第5章 2.1 排列与排列数+2.2 排列数公式-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 排列问题 2 §2 2.1 排列与排列数+2.2 排列数公式 刷基础 3 1. ( ) A A. B. C. D. 题型1 排列数公式 4 解析 .故选A. 题型1 排列数公式 5 2.［山西大同2024高二月考］若，则 ( ) A A.5 B.3 C.6 D.7 题型1 排列数公式 6 解析 由，可得 ， 所以，解得或，因为，所以 .故选A. 题型1 排列数公式 7 3. （多选）［陕西渭南2024高二月考］下列各式中，恒等于 的是 ( ) BD A. B. C. D. 题型1 排列数公式 8 解析 对于A，， ， 故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，，故D正确.故选 . 题型1 排列数公式 9 链接教材 此题对应教材第167页例2，排列数公式有连乘和阶乘两种形式，在计算含有数字的排列数的具 体数值时，常用连乘形式，在证明或化简与排列数有关的问题时，常用阶乘形式. 题型1 排列数公式 10 4.（多选）［江西新余六中2024高二月考］下列选项中，属于排列问题的是( ) ACD A.从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B.有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C.从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D.从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 题型2 排列的概念与简单的排列问题 11 解析 对于A，从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列 问题，故A正确； 对于B，有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属 于排列问题，故B错误； 对于C，从3，5，7，9中任选两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C正确； 对于D，从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D正确. 故选 . 题型2 排列的概念与简单的排列问题 12 规律方法 判断是否为排列问题的方法 判断一个具体问题是不是排列问题，就看取出元素后元素是有序的还是无序的，而检验它是否有 序的依据就是变换元素的“位置”（这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定），看其 结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题. 题型2 排列的概念与简单的排列问题 13 5.［河南多校2025高二期中］甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的5个讲座，每人可自由选择听 其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为( ) D A.125 B.100 C.80 D.60 题型2 排列的概念与简单的排列问题 14 解析 先将甲、乙两人捆绑，与丙、丁两人形成三个元素，然后从5个讲座中选取3个讲座分配给 这三个元素即可， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为 .故选D. 题型2 排列的概念与简单的排列问题 15 6.从0，1，2，3，4，5，6七个数字中取四个不同的数组成被5整除的四位数，这样的四位数的 个数为( ) C A.260 B.240 C.220 D.200 题型3 数字排列问题 16 解析 当个位是0时，共有 （个）满足题意的四位数； 当个位是5时，首位有5种情况，十位和百位有 （种）情况，共有100个满足题意的四位数. 综上，共有 （个）满足题意的四位数.故选C. 题型3 数字排列问题 17 7.［山西忻州2024高二联考］在用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字 比十位上的数字大的五位数的个数为( ) A A.48 B.96 C.60 D.120 题型3 数字排列问题 18 解析 万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位， 则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为 ， 所以个位上的数字比十位上的数字大的五位数的个数为 .故选A. 题型3 数字排列问题 19 8.［北京北师大附中2025高二月考］有0,1,2,3四个数字. （1）可以组成多少个四位数？ 【解】依次考虑千位、百位、十位、个位上的数字，根据分步乘法计数原理可知， 共有 （个）四位数. （2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ [答案] 当个位上的数字是0时，共有 （个）无重复数字的四位偶数； 当个位上的数字是2时，千位是1或3，共有 （个）无重复数字的四位偶数， 因此，共有 （个）无重复数字的四位偶数. 题型3 数字排列问题 20 （3）若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？ （直接写出答案即可） [答案] 当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有 （个）； 当千位数字是2，百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有 （个）； 当千位数字是2，百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有 （个）， 所以把由这四个数字组成的无重复数字的四位数按从小到大排列，则第10个四位数是2 130. 题型3 数字排列问题 21 9.［江西鹰潭2024高二月考］某场篮球比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四 人报名参加，每个地点仅需一名志愿者，每人至多在一个地点服务.若甲不能到第一个地点服务， 则不同的安排方法共有( ) A A.18种 B.24种 C.32种 D.64种 题型4 特殊元素与特殊位置问题 22 解析 若安排的人中没有甲，安排方法有 （种）.若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再 选两人来安排，则安排的方法有（种），所以总的方法数为 .故选A. 题型4 特殊元素与特殊位置问题 23 10.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛， 则不同的参赛方案种数为____. 96 解析 根据题意，从5名学生中选出4名分别参加4种竞赛，分2种情况讨论：①选出的4人中没有 甲，即选出其他4人即可，有 （种）参赛方案； ②选出的4人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加 剩下的三科竞赛，有（种）参赛方案，则此时共有 （种）参赛方案.综上，总 共有 （种）不同的参赛方案. 题型4 特殊元素与特殊位置问题 24 11.［山东德州2024高二月考］有4名男生，5名女生，全排成一行，下列情形各有多少种排法. （1）甲不在中间也不在两端； 【解】方法一 （元素分析法）：先排甲有6种排法，再排其余8人有 种排法，故共有 （种）排法. 方法二 （位置分析法）：中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有 种排法，故共有 （种）排法. 方法三 （等机会法）个人全排列有 种.因为甲排在每一个位置的机会都是均等的，所以甲 不在中间及两端的排法种数是 . 方法四 （间接法）： （种）排法. 题型4 特殊元素与特殊位置问题 25 （2）甲、乙两人必须排在两端； [答案] 先排甲、乙，再排其余7人，共有 （种）排法. （3）男女相间. [答案] （插空法）先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，有 种方法，故共有 （种）排法. 题型4 特殊元素与特殊位置问题 26 12.［广西桂林2025高二段考］有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其 随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有( ) C A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 27 解析 将2本语文书捆绑、2本数学书捆绑，则相同科目的书相邻的排法种数为 .故选C. 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 28 13.［江西上饶2025高二月考］我校田径队有十名队员，分别记为,,,,,,,,, ，为完成某 训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将,,,,五人排成一行形成甲队，要求与 相 邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与 不相邻，则不同的排列方法种 数为( ) C A.432 B.864 C.1 728 D.2 592 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 29 解析 甲队，先将与捆绑有（种）排列方法，再将与看成一个整体与,, 三人排成 一行，且在的左边，用除序法得有 （种 排列方法，利用分步乘法计数原理可知，一共有 （种）排列方法； 乙队，要求与不相邻，利用插空法得，有 （种）排列方法. 根据分步乘法计数原理可知，一共有 （种）排列方法.故选C. 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 30 规律方法 对于相邻和不相邻问题，可用捆绑法和插空法来解决.对于相邻问题，若有 个元素排列，其中两 个元素相邻，先将这两个元素进行排列，有 种方法，然后将这两个元素看成一个元素进行全排 列，有种方法，由分步乘法计数原理知，共有种方法.对于不相邻问题，若有 个元 素排列，其中两个元素不相邻，可将没有要求的元素全排列，有种方法，产生 个空位， 再把不相邻的元素插空进去，有种方法，由分步乘法计数原理知，共有 种方法. 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 31 14.［浙江杭州2025月考］现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种 数是( ) C A.180 B.240 C.288 D.300 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 32 思路导引 将6人进行编号，先选择一对双胞胎（3种）令其相邻，且两人可内部排列，故有 种情况， 再根据这对双胞胎站的位置进行分类求解，最后结合分类加法计数原理得到不同的排列方法种数. 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 33 解析 将6人进行编号，分别为,,,,,，其中,为双胞胎，,为双胞胎，, 为双胞胎， 从左到右站位，分别为1,2,3,4,5,6， 先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有 种情况.再依次进行排列： ①若这对双胞胎分别站在1,2位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择（4种），那么4号位可 以从剩余的双胞胎中选择1人（2种），5,6号位置将固定排剩余2人，此时共有 （种）排法； ②若这对双胞胎分别站在2,3位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人 （2种），5,6位置将固定排剩余2人，此时共有 （种）排法； ③若这对双胞胎分别站在3,4位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人 （2种），5,6位置可将剩余2人进行全排列，此时共有 （种）排法； ④若这对双胞胎分别站在4,5或5,6位，可利用上述①②的方法得到分别有 （种）排法. 综上，共有 （种）排法.故选C. 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 34 15.［陕西汉中2024高二月考］有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排 且连在一起.（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的排法有多少种？ 【解】先将4名女生排在一起，有 种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排 列，共有种排法，由分步乘法计数原理得共有 （种）排法. （2）女生互不相邻的排法有多少种？ [答案] 先将3名男生排好，共有 种排法，在这3名男生中间以及两边共4个空位中插入4名女生， 共有种排法，再由分步乘法计数原理，可得共有 （种）排法. （3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ [答案] 先将甲、乙、丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲、乙相邻，则有 种排法， 最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人产生的5个空隙中，共有 种排法， 由分步乘法计数原理，可得共有 （种）排法. 题型5 “相邻”与“不相邻”问题 35 16.［湖南师大附中2025高二期中］现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原 来4个同学的相对顺序不变，则不同的方法共有( ) C A.10种 B.20种 C.30种 D.60种 题型6 “定序”问题 36 解析 4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列 有6种情况，由分步乘法计数原理得，共有 （种）不同的方法.故选C. 题型6 “定序”问题 37 17.［辽宁抚顺2024高二期末（改编）］课间活动时，5位同学排成一排准备跳绳，又来了甲、乙、 丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲、乙2位同学互不相邻，丙同学不 排在两端，则不同的加入方法共有( ) D A.360种 B.144种 C.180种 D.192种 题型6 “定序”问题 38 解析 分两种情况： 当甲、乙、丙3位同学排在一起时，有甲丙乙、乙丙甲2种排法，整体插入5位同学形成的6个空 中，共有 （种）排法； 当甲、乙、丙3位同学不全排一起时，先加入甲，有种方法，再加入乙，有 种方法，最后加 入丙，有种方法，此时不同的加入方法共有 （种）. 故不同的加入方法共有 （种）.故选D. 题型6 “定序”问题 39 18.元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不 同的取法共有( ) B A.32种 B.70种 C.90种 D.280种 题型6 “定序”问题 40 解析 因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定， 则取下的方法有 （种）.故选B. 题型6 “定序”问题 41 规律方法 对于定序问题，可用缩小倍数的方法来解决，若有个元素排成一列，其中 个元素之间的 先后顺序确定不变，则共有 种不同的排法. 题型6 “定序”问题 42 19.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为( ) B A. B. C. D. 易错点1 混淆不全相邻和全不相邻致误 43 解析 在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全 相邻的方法数， 即 ，故选B. 易错警示本题中“甲、乙、丙三人不全相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有 两人相邻,若将“甲、乙、丙三人不全相邻”误认为是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况，则会 产生以下误解： 甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种排法，5人排好后产生6个空，插入甲、乙、丙三人有 种方法，这样共有 种排法，导致选A. 易错点1 混淆不全相邻和全不相邻致误 44 20.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次．甲、乙两人 去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差 的．”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况． 【解】根据题意，第一步先讨论乙的排名，乙可能是第2,3,4名，有3种可能； 第二步讨论甲的排名，有3种可能； 第三步再讨论其他同学的排名，有 种可能. 由分步乘法计数原理可得满足条件的情况有54种. 易错点2 分析多个对象的特殊性时，忽略重复部分致误 45 易错警示 在解决多个对象具有特殊位置的问题时，往往因为分类不准确会导致重复，尤其是有两个对象都 具有特殊性的时候，要把重复部分给去掉. 易错点2 分析多个对象的特殊性时，忽略重复部分致误 46 21.解不等式： . 【解】由，得,化简得 ，解得 ，所以 . 由,得 . 易错点3 忽视排列数公式的隐含条件致误 47 易错警示 （1）不要忽视公式中的条件“”，如本题易得到“，且，即 , 9,10,11”的错误结论. （2）不要忽视公式中的条件“，”，如本题易得到“ ”的错误结论. （3）在解答含排列数的方程或不等式时，要注意排列数，，且 这些限制条件， 要注意含排列数的方程或不等式中未知数的取值范围. 易错点3 忽视排列数公式的隐含条件致误 48 $$