），系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘。 知识点2：二次根式的除法法则及逆用 1.除法法则：（，），即二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 2.逆用（商的算术平方根）：（，），即商的算术平方根等于被除式与除式算术平方根的商。 3.推广应用：（，，），系数相除，被开方数相除。 知识点3：最简二次根式 1.定义：满足两个条件的二次根式为最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简要求：二次根式的运算结果必须化为最简二次根式，分母中不含二次根式。 知识点4：二次根式的乘除混合运算 1.运算顺序：从左到右依次进行，或转化为被开方数的乘除混合运算。 2.运算性质：（，，），可统一成一个二次根式计算。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式乘法法则的直接应用 1.核心知识点： 二次根式的乘法法则（，）； 2.解题方法技巧： 直接套用乘法法则，将被开方数相乘后化简（如）； 若含系数，先算系数乘积，再算被开方数乘积（如）。 【例题1】.（25-26九年级上·广西南宁·月考）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，二次根式的性质．先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题1-3】.（2025·四川·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，零指数幂，根据二次根式的乘法，零指数幂，绝对值的意义运算即可． 【详解】解： ． 【题型2】二次根式除法法则的直接应用 1.核心知识点： 二次根式的除法法则（，）； 2.解题方法技巧： 单个除法直接化简被开方数的商（如）； 含分数被开方数时，先将除法转化为分数，再化简（如）。 【例题2】.（25-26八年级上·山西太原·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题2-1】.（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知长方体的体积，高，则它的底面积S为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式除法的应用，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 根据长方体的底面积等于体积除以高列式计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式题2-2】.（2025八年级上·北京·专题练习）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 先将除法化成乘法，再运用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和二次根式的运算． （1）式子是两个数的和与这两个数的差的乘积形式，应用平方差公式展开，计算即可求解； （2）将被除数拆分成三个项，分别除以，转化成三个简单的二次根式的除法运算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 【题型3】最简二次根式的识别、化简与求参 1.核心知识点: 最简二次根式的定义（不含分母、无开得尽方的因数/因式）； 二次根式化简的基本方法； 由最简二次根式逆推参数的约束条件。 2.解题方法技巧: 识别：逐一审视被开方数的分母和因式，排除非最简形式； 化简：先去分母（分母有理化），再开尽方因数/因式； 求参：根据“无开得尽方因式、不含分母”列方程（如是最简，得或）。 【例题3】.（25-26九年级上·四川眉山·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列根式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． （1）把24写成，然后化简； （2）把40写成，然后化简； （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，再化简； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型4】二次根式的大小比较（转化法） 1.核心知识点： 二次根式的非负性； 平方法、作商法比较大小。 2.解题方法技巧： 平方法：同号根式平方后比较（如比较与，平方后，故）； 作商法：正数相除，商大于1则被除数大（如，故）。 【例题4】.（24-25七年级下·云南昆明·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 因为，，，所以，即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 【变式题4-2】.（24-25八年级下·河南安阳·月考）项目式学习： 课题名称 平方法比较实数的大小 参与人员 八下第（3）小组  日期：2025年××月××日 原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则． 典例展示 比较和的大小．解：，，12<18， ． 任务解答 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查实数的估算，比较大小，二次根式的计算，熟练掌握实数的估算是解题的关键． （1），，进行比较大小即可； （2）利用完全平方公式求出，，得出，即可比较大小． 【详解】解：（1），， ， ． （2） ，． 又 ，，， ， ， ， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）运用穿墙术进行比较即可； （2）运用作差法进行比较即可． 【详解】解：（1）因为， ， 而， 则， 所以； （2） ， 因为，，， 所以，， 所以，， 即， 所以，． 【题型5】根号内外因式互化（逆向思维） 1.核心知识点： 二次根式的非负性； （）的逆用及积的算术平方根性质（，，）。 2.解题方法技巧： 移出根号：提取根号内非负平方因子（如），根据字母符号化简绝对值； 移入根号：先判断字母符号（确保根号内非负），字母平方后移入。 【例题5】.（24-25八年级下·山东淄博·期中）把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义得出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·上海·期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，由根号下的表达式 可知，，因此移动因式时需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由得， ∴， ∴设，则 ，原式为 ∴， 代入 ，得原式． 故答案为：． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·上海·假期作业）将x移到根号内，不改变原来的式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·上海·假期作业）把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】题目主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先将二次根式化简，然后计算乘法即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式的性质化简即可 【详解】（1）解： （2） （3） （4）． 【压轴素养题型】 【题型6】二次根式规律探究（素养导向） 1.核心知识点： 二次根式的乘除运算； 归纳推理能力（从特例到一般）。 2.解题方法技巧： 计算特例找规律（如，）； 用含的式子表示规律（时，），再验证。 【例题6】.（24-25八年级下·云南文山·期中）观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律，二次根式的乘法运算，能根据所给的二次根式，找出被开方数的变化规律是解题的关键．先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 第个式子是． 故选：C． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）观察下列各式，并解决问题． ①；②； ③；④；…… (1)第⑤个式子是______； (2)请写出第个等式（用含的式子表示），并证明； (3)计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据前几个等式的变化规律可求解； （2）根据前几个等式的变化规律可得到第n个等式与n的变化规律； （3）根据变化规律求解即可． 本题考查二次根式的混合运算、数字类规律探究、分式的加减，理解题意，正确得出等式的变化规律以及熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键． 【详解】（1）解：由①； ②； ③； ④； 可得，第⑤个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意，第n个等式为， 证明： ， ∵为正整数， ∴， ∴； （3）解：由（2）中得 【变式题6-2】.（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，二次根式的除法运算，数字类规律探索，求一个数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键． （1）根据已知条件中和的值发现并总结出其变化规律，再总结出的规律求出答案即可； （2）根据（1）中发现并总结出的规律，求出，，，，，，，再代入所求代数式，然后利用分母有理化进行计算即可． 【详解】（1）解：，（是的面积）， ，（是的面积）， ，（是的面积）， ， ，（是的面积）， ，， ∴； （2）解： ． ． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【题型7】二次根式与基本不等式结合求最值（代数变形类） 1.核心知识点: 基本不等式（，，当且仅当时取等号）； 二次根式的非负性及代数式变形（拆分、变量代换）。 2.解题方法技巧: 先将目标代数式变形为“正数和”形式（如，），满足基本不等式条件； 套用不等式求最值，通过列方程求对应字母值，验证等号成立的合理性。 【例题7】.（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）【操作发现】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则出，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】（1）已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】（2）当时，求的最小值； 【拓展创新】（3）如图，四边形的对角线，相交于点O，，的面积分别是5和10，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）3，6；（2）4；（3） 【分析】本题考查了不等式的应用，二次根式的运算，特别是利用不等式来求代数式的最小值，涉及基本的不等式推导和应用．解题的关键是通过适当的变量代换，利用该不等式的条件在合适的情况下求得最小值，并且在特定条件下求得代数式的最优解． （1）令，根据不等式代入计算，得到．当且仅当时，等号成立，所以最小值为6． （2）设，利用不等式得到．当且仅当时，最小值为4，解得． （3）设的面积为x，根据面积比值关系．从面积关系中得出，计算四边形的面积并利用不等式得到最小值，当时，等号成立． 【详解】解：（1）已知，根据材料中不等式（，当且仅当时取等号），令，则． 当且仅当时，等号成立，解得（舍去）； ∴当时，代数式的最小值为6． 故答案为：3，6． （2）当时，， ∵， ∴令，，则由，得 ， 当且仅当时，中的等号成立，解得或（舍）， 即时，式子有最小值，最小值为4； （3）设，由，的面积分别是5和10， 根据等高三角形可知，， 即，整理，得， ∴四边形面积为， 当且仅当，即时取等号， 则四边形面积的最小值为． 【变式题7-1】.（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·福建厦门·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数，则，即，当且仅当时取等号，此时有最小值为． 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，即时，式子有最小值为． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）①分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式化为带分式形式为______； ②已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）①真分式； ；②，；（2）当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；（3）当时，分式取到最大值，最大值为． 【分析】（1）①根据新定义判断分式是真分式，②将假分式化为即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：求解即可； （3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①根据新定义分式是真分式， ， ②∵， 令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （3）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键． （1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得； （2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴， ∴（当且仅当时取等号）， ∴当时，的最小值为2． 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；． （2）解：， 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 由得：，解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是方程的解， 所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4． 【题型8】二次根式的实际应用 1.核心知识点： 二次根式的性质及有意义的条件。 结合实际问题（如图形面积、行程规划等）的数量关系。 2.解题方法技巧： 根据实际问题建立含二次根式的数学模型（如长方形面积为，长为，则宽为）。 化简表达式并结合实际意义确定字母的取值范围，进而设计合理方案（如边长为正实数，费用最省等）。 【例题8】.（25-26九年级上·河南周口·月考）今年，漯河市精心打造“小而美”口袋公园，利用“碎片”土地提升幸福感．下图是该市园林部门将两块紧挨的正方形小绿地整合成一个“口袋公园”矩形．已知正方形区域准备种植绿植，正方形区域准备种植花卉，矩形区域打算设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为． (1)求矩形健身区域的周长； (2)求矩形口袋公园的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确求出正方形和长方形的边长以及掌握二次根式的运算法则． （1）先求出正方形，正方形的边长，即可得到矩形健身区域的长和宽，即可求解周长； （2）求出矩形口袋公园的长和宽，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴矩形健身区域的宽，长， ∴矩形健身区域的周长为； （2）解：矩形口袋公园的长，宽为， ∴面积为 【变式题8-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确求出正方形和长方形的边长以及掌握二次根式的运算法则． 先求出正方形，正方形的边长，即可得到矩形健身区域的长和宽，即可求解面积． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴矩形健身区域的宽，长， ∴矩形健身区域的面积为． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河南南阳·月考）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 【答案】(1)裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 (2)无盖长方体铁箱的体积为 (3)按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键． （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出无盖长方体铁箱的长，宽，高，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为． （2）解：依题意得：四个直角处的小正方形的边长为，无盖长方体铁箱的长为， ∴无盖长方体铁箱的宽为，高为 ∴无盖长方体铁箱的体积为． （3）解：按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是， 按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积为； 按亮亮的方案制作的无盖长方体铁箱的宽为， 底面积为， 体积为， ∵， ∴按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，勾股定理求得，利用海伦公式求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴周长的一半为 ∴ ∴四边形的面积为 易错点 1.忽略二次根式乘除法则的前提条件（如误写成）； 2.乘除混合运算顺序出错（如误算为）； 3.化简不彻底（如未化为，或未化为）； 4.根号内外因式互化时忽略符号（如时，误将化简为）。 重点 1. 掌握二次根式乘除法则及逆用，能熟练进行基础运算； 2. 理解最简二次根式的定义，能准确识别并化简； 3. 掌握乘除混合运算的步骤，确保运算顺序和结果规范； 4. 能结合实际情境和隐含条件，运用法则解决简单应用问题。 难点 1. 含字母的二次根式化简（需分类讨论字母符号）； 2. 积/商的算术平方根逆用（处理负数乘积、分母含根号的情况）； 3. 规律探究题中从特例归纳一般结论，并进行代数验证； 4. 跨模块综合题（结合三角形、实际应用等）的思路转化与运算衔接。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求出对应选项中的数字与的积，再根据有理数的定义判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是有理数，符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）下列运算中，计算正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算和根式的运算，正确运用整式和根式的运算法则是解题关键．需根据运算法则逐一判断各选项是否正确． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握相关运算法则是解决问题的关键．，结合已知条件和，直接可得． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，即可解答． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； B、的被开方数是分数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意； C、7是质数，无平方因数，所以，是最简二次根式，故此选项符合题意； D、 , 可化简，所以，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级下·吉林·期末）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质．将转化为分数形式，利用二次根式的性质和除法运算化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·福建厦门·期中）化简：（1） （2） 【答案】 4 2 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，正确运用二次根式乘法法则是解题关键． （1）根据算术平方根的定义直接计算； （2）根据二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法后再开方． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）4 （2）2 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·北京顺义·期中）化简与计算： ， ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用积的乘方公式计算． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：，，． 9．（25-26九年级上·重庆·月考）若n为正整数，且满足，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵为正整数， ， 故答案为：4． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察可知第n行有个数，且这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根，据此求出前五行一共有多少个数字即可得到第一空的答案；先求出前行的数字的个数，再加上，所得结果取算术平方根即可得到第二空的答案． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ……， 以此类推，可知，第n行有个数， ∴前五行一共有个数， ∵这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根 ∴第5行的最后一个数是； 前行一共有个数， ∴第n（n为整数且）行从左向右数第个数是， 故答案为：；． 三、解答题 11．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解． 【详解】解： ． 12．（25-26九年级上·吉林长春·期末）判断的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程． 【答案】在24和25之间，见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算，进一步得出即可求解． 【详解】解：， ，， ， ． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 【答案】（1）①，；②，；（2）①；② 【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； ②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； （2）利用得出的规律化简各式即可． 【详解】解：（1）①，， ②，， 故答案为：①，；②，； （2）①，② 故答案为：①；②． 14．（24-25八年级上·河南郑州·月考）（1）小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A，B为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是 和，请求出A，B两个活动区域的总面积． （2）运用第（1）问的思路，我们继续探索的近似值，请将解题过程补充完整：如图所示，我们知道面积是2的正方形边长是，且，设， 由图形可得： + ． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得 （保留到0.001），即_______ 【答案】（1），两个活动区域的总面积为；（2），，， 【分析】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活应用正方形的面积公式，属于基础题． （1）根据正方形的面积公式求出、、、即可解决问题； （2）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图由题意，正方形的面积为， ， 正方形的面积为， ， 区的面积为，区的面积， ，两个活动区域的总面积为； （2）解：由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 得方程， 解得（保留到0.001）， 即． 故答案为：，，，． 15．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2二次根式的乘法与除法 知识点1：二次根式的乘法法则及逆用 1.乘法法则：（，），即二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。 2.逆用（乘法法则的逆用）：（，），即积的算术平方根，可拆分为各因数（或因式）算术平方根的乘积（需满足被开方数均非负）。 3.推广应用：（，），系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘。 知识点2：二次根式的除法法则及逆用 1.除法法则：（，），即二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 2.逆用（商的算术平方根）：（，），即商的算术平方根等于被除式与除式算术平方根的商。 3.推广应用：（，，），系数相除，被开方数相除。 知识点3：最简二次根式 1.定义：满足两个条件的二次根式为最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简要求：二次根式的运算结果必须化为最简二次根式，分母中不含二次根式。 知识点4：二次根式的乘除混合运算 1.运算顺序：从左到右依次进行，或转化为被开方数的乘除混合运算。 2.运算性质：（，，），可统一成一个二次根式计算。 【基础必考题型】 【题型1】二次根式乘法法则的直接应用 1.核心知识点： 二次根式的乘法法则（，）； 2.解题方法技巧： 直接套用乘法法则，将被开方数相乘后化简（如）； 若含系数，先算系数乘积，再算被开方数乘积（如）。 【例题1】.（25-26九年级上·广西南宁·月考）计算 ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算的结果是 ． 【变式题1-3】.（2025·四川·一模）计算：． 【题型2】二次根式除法法则的直接应用 1.核心知识点： 二次根式的除法法则（，）； 2.解题方法技巧： 单个除法直接化简被开方数的商（如）； 含分数被开方数时，先将除法转化为分数，再化简（如）。 【例题2】.（25-26八年级上·山西太原·月考） ． 【变式题2-1】.（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知长方体的体积，高，则它的底面积S为（　　） A． B．2 C． D． 【变式题2-2】.（2025八年级上·北京·专题练习）计算． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）计算： (1) (2) 【题型3】最简二次根式的识别、化简与求参 1.核心知识点: 最简二次根式的定义（不含分母、无开得尽方的因数/因式）； 二次根式化简的基本方法； 由最简二次根式逆推参数的约束条件。 2.解题方法技巧: 识别：逐一审视被开方数的分母和因式，排除非最简形式； 化简：先去分母（分母有理化），再开尽方因数/因式； 求参：根据“无开得尽方因式、不含分母”列方程（如是最简，得或）。 【例题3】.（25-26九年级上·四川眉山·月考）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列根式化成最简二次根式： (1)． (2)． (3)． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【培优高频题型】 【题型4】二次根式的大小比较（转化法） 1.核心知识点： 二次根式的非负性； 平方法、作商法比较大小。 2.解题方法技巧： 平方法：同号根式平方后比较（如比较与，平方后，故）； 作商法：正数相除，商大于1则被除数大（如，故）。 【例题4】.（24-25七年级下·云南昆明·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【变式题4-2】.（24-25八年级下·河南安阳·月考）项目式学习： 课题名称 平方法比较实数的大小 参与人员 八下第（3）小组  日期：2025年××月××日 原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则． 典例展示 比较和的大小．解：，，12<18， ． 任务解答 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【题型5】根号内外因式互化（逆向思维） 1.核心知识点： 二次根式的非负性； （）的逆用及积的算术平方根性质（，，）。 2.解题方法技巧： 移出根号：提取根号内非负平方因子（如），根据字母符号化简绝对值； 移入根号：先判断字母符号（确保根号内非负），字母平方后移入。 【例题5】.（24-25八年级下·山东淄博·期中）把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·上海·期中）把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是 ． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·上海·假期作业）将x移到根号内，不改变原来的式子的值： (1)； (2)． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·上海·假期作业）把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变． (1)； (2)； (3)； (4)． 【压轴素养题型】 【题型6】二次根式规律探究（素养导向） 1.核心知识点： 二次根式的乘除运算； 归纳推理能力（从特例到一般）。 2.解题方法技巧： 计算特例找规律（如，）； 用含的式子表示规律（时，），再验证。 【例题6】.（24-25八年级下·云南文山·期中）观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）观察下列各式，并解决问题． ①；②； ③；④；…… (1)第⑤个式子是______； (2)请写出第个等式（用含的式子表示），并证明； (3)计算：． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．       是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． (1)推算出____________；___________（为正整数）． (2)求出的值． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【题型7】二次根式与基本不等式结合求最值（代数变形类） 1.核心知识点: 基本不等式（，，当且仅当时取等号）； 二次根式的非负性及代数式变形（拆分、变量代换）。 2.解题方法技巧: 先将目标代数式变形为“正数和”形式（如，），满足基本不等式条件； 套用不等式求最值，通过列方程求对应字母值，验证等号成立的合理性。 【例题7】.（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）【操作发现】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则出，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： 【问题解决】（1）已知，当 时，代数式的最小值为 ； 【灵活运用】（2）当时，求的最小值； 【拓展创新】（3）如图，四边形的对角线，相交于点O，，的面积分别是5和10，求四边形面积的最小值． 【变式题7-1】.（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【变式题7-2】.（24-25八年级下·福建厦门·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数，则，即，当且仅当时取等号，此时有最小值为． 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，即时，式子有最小值为． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）①分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式化为带分式形式为______； ②已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，当取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【变式题7-3】.（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【题型8】二次根式的实际应用 1.核心知识点： 二次根式的性质及有意义的条件。 结合实际问题（如图形面积、行程规划等）的数量关系。 2.解题方法技巧： 根据实际问题建立含二次根式的数学模型（如长方形面积为，长为，则宽为）。 化简表达式并结合实际意义确定字母的取值范围，进而设计合理方案（如边长为正实数，费用最省等）。 【例题8】.（25-26九年级上·河南周口·月考）今年，漯河市精心打造“小而美”口袋公园，利用“碎片”土地提升幸福感．下图是该市园林部门将两块紧挨的正方形小绿地整合成一个“口袋公园”矩形．已知正方形区域准备种植绿植，正方形区域准备种植花卉，矩形区域打算设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为． (1)求矩形健身区域的周长； (2)求矩形口袋公园的面积． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图是一块长方形空地，计划在正方形区域种植绿植，在正方形区域种植花卉，在长方形区域设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为，求长方形健身区域的面积． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·河南南阳·月考）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 易错点 1.忽略二次根式乘除法则的前提条件（如误写成）； 2.乘除混合运算顺序出错（如误算为）； 3.化简不彻底（如未化为，或未化为）； 4.根号内外因式互化时忽略符号（如时，误将化简为）。 重点 1. 掌握二次根式乘除法则及逆用，能熟练进行基础运算； 2. 理解最简二次根式的定义，能准确识别并化简； 3. 掌握乘除混合运算的步骤，确保运算顺序和结果规范； 4. 能结合实际情境和隐含条件，运用法则解决简单应用问题。 难点 1. 含字母的二次根式化简（需分类讨论字母符号）； 2. 积/商的算术平方根逆用（处理负数乘积、分母含根号的情况）； 3. 规律探究题中从特例归纳一般结论，并进行代数验证； 4. 跨模块综合题（结合三角形、实际应用等）的思路转化与运算衔接。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）下列运算中，计算正确的（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·吉林·期末）化简（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·福建厦门·期中）化简：（1） （2） 7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为 ． 8．（25-26八年级上·北京顺义·期中）化简与计算： ， ， ． 9．（25-26九年级上·重庆·月考）若n为正整数，且满足，则 ． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是 （用含n的代数式表示）． 三、解答题 11．（2025八年级上·上海徐汇·专题练习）计算： 12．（25-26九年级上·吉林长春·期末）判断的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 14．（24-25八年级上·河南郑州·月考）（1）小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A，B为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是 和，请求出A，B两个活动区域的总面积． （2）运用第（1）问的思路，我们继续探索的近似值，请将解题过程补充完整：如图所示，我们知道面积是2的正方形边长是，且，设， 由图形可得： + ． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得 （保留到0.001），即_______ 15．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $