19.1 二次根式及其性质讲义（2知识3题型精讲精练）2025-2026学年人教版八年级数学下册 寒假预习

19.1 二次根式及其性质 1. 二次根式的定义 一般地，形如（其中）的式子叫做二次根式。 注意 · 根指数是2（通常省略不写，注意与立方根区分，立方根根指数为3，不能省略）； · 被开方数必须是非负数（），即被开方数可以是正数、0，不能是负数； · 二次根式是一个非负数（，）； · 常见拓展：形如 、、（需满足 ）的式子，也属于二次根式，本质是“含有二次根式的式子”。 2. 二次根式的性质（重点） 性质1：双重非负性 （），即二次根式的结果是非负数，且被开方数也是非负数。 注意初中阶段常见的非负数有3种：① （平方数）；② （绝对值）；③ （二次根式）。若这三类式子的和为0，则每一项都为0（高频考点）。 性质2：平方与开方的互逆性 （1）（）：二次根式先平方，结果等于被开方数； （2）（无限制条件）：一个数先平方，再开算术平方根，结果等于这个数的绝对值，再根据绝对值的意义化简： 注意 与 的区别——前者被开方数 才有意义，结果一定是 （非负）；后者无限制条件，结果是 （非负）。 【例1】（判断是否为二次根式）（1）判断下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？并说明理由。 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥（）. 【变式1-1】判断下列各式是否为二次根式： （1）（2）（） （3） （4）（） 【变式1-2】下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【技巧归纳】判断二次根式的“两步法”： 第一步：看根指数，必须是2（省略不写也可），若根指数是3或其他，则不是二次根式； 第二步：看被开方数，必须是非负数（），若被开方数是含字母的式子，需判断字母取值范围内，式子是否恒非负（如恒正，需看x的取值）。 【例2】(二次根式有意义的条件)求使下列二次根式有意义的x的取值范围。 ① ② ③ ④ 【变式2-1】求使二次根式 有意义的x的取值范围. 【技巧归纳】二次根式有意义的条件“分情况”： 1. 单一二次根式（如 ）：直接令被开方数 ； 2. 二次根式在分母（如 ）：令被开方数 （兼顾“非负”和“分母不为0”）； 3. 多个二次根式相加（如 ）：令每个被开方数都非负，列不等式组求解； 4. 二次根式与平方、绝对值结合（如 ）：利用“非负数和为0，每一项都为0”求解。 【例3】(利用二次根式的性质化简与计算) 计算下列各式： （1） （2） （3） （4）（） 【变式3-1】计算下列各式： （1） （2） （3）（） 【技巧归纳】二次根式性质化简“三注意” 1. 用 时，先确认 （无意义的式子不能化简）； 2. 用 时，先化简成绝对值，再根据字母取值范围去绝对值（重点：判断绝对值内式子的正负）； 3. 遇到多项式（如 ），先因式分解成完全平方形式（），再用性质化简。 【例4】（利用双重非负性求值）已知 ，求 的值。 【变式4-1】已知 ，求 的值。 一．二次根式的定义（共3小题） 1．（2025•呈贡区校级期末）下面是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•公主岭市期末）若是二次根式，则a的值不能是（　　） A． B．3.14 C．﹣2 D．0 3．给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．二次根式有意义的条件（共6小题） 4．（2025•九台区期末）式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（　　） A．﹣3 B．0 C．4 D．6 5．（2025•安宁区校级期末）若，则代数式xy的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 6．（2025•黄浦区校级月考）若和（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（　　） A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0 7．（2025•南通校级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 8．若实数a和b满足，则a﹣b的算术平方根是 ． 9．若x、y均为实数，且，求的平方根． 三．二次根式的性质与化简（共10小题） 10．（2025•如皋市校级自主招生）根式的值为（　　） A．﹣3 B．9 C．3 D．﹣9 11．（2025•普陀区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025•抚宁区期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 13．（2025•高新区校级月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　） A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a 14．（2025•静安区校级期末）化简： ． 15．（2025•闵行区校级月考）化简二次根式（a﹣1） ． 16．（2024•怀化期末）若，则a的取值范围是 ． 17．（2025•顺义区校级期中）实数a、b、c在数轴上对应点如图． （1）化简： ， ； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1 二次根式及其性质 1. 二次根式的定义 一般地，形如（其中）的式子叫做二次根式。 注意 · 根指数是2（通常省略不写，注意与立方根区分，立方根根指数为3，不能省略）； · 被开方数必须是非负数（），即被开方数可以是正数、0，不能是负数； · 二次根式是一个非负数（，）； · 常见拓展：形如 、、（需满足 ）的式子，也属于二次根式，本质是“含有二次根式的式子”。 2. 二次根式的性质（重点） 性质1：双重非负性 （），即二次根式的结果是非负数，且被开方数也是非负数。 注意初中阶段常见的非负数有3种：① （平方数）；② （绝对值）；③ （二次根式）。若这三类式子的和为0，则每一项都为0（高频考点）。 性质2：平方与开方的互逆性 （1）（）：二次根式先平方，结果等于被开方数； （2）（无限制条件）：一个数先平方，再开算术平方根，结果等于这个数的绝对值，再根据绝对值的意义化简： 注意 与 的区别——前者被开方数 才有意义，结果一定是 （非负）；后者无限制条件，结果是 （非负）。 【例1】（判断是否为二次根式）（1）判断下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？并说明理由。 ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥（）. 【解析】紧扣二次根式的定义（根指数为2、被开方数非负）逐一判断： ①是二次根式；根指数为2，被开方数3≥0，符合定义； ②不是二次根式；被开方数-5<0，不符合“被开方数非负”的要求； ③是二次根式；无论x取何实数，，故，根指数为2，符合定义； ④不是二次根式；根指数为3，是立方根，不是二次根式； ⑤是二次根式；系数为-1，根指数为2，被开方数7≥0，符合定义； ⑥不是二次根式；已知，则，被开方数为负数，不符合要求。 【变式1-1】判断下列各式是否为二次根式： （1）（2）（） （3） （4）（） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是. 【变式1-2】下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据二次根式的定义可得选D. 【技巧归纳】判断二次根式的“两步法”： 第一步：看根指数，必须是2（省略不写也可），若根指数是3或其他，则不是二次根式； 第二步：看被开方数，必须是非负数（），若被开方数是含字母的式子，需判断字母取值范围内，式子是否恒非负（如恒正，需看x的取值）。 【例2】(二次根式有意义的条件)求使下列二次根式有意义的x的取值范围。 ① ② ③ ④ 【解析】二次根式有意义的条件：被开方数≥0；若二次根式在分母上，需额外满足分母≠0。 ① 由 ，得 ； ② 由 （分母不能为0，且被开方数非负），得 ； ③ 由 ，∵ ，∴ ，x为全体实数； ④ 由 ，得 且 。 【变式2-1】求使二次根式 有意义的x的取值范围. 【答案】 【解析】根据二次根式的定义可知，x+4≥0且2-x＞0，解得. 【技巧归纳】二次根式有意义的条件“分情况”： 1. 单一二次根式（如 ）：直接令被开方数 ； 2. 二次根式在分母（如 ）：令被开方数 （兼顾“非负”和“分母不为0”）； 3. 多个二次根式相加（如 ）：令每个被开方数都非负，列不等式组求解； 4. 二次根式与平方、绝对值结合（如 ）：利用“非负数和为0，每一项都为0”求解。 【例3】(利用二次根式的性质化简与计算) 计算下列各式： （1） （2） （3） （4）（） 【解析】紧扣两个核心性质，注意符号和限制条件。 （1）利用性质1：（），得 ； （2）先化简符号，再用性质1：（平方消去负号）； （3）利用性质2：，得 ； （4）先因式分解，再化简绝对值：，∵ ，∴ ，故 。 【变式3-1】计算下列各式： （1） （2） （3）（） 【解析】（1）=0.5； （2）= ； （3）（）= . 【技巧归纳】二次根式性质化简“三注意” 1. 用 时，先确认 （无意义的式子不能化简）； 2. 用 时，先化简成绝对值，再根据字母取值范围去绝对值（重点：判断绝对值内式子的正负）； 3. 遇到多项式（如 ），先因式分解成完全平方形式（），再用性质化简。 【例4】（利用双重非负性求值）已知 ，求 的值。 【解析】双重非负性的核心应用——两个二次根式相加，被开方数需同时非负，列不等式组求解。 由题意，得 ，解得 ； 将 代入原式，得，∴ ； 因此，. 【变式4-1】已知 ，求 的值。 【解析】由题意，得 ，解得x=-2，y=3，原式=4+3=7. 一．二次根式的定义（共3小题） 1．（2025•呈贡区校级期末）下面是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式是指根指数为2的根式，且被开方数非负数． 【解答】解：A、为分数，不是二次根式，选项不符合题意； B、的根指数为3，不符合题意； C、根指数为2且被开方数是非负数，选项符合题意； D、被开方数为﹣4＜0，在实数范围内无意义，不符合题意． 故选：C． 2．（2025•公主岭市期末）若是二次根式，则a的值不能是（　　） A． B．3.14 C．﹣2 D．0 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，由此判断即可． 【解答】解：若是二次根式，则a≥0， 所以a的值不能是﹣2， 故选：C． 3．给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】要判断哪些式子是二次根式，需根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，依次分析每个式子是否符合该定义即可． 【解答】解：①，根指数是3，是三次根式，不是二次根式，不符合题意； ②，根指数为2，其被开方数2≥0，符合二次根式定义，符合题意； ③，根指数为2，其被开方数9≥0，符合二次根式定义，符合题意； ④，根指数为2，其被开方数x2≥0，符合二次根式定义，符合题意． 故选：C． 二．二次根式有意义的条件（共6小题） 4．（2025•九台区期末）式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（　　） A．﹣3 B．0 C．4 D．6 【答案】D 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此即可求得答案． 【解答】解：式子在实数范围内有意义， 则a﹣5≥0， 解得：a≥5， 则只有6符合题意， 故选：D． 5．（2025•安宁区校级期末）若，则代数式xy的值为（　　） A．4 B． C．﹣4 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出关于x的不等式组，通过解不等式组求得x的值，从而求得y值．将其代入所求的代数式求值即可． 【解答】解：根据题意，得 ， 解得x， ∴y＝﹣2； ∴xy4． 故选：A． 6．（2025•黄浦区校级月考）若和（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（　　） A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件得到﹣xy＞0且x﹣y≥0，则﹣xy＞0得到x、y异号，然后根据x≥y得到x、y的取值范围． 【解答】解：根据题意得﹣xy＞0且x﹣y≥0， 解得x＞0，y＜0． 故选：C． 7．（2025•南通校级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 x＜3　 ． 【答案】x＜3． 【分析】根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【解答】解：代数式有意义的x的取值范围是3﹣x＞0， 解得x＜3， 故答案为：x＜3． 8．若实数a和b满足，则a﹣b的算术平方根是　　 ． 【答案】． 【分析】先根据二次根式有意义的条件可得：，解得：，由此得a＝4，b+2＝0，即可求出b＝2，把a，b的值代入a﹣b求值，最后求算术平方根即可． 【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得， 解得：， ∴a＝4． ∴， ∴b+2＝0， ∴b＝﹣2， ∴a﹣b＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6， ∴6的算术平方根是，即a﹣b的算术平方根是． 故答案为：． 9．若x、y均为实数，且，求的平方根． 【答案】±2． 【分析】根据被开方数是非负数可求x，进一步求出y，再代入计算即可求出答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴x﹣1＝0， ∴x＝1， ∴2y﹣1＝0， ∴， ∴， ∵4的平方根是±2， ∴的平方根为±2． 三．二次根式的性质与化简（共10小题） 10．（2025•如皋市校级自主招生）根式的值为（　　） A．﹣3 B．9 C．3 D．﹣9 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：|﹣3|＝3． 故选：C． 11．（2025•普陀区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质、绝对值的定义逐个选项判断即可． 【解答】解：A、a，原计算错误，不符合题意； B、±a，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、a+b，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 12．（2025•抚宁区期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后估算其大小，然后确定其在数轴上的位置即可． 【解答】解：若“勾”为2，“股”为3， 则， ∵9＜13＜16， ∴34， 则“弦”在如图所示数轴上可表示在C点， 故选：C． 13．（2025•高新区校级月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（　　） A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a 【答案】B 【分析】先根据数轴判断出a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简． 【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|， ∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0， ∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a， 故选：B． 14．（2025•静安区校级期末）化简：　　 ． 【答案】． 【分析】，据此求解即可． 【解答】解：∵a3b＝a2•ab≥0，a2≥0， ∴ab≥0， ∴． 故答案为：． 15．（2025•闵行区校级月考）化简二次根式（a﹣1）　　 ． 【答案】． 【分析】先由得a＜1，从而确定a﹣1的符号；再将a﹣1变形为负的形式，移到根号内进行化简． 【解答】解：根据题意可知，， ∴1﹣a＞0，即a＜1， ∴a﹣1＜0． 原式． 故答案为：． 16．（2024•怀化期末）若，则a的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质得到3﹣2a≥0，据此求解即可． 【解答】解：根据二次根式的性质可知：3﹣2a≥0， 解得， 故答案为：． 17．（2025•顺义区校级期中）实数a、b、c在数轴上对应点如图． （1）化简：　2﹣c ，　﹣0.5﹣b ； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【分析】（1）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2，再根据有理数的加减法则判断2﹣c和0.5+b的正负，最后根据二次根式的性质化简即可； （2）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2，再根据有理数的加减法则判断c﹣a和b﹣c的正负，最后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【解答】解：（1）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2， ∴2﹣c＞0，0.5+b＜0， ∴， 故答案为：2﹣c，﹣0.5﹣b； （2）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2， ∴c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴ ＝﹣a﹣（c﹣a）+c﹣b ＝﹣a﹣c+a+c﹣b ＝﹣b． 学科网（北京）股份有限公司 $