第1章 二次函数（复习讲义）数学湘教版九年级下册

第一章 二次函数（复习讲义） 基础目标：掌握核心概念与性质 这个目标层级要求理解并记忆二次函数的核心概念、图象特征及其基本性质，是解决各类问题的基础。 1、并复述定义 能准确复述二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，且 a≠0）的函数称为二次函数。能根据定义识别二次函数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。特别注意 a≠0 的前提，这在考查函数定义的题目中是关键。 2、图象与描述基本性质 掌握用描点法画二次函数图象。通过图象，能描述二次函数的开口方向（由 a 的符号决定）、对称轴（直线）、顶点坐标（将对称轴横坐标代入函数解析式求解）等基本性质。这部分是图象题的基础。 3、系数影响 能根据图象或解析式，判断系数 a,b,ca,b,c 对图象的影响-7： a : 决定开口方向与大小。a>0a>0 开口向上；a<0a<0 开口向下。∣a∣ 越大，开口越小。 c : 决定了图象与y轴的交点。 进阶目标：灵活应用与模型建立 这个目标层级要求熟练运用二次函数性质解决典型问题，并建立函数模型解决实际问题，是中考考查的核心。 解析式待定系数法 能根据题目条件，灵活选用适当形式求解析式： 一般式 y=ax2+bx+c: 已知图象上任意三点坐标。 顶点式 y=a(x−h)2+k: 已知顶点坐标或最值。 交点式 y=a(x−x1​)(x−x2​): 已知图象与x轴的两个交点坐标。 应用性质求最值 这是中考高频考点。能利用二次函数性质在给定区间内求最大值或最小值。关键在于确定顶点横坐标是否在自变量取值范围内，并进行比较。 函数与方程不等式 理解二次函数y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0、一元二次不等式之间的联系： 能由二次函数图象确定相应方程根的情况（抛物线与x轴交点个数）。 能利用图象解一元二次不等式（看图象在x轴上方或下方对应的x范围）。 建立模型解决实际问题 能将实际问题中的数量关系抽象为二次函数模型，例如： 面积最大问题：如用一定长度的篱笆围成最大面积的矩形。 利润最大问题：涉及降价促销等场景。 抛物线形轨迹问题：如物体运动轨迹、拱桥设计等。 解题关键：仔细审题，确定变量，建立函数关系式，并注意实际问题中自变量的取值范围。 拓展目标：融会贯通与综合探究 这个目标层级侧重于深度理解知识内在联系，综合运用解决复杂问题，常在压轴题中出现。 图象特征与系数关系 能综合分析二次函数图象与系数 a,b,c 及代数式（如a+b+c,a−b+c 等）符号的关系。这类题多出现在选择题，需结合图象和特殊点判断。 图象的平移与对称 掌握抛物线平移规律：“左加右减，上加下减”。能求抛物线关于坐标轴或原点对称的图象解析式。 含参二次函数问题 能处理含参数的二次函数问题，如根据条件确定参数值或范围。这类题常需分类讨论，并运用顶点坐标、判别式等知识。 二次函数综合题 中考压轴题常考。这类题综合性强，可能涉及： 在平面直角坐标系中，结合几何图形（如三角形、四边形）进行探究。 存在性问题（如等腰三角形、直角三角形的存在性）。 线段长度、图形面积的最值问题。 解决需数形结合，并具备良好的分析、推理和计算能力。 说明：梳理章节重点知识，理科可总结归纳常见结论、易错点等；文科可将常考知识点利用挖空的形式体现，如： 知识点 重点归纳 常见易错点 定义 y=ax2+bx+c (a≠0) 必须保证二次项系数不为零。 图象 抛物线 关键点：开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点。 基本性质 增减性、最值 以对称轴为界，函数增减性发生变化。顶点处取得最值。 系数影响 a,b,c 的作用 a决定开口；c决定与y轴交点； a,b共同影响对称轴位置。 解析式求法 待定系数法 根据已知条件灵活选择一般式、顶点式、交点式。 函数与方程不等式 数形结合 方程根即图象与x轴交点横坐标；不等式解集看图象在x轴上下方区域。 实际应用 建模思想 审清题意，确定变量关系，注意自变量取值范围，验证结果合理性。 题型一、二次函数的定义及应用 【例1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．4 C． D．1 【变式1-3】 （25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 题型二 顶点式的图象和性质 【例2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【变式2-3】（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 题型三 一般式的图象和性质 【例3】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 【变式3-1】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）若点和在函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象； (2)根据图象回答： ①当时，的取值范围是_____； ②判断在二次函数图象上方还是下方?（需要过程） 0 1 2 5 0 【变式3-3】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______； (2)当时求的取值范围． 题型四 二次函数图象与各项系数的关系 【例4】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图像顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图是二次函数（，，是常数）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于以下说法：①；②；③；④当时，，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 题型五 待定系数法求二次函数解析式 【例5】（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 【变式5-1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，；求这个二次函数的解析式． 【变式5-3】（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是，且经过点，求此抛物线的解析式． 【变式5-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 题型六 二次函数图象的平移 【例6】（25-26九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数，则函数的最小值为 ． 【变式6-2】（25-26九年级上·吉林·阶段练习）若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为 ． 题型七 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判定 【例7】如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·安徽滁州·二模）已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【变式7-2】（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25九年级上·广东·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 题型八 二次函数、方程与不等式 【例8】（25-26九年级上·陕西·阶段练习）二次函数（，为常数）与x轴交于点，，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【变式8-3】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为______，______； (2)当时，直接写出的取值范围为__________； (3)当时，直接写出的取值范围是__________． 【变式8-4】（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当______时，方程； ②不等式的解集为__________________________． 基础巩固通关测 1．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 3．二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 5．关于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ） A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而增大 6．在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．若二次函数的图象开口向上，则 ． 10．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 11．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 12．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 13．已知二次函数的图象的顶点坐标是，且过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若函数值随的增大而增大，求的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)一次函数（）的图象也经过点A、B，在右图中大致画出两个函数的图象．结合图象，直接写出不等式的解集． 15．已知某种炮弹的飞行高度（m）与飞行时间（s）的函数关系为． (1)炮弹发射后，飞行多长时间才会落到地面上？ (2)炮弹发射后，何时距地面高度为？ (3)炮弹发射后，飞行多长时间才能达到最高点？最高点距离地面有多高？ 16．如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 17．如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 18．陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱． (1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式； (2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润． 能力提升进阶练 36．（2025·广东·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为 ． 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律． 如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题： (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米． 3．（广东省东莞市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）随着生活水平发展，小车已进入千家万户．洗车时喷水器喷出的水抽象而成抛物线，如图，抛物线是某喷水器喷出的水抽象而成（AB是最近点，是最远点），抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，且点均在坐标轴上． (1)若，求抛物线表达式，并指出的取值范围； (2)求抛物线表达式并指出的取值范围； (3)在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为米，的取值范围_____（直接写出结果）． 4．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 6．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 7．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 9．（23-24九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离； (3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共104页 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数（复习讲义） 基础目标：掌握核心概念与性质 这个目标层级要求理解并记忆二次函数的核心概念、图象特征及其基本性质，是解决各类问题的基础。 1、并复述定义 能准确复述二次函数的定义：形如 y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，且 a≠0）的函数称为二次函数。能根据定义识别二次函数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。特别注意 a≠0 的前提，这在考查函数定义的题目中是关键。 2、图象与描述基本性质 掌握用描点法画二次函数图象。通过图象，能描述二次函数的开口方向（由 a 的符号决定）、对称轴（直线）、顶点坐标（将对称轴横坐标代入函数解析式求解）等基本性质。这部分是图象题的基础。 3、系数影响 能根据图象或解析式，判断系数 a,b,ca,b,c 对图象的影响-7： a : 决定开口方向与大小。a>0a>0 开口向上；a<0a<0 开口向下。∣a∣ 越大，开口越小。 c : 决定了图象与y轴的交点。 进阶目标：灵活应用与模型建立 这个目标层级要求熟练运用二次函数性质解决典型问题，并建立函数模型解决实际问题，是中考考查的核心。 解析式待定系数法 能根据题目条件，灵活选用适当形式求解析式： 一般式 y=ax2+bx+c: 已知图象上任意三点坐标。 顶点式 y=a(x−h)2+k: 已知顶点坐标或最值。 交点式 y=a(x−x1​)(x−x2​): 已知图象与x轴的两个交点坐标。 应用性质求最值 这是中考高频考点。能利用二次函数性质在给定区间内求最大值或最小值。关键在于确定顶点横坐标是否在自变量取值范围内，并进行比较。 函数与方程不等式 理解二次函数y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0、一元二次不等式之间的联系： 能由二次函数图象确定相应方程根的情况（抛物线与x轴交点个数）。 能利用图象解一元二次不等式（看图象在x轴上方或下方对应的x范围）。 建立模型解决实际问题 能将实际问题中的数量关系抽象为二次函数模型，例如： 面积最大问题：如用一定长度的篱笆围成最大面积的矩形。 利润最大问题：涉及降价促销等场景。 抛物线形轨迹问题：如物体运动轨迹、拱桥设计等。 解题关键：仔细审题，确定变量，建立函数关系式，并注意实际问题中自变量的取值范围。 拓展目标：融会贯通与综合探究 这个目标层级侧重于深度理解知识内在联系，综合运用解决复杂问题，常在压轴题中出现。 图象特征与系数关系 能综合分析二次函数图象与系数 a,b,c 及代数式（如a+b+c,a−b+c 等）符号的关系。这类题多出现在选择题，需结合图象和特殊点判断。 图象的平移与对称 掌握抛物线平移规律：“左加右减，上加下减”。能求抛物线关于坐标轴或原点对称的图象解析式。 含参二次函数问题 能处理含参数的二次函数问题，如根据条件确定参数值或范围。这类题常需分类讨论，并运用顶点坐标、判别式等知识。 二次函数综合题 中考压轴题常考。这类题综合性强，可能涉及： 在平面直角坐标系中，结合几何图形（如三角形、四边形）进行探究。 存在性问题（如等腰三角形、直角三角形的存在性）。 线段长度、图形面积的最值问题。 解决需数形结合，并具备良好的分析、推理和计算能力。 说明：梳理章节重点知识，理科可总结归纳常见结论、易错点等；文科可将常考知识点利用挖空的形式体现，如： 知识点 重点归纳 常见易错点 定义 y=ax2+bx+c (a≠0) 必须保证二次项系数不为零。 图象 抛物线 关键点：开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点。 基本性质 增减性、最值 以对称轴为界，函数增减性发生变化。顶点处取得最值。 系数影响 a,b,c 的作用 a决定开口；c决定与y轴交点； a,b共同影响对称轴位置。 解析式求法 待定系数法 根据已知条件灵活选择一般式、顶点式、交点式。 函数与方程不等式 数形结合 方程根即图象与x轴交点横坐标；不等式解集看图象在x轴上下方区域。 实际应用 建模思想 审清题意，确定变量关系，注意自变量取值范围，验证结果合理性。 题型一、二次函数的定义及应用 【例1】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数． 根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是二次函数，不符合题意； B．不是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，符合题意； D．不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的相关定义解答即可. 【详解】解：二次函数的一次项系数为. 故选：A 【变式1-3】 （25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 题型二 顶点式的图象和性质 【例2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，根据解析式可推出对称轴和离对称轴越远函数值越小，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式的图象和性质；由可画出图象，数形结合，即可求解. 【详解】解：由二次函数，可画出如下图象： 二次函数，开口向下，关于直线对称，顶点坐标为 A、当时，y随x的增大而增大，故A不符合题意； B、当时，y随x的增大而减小，故B符合题意； C、图象有最高点，其坐标是，故C不符合题意； D、图象有最高点，其坐标是，故D不符合题意. 故选：B. 【变式2-3】（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察点和，它们关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，且和两点的纵坐标相等， ∴点和关于对称轴对称， 即． 故答案为：1． 题型三 一般式的图象和性质 【例3】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质．将代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a的值． 【详解】解：∵过， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）若点和在函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，理解题意，分别算出的值，再进行比较，即可作答． 【详解】解：∵点和在函数图象上， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：A 【变式3-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象； (2)根据图象回答： ①当时，的取值范围是_____； ②判断在二次函数图象上方还是下方?（需要过程） 【答案】(1)作图见详解 (2)①；②在二次函数图象上方 【分析】本题考查二次函数图象与性质，利用描点法作出二次函数图象是解决问题的关键． （1）先列表，再描点、最后连线即可作出二次函数图象； （2）由（1）中二次函数图象，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数，列表： 0 1 2 5 0 作出函数图象： ； （2）解：根据图象： ①当时，的取值范围是， 故答案为：； ②在二次函数中，当时，， ， 即点在点正上方， 在坐标系中描点，如图所示： 在二次函数图象上方． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______； (2)当时求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式和对称轴公式，可以求出抛物线的对称轴是； 因为二次函数的二次项系数为，可知抛物线开口向上，对称轴是直线，在范围之内，随着的增大而增大，分别求出当和时对应的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是； 故答案为：直线； （2）解：中， 抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，随着的增大而增大， 当时，可得：， 当时，可得：， 当时，． 题型四 二次函数图象与各项系数的关系 【例4】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为直线， 整理得，故②正确； 由图象可知，当时，即图象在x轴上方时， 或，故③错误， 由图象可知，当时，， 当时，， ， 即， 则，故④不正确； ， ， ， ， ， 即，故⑤错误． 则正确的有①②，共2个， 故选：C． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图像顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ∵抛物线的顶点为，对称轴为直线， ， ， ， ， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，y随x的增大而减小，故④正确， 则正确的是①③④共3个． 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 根据抛物线的开口方向，对称轴位置可判断①②，根据图象可得当时，可判断③，由图像可得时函数值最大，将化为可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故①不正确，不符合题意； 对称轴为， ，即，故②正确，符合题意； 由图可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 抛物线开口方向向下，且对称轴为， 时，取最大值， 由可得， 当时，， 当时，， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的由②③④． 故选：． 【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图是二次函数（，，是常数）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于以下说法：①；②；③；④当时，，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据对称轴的位置解答①；再根据对称轴解答②；然后根据时，，可得，即可解答③；最后观察图象解答④即可. 【详解】解：∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴. ①正确； ∵对称轴， ∴. ②正确； 当时，， 可知时，， 即. ∵， ∴. ③不正确； 观察图象可知当x取交点到3之间的数时，函数值， 所以当时，y不都大于0. ④不正确. 所以正确的有①②. 故选：A. 题型五 待定系数法求二次函数解析式 【例5】（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 将代入解析式求解． 【详解】解：将代入得． 故选：A． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握相关的性质是解题的关键；根据顶点坐标可设顶点式，再根据形状与开口方向相同可求a，即可得解． 【详解】解：顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 形状与开口方向都与抛物线相同， ， 抛物线对应的函数解析式为， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，；求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据所经过点的坐标特征，设二次函数表达式为，然后将代入求得a值即可． 【详解】解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为． 【变式5-3】（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线的对称轴是轴，顶点坐标是，且经过点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式；根据顶点坐标设抛物线顶点式解析式，再把经过的点的坐标代入解析式求解． 【详解】设此抛物线的解析式，代入点得， 解得： ∴此抛物线的解析式为． 【变式5-3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)最大值3，见解析 【分析】（1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 题型六 二次函数图象的平移 【例6】（25-26九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】解：将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是． 故选：D． 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数，则函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键；首先将新抛物线向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到原抛物线的顶点式，然后根据原抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：∵将新二次函数向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为，即， ∴的顶点坐标为, ∵,开口向上， ∴的最小值为. 即函数的最小值为， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·吉林·阶段练习）若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移规则：上加下减，左加右减；根据平移规则求得h与k的值，即可求解． 【详解】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 题型七 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判定 【例7】如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象的性质． 解答此题的关键是分两种情况讨论的取值范围，再结合图象的性质分析找到符合条件的选项即可． 【详解】解：当时，，二次函数的图象开口向上，与轴负半轴相交，反比例函数的图象在一、三象限，所以A、B都不符合题意； 当时，，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，反比例函数的图象在二、四象限，所以C不符合题意， D符合题意． 故选D． 【变式7-1】（2025·安徽滁州·二模）已知反比例函数（）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与二次函数图象的交点问题，把代入，求出的值，待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 把，代入，得； 故选B． 【变式7-2】（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式7-3】（24-25九年级上·广东·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 题型八 二次函数、方程与不等式 【例8】（25-26九年级上·陕西·阶段练习）二次函数（，为常数）与x轴交于点，，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键．根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根． 【详解】解：∵二次函数（，为常数）与x轴交于点，， ∴关于x的方程的解为，， 故选：C． 【变式8-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 【变式8-2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为______，______； (2)当时，直接写出的取值范围为__________； (3)当时，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，当时，y取得最小值，y在顶点处取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，即， ， ，，     故答案为：，； （2）解：∵的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，取得最大值为， 当时，，解得，， 即图象经过， ∴当时，直接写出的取值范围为； 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式8-4】（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，二次函数经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当______时，方程； ②不等式的解集为__________________________． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数经过点，，，则列出方程组，再分别解得的值，即可作答． （2）①理解题意，得出，再解得的值，即可作答． ②二次函数的开口向上，再结合二次函数经过点，，故不等式的解集为，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，，， ∴， 解得 ∴； （2）解：①由（1）得， 依题意，， 整理得， 解得； ②由（1）得， ∵， ∴二次函数的开口向上， ∵二次函数经过点，， ∴不等式的解集为． 基础巩固通关测 1．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 2．二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是左加右减，上加下减．根据函数图象向右平移减，向下平移减平移规律，可得答案． 【详解】解：二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是， 故选：D． 3．二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次函数的性质比较函数值的大小，把点，，代入解析式分别求出函数值，即可比较，，之间的大小． 【详解】解：分别把，，代入函数解析式得 ，，， ∴． 故选：A 4．二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握若开口向上，则函数在对称轴上取得最小值，若开口向下，则函数在对称轴上取得最大值是解题的关键． 由题知，，二次函数开口向上，又对称轴，接着代入求解即可． 【详解】二次函数， ，二次函数开口向上，对称轴方程为， 所以时，二次函数取得最小值， 则，解得． 故选：B． 5．关于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ） A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，在对称轴右边随增大而增大，在对称轴左边，随增大而减小；当时，二次函数有最大值，在对称轴右边随增大而减小，在对称轴左边，随增大而增大．根据二次函数解析式得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴函数最小值为1，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 故选：D． 6．在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质；根据二次函数的图象知：，，求得，，据此判断即可． 【详解】解：观察四个选项，由二次函数的图象知：，， ∴，， ∴一次函数的图象一、三、四象限， 故选：A． 7．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识．根据图象得到抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得到抛物线与x轴的另一个交点为，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 8．某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 9．若二次函数的图象开口向上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，根据二次函数的定义可得，再根据二次函数的图象开口向上可得，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴，， 解得， 故答案为：． 10．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线皆开口向上， ∴各二次函数中的二次项系数都为正数， ∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小， ∴． 故答案为：． 11．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． （1）把点代入抛物线解析式，借助于方程可以求得a的值； （2）把代入函数解析式即可求得相应的y的值． 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得，， 解得； （2）解：由（1）知，，则该抛物线解析式为：． 把代入，得， 即． 12．已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2)当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查二次函数的有关知识点，了解二次函数的图像及性质；熟知相关知识是正确解答此题的关键． （1）运用二次函数的顶点式即可求出对称轴和顶点坐标； （2）由二次函数开口向上，运用二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 13．已知二次函数的图象的顶点坐标是，且过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若函数值随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，正确求出函数解析式是解答的关键． （1）将已知点的坐标代入求解即可； （2）根据该函数图象的开口方向和对称轴，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点坐标是， ， ∵二次函数图象过点， 将点代入， 得， 解得，， ∴该二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数值随的增大而增大． 14．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)一次函数（）的图象也经过点A、B，在右图中大致画出两个函数的图象．结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)图象见详解；或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键． （1）把代入，用待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象下方的x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， ； （2）解：两个函数图象如图： 由图象得：不等式的解集为或． 15．已知某种炮弹的飞行高度（m）与飞行时间（s）的函数关系为． (1)炮弹发射后，飞行多长时间才会落到地面上？ (2)炮弹发射后，何时距地面高度为？ (3)炮弹发射后，飞行多长时间才能达到最高点？最高点距离地面有多高？ 【答案】(1)炮弹发射后，飞行才会落到地面上 (2)炮弹发射后，经过或距地面高度为 (3)炮弹发射后，飞行才能达到最高点，最高点距离地面有 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可令时，然后进行求解即可； （2）由题意可把代入函数解析式进行求解即可； （3）由题意可把二次函数的解析式配成顶点式，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可令时，则有， 解得：， 答：炮弹发射后，飞行才会落到地面上． （2）解：由题意可把代入得：， 解得：， ∵， ∴或； 答：炮弹发射后，经过或距地面高度为． （3）解：由题意得：， ∴当时，炮弹发射后达到最高，最高点距离地面1296米； 答：炮弹发射后，飞行才能达到最高点，最高点距离地面有． 16．如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数与面积的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，将的坐标代入，进行计算，得，再把化为顶点式，即可作答． （2）先求出，再运用数形结合思想进行作答即可； （3）由（2）得，则，设，则，则． 结合二次函数的图象性质得，再代入二次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 则， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得，顶点坐标为； ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 观察函数图象，得当时，； （3）解：由（2）得， ∵ ∴． 设，则， ∴． ∵抛物线的顶点坐标为，开口向上， 即当时，函数最小值为， ∴，（舍去） ∴， 解得，， ∴此时点P的坐标为或． 17．如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，即可； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，即可求解；②根据题意可得，即可求解； （3）把点代入，求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点， （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设出抛物线解析式为； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴抛物线经过的点； 故答案为： （3）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当水面下降时，水面宽度为， ∴当水面下降时，水面宽度增加了． 18．陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱． (1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式； (2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润． 【答案】(1) (2)销售这批苹果平均每天的利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意列出与之间的函数关系式即可； （2）把代入二次函数即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， 所以销售这批苹果平均每天的利润为元． 能力提升进阶练 36．（2025·广东·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【答案】(1)矩形田地的面积的最大值为 (2)当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，，再由篱笆总长可得，进而可用含x的代数式表示出、，再根据矩形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，解得，，再根据二次函数的性质求取值范围即可． 【详解】（1）根据题意可得矩形，矩形，矩形，矩形的面积相等， ∴，，     ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴，     ∴， ∵， 解得， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 答：矩形田地的面积的最大值为； （2）根据（1）可得， 令， 解得，，     ∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，     ∴当时，，     ∴当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为． 1．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)桥拱所在抛物线的解析式为，的宽为米； (2)的宽为米； (3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设桥拱所在抛物线的解析式为，由题意得，，然后代入即可求解； （）根据题意求出米，然后通过线段和差即可求解； （）在抛物线中当时，，然后与比较即可． 【详解】（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； （3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标系，结合抛物线性质分析其运动规律． 如图1所示，某发石车置于山坡底部的处，现以为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知石块从点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与的水平距离为9米，且到地面（轴）的竖直距离为6米；在点处建有一堵防御墙，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题： (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是_______________米． 【答案】(1) (2)石块不能飞越防御墙 (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意知， 设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， ∴拋物线的解析式为． （2）解：根据题意知， 在中，当时，， ， ∴石块不能飞越防御墙． （3）解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 3．（广东省东莞市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）随着生活水平发展，小车已进入千家万户．洗车时喷水器喷出的水抽象而成抛物线，如图，抛物线是某喷水器喷出的水抽象而成（AB是最近点，是最远点），抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，且点均在坐标轴上． (1)若，求抛物线表达式，并指出的取值范围； (2)求抛物线表达式并指出的取值范围； (3)在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为米，的取值范围_____（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）把和点代入解析式，待定系数法求解析式，令，求得点的坐标，进而求得的范围； （2）设抛物线由抛物线向左平移个单位代入得出，求得平移后的抛物线的解析式，再令，即可求得的坐标，进而求得的范围； （3）由（1）得，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： 把代入， 解得， 抛物线表达式：， 当时，即， 解得：， ， 抛物线表达式：； （2）设抛物线由抛物线向左平移个单位得到， 将代入，得， 解得：（舍去）， 抛物线是由抛物线向左平移4米得到的， 把代入，得： 解得（舍去）， ， 抛物线表达式为： （3）由（1）得，把代入， 得（舍去）， ， ， ； 4．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）小明家新买了一个高度为的长方体玻璃鱼缸，为打造流水景观，他在鱼缸侧面连续注水，保证鱼缸始终盛满水（水面离鱼缸底部高度即为鱼缸高度）．当在鱼缸侧面离水面竖直距离为（单位：）的位置开一个小孔时，从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系满足关系式：，其中为水面离地面的高度（此处即鱼缸高度）． (1)请写出与的函数关系式，并回答：当为何值时，射程达到最大值？最大射程是多少？ (2)小明想在鱼缸侧面开两个小孔，使得两个小孔射出水的射程相等．若第一个小孔离水面的竖直距离为，第二个小孔离水面的竖直距离为，求与之间的关系式； (3)为了让流水景观更美观，小明打算在鱼缸下方垫一个木质底座．若垫高后，射出水的最大射程比原来增加了，则垫高后小孔离水面的竖直距离为_____． 【答案】(1)，当时，射程最远为； (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）把代入函数关系式，即可得出与的关系式，利用二次函数求最值即可； （2）根据两孔射出水的射程相同，得到，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，函数值最大为900， ∴的最大值为； 故当时，射程最远为； （2）由（1）知：， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）设垫高的高度为，由题意，得， ∴当时，最大为，此时最大为， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据题意得出的面积与的面积相等，先求出直线的解析式为，进而得到经过点A且与直线平行的直线解析式为，再由平行线间间距相等且和有公共边，因此当点在直线上时，满足题意，据此联立，解方程即可得到答案； （3）分两种情况①根据题意得出的坐标，进而得出是直角三角形，再过点作垂直于，连接，且，求出，进而得出直线解析式，即可得出点坐标；②先求出直线解析式，根据只要，则有，设直线为，代入点坐标，求出直线解析式为，联立：，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 7．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为， (2)； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴； （2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线，根据待定系数法即可求得直线的表达式；设，，，进而得，由得，解，即可得解； （3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵，在上， ∴， 解得， ∴直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设， ∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，，，， ∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点为， ∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接， ∴与关于直线成轴对称， ∴， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分交抛物线于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，即， 设直线为：， ∵直线为：过，， ∴， 解得， ∴直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）过作轴，交于点，求出直线的函数解析式为，则设点，则，则，然后由，再根据二次函数的性质即可求解； （）求出平移后，设点，然后分以为对角线时，，，以为对角线时，，，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点分别代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 由（）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， 和得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为； （3）解：∵， ∴平移后， ∵点是线段上的一动点， ∴设点， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，满足条件的点不存在， 综上所述，点的坐标为或． 9．（23-24九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 【答案】(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【分析】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 10．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离； (3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点到直线的距离 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（）求出直线的解析式，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （）过点作轴的平行线交于点，作于点，由平行线的性质可得，进而得到，设，则，可得，再根据锐角三角函数的定义解答即可求解； （）当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等，可得；当点在轴下方时，分和两种情况，利用相似三角形和二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入，得， ∴ 把代入得，， ∴， ∴一次函数， 把代入，得， ∴ ∴， 把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的平行线交于点，作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等， 此时点与点关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ②当点在轴下方时， （）当时，，则， 由勾股定理得，， 又∵， ∴， 过点作轴于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ，，，， ∴， ，， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点在抛物线上， ， 根据点的对称性，当点在第三象限时，符合条件的点， ∴点的坐标为：或； （Ⅱ）当时，如图， 则直线， ∴可设直线的表达式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式，得， 解得或（不合，舍去） ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，为顶点的三角形与不相似，故舍去， 同理的对称点同样不合； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，二次函数的几何应用，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意是解题的关键． 试卷第2页，共104页 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $