第1章二次函数（单元测试·提升卷）数学湘教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第1章 二次函数·提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）下列关于二次函数和的图象说法不正确的是（　　） A．三条抛物线的开口大小相同 B．三条抛物线的对称轴均为直线 C．与的图象关于轴对称 D．向上平移1个单位长度得到 【答案】D 【分析】此题考查二次函数的图象和性质．根据二次函数的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：A. ∵二次函数和的二次项系数的绝对值相同， ∴三条抛物线的开口大小相同，故选项A正确； B. 三条抛物线的对称轴均为y轴，即直线，故选项B正确； C. 与的图象关于轴对称，故选项C正确； D. 向上平移1个单位长度得到，得不到，故选项错误，符合题意， 故选：D 2．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”，分析原函数到目标函数的平移方向和单位数。 【详解】解：∵原抛物线为，目标抛物线为， ∴抛物线，向左平移1个单位得， 再将抛物线向下平移3个单位得， 故选A． 3．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合判断. 根据一次函数解析式可得一次函数与y轴交于，据此可判断D； 根据二次函数解析式可得二次函数开口向上，据此可判断B； 根据A、C两个选项中二次函数与y轴交于负半轴可知，可知一次函数增减性，据此可判断A、C． 【详解】解：由一次函数解析式为可知，一次函数与y轴交于，故D不符合题意； 由二次函数解析式为可知，二次函数开口向上，故B不符合题意； 在A、C两个选项中二次函数与y轴交于负半轴，可知，即一次函数的随的增大而减小，故A不符合题意，C符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）二次函数，自变量与函数的对应值如下表：下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴 C．二次函数的最小值是 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质．选出个点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：将点，，代入到二次函数中， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，故此选项错误； B、，抛物线的对称轴是，故此选项正确； C、，二次函数的最小值是，故此选项错误； D、，当时，随的增大而增大，故此选项错误． 故选：B． 5．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数综合，函数图像和不等式的关系，首先根据题意得到抛物线与双曲线的交点的横坐标是，结合图像求解即可． 【详解】解：∵双曲线和双曲线关于y轴对称，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1， ∴抛物线与双曲线的交点的横坐标是，如图所示， ∴由图象可得，当时，抛物线的图像在双曲线的图像下面 ∴当时， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：D． 7．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 【详解】解：设点平移的距离为，与正方形重合部分的面积为． ①当时，如图1，，； ②当时，如图2，，，， ∴． 综上，， 由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：A． 8．（2024·广东·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴确定a与b的关系，结合开口方向及特殊点判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由和时，， ∴对称轴为，即，得， 当时，， 当时，， 则， ∴，故，结论①错误； ∵关于直线对称，代入得，，∴， 由时，， 解得， 故，结论②正确； 时，， 时，，故方程正根在1和2之间， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， 故正根在1和之间，结论③错误． ∵抛物线开口向下时，点离对称轴越近y越大，横坐标，横坐标， 当时，，离对称轴更近， 故，结论④正确 综上，正确结论为②④， 故选：D． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P与点A、B不重合，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为m，则线段的长度随着m的增大而减小时，m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式，主要利用了联立两函数解析式求交点的方法，以及数形结合的思想． 联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后根据图象，分类讨论：①当时，点Q在点P的上方， ②当或时，点Q在点P的下方，逐项分析求解即可． 【详解】解：联立，得 ， 即， 解得， 当时，， 当时，， ∴， 当时，，， ①当时，点Q在点P的上方，则 ，有 抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随m的增大而减小； ∴， ②当或时，点Q在店P的下方，则 ，有 抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随m的增大而减小； ∴， 综上所述，或． 故选D． 10．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是 ．（用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口方向以及对称轴的位置即可判断． 【详解】解：抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 离对称轴直线最近，值最小，离对称轴直线最远，值最大， ，， ， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等，由二次函数 ，得该函数的顶点的坐标为，故有点到轴的距离为，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键． 【详解】解：如图，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等， ∵二次函数 ， ∴该函数的顶点的坐标为， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴四边形的面积是， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为 米． 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据顶点坐标公式求出点的坐标，进而求出的坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴点的坐标为， 由题意，点和点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为（米）； 故答案为：20． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 15．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与直线相交于点、，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题、一元二次方程的求解以及抛物线的对称性．解题的关键是联立方程后，利用抛物线对称轴和的长度确定交点的横坐标，进而得到点B的坐标． 联立抛物线与直线方程，得到关于x的一元二次方程．利用一元二次方程根与系数的关系或抛物线对称性，结合求出交点横坐标．确定点B的坐标． 【详解】解：将代入抛物线方程，可得，整理为． 设点 A 的坐标为，点B 的坐标为，则是方程的两个根． ∴， ∵，且纵坐标相同， ∴，则， ∵， ∴，解得． 把代入方程，得， 化简得：， 解方程得：， 故B的坐标为． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特点．连接，根据面积关系证得，求得直线的表达式，联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，， 如图，连接， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， 设直线的表达式为，则， 解得：， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得：， ∴直线的表达式为， 联立得， 解得：（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标是； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________； (2)当x满足时，y的取值范围是_________； (3)当y满足时，x的取值范围是_________． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （）把代入可得点坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标； （）分别求出的函数值，再结合函数的性质即可求解； （3）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：把代入得，， 解得，， ∴当时，或， 故答案为：或． 18．（8分）（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)当时，随增大而增大． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过配方法配成顶点式即可； （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：列表： 描点，连线， 如图， （3）解：根据图象可知：当时，随增大而增大． 19．（9分）（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知点是二次函数图象上的点． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的和； (3)当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当时，，当时，，从而求得结论； （3）先求出点关于对称轴的对称点为，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别求出最大值和最小值，根据最大值与最小值的和为10，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵已知是二次函数图象上的点， ∴， 解得， ∴此二次函数的解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∴当时，函数的最大值与最小值的和为； （3）解： 当时，， 当时，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，点关于对称轴的对称点为， 分以下三种情况讨论： 当时，当时，随的增大而减小，当时，有最小值，当时，有最大值， ∴， 解得， ∴，； 当时，当时，有最小值，当时，有最大值， ，不符合题意； 当时，当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的值为或． 20．（9分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． （2）解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 21．（9分）（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【分析】（1）分及两种情况，分别用待定系数法即可求解； （2）分及两种情况，求出各自范围内利润的最大值，再进行比较即可确定利润的最大值； （3）列出w关于n的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，反比例函数图象过点， 设反比例函数解析式为， 把点代入反比例函数解析式中，得：， 解得：， ∴当时，反比例函数解析式为：； 当时，线段过点，， 设线段的解析式为， 则，解得：， ∴当时，线段的解析式为， 综上，与之间的函数关系式为； （2）解：当时， ， 当时，取得最大值为； 当时，， 整理得：， 当时，取得最大值为； 而， 最大利润为万元， 即第一年年利润的最大值万元； （3）解：第一年的年利润为万元应作为第二年的成本， 又∵， ∴第二年的年利润， 令，则， 解得：， 由于二次函数的图象开口向下，如图， ∴当时，， ∴当时，第二年的年利润不低于103万元． 【点睛】本题考查的是经济利润问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数的图象与性质，解一元二次方程等知识，属于中考常考题型，需要熟练掌握经济利润问题的相关公式． 22．（9分）（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差； (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2) (3)当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键. （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数的对称性可知当时，y随x值的增大而减小，则当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，再求解即可； （3）由题意分别求出，，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，是抛物线上的点， ， 解得， 拋物线的表达式为， ， 抛物线顶点的坐标为； （2）解：抛物线顶点的坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，在处，取得最大值， 在处，取得最小值， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为； （3）解：设直线的表达式为， 点，， 解得， ∴直线的表达式为， 设点（且），则点， 当点在点的下方，即时，； 当时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， 当时，线段的长随的增大而增大， 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或. 23．（10分）（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）我们知道：抛出的物体在空中运动的路线可视为二次函数的图象．如图1，为了研究羽毛球的发球与接球问题，现以一个单位长度代表1米，以地面为x轴，以甲同学站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，甲同学在点处发出的羽毛球看成点，羽毛球运动路线为二次函数的图象的一部分，如图2． (1)求的值，并求羽毛球到最高点时的坐标（用含有的代数式表示）； (2)若乙同学准备在点处接球． ①乙同学观察到甲同学发过来的球，决定由点向正前方前进1米，再竖直向上跳米去接球，结果刚好接到羽毛球，求出此时的值； ②乙同学观察发现：在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过米的范围内都可以接到羽毛球．若甲同学发出的球，乙同学可以接到，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把点A坐标代入解析式可求出m的坐标，再利用顶点计算公式求出顶点坐标即可； （2）①根据题意可得乙同学接球点的坐标为，据此把代入解析式中计算求解即可；②根据题意接球点在由点和点组成的线段上，据此把代入解析式求出n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入中得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点坐标为； （2）解：①由题意得，乙同学接球点的坐标为，即， 把代入到中得，解得； ②当抛物线恰好经过点，即时， 则，解得， ∴若甲同学发出的球，乙同学可以接到，则． 24．（10分）（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【分析】（1）利用轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把时，代入抛物线的表达式求出； （3）先求出点，然后根据三角形面积公式进行计算即可； （4）根据抛物线的对称轴为直线，设点Q的坐标为，根据以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解． 试卷第28页，共29页 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第1章 二次函数·提升卷（参考答案） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C B C D A D D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．20 14．40 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：，；（2分） （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：；（4分） （3）解：把代入得，， 解得，， ∴当时，或， 故答案为：或．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：；（2分） （2）解：列表： 描点，连线， 如图， （6分） （3）解：根据图象可知：当时，随增大而增大．（8分） 19．（9分） 【详解】（1）解：∵已知是二次函数图象上的点， ∴， 解得， ∴此二次函数的解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为；（2分） （2）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∴当时，函数的最大值与最小值的和为；（5分） （3）解： 当时，， 当时，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，点关于对称轴的对称点为， 分以下三种情况讨论： 当时，当时，随的增大而减小，当时，有最小值，当时，有最大值， ∴， 解得， ∴，； 当时，当时，有最小值，当时，有最大值， ，不符合题意； 当时，当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的值为或．（9分） 20．（9分） 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，解得 ∴．（2分） （2）解：四边形ABCD是平行四边形，， ． （4分） 设平移后的抛物线为，则，解得，（8分） 平移后抛物线的解析式为．（9分） 21．（9分） 【详解】（1）解：当时，反比例函数图象过点， 设反比例函数解析式为， 把点代入反比例函数解析式中，得：， 解得：， ∴当时，反比例函数解析式为：； 当时，线段过点，， 设线段的解析式为， 则，解得：， ∴当时，线段的解析式为， 综上，与之间的函数关系式为；（3分） （2）解：当时， ， 当时，取得最大值为； 当时，， 整理得：， 当时，取得最大值为； 而， 最大利润为万元， 即第一年年利润的最大值万元；（6分） （3）解：第一年的年利润为万元应作为第二年的成本， 又∵， ∴第二年的年利润， 令，则， 解得：， 由于二次函数的图象开口向下，如图， ∴当时，， ∴当时，第二年的年利润不低于103万元．（9分） 22．（9分） 【详解】（1）解：点，是抛物线上的点， ， 解得， 拋物线的表达式为， ， 抛物线顶点的坐标为；（3分） （2）解：抛物线顶点的坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，在处，取得最大值， 在处，取得最小值， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为；（6分） （3）解：设直线的表达式为， 点，， 解得， ∴直线的表达式为， 设点（且），则点， 当点在点的下方，即时，； 当时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， 当时，线段的长随的增大而增大， 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或.（9分） 23．（10分） ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点坐标为；（3分） （2）解：①由题意得，乙同学接球点的坐标为，即， 把代入到中得，解得；（6分） ②当抛物线恰好经过点，即时， 则，解得， ∴若甲同学发出的球，乙同学可以接到，则．（10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为．（3分） （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或．（5分） （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴．（8分） （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或．（10分） 试卷第28页，共29页 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第1章 二次函数·提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）下列关于二次函数和的图象说法不正确的是（　　） A．三条抛物线的开口大小相同 B．三条抛物线的对称轴均为直线 C．与的图象关于轴对称 D．向上平移1个单位长度得到 2．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 3．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）二次函数，自变量与函数的对应值如下表：下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴 C．二次函数的最小值是 D．当时，随的增大而增大 5．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A．B．C． D． 8．（2024·广东·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P与点A、B不重合，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为m，则线段的长度随着m的增大而减小时，m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 10．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是 ．（用“”符号连接） 12．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为 ． 13．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为 米． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 15．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与直线相交于点、，若，则点的坐标为 ． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________； (2)当x满足时，y的取值范围是_________； (3)当y满足时，x的取值范围是_________． 18．（8分）（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 19．（9分）（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知点是二次函数图象上的点． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的和； (3)当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值． 20．（9分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 21．（9分）（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 22．（9分）（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差； (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围． 23．（10分）（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）我们知道：抛出的物体在空中运动的路线可视为二次函数的图象．如图1，为了研究羽毛球的发球与接球问题，现以一个单位长度代表1米，以地面为x轴，以甲同学站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，甲同学在点处发出的羽毛球看成点，羽毛球运动路线为二次函数的图象的一部分，如图2． (1)求的值，并求羽毛球到最高点时的坐标（用含有的代数式表示）； (2)若乙同学准备在点处接球． ①乙同学观察到甲同学发过来的球，决定由点向正前方前进1米，再竖直向上跳米去接球，结果刚好接到羽毛球，求出此时的值； ②乙同学观察发现：在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过米的范围内都可以接到羽毛球．若甲同学发出的球，乙同学可以接到，求的取值范围． 24．（10分）（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第28页，共29页 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第1章 二次函数·提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）下列关于二次函数和的图象说法不正确的是（　　） A．三条抛物线的开口大小相同 B．三条抛物线的对称轴均为直线 C．与的图象关于轴对称 D．向上平移1个单位长度得到 2．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）要由抛物线得到抛物线，则抛物线（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 3．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 4．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）二次函数，自变量与函数的对应值如下表：下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴 C．二次函数的最小值是 D．当时，随的增大而增大 5．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A．B．C． D． 8．（2024·广东·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 9．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P与点A、B不重合，过点P作轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为m，则线段的长度随着m的增大而减小时，m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 10．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是 ．（用“”符号连接） 12．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为 ． 13．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为 米． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 15．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线与直线相交于点、，若，则点的坐标为 ． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________； (2)当x满足时，y的取值范围是_________； (3)当y满足时，x的取值范围是_________． 18．（8分）（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 19．（9分）（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知点是二次函数图象上的点． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的和； (3)当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值． 20．（9分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 21．（9分）（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 22．（9分）（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差； (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围． 23．（10分）（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）我们知道：抛出的物体在空中运动的路线可视为二次函数的图象．如图1，为了研究羽毛球的发球与接球问题，现以一个单位长度代表1米，以地面为x轴，以甲同学站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，甲同学在点处发出的羽毛球看成点，羽毛球运动路线为二次函数的图象的一部分，如图2． (1)求的值，并求羽毛球到最高点时的坐标（用含有的代数式表示）； (2)若乙同学准备在点处接球． ①乙同学观察到甲同学发过来的球，决定由点向正前方前进1米，再竖直向上跳米去接球，结果刚好接到羽毛球，求出此时的值； ②乙同学观察发现：在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过米的范围内都可以接到羽毛球．若甲同学发出的球，乙同学可以接到，求的取值范围． 24．（10分）（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $