第1章 二次函数（知识清单）数学湘教版九年级下册

第一章 二次函数 1.定义：一般地，形如 （ ）的函数称为二次函数。 2.二次项系数 的作用： 当时：抛物线开口向上；当时：抛物线开口向下。 3.表达式形式： 一般式： （ ）；顶点式： （ ），顶点坐标为 ）；交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（ ） 4.转换方法：通过配方法可将一般式化为顶点式。 5.图像与性质：形状为抛物线；对称轴为直线 ；顶点坐标为 ；与 轴交点： 。 增减性与最值：（1）若a>0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，x=时取得最小值为；（2）若a<0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小，x=时取得最大值为；用表格可表示如下： 表达式 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） a a>0 a<0 对称轴 x=– 顶点坐标 （–，） 大致图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 a>0，当x=–时，y最小值= a<0，当x=–时，y最大值= 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 注意：对称轴还可利用求解（其中为y值相等的两个点对应的横坐标）；运用配方法可将一般式转化为顶点式求解；将对称轴直线–代入函数表达式求 6.图象平移规律： 顶点式 中： （1） 控制左右平移（ 向右， 向左）；（2） 控制上下平移（ 向上， 向下）。 注意：使用图象的平移规律时最好是将一般式化为顶点式，表格表示如下： 平移方式（n>0） 平移技巧 向左平移n个单位 左加 向右平移n个单位 有减 向上平移n个单位 +n2 +n 上加 向下平移n个单位 -n2 -n 下减 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量 7.二次函数图象与系数的关系 各系数 系数的符号 图像特征 a 决定抛物线开口方向 a>0 开口向上 a<0 开口向下 a、b 决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴，即=0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 图像过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 决定抛物线与x轴交点的个数 与x轴有两个交点 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 a、b符号记忆口诀：左同右异（分为对称轴的左侧或右侧） 8.确定二次函数的表达式方法：根据已知条件设出适合的二次函数表达式，利用待定系数法求出所设二次函数表达式中的系数即可求解。具体如下： （1）已知图象上任意三点，可设为y=ax2+bx+c （2）已知顶点坐标（）,可设为y=a（x–h）2+k （3）已知函数与x轴的交点（），（），可设为：y=a（x–x1）（x–x2） （4）顶点在x轴上，可设为：y=a（x–h）2 （5）顶点在y轴上，可设为： 9.二次函数与一元二次方程：（1）求根公式为；（2）判别式为 时：=0有两个不等实根，对应二次函数图象与x轴有两个交点，两个交点的横坐标是对应一元二次方程的根；当时：=0有两个相等实根（顶点在 轴上），对应二次函数图象与x轴有一个交点，该交点的横坐标是对应一元二次方程的根；当时：=0无实根，对应二次函数图象与 轴无交点。表格表示如下： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 10实际应用中的典型问题：（1）最值问题： 开口向上时，顶点为最小值点；开口向下时，顶点为最大值点。求解步骤：将一般式化为顶点式或直接利用顶点坐标公式求解。（2）抛物线形问题建模： （3）桥拱、喷泉轨迹等，需建立坐标系并确定二次函数解析式。（4）经济问题： 利润最大化：通过二次函数模型求最大利润值。 注意：需要考虑实际问题中的自变量的取值范围 一、 对二次函数定义理解的误区 错误1：忽视“最高次数为2和a ≠ 0”的限制。 注意：必须先将函数表达式一般形式y = ax² + bx + c，再看最高次项是否为2，且系数a ≠ 0。 例题1：认为 y = 2x² + 3x + 1 - 2x² 是二次函数，但化简后为 y = 3x + 1，实际为一次函数。 例题2：认为 y = ax² + bx + 1 是二次函数，在不知道a的取值情况下需要分类讨论a是否为0，当a=0时不是二次函数。 错误2：忽略“整式”条件 注意：二次函数必须是关于自变量的整式（分母不含自变量，根号内不含自变量）。 例题1：认为 是二次函数。 例题2：认为 是二次函数。 错误3：混淆“函数关系”与“具体数值”。 注意：函数的具体值或最小值（顶点纵坐标）是一个固定的值，但函数值y随自变量x变化而变化。 例题1：已知 y = x² - 2x + 1，当 x = 1 时，y = 0，就认为该函数的最小值总是0。 例题2：在y = 2x² - 2x + 1中，x=0时y=1是特定点的函数值，并非该函数的值只能是1，仅仅是x=0时y=1。 二、 对二次函数y = a(x - h)² + k顶点式理解的误区 错误1：顶点坐标(h, k)的符号混淆。 注意：顶点式 y = a(x - h)² + k 中，顶点坐标就是 (h, k)。括号内是x - h，所以h的值直接取正号，k的值也直接取正号。 上例顶点是(3, 4)。y = a(x + m)² + n 需先化为 y = a(x - (-m))² + n，顶点为(-m, n)。 例题1：认为函数 y = 2(x - 3)² + 4 的顶点是(-3, 4) 或 (3, -4)。 例题2：认为函数 y = 2(x + 3)² - 4 的顶点是(3, 4) 或 (-3, 4)。 错误2：误认为顶点式中的h和k是常数项。 注意：顶点式 y = a(x - h)² + k 展开后得到的常数项是 ah² + k，与k并不相同。不能直接通过常数项比较k。 例题1：将 y = (x - 2)² - 5 与 y = x² - 4x - 1 的常数项直接比较。 例题2：将 y = 2(x - 2)² - 5 与 y = 2x² - 4x - 1 的常数项直接比较。 三、 对二次函数y = ax² + bx + c一般式理解的误区 错误1：顶点坐标公式 (-, ) 记忆与应用错误。 注意：必须熟记公式 (-, ) 。代入时，a, b, c 是包含符号的数值。计算时务必仔细，可先用括号标明符号再计算。 例题1：忘记分母是2a，写成 -。 例题2：纵坐标公式记成 或 。 例题3：代入公式时，系数a, b, c的符号弄错（特别是b为负时）。 错误2：对称轴公式 x = - 与顶点横坐标的关系混淆。 注意：对称轴是经过顶点且垂直于x轴的直线，其方程就是顶点横坐标的表达式 -。b前面的符号是负号。 例题1：认为对称轴公式是 -。 例题2：常常记错为- -。 四、 二次函数y = ax² + bx + c中a, b, c符号与图像关系理解的误区 错误：由a, b, c的符号直接判断图像位置。 注意：c 决定图像与y轴交点的位置（0, c）。 i.对称轴 x =- 的位置由 a 和 b 共同决定。判断对称轴在y轴哪一侧，应计算 的值或看 a 和 b 的符号： 1.a > 0 时，b > 0 则 < 0（左），b < 0 则 > 0（右）。2.a < 0 时，b > 0 则 > 0（右），b < 0 则 < 0（左）。ii.即“左同右异”：对称轴在y轴左侧时，a, b同号；在右侧时，a, b异号。 例题1：认为 c > 0 时，图像一定过y轴正半轴（正确），但忽略其是否唯一决定位置。 例题2：认为 a 和 b 同号时，对称轴一定在y轴左侧（ < 0），异号时一定在右侧（x = > 0）。忽略了a的正负对不等式方向的影响。 五、 二次函数图像平移规律的误区 错误：混淆平移方向与表达式变化的关系。 注意：平移口诀：“左加右减，上加下减”。 这里的“左加右减”是作用在x上： i.向右平移h个单位：将原函数中的x替换为 (x - h)。 ii.向左平移h个单位：将原函数中的x替换为 (x + h)。 iii.向上平移k个单位：在函数表达式后 + k。 iv.向下平移k个单位：在函数表达式后 - k。 例题1：将 y = 2x² 向右平移3个单位，得到 y = 2(x + 3)²（应为 y = 2(x - 3)²）。 例题2：将 y = 2x² 向上平移2个单位，得到 y = 2x²-2（应为 y = 2x²+2）。 特别注意：替换x时，是(x - h)对应右移，(x + h)对应左移。 上下平移时，直接应用上加下减。 六、 二次函数与方程、不等式综合应用时的误区 错误：混淆函数值y、自变量x、方程根、不等式解集的关系。 注意： 方程 ax² + bx + c = 0 的根是函数 y = ax² + bx + c 图像与x轴交点的横坐标；不等式 ax² + bx + c > 0 的解集对应图像在x轴上方部分对应的x的范围；不等式 ax² + bx + c < 0 的解集对应图像在x轴下方部分对应的x的范围。 注意步骤： 1.确定二次函数图象的开口方向（a > 0 向上，a < 0 向下）；2.确定图象与x轴的交点情况（计算判别式 Δ = b² - 4ac，判断根的情况：两交点、一交点、无交点）；3.结合开口方向和交点位置（根的大小），利用数形结合思想写出解集。 例题1：解不等式 ax² + bx + c > 0，直接解方程 ax² + bx + c = 0 得根 x₁, x₂，然后写解集 x > x₁ 或 x > x₂，忽略a的符号和根的大小关系。 例题2：已知二次函数图像在x轴上方，求a的范围，只考虑 Δ < 0，忽略了 a > 0 的条件。 备考建议： 1. 回归定义： 遇到概念不清时，务必回到二次函数的定义（整式、最高次为2、a ≠ 0）进行判断。 2. 公式准确： 顶点坐标公式、对称轴公式、判别式公式必须准确记忆，代入数值时注意符号。 3. 数形结合： 养成画草图辅助分析的习惯。理解a, b, c的符号对开口方向、对称轴位置、与y轴交点的影响，特别是“a和b共同决定对称轴位置”。 4. 平移口诀： 牢记“左加右减（对x），上加下减（对整个函数）”，并注意方向与操作的对应关系。 5. 综合应用： 解决方程、不等式问题时，先确定开口方向、判别式、求根（如果需要），再结合图像位置写出答案。特别注意a的符号对解集方向的影响。 6. 审题细心： 仔细阅读题目要求，区分是求函数值、自变量范围、顶点坐标、对称轴还是解集等。 重难点01 二次函数定义与辨析 识别二次函数的隐藏条件（整式、最高次项系数≠0） 【典例1】若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 【典例2】已知． （1）当的值为 时，是的正比例函数． （2）当的值为 时，是的二次函数． （3）当的值为 时，是的反比例函数． 【答案】 1 【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据二次函数的定义求解； （3）根据反比例函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 重难点02 顶点式与一般式的转换 顶点式 中顶点坐标 的符号确定； 一般式 化为顶点式（配方）。 【典例1】将二次函数化为的形式． 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式． 通过配方法将二次函数化为顶点形式，先提取公因数，再完成配方，最后合并常数项． 【详解】解： ． 【典例2】已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式即可得出结果； （2）用描点法画出函数图象即可； （3）结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， 故将化成的形式为； （2）解：由（1）可得，该二次函数的顶点为， 令，， 解得：或， 故该二次函数与轴的交点为和， 当时，， 故该二次函数与轴的交点为， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的交点关于对称轴对称的点的坐标为， 描点、画出函数图象如图所示： （3）解：当时，结合图象，y的取值范围为． 重难点03 二次函数与其它函数综合 【典例1】在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由一次函数的图象可知经过第一、三、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，故符合题意； B、由一次函数的图象可知经过第一、二、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，故该选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知经过第一、二、三象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，故该选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知经过第一、三、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，故该选项不符合题意； 故选A． 【典例2】已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 【典例3】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【典例4】抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【典例5】如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得； （2）由图像即可得． 【详解】（1）解：将点A（4，4）代入得， 解得． （2）解：由图像可知，当或时，． 重难点04 参数 a,b,c 对图像的影响 根据图象对含a、b、c的式子进行综合判断 【典例1】已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵图像开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为， ∴， ， ， ∴①错误，④正确； 当时，由图像知， 把代入解析式得：， ∴， ∴②正确； ∵，， ， ∴③正确； ∵时，（最大值）， 时，， ∵的实数， ， ∴ ∴⑤错误． 故正确的是②③④，共3个， 故选：B． 【典例2】如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线．下列四个结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中结论正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符号特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∵对称轴为直线，即 ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①③④，共3个． 故选：C． 【典例3】二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，，可判断①；再由图象经过点，可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，可判断②；根据题意可得点关于对称轴的对称点为，可判断③；当时，，然后分两种情况：当时，可得；当时，可得，可判断④． 【详解】解：当时，， ∴该函数图象过点，故①正确； ∵二次函数，其图象经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点在该函数图象上，则也在该函数图象上，故③正确； ∵， ∴， 当时，， 当时， ∵当时，y只有3个整数值，1，2，3，且图象经过点， ∴， ∴； 当时， ∵当时，y只有3个整数值，3，4，5，且图象经过点， ∴， ∴， 综上所述，当时，y只有3个整数值，则或，故④正确； 故答案为：①③④． 重难点05 二次函数与方程、不等式 【典例1】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 【典例2】如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系，利用图象以及二次函数的性质解决问题． 根据二次函数的对称性求得与轴的另一个交点坐标，根据图象与轴的交点坐标即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象得：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ，即， 由图象可得或． 故选D． 【典例2】函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、二次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据函数图象和函数与不等式的关系即可得出答案． 【详解】解：从图象可知，当时，的取值范围是或． 故选：C． 重难点06 实际应用问题 【典例1】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 【典例2】自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为162平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）矩形菜园的边长为米，则边长为米，进而根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据墙长25米，进而得出自变量x的取值范围； （2）根据配方法化为顶点式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形菜园的边长为米， ∴边长为米， ∴， 自变量x的取值范围是； （2）解：， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当时，满足条件的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米． 【典例3】某款智能闹钟深受同学们喜爱，某经销商统计了该款智能闹钟4月份到6月份的销量，其中4月份销售300个，6月份销售432个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该款智能闹钟销售量的月增长率； (2)若该款智能闹钟的进价为30元/个，经调查发现，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．要使销售该款智能闹钟每月获得的利润最大，则销售单价应为多少元？ 【答案】(1)月增长率为 (2)销售单价应为65元 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确的列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该款智能闹钟销售量的月增长率为，根据4月份销售300个，6月份销售432个，据此列一元二次方程求解即可； （2）设销售单价为元，销售该款智能闹钟每月获得的利润为元，再根据题意列出与销售单价的函数关系式，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设该款智能闹钟销售量的月增长率为， 由题意得，， 解得，． 答：该款智能闹钟销售量的月增长率为； （2）解：设销售单价为元，销售该款智能闹钟每月获得的利润为元， 由题意得，， ，开口向下， 当元时， 销售该款智能闹钟每月获得的利润最大． 答：要使销售该款智能闹钟每月获得的利润最大，则销售单价应为65元． 【典例4】如图为某住宅小区新修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘为原点，地面所在直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【答案】(1)或． (2) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，再进一步求解即可； （2）令，可得，再解方程，并进一步求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴拱门所在抛物线的函数表达式为或． （2）解：令，可得， 解得，， ， ∴这两根支柱之间的距离为． 【典例5】【发现问题】 投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，淇淇发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 淇淇利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：m）与竖直高度（单位：m）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，淇淇发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 (1)在淇淇投掷过程中，出手时实心球竖直高度是______m，实心球在空中的最大高度是______m； (2)求满足条件的二次函数的解析式； (3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于8m时，即可得满分10分，淇淇在此次考试中能否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)2， (2) (3)淇淇在此次考试中能得到满分，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在淇淇投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是； （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：淇淇在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴淇淇在此次考试中能得到满分． 【典例6】综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 【典例7】如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，连接，在线段上有一动点P，且点P不与B、C重合，过P作y轴的平行线，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与相似时，求P点的横坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或 【分析】（1）由题意得点，点，点，则有，然后根据可得a的值，进而问题可求解； （2）由题意可分当时和当时，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）解：令时，， 解得：； 当时，； 点，点，点， ， ， ， ， 抛物线的函数表达式为：． （2）解：以C、P、N为顶点的三角形与相似，且， 或， 若， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， 点的纵坐标为2， ， （舍去），， 点的横坐标为． 故点的横坐标为． 若， 设直线的解析式为，把点，点代入得， ，解得：， 直线的函数表达式为：． 设点，其中，则点，点， ， ，． ， ． ， 两边同除以可得，整理得， ， 点的横坐标为． 综上所述：点的横坐标为或． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 1.定义：一般地，形如 的函数称为二次函数。 2.二次项系数 的作用： 当时：抛物线开口 ；当 时：抛物线开口向下。 3.表达式形式： 一般式： ；顶点式： ，顶点坐标为 ；交点式： 。 4.转换方法：通过 可将一般式化为顶点式。 5.图像与性质：形状为抛物线；对称轴为直线 ；顶点坐标为 ；与 轴交点： 。 增减性与最值：（1）若 ，当时，y随x的 ；当时，y随x的 ，x=时取得最小值为 ；（2）若 ，当时，y随x的 ；当时，y随x的 ， 时取得最大值为；用表格可表示如下： 表达式 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） a 对称轴 顶点坐标 （–，） 大致图象 开口方向 最值 a>0，当x=–时，y最小值= a<0，当x=–时，y最大值= 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 注意：对称轴还可利用求解（其中为y值相等的两个点对应的横坐标）；运用配方法可将一般式转化为顶点式求解；将对称轴直线 代入函数表达式求 6.图象平移规律： 顶点式 中： （1） 控制左右平移（ 向右， 向左）；（2） 控制上下平移（ 向上， 向下）。 注意：使用图象的平移规律时最好是将一般式化为顶点式，表格表示如下： 平移方式（n>0） 平移技巧 向左平移n个单位 左加 向右平移n个单位 有减 向上平移n个单位 上加 向下平移n个单位 下减 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量 7.二次函数图象与系数的关系 各系数 系数的符号 图像特征 a 决定抛物线开口方向 开口向上 a<0 a、b 决定抛物线对称轴的位置 对称轴是y轴，即=0 a，b同号 对称轴在y轴右侧，即 c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 c>0 决定抛物线与x轴交点的个数 a、b符号记忆口诀：左同右异（分为对称轴的左侧或右侧） 8.确定二次函数的表达式方法：根据已知条件设出适合的二次函数表达式，利用 求出所设二次函数表达式中的系数即可求解。具体如下： （1）已知图象上任意三点，可设为 （2）已知顶点坐标 ,可设为y=a（x–h）2+k （3）已知函数与x轴的交点（），（），可设为： （4）顶点在x轴上，可设为： （5）顶点在y轴上，可设为： 9.二次函数与一元二次方程：（1）求根公式为；（2）判别式为 时：=0有 ，对应二次函数图象与x轴有 ，两个交点的横坐标是对应一元二次方程的根；当时：=0有 （顶点在 轴上），对应二次函数图象与x轴有 ，该交点的横坐标是对应一元二次方程的根；当时：=0无实根，对应二次函数图象与 轴无交点。表格表示如下： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 10实际应用中的典型问题：（1）最值问题： 开口 时，顶点为 ；开口 时，顶点为 。求解步骤：将一般式化为顶点式或直接利用 求解。（2）抛物线形问题建模： （3）桥拱、喷泉轨迹等，需建立坐标系并确定 。（4）经济问题： 利润最大化：通过二次函数模型求最大利润值。 注意：需要考虑实际问题中的自变量的取值范围 一、 对二次函数定义理解的误区 错误1：忽视“最高次数为2和a ≠ 0”的限制。 注意：必须先将函数表达式一般形式y = ax² + bx + c，再看最高次项是否为2，且系数a ≠ 0。 例题1：认为 y = 2x² + 3x + 1 - 2x² 是二次函数，但化简后为 y = 3x + 1，实际为一次函数。 例题2：认为 y = ax² + bx + 1 是二次函数，在不知道a的取值情况下需要分类讨论a是否为0，当a=0时不是二次函数。 错误2：忽略“整式”条件 注意：二次函数必须是关于自变量的整式（分母不含自变量，根号内不含自变量）。 例题1：认为 是二次函数。 例题2：认为 是二次函数。 错误3：混淆“函数关系”与“具体数值”。 注意：函数的具体值或最小值（顶点纵坐标）是一个固定的值，但函数值y随自变量x变化而变化。 例题1：已知 y = x² - 2x + 1，当 x = 1 时，y = 0，就认为该函数的最小值总是0。 例题2：在y = 2x² - 2x + 1中，x=0时y=1是特定点的函数值，并非该函数的值只能是1，仅仅是x=0时y=1。 二、 对二次函数y = a(x - h)² + k顶点式理解的误区 错误1：顶点坐标(h, k)的符号混淆。 注意：顶点式 y = a(x - h)² + k 中，顶点坐标就是 (h, k)。括号内是x - h，所以h的值直接取正号，k的值也直接取正号。 上例顶点是(3, 4)。y = a(x + m)² + n 需先化为 y = a(x - (-m))² + n，顶点为(-m, n)。 例题1：认为函数 y = 2(x - 3)² + 4 的顶点是(-3, 4) 或 (3, -4)。 例题2：认为函数 y = 2(x + 3)² - 4 的顶点是(3, 4) 或 (-3, 4)。 错误2：误认为顶点式中的h和k是常数项。 注意：顶点式 y = a(x - h)² + k 展开后得到的常数项是 ah² + k，与k并不相同。不能直接通过常数项比较k。 例题1：将 y = (x - 2)² - 5 与 y = x² - 4x - 1 的常数项直接比较。 例题2：将 y = 2(x - 2)² - 5 与 y = 2x² - 4x - 1 的常数项直接比较。 三、 对二次函数y = ax² + bx + c一般式理解的误区 错误1：顶点坐标公式 (-, ) 记忆与应用错误。 注意：必须熟记公式 (-, ) 。代入时，a, b, c 是包含符号的数值。计算时务必仔细，可先用括号标明符号再计算。 例题1：忘记分母是2a，写成 -。 例题2：纵坐标公式记成 或 。 例题3：代入公式时，系数a, b, c的符号弄错（特别是b为负时）。 错误2：对称轴公式 x = - 与顶点横坐标的关系混淆。 注意：对称轴是经过顶点且垂直于x轴的直线，其方程就是顶点横坐标的表达式 -。b前面的符号是负号。 例题1：认为对称轴公式是 -。 例题2：常常记错为- -。 四、 二次函数y = ax² + bx + c中a, b, c符号与图像关系理解的误区 错误：由a, b, c的符号直接判断图像位置。 注意：c 决定图像与y轴交点的位置（0, c）。 i.对称轴 x =- 的位置由 a 和 b 共同决定。判断对称轴在y轴哪一侧，应计算 的值或看 a 和 b 的符号： 1.a > 0 时，b > 0 则 < 0（左），b < 0 则 > 0（右）。2.a < 0 时，b > 0 则 > 0（右），b < 0 则 < 0（左）。ii.即“左同右异”：对称轴在y轴左侧时，a, b同号；在右侧时，a, b异号。 例题1：认为 c > 0 时，图像一定过y轴正半轴（正确），但忽略其是否唯一决定位置。 例题2：认为 a 和 b 同号时，对称轴一定在y轴左侧（ < 0），异号时一定在右侧（x = > 0）。忽略了a的正负对不等式方向的影响。 五、 二次函数图像平移规律的误区 错误：混淆平移方向与表达式变化的关系。 注意：平移口诀：“左加右减，上加下减”。 这里的“左加右减”是作用在x上： i.向右平移h个单位：将原函数中的x替换为 (x - h)。 ii.向左平移h个单位：将原函数中的x替换为 (x + h)。 iii.向上平移k个单位：在函数表达式后 + k。 iv.向下平移k个单位：在函数表达式后 - k。 例题1：将 y = 2x² 向右平移3个单位，得到 y = 2(x + 3)²（应为 y = 2(x - 3)²）。 例题2：将 y = 2x² 向上平移2个单位，得到 y = 2x²-2（应为 y = 2x²+2）。 特别注意：替换x时，是(x - h)对应右移，(x + h)对应左移。 上下平移时，直接应用上加下减。 六、 二次函数与方程、不等式综合应用时的误区 错误：混淆函数值y、自变量x、方程根、不等式解集的关系。 注意： 方程 ax² + bx + c = 0 的根是函数 y = ax² + bx + c 图像与x轴交点的横坐标；不等式 ax² + bx + c > 0 的解集对应图像在x轴上方部分对应的x的范围；不等式 ax² + bx + c < 0 的解集对应图像在x轴下方部分对应的x的范围。 注意步骤： 1.确定二次函数图象的开口方向（a > 0 向上，a < 0 向下）；2.确定图象与x轴的交点情况（计算判别式 Δ = b² - 4ac，判断根的情况：两交点、一交点、无交点）；3.结合开口方向和交点位置（根的大小），利用数形结合思想写出解集。 例题1：解不等式 ax² + bx + c > 0，直接解方程 ax² + bx + c = 0 得根 x₁, x₂，然后写解集 x > x₁ 或 x > x₂，忽略a的符号和根的大小关系。 例题2：已知二次函数图像在x轴上方，求a的范围，只考虑 Δ < 0，忽略了 a > 0 的条件。 备考建议： 1. 回归定义： 遇到概念不清时，务必回到二次函数的定义（整式、最高次为2、a ≠ 0）进行判断。 2. 公式准确： 顶点坐标公式、对称轴公式、判别式公式必须准确记忆，代入数值时注意符号。 3. 数形结合： 养成画草图辅助分析的习惯。理解a, b, c的符号对开口方向、对称轴位置、与y轴交点的影响，特别是“a和b共同决定对称轴位置”。 4. 平移口诀： 牢记“左加右减（对x），上加下减（对整个函数）”，并注意方向与操作的对应关系。 5. 综合应用： 解决方程、不等式问题时，先确定开口方向、判别式、求根（如果需要），再结合图像位置写出答案。特别注意a的符号对解集方向的影响。 6. 审题细心： 仔细阅读题目要求，区分是求函数值、自变量范围、顶点坐标、对称轴还是解集等。 重难点01 二次函数定义与辨析 识别二次函数的隐藏条件（整式、最高次项系数≠0） 【典例1】若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【典例2】已知． （1）当的值为 时，是的正比例函数． （2）当的值为 时，是的二次函数． （3）当的值为 时，是的反比例函数． 重难点02 顶点式与一般式的转换 顶点式 中顶点坐标 的符号确定； 一般式 化为顶点式（配方）。 【典例1】将二次函数化为的形式． 【典例2】已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出y的取值范围． 重难点03 二次函数与其它函数综合 【典例1】在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【典例3】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【典例4】抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【典例5】如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 重难点04 参数 a,b,c 对图像的影响 根据图象对含a、b、c的式子进行综合判断 【典例1】已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例2】如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线．下列四个结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中结论正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点；②；③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是 （填序号）． 重难点05 二次函数与方程、不等式 【典例1】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【典例2】函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 重难点06 实际应用问题 【典例1】某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【典例2】自《义务教育课程方案》和课程标准（2022版）发布以来，河南省各地区学校积极响应劳动教育课程改革，开展多种形式劳动教育．为便于劳动实践活动，某校要建一个如图所示的矩形菜园，其中一边靠墙，另外三边用总长为36米的篱笆围成．已知墙长25米．若设矩形菜园的边长为x米，矩形菜园的面积为y平方米． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的矩形菜园面积最大？最大面积是多少？ 【典例3】某款智能闹钟深受同学们喜爱，某经销商统计了该款智能闹钟4月份到6月份的销量，其中4月份销售300个，6月份销售432个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该款智能闹钟销售量的月增长率； (2)若该款智能闹钟的进价为30元/个，经调查发现，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．要使销售该款智能闹钟每月获得的利润最大，则销售单价应为多少元？ 【典例4】如图为某住宅小区新修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘为原点，地面所在直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【典例5】【发现问题】 投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，淇淇发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化． 【提出问题】 实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 淇淇利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：m）与竖直高度（单位：m）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，淇淇发现其图象是二次函数的一部分． 【解决问题】 (1)在淇淇投掷过程中，出手时实心球竖直高度是______m，实心球在空中的最大高度是______m； (2)求满足条件的二次函数的解析式； (3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于8m时，即可得满分10分，淇淇在此次考试中能否得到满分，请说明理由． 【典例6】综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例7】如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，连接，在线段上有一动点P，且点P不与B、C重合，过P作y轴的平行线，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与相似时，求P点的横坐标． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $