5.2.2 排列数公式课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第五章 计数原理 5.2.2 排列数公式 情景：在某次家长座谈会中，要给参会的30位学生家长安排座位，一共有多少种坐法？这样的排列顺序问题能否快速计算呢？ 排列数的定义： 我们把从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，并用符号表示. m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 思考：研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？ 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 探究：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 (m≤n) 是多少？ 分析：可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 . 根据前面的求解经验，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位，如图所示， 从 n 个不同的元素中取出 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，因此，所有不同填法的种数就是. 现在我们计算有多少种填法，完成填空这件事可分为两个步骤： 第1步：填第1个位置的元素，可以从这n个元素中任选1个，有n种方法； 第2步：填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种方法； 根据分步乘法计数原理，2 个空位的填法种数为 = n(n-1). 第1位 第2位 第3位 n-2 n n-1 同理，求排列数按依次填3个空位来考虑，有=n(n-1)(n-2). 如图，假定有排好顺序的 m 个空位，从 n 个不同元素中取出 m 个元素去填空，一个空位填 1 个元素，每一种填法就对应一个排列. 归纳总结：求排列数可以按依次填 m 个空位来考虑： · · · 第1位 第2位 第3位 第m位 n n-1 n-2 n-m+1 填空可分为 m 个步骤： 第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位上，有n种选法； 第2步，从剩下的(n-1)个元素中任选1个填第2位上，有(n-1)种选法； 第3步，从剩下的(n-2)个元素中任选1个填在第3位上，共有(n-2)种选法； …… 第m步，从剩下的n-(m-1)个元素中任选1个填第m位上，共有n-m+1种选法； 根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2)∙∙∙(n-m+1). 这样，我们就得到公式： =n(n-1)(n-2)∙∙∙(n-m+1). 这里，m，n∈N*，并且m ≤ n；这个公式叫做排列数公式. 公式特点： 1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n - m + 1)； 全排列数： 从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的一个全排列. 全排列数为： 排列数公式： 阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为 n 的阶乘，用 表示， 即 思考：排列和排列数的区别？ “一个排列”是指从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法； “排列数”是指从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列． 例1：计算：（1） 解：根据排列数公式可得： （1） （2） （3） （4） = 6×5×4×3×2×1 = 720. 归纳总结：排列数的计算方法 （1）排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意，连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． （2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． 思考：由例题可以看出 观察这两个结果，你发现了它们的共性了吗？ ； 即 （排列数公式的阶乘形式） 排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明. 练习1：求证： 证明： 例2.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法1：如图，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法； 第2步，确定十位和个位上数字，可以从剩下9个数字中取出2个，有种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 第1类：每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法； 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为. 解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类： 解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数， 0 即所求三位数的个数为 练习2：用数字 2，3，4，5，6 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　) A.120 B.72 C.60 D.48 B 练习3：为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门， 连续开设六周. 若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为(　　) A.216 B.480 C.504 D.624 C 分析：当课程“御”排在第一周时，有 =120 种排法； 当课程“御““乐”均不排在第一周，且“御”不排在最后一周时，有×× = 384种排法； 所有可能的排法种数为120 + 384 = 504. $