第06讲 命题与证明（2知识点+8考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

第06讲 命题与证明 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：命题 ★1、命题的定义：用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句，叫作命题. 【注意】 （1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. （2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. ★2、真假命题的概念： （1）真命题：正确的命题叫作真命题， （2）假命题：错误的命题叫作假命题. 【注意】 真命题-------可以用推理的方法； 假命题-------可以举反例来说明. ★3、命题的组成 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意. ★4、互逆命题： （1）互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 【注意】①任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； ②原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然. （2）写一个命题的逆命题的方法 写原命题的逆命题时，先将原命题写成“如果……，那么 ……”的形式，再互换条件与结论，进而写出原命题的逆命题. 1．下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、画线段，没有做出判断，不是命题，不符合题意； B、内错角相等吗，没有做出判断，不是命题，不符合题意； C、用量角器画∠，没有做出判断，不是命题，不符合题意； D、对顶角相等，做出了判断，是命题，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下列命题中，真命题的是（   ） A．两点之间线段最短 B．两个锐角的和是钝角 C．若，则 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假，根据线段的性质，等式的性质，对顶角的性质，角的和差，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两点之间线段最短，是真命题，符合题意； B、两个锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角，原命题是假命题，不符合题意； C、若，则或，原命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； 故选A． 知识点2 ：证明 ★1、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 【注意】 （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. （2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. ★2、证明的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. ★3、反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例， 1．对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ．（填序号） ①；    ②； ③；  ④． 【答案】② 【分析】本题考查了举例说明假（真）命题，将四组a，b的值代入命题进行验证即可求解． 【详解】解：①，满足，，不能说明命题是假命题．   ②，满足，但不满足，能说明命题是假命题． ③，满足，，不能说明命题是假命题． ④，不满足，不能说明命题是假命题． 故答案为：②． 2．（24-25八年级上·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； (2)证明见解析． 【分析】（）根据命题是由两部分组成的， 如果后边跟的是条件， 那么后边跟的是结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个命题的条件是“两条直线都和同一条直线垂直”，结论是“这两条直线平行”； （）先把原命题用几何语言表达出来，再根据同位角相等两直线平行进行证明即可； 本题主要考查了命题的定义的理解、平行线的判定，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； （2）已知：如图，，， 求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 【题型1 判断是否是命题】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，根据命题的定义对各选项进行判断，熟知判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 【详解】解：A、“作两条相交直线”为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意； B、“和相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项不符合题意； C、对顶角相等，它是命题，所以C选项符合题意； D、“若，求的值”为描述性语言，它不是命题，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题的判断．对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．根据命题的概念逐一判断即可. 【详解】解：A、连接A、B两点，不是命题，故A不符合题意； B、画一条线段等于已知线段，不是命题，故B不符合题意； C、过点M作直线的垂线，不是命题，故C不符合题意； D、同旁内角不互补，两直线不平行，是命题，故D符合题意； 故选：D. 【变式2】下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题主要考查角的比较与运算，还考查命题的知识点，不是很难．答题时首先知道命题是由题设和结论构成，然后判断． 【详解】解：锐角小于钝角，对顶角相等，三角形的内角和等于都是命题， 作的垂直平分线不是命题，没有结论， 故选：B． 【变式3】下列句子中，不是命题的是（   ） A．三角形的内角和等于180度 B．对顶角相等 C．过一点作已知直线的平行线 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了命题，判断命题关键掌握两点：①能够进行判断；②句子一般是陈述句． 判断一件事情的句子叫做命题，根据定义即可判断． 【详解】解：C选项不能进行判断，所以不是命题． 故选C． 【题型2 写出命题的题设和结论】 【典例1】命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两条直线平行于同一条直线，放在“如果”的后面，结论是这两条直线平行，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：两条直线平行于同一条直线，结论为：这两条直线平行， 故选：A． 【变式1】（22-23八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么它们的余角相等 【分析】本题考查了改写命题． 将命题改写成“如果…那么…”的形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设是“两个角相等”，结论是“它们的余角相等”， 因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们的余角相等． 【变式2】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 【变式3】下列句子如何改写成“如果……那么……”的形式？题设是什么？结论是什么？ （1）∠A＝30°，∠B＝60°，∠A和∠B互余； （2）两个互补的角是钝角； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等． 【分析】（1）根据题意找出题设和结论即可求解； （2）根据题意找出题设和结论即可求解； （3）根据题意找出题设和结论即可求解． 【详解】解：（1）如果∠A＝30°，∠B＝60°，那么∠A和∠B互余；题设是∠A＝30°，∠B＝60°，结论是∠A和∠B互余． （2）如果两个角互补，那么这两个角是钝角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角． （3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等． 【点睛】本题主要考查命题，熟练掌握命题的形式是解题的关键． 【题型3 判断命题的真假】 【典例1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，不等式的性质等知识．写出逆命题，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行 C．方程的解是 D．同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题真假的判断，一元一次方程的解，平行线的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键；根据这些知识进行判断即可． 【详解】解：A、命题正确，是真命题； B、命题正确，是真命题； C、当时，方程左边，方程右边，即是方程的解，命题正确，是真命题； D、两直线平行，同位角相等，命题错误，是假命题； 故选： D． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、若两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式4】（24-25七年级下·上海崇明·期中）下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角和补角的定义，度数之和为180度的两个角互补，据此可判断①；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据平行公理可判断④；根据垂线的定义可判断⑤． 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 【题型4 写出逆命题】 【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可． 【详解】（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”， 逆命题是真命题； （2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”， 逆命题是真命题． 【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键． 【变式1】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【变式2】判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： （1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； （2）如果a＞b，那么a2＞b2； （3）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； （4）如果ab＜0，那么a＞0，b＜0． 【分析】回忆真命题与假命题的定义，可知命题的题设正确，结论也正确的命题是真命题，题设正确，结论不正确的命题是假命题，结合定义先判断命题的真假， 根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论交换位置，可以得到原命题的逆命题，结合真假命题的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）原命题是真命题． 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交． 逆命题是真命题． （2）原命题是假命题． 逆命题：如果a2＞b2，那么a＞b． 逆命题是假命题． （3）原命题是真命题． 逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数． 逆命题为真命题． （4）原命题是假命题． 逆命题：如果a＞0，b＜0，那么ab＜0． 逆命题是真命题． 【点睛】本题主要考查真命题与假命题以及逆命题的定义，可以根据真假命题的定义，结合逆命题的定义进行解答． 【变式3】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题 (2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题 (3)内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等 (4)等边三角形有一个角是60°真命题 【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可． 【详解】（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题； （2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题； （3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等； （4）等边三角形有一个角是60°真命题． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 【题型5 判断是否互为逆命题】 【典例1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【变式1】下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．若x＝1，则x2＝1 【答案】A． 【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质、垂直的定义及实数的性质分别判断后即可确定答案． 【详解】解：A、逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； B、逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意； C、逆命题为若两直线有交点，则两直线垂直，错误，为假命题，不符合题意； D、逆命题为若x2＝1，则x＝1，错误，为假命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 【变式2】关于命题“若，，则”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理、逆命题，先判断出原命题的真假，再写出逆命题，再判断真假即可得解． 【详解】解：“若，，则”是真命题，它的逆命题是“若，则，”是假命题， 故选：B． 【题型6 举例说明假（真）命题】 【典例1】（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 【变式1】对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举反例说明一个命题是假命题．举反例说明一个命题是假命题时，所举的例子必须符合命题的条件，但是不符合命题的结论． 【详解】解：A选项：，，其中，不符合命题的条件，所以不符合要求，故A选项不符合题意； B选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意； C选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意； D选项：，，其中，并且，即，这个例子能说明命题是假命题，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题的举反例，了解举反例的含义是关键．说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断． 【详解】解：选项A满足命题的条件，满足命题的结论，不是反例，不符合； 选项B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合； 选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例； 故选：D． 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 【典例1】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【变式1】（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB//CD，则BC//AD．请说明理由． 理由如下： ∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠______（______）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴______（______）． ∴BC//AD（_______）． （2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例． 【答案】（1）C；两直线平行，同位角相等；∠ABE＝∠A；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC//AD，则AB//CD，它是真命题，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理证明即可； （2）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据平行线的判定定理和性质定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝∠A（等量代换）， ∴BC//AD （内错角相等，两直线平行）； （2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC//AD，则AB//CD，它是真命题， 证明：∵BC//AD，（已知）， ∴∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝∠C（等量代换）， ∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查的是平行的性质和判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式2】（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【题型8 根据给出的论断组成命题并证明】 【典例1】（23-24七年级下·全国·月考）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是真命题，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 解题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是真命题． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，在三角形中，点D在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，剩下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．利用平行线的性质与判定，三角形的外角定理，角平分线的定义即可证明三种情况． 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论，该命题正确．理由如下： ， ． 平分， ， ； 选择②③作为条件，①作为结论，该命题正确．理由如下： ∵平分， ， ∵，， ∴， ∴； 选择①③作为条件，②作为结论，该命题正确．理由如下： ∵， ， ∵， ， ∴平分． 【变式3】探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 【变式4】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 1、 选择题 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短 C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等 【答案】C 【分析】对事情进行判断真假的陈述句叫做命题，对选项逐个分析即可． 【详解】解：A、两条直线相交有且只有一个交点，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意； B、两点之间线段最短，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意； C、延长到D，使，不可以判断真假，不是命题，符合题意； D、等角的补角相等，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海·月考）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则 C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】先写出各选项的逆命题，再逐个判断即可． 【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，为真命题，选项不符合题意； B、若，则的逆命题为若，则，为真命题，选项不符合题意； C、锐角与钝角互为补角的逆命题为若两个角互补，则这两个角分别为锐角、钝角，为假命题，选项符合题意； D、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，为真命题，选项不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了命题的逆命题以及真假命题，解题的关键是正确写出命题的逆命题． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列说法中：真命题的个数为（   ） ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握各自的概念和性质． 根据平行线的性质，根据点到直线的距离的定义和垂直的性质求解即可． 【详解】①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故①是假命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故②是假命题； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点到直线的距离，故③是假命题； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是真命题． 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被整除；③末位数是的数，能被整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，命题的真假，先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②偶数一定能被整除的逆命题是能被整除的是偶数，是真命题； ③末位数字是的数，能被整除的逆命题是能被整除的数，末位数字是，是假命题，因为末尾数也可以是； ④对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； ∴逆命题是假命题的个数是个， 故选：． 7．（24-25七年级下·上海·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，根据平行线的性质与判定定理可判断①③④，由垂线的定义可判断②． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原命题是真命题． ∴真命题有1个， 故选：A． 8．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 2、 填空题 9．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】若，则，是一个命题. 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题. 10．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写．原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 11．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 12．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 本题要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　 　．（填写序号） 【答案】①②④． 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c； 　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c， 故答案为：①②④． 【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3、 解答题 14．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 16．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 17．如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明； （1）根据上面的推理过程得出结论即可； （2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题． 【详解】解：∵，（已知） ∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）， ∴∠EMN=∠AMN， ∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义）， ∴∠EMN=∠FNM（等量代换） ∴，（内错角相等两直线平行）． 故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行． （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行； 故答案为：内错；平行． （2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行． 18．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 命题与证明 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：命题 ★1、命题的定义：用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句，叫作命题. 【注意】 （1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. （2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. ★2、真假命题的概念： （1）真命题：正确的命题叫作真命题， （2）假命题：错误的命题叫作假命题. 【注意】 真命题-------可以用推理的方法； 假命题-------可以举反例来说明. ★3、命题的组成 每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意. ★4、互逆命题： （1）互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 【注意】①任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； ②原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然. （2）写一个命题的逆命题的方法 写原命题的逆命题时，先将原命题写成“如果……，那么 ……”的形式，再互换条件与结论，进而写出原命题的逆命题. 1．下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下列命题中，真命题的是（   ） A．两点之间线段最短 B．两个锐角的和是钝角 C．若，则 D．相等的角是对顶角 知识点2 ：证明 ★1、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明． 【注意】 （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. （2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. ★2、证明的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径； ④书写证明过程. ★3、反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例， 1．对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ．（填序号） ①；    ②； ③；  ④． 2．（24-25八年级上·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【题型1 判断是否是命题】 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 【变式2】下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 【变式3】下列句子中，不是命题的是（   ） A．三角形的内角和等于180度 B．对顶角相等 C．过一点作已知直线的平行线 D．两点确定一条直线 【题型2 写出命题的题设和结论】 【典例1】命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 【变式1】（22-23八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【变式2】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【变式3】下列句子如何改写成“如果……那么……”的形式？题设是什么？结论是什么？ （1）∠A＝30°，∠B＝60°，∠A和∠B互余； （2）两个互补的角是钝角； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等． 【题型3 判断命题的真假】 【典例1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）下列命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行 C．方程的解是 D．同位角相等 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．若两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【变式4】（24-25七年级下·上海崇明·期中）下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4 写出逆命题】 【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【变式1】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【变式2】判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： （1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； （2）如果a＞b，那么a2＞b2； （3）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； （4）如果ab＜0，那么a＞0，b＜0． 【变式3】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 【题型5 判断是否互为逆命题】 【典例1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【变式1】下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．若x＝1，则x2＝1 【变式2】关于命题“若，，则”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【题型6 举例说明假（真）命题】 【典例1】（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【变式1】对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【题型7 已知证明过程填写理论依据】 【典例1】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【变式1】（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB//CD，则BC//AD．请说明理由． 理由如下： ∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠______（ ）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴______（ ）． ∴BC//AD（ ）． （2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例． 【变式2】（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【题型8 根据给出的论断组成命题并证明】 【典例1】（23-24七年级下·全国·月考）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【变式2】如图，在三角形中，点D在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，剩下的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由． 【变式3】探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【变式4】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 1、 选择题 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短 C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等 2．（24-25八年级上·上海·月考）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则 C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 4．（24-25七年级下·上海闵行·月考）下列说法中：真命题的个数为（   ） ①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被整除；③末位数是的数，能被整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（24-25七年级下·上海·期中）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 2、 填空题 9．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 10．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 11．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 12．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ． 13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　 　．（填写序号） 3、 解答题 14．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 16．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 17．如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 18．（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $