第04讲 相交线（3知识点+7考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

第04讲 相交线 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：对顶角 ◆1、相交线：当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线。这个公共点叫作它们的交点.在左图中，直线 AB、CD 相交，O 是它们的交点. ◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1 与∠3 互为对顶角，∠2 与∠4 互为对顶角. 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ◆3、对顶角的性质：对顶角相等．如图，因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，所以∠1=∠3，∠2=∠4. 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. 下列各图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 ：垂线 ◆1、夹角：两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做这两条直线的夹角. ◆2、垂线的定义：如果两条相交直线的所夹角为直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ◆3、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. ◆4、垂线的画法 一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． ◆5、垂线的性质 公理：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 【注意】①不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直. ②“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以． 过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B．C． D． 知识点3 ：垂线段与点到直线的距离 ◆1、垂线段： 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ◆2、点到直线的距离： （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离. 如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【题型1 对顶角的识别】 【典例1】（24-25七年级下·上海·单元测试）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 与对顶角有关的计算】 【典例1】如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么 【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ． 【变式2】如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【变式3】如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 【题型3 画垂线】 【典例1】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【变式2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【题型4 垂线的性质的应用】 【典例1】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则 度． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为 ． 【变式3】如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 【变式4】已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【题型5 垂线段最短】 【典例1】运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平行线之间的距离处处相等 【变式1】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，在线段上连接．若，则线段的长不可能是（    ） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 【变式2】（23-24七年级下·山东临沂·月考）点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，，则点P到直线l的距离（　　） A．大于等于 B．大于且小于 C．等于 D．小于等于 【题型6 点到直线的距离】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式1】下列图形中，线段能表示点P到直线l的距离的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式2】（23-24七年级下·上海静安·期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（　　） A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度 【变式3】（24-25七年级上·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【题型7 与相交线计算有关的综合题】 【典例1】已知，点O在直线上，，平分． 【问题初探】 （1）如图1，若，求的度数； 【类比分析】 （2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期中）直线、、相交于点O，且，平分． (1)如图1， ①的余角有________________．（填写所有符合情况的角） ②若，求的度数． (2)如图2：探究与是否存在数量关系，如果存在，请直接写出与的数量关系，若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 1、 选择题 1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（     ） A．线段的长是点C到直线的距离 B．线段的长是点到直线 的距离 C．、、 三条线段中，PB 最短 D．线段的长是点P到直线a的距离 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 5．如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 8．如图AB，交于点O，，，平分，则下列结论：①图中的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③为的平分线；④．其中结论正确的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④ 2、 填空题 9．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 10．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，则 ． 11．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时， ． 12．（24-25七年级下·上海静安·月考）直线，相交于点O，平分，且，那么 度． 13．已知的两边与的两边分别垂直，且比的4倍少30°，则 °． 14．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 3、 解答题 15．如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数．    16．（23-24七年级下·上海·月考）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 17．观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角； (5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数． 18．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 19．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线与相交于点O，是的平分线，，．    (1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对． (2)如果，求的度数． (3)平分吗？请写出理由． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，过点作． (1)如图1，求证：； (2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 相交线 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：对顶角 ◆1、相交线：当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线。这个公共点叫作它们的交点.在左图中，直线 AB、CD 相交，O 是它们的交点. ◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1 与∠3 互为对顶角，∠2 与∠4 互为对顶角. 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ◆3、对顶角的性质：对顶角相等．如图，因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，所以∠1=∠3，∠2=∠4. 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. 下列各图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角．根据对顶角的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、∠1与∠2不满足对顶角的定义，故∠1与∠2不是对顶角，本选项不符合题意； B、∠1与∠2没有公共顶点，故∠1与∠2不是对顶角，本选项不符合题意； C、∠1与∠2满足对顶角的定义，故∠1与∠2是对顶角，本选项符合题意； D、∠1与∠2不满足对顶角的定义，故∠1与∠2不是对顶角，本选项不符合题意； 故选：C． 知识点2 ：垂线 ◆1、夹角：两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做这两条直线的夹角. ◆2、垂线的定义：如果两条相交直线的所夹角为直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ◆3、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. ◆4、垂线的画法 一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点； 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． ◆5、垂线的性质 公理：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 【注意】①不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直. ②“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以． 过直线外一点画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键． 根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有D选项符合题意， 故选：D ． 知识点3 ：垂线段与点到直线的距离 ◆1、垂线段： 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ◆2、点到直线的距离： （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离. 如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离．利用点到直线的距离定义判断即可． 【详解】解：A、点B到的距离是线段的长，本选项错误，符合题意； B、点B到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； C、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； D、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意， 故选：A． 【题型1 对顶角的识别】 【典例1】（24-25七年级下·上海·单元测试）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）下列图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和不是对顶角，故不符合题意； B、和不是对顶角，故不符合题意； C、和不是对顶角，故不符合题意； D、和是对顶角，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 根据对顶角的定义判定即可． 【详解】解：甲图中与的两边不是互为反向延长线，与不是对顶角； 乙图中与不共顶点，与不是对顶角； 丙图中与满足对顶角的条件，与是对顶角； 丁图中与的两边不是互为反向延长线，与不是对顶角； 故选：B． 【题型2 与对顶角有关的计算】 【典例1】如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角的和差，对顶角相等，首先设，，然后表示出和，再根据平角定义列出方程，解方程求出，进而可求出，解题的关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线、相交于点，平分，且，那么 【答案】36 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解： 平分，平分， ，， ， ； （2）解： ，， ， ， 平分， ， ． 【变式3】如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． （1）由，平分，根据对顶角的性质，即可求解． （2）由，，可得，，结合对顶角相等求解即可． 【详解】（1）解：平分 ． 又 ． 又 ． （2），． 平分， ， ， 又， ． 【题型3 画垂线】 【典例1】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 【变式2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 【题型4 垂线的性质的应用】 【典例1】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再由对顶角相等得到，然后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义．先由垂直得到，进而求得，从而求得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以，， 所以． 因为平分， 所以． 故答案为：． 【变式3】如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、邻补角的定义，掌握相关性质是解题的关键． （1）由垂直的定义可知，，从而可知与是的余角，由对顶角的性质从而的得到是的余角； （2）依据同角的余角相等可知，，从而得到平角． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴与是的余角． ∵由对顶角相等可知：， ∴． ∴与互为余角． ∴的余角为，，； 故答案为：，，． （2）解：∵，°，， ∴． ∴． 【变式4】已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，掌握角平分线的定义并由平角定义列出关于的方程成为解题的关键． （1）由角平分线定义得到，然后进行计算即可解答； （2）设，由条件得到，求出x的值即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 【题型5 垂线段最短】 【典例1】运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平行线之间的距离处处相等 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引 一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解． 【详解】解：运动员跳远成绩的依据是垂线段最短， 故选：B． 【变式1】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，在线段上连接．若，则线段的长不可能是（    ） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 【答案】D 【分析】此题主要考查了垂线段最短，直接利用垂线段最短以及结合已知得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解：过点作于点，，在线段上连接，， ， ， 故不可能是6.5， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·山东临沂·月考）点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，，则点P到直线l的距离（　　） A．大于等于 B．大于且小于 C．等于 D．小于等于 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键，注意：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：根据垂线段最短得出P到直线l的距离是小于等于， 故选：D． 【题型6 点到直线的距离】 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，即可得解． 【详解】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 【变式1】下列图形中，线段能表示点P到直线l的距离的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据点到直线的距离的定义“从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离”，即可直接选择． 【详解】解：观察四个选项可知：只有D选项， 故D选项中线段能表示点P到直线l的距离． 故选D． 【点睛】本题考查点到直线的距离的定义，理解并掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·上海静安·期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（　　） A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度 【答案】C 【分析】点到直线的距离、直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解、A、CB的长度是点B到AC的距离，故不合题意． B、AC的长度是点A到BC的距离，故不合题意． C、CD的长度是点C到AB的距离，故符合题意． D、AB是点A到点B的距离，故不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，理解点到直线距离的定义是解答本题的关键. 【变式3】（24-25七年级上·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 【题型7 与相交线计算有关的综合题】 【典例1】已知，点O在直线上，，平分． 【问题初探】 （1）如图1，若，求的度数； 【类比分析】 （2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、求一个角的余角和补角，解答关键是根据图形各角度之间的数量关系． （1）根据，求得，再由角平分线定义，求得，利用余角定义求即可； （2）先求出，由角平分线定义，求得，利用余角定义表示出即可； （3）根据角平分线的定义，得到．由（2）得，即，由，根据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：． 理由：∵平分， ∴． 由（2）得， ∴． ∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴，即， ． 【变式1】（23-24七年级下·广东清远·期中）直线、、相交于点O，且，平分． (1)如图1， ①的余角有________________．（填写所有符合情况的角） ②若，求的度数． (2)如图2：探究与是否存在数量关系，如果存在，请直接写出与的数量关系，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，垂直的性质，余角的定义，角的和差，掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据余角的定义解答即可；②根据，，得到，根据，推出，由平分，得到，设，则，利用，求出x的值，即可求解； （2）根据题意得到，推出，由平分，得到，根据，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：① ， ， ， ， ， 的余角有， 故答案为：； ② ，， ， ， ， 平分， ， 设，则， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ，即， 平分， ， ，即， ， ． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据角平分线的定义得出 ，再根据平角的定义得； （2）①设，则，，根据列方程求出x，再根据对顶角相等，即可得出的度数；②分在上方、下方两种情况，画出图形，利用角的和差关系求解． 【详解】（1）解： 平分，， ， ； （2）解：① 平分， 设 ， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ， ； ②由①知， 时，， 分两种情况： 当在上方时，如图， ； 当在下方时，如图， ； 综上可知，的度数为或． 1、 选择题 1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可． 【详解】只有（3）中的∠1与∠2是对顶角． 故选B 【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角．利用对顶角的定义及邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：如图， ， ∵与互余， ∴与互余， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（     ） A．线段的长是点C到直线的距离 B．线段的长是点到直线 的距离 C．、、 三条线段中，PB 最短 D．线段的长是点P到直线a的距离 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键． 根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故选项A正确，不合题意； B、应是线段的长是点到直线 的距离，而不是，故选项B不正确，符合题意； C、、、 三条线段中，垂线段最短，即最短，选项C正确，不合题意； D、线段的长是点P到直线a的距离，选项D正确，不合题意； 故选：B． 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 【答案】D 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】A、， 直线与直线的夹角是60度，正确，故本选项不符合题意 B、 直线与直线的夹角是90度，正确，故本选项不符合题意 C、 线段的长是点D到直线的距离，正确，故本选项不符合题意 D、不相互垂直， 线段的长不是点B到直线的距离，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离和两直线的夹角，熟练掌握点到直线的距离与两直线的夹角的定义是解题的关键． 5．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线、对顶角以及角平分线，根据垂直定义可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】 若平分 故选：B． 6．立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，对顶角相等的性质，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键． 由已知条件和观察图形，再利用垂直和角平分线的性质即可求出角的度数，再根据选项即可作出判断． 【详解】解：， ， 又， ， 平分， ， 和是对顶角， ， ， A选项说法正确， ， ， B选项说法正确， ， C选项说法正确， ， 的补角为， ∴D选项说法不正确， 故选：D． 8．如图AB，交于点O，，，平分，则下列结论：①图中的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③为的平分线；④．其中结论正确的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①根据余角的定义可求解．②根据补角的定义可求解．③根据角平分线的定义无法证明．④根据对顶角及余角性质可求解． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴余角有， 故①正确． ②根据补角的定义可知的补角为，故②错误． ③∵不能证明，∴无法证明OD为∠EOG的平分线． ④根据对顶角以及余角的性质可知， 由①得， ∴，故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了余角、补角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的联系是解题关键． 2、 填空题 9．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的意义，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键．根据题意，得，，故，，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图，直线、相交于E，，垂足为E．当时， ． 【答案】/57度 【分析】根据垂直的定义求出，可得的度数，再根据对顶角相等即可得出答案． 本题考查了垂线，对顶角，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·上海静安·月考）直线，相交于点O，平分，且，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，掌握角平分线的定义是解题的关键． 先根据角平分线定义得出，由，得出，再利用平角的定义得到，求出，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵平分， ， 又∵，且， ∴， 又∵点，，在同一条直线上， ， ， ， ∵， ， 故答案为：． 13．已知的两边与的两边分别垂直，且比的4倍少30°，则 °． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂线，列一元一次方程解决实际问题等知识，解题的关键是考虑全面两个角的数量关系． 画出图形，分两角相等和互补两种情况，分别求出角的度数即可． 【详解】解：设的度数是，则的度数为，根据题意得： ①     如图，当时， ， 解得，， ∴的度数为； ②     如图，当时， 解得， ∴的度数为． 故答案为：或． 14．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 3、 解答题 15．如图，已知直线、相交于点O，平分，．若，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的含义，掌握角的和差运算是解本题的关键，先证明，再求解，再结合垂直的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·上海·月考）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等和垂线定义得出，，然后求出结果； （2）设，则，得出，根据角平分线的定义得出，，列出方程，求出x的值，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ ． 17．观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角； (4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角； (5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数． 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 (4) (5)999000 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （4）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （5）根据（4）得出得结论代入求解即可． 【详解】（1）解：对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 故答案为：2； （2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 故答案为：6； （3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为：12； （4）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （5）由（4）可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 18．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）求解，，，结合角平分线的定义进一步求解即可． （2）设，可得，，，，进一步列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：设， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线与相交于点O，是的平分线，，．    (1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对． (2)如果，求的度数． (3)平分吗？请写出理由． 【答案】(1)，； (2) (3)平分，理由见解析 【分析】考查垂直的定义、角平分线的意义、对顶角的性质等知识，根据图形正确判断出两个角之间的关系是正确解答的关键． （1）根据角平分线的意义可以得出相等的角，根据对顶角相等得出相等的角； （2）先根据垂直的定义得出求出，得出，根据角平分线的定义得出，进而可得到答案； （3）利用互余可以得出，再根据角平分线的性质，得出结论． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴， 根据对顶角相等得出：； （2）∵． ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即：， ∴平分． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，过点作． (1)如图1，求证：； (2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，角度的和差等内容，解题关键是找到图中角度之间的关系，列出等式． （1）由垂直的定义及角度的和差计算可得； （2）证明平分，即证明，通过题目中角度的和差运算可得； （3）设出的度数，表示出的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可． 【详解】（1）解：，相交于点， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）解：， 设，则， ， ，， ， ， ，，三点在一条直线上， ， 解得：， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $