素养拓展03 平面向量中的最值（范围）问题（思维导图+5知识点+五大考点+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教A版

素养拓展03 平面向量中的最值（范围）问题 知识点1：利用函数的单调性解决平面向量中的最值（范围）问题 以下是几种解决平面向量最值问题的方法： 1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减. 2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减. 3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增. 4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. 5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△. 知识点2：利用不等式、几何关系解决平面向量中的最值（范围）问题 1、基本不等式 （1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号. 利用基本不等式求最值 ①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤. 其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 2、利用平面几何知识 （1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立. （2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心. 【题型一：有关数量积的】 1．设均为单位向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）M是的边BC的中点，满足，若动点P在内部，则的最小值为（   ）. A． B． C．1 D．0 3．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南南阳·月考）如图所示，在同一平面内，点在两平行直线的同侧，且点到直线的距离分别为1，3，点分别在直线上，，则的最大值为（    ） A．15 B．13 C．12 D．10 5．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在中，，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 . 6．（24-25高一下·广东广州·期中）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为 . 7．（24-25高一下·广东云浮·期末）的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为 . 8．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【题型二：有关模长的】 1．已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量满足：.则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D．5 3．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是 . 4．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知向量，，满足，，，且，则的最小值为 . 5．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若满足，，，则的最小值是 ． 6．（24-25高一下·辽宁·期中）在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为 . 【题型三：有关夹角的】 1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·四川绵阳·月考）已知，是平面内两个夹角为120°的单位向量，若 且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是 . 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）若平面向量满足，则夹角余弦的最大值是 ． 【题型四：有关系数的】 1．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高一下·四川绵阳·月考）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高一下·北京朝阳·期末）青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·北京·月考）若 均为单位向量，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·湖北·月考）如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·天津·月考）已知是的外心，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·天津·期中）已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 . 15．（24-25高一下·浙江·期中）在中，为内一点，且，若，则的最大值为 . 16．（24-25高一下·四川成都·月考）已知平面向量，满足，且，则的最大值是 . 17．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为 . 18．（24-25高一下·天津·月考）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E. 且交AC于点F，则的最小值为 . 19．（24-25高一下·上海松江·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ． 20．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 21．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的取值范围是 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养拓展03 平面向量中的最值（范围）问题 知识点1：利用函数的单调性解决平面向量中的最值（范围）问题 以下是几种解决平面向量最值问题的方法： 1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减. 2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减. 3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增. 4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. 5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△. 知识点2：利用不等式、几何关系解决平面向量中的最值（范围）问题 1、基本不等式 （1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号. 利用基本不等式求最值 ①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤. 其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 2、利用平面几何知识 （1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立. （2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心. 【题型一：有关数量积的】 1．设均为单位向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量数量积的运算律和模长的计算求解即可. 【详解】，即，则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）M是的边BC的中点，满足，若动点P在内部，则的最小值为（   ）. A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】设中点为，由，再根据向量的线性运算可解. 【详解】设中点为，     ， 当，即点P在中点时取等号， 故选：A. 3．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 4．（24-25高一下·河南南阳·月考）如图所示，在同一平面内，点在两平行直线的同侧，且点到直线的距离分别为1，3，点分别在直线上，，则的最大值为（    ） A．15 B．13 C．12 D．10 【答案】A 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量，根据，求出的解析式，再求其最大值. 【详解】由点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为1，3，可得平行线间的距离为2； 以直线为轴，以过点且与直线垂直的直线为轴，建立坐标系，如图所示： 由题意可得点，直线的方程为，设点，点， 则，则， 因，则，得，或； 当时，， 当时有最大值，最大值为； 当时，， 当时有最大值，最大值为； 综上可得，的最大值为15. 故选：A. 5．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在中，，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【分析】设，用表示，利用向量的数量积的运算律与二次函数的最值的求法可求解. 【详解】点在边上，设， 则，， 因为点为边的中点，所以， 所以 ，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·广东广州·期中）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】利用圆的性质，得到，利用向量数量积的定义和运算律计算，再利用余弦函数的值域求最值. 【详解】    如图，因为为的外接圆圆心，， 所以，且， 则， 故当反向共线时，，取到最大值4. 故答案为：4. 7．（24-25高一下·广东云浮·期末）的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】作，得到，在中，利用余弦定理和基本不等式，求得，即可求解. 【详解】如图所示，作，垂足分别为， 则， 在中，由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，所以，即. 故答案为：. 8．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 【题型二：有关模长的】 1．已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果. 【分析】因为， 所以． 又，， 所以 ． 令． 由，可知为二次函数，其图像开口向上， 要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得． 则正数的取值范围是. 故选：D 2．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量满足：.则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据条件及不等式求最大值即可. 【详解】因为 ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 3．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由圆的性质得到，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可. 【详解】因为点为的中点，，所以， ， 因为点为线段上的一动点，， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知向量，，满足，，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意可得，进而求得，可得，利用二次函数的性质可求最小值. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又，，所以， 所以， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若满足，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由极化恒等式转化得，利用投影向量的模，通过，求得的范围即可． 【详解】如图，取，因为，，所以可构造平行四边形， 由投影向量的模可知的终点分别在垂直于的直线上，且， 所以，． 由极化恒等式可得，所以， 即，当与同向时等号成立． 故答案为：. 6．（24-25高一下·辽宁·期中）在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值. 【详解】 如图所示：取的中点为，则， 所以， 所以 ， 所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）. 故答案为：9 【题型三：有关夹角的】 1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 2．已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两边平方，根据平面向量数量积的运算性质可得，然后由向量夹角公式求解． 【详解】因为均为单位向量，所以， 由，得， 则， 则，即， 则， 因为，所以. 则与的夹角的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，然后令表示上式，根据题意列出不等式组计算即可. 【详解】由，得，得， 即．令， 则关于的方程在上有解， 得，得．因为，所以． 故选：D. 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则由题意可设，，有，再利用向量夹角公式与基本不等式计算即可得解. 【详解】设，则由，，可设，， 则，即，则 ， ， 当且仅当，即时等号成立， 又，故. 故选：A. 5．（23-24高一下·四川绵阳·月考）已知，是平面内两个夹角为120°的单位向量，若 且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据向量夹角为锐角得到，再排除的情况，计算得到答案. 【详解】 因为与的夹角为锐角，所以 ， 又因为 ， 则， 解得 ， 当时，有，即， 则有，解得，此时与方向相同， 综上所述： 且，实数k的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）若平面向量满足，则夹角余弦的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，结合基本不等式即可求最大值. 【详解】以为轴正方向上的单位向量建立平面直角坐标系，则， 设 则由， 由， 又由， 所以 ， 则当且仅当时，的最大值为， 故答案为：. 【题型四：有关系数的】 1．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解. 【详解】解：由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 2．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的线性运算用表示，再代入求出范围即得. 【详解】由点在射线（不含点）上，设，又，    则，于是， 因此， 所以的取值范围是.   故选：B 3．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 4．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为三点共线，则，且， 且，，即，， 可得， 又因为，则， 可得，则，可得， 显然，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，可得．两边平方，结合，，得到，求出最小值为，因此的最小值为 【详解】因为，所以，代入可得． 因为，所以， 两边平方得 ， 又，故 当时，取得最小值，因此的最小值为 故选：C 2．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值. 【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为. 故答案为：D． 3．（24-25高一下·四川绵阳·月考）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据已知及向量共线的推论得，进而求的最大值即可. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，的最大值为1. 故选：C 4．（24-25高一下·北京朝阳·期末）青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，令，代入可得，利用可求的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 又，，， 所以，令，则， 所以，所以， 所以，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：B. 5．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方，得到，利用夹角余弦公式和基本不等式得到，从而求出正弦的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 整理得， ， 当且仅当时等号成立，所以. 故的最大值为. 故选：D 6．（24-25高一下·北京·月考）若 均为单位向量，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积运算律化简得出，再根据数量积求解模长的最大值即可. 【详解】因为 均为单位向量，且， 因为，所以， 所以， 则. 则的最大值为. 故选：B. 7．（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. 8．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两边平方得，根据两个向量夹角的余弦公式结合均值不等式求得结果. 【详解】由，两边平方得，又， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以与夹角的余弦值的最大值为. 故选：A. 9．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点M在△ABC内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系 则 . 设 ， 则 . 因为 ，且 ，所以 )，且 ， 即 可得 因为点 在 内部， 所以 可得 ，所以 . 因为 ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 . 故选：C 　 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，然后求出正八边形的内角大小，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由正八边形的对称性可知， ， 易知正八边形的每个内角为， 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值. 如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点， 可知当在线段上时，取得最大值，， 此时. 当在线段上时，取得最小值，此时， 此时， 故的取值范围为. 故选：A.    11．已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得以及，或，由此即可得解. 【详解】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则， ， 平方得到，即，即， 同时， ，即， 平方得到，即，即， 综上，即， 向量的夹角的取值范围. 故选：B. 12．（24-25高一下·湖北·月考）如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 故选：D 13．（23-24高一下·天津·月考）已知是的外心，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，将原式两边平方得，由图形可知，、不能都是正数，利用三角代换，求函数的值域，即可判断选项. 【详解】如图，，所以， 因为，所以，，即， 如图可知，点在优弧上，所以、不能都是正数， 所以设，，，可得， 即. 故选：B. 14．（24-25高一下·天津·期中）已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】利用向量数量积定义计算可得，再根据两向量与的夹角为钝角可得其数量积小于零，且它们不反向，解不等式即可求得结果. 【详解】依题意可得， 若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向， 所以，解得； 当两向量方向相反时可得，且，解得； 因此可得或； 即实数的取值范围为. 故答案为： 15．（24-25高一下·浙江·期中）在中，为内一点，且，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据向量数量积的运算性质，结合已知条件得出与的关系式，再利用基本不等式求解的最大值. 【详解】因为，根据向量垂直的性质可知，那么. 对两边同时平方 由可得. 展开可得：. 将，，，代入上式可得： ，即，化简得. 设，，则. 根据基本不等式（当且仅当时取等号），可得： . 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：. 16．（24-25高一下·四川成都·月考）已知平面向量，满足，且，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合数量积的性质求出的范围即可求解. 【详解】由，得， 整理得，则 ，当且仅当与同向时取等号，解得， 因此， 所以的最大值是. 故答案为： 17．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】由题意可推得，根据已知条件得出，，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 由已知可知，，， 所以，. 故答案为：. 18．（24-25高一下·天津·月考）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E. 且交AC于点F，则的最小值为 . 【答案】/0.55 【分析】先设出线段再根据相似和勾股定理求出其他线段的长，然后把用表示即可用表示得值，最后结合二次函数的性质即可求最小值. 【详解】设，取的中点连接，易知， 易知，则，， 同理，， 因为所以，又因为，所以， 所以 又因为， 所以 当时有最小值. 故答案为：    19．（24-25高一下·上海松江·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义可求. 【详解】正方形的边长为2，则内切圆半径为1, 因为弦的长度最大，所以为直径，圆心为中点， 则， 所以， 根据题意当在切点时，，当在正方形顶点处时，， 即，即， 故答案为：. 20．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 【答案】/ 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求最小值. 【详解】在中，，则， 线段的中点分别为， ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵，，， ∴， 因为对称轴为，所以当时取得最小值， 最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 21．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将，两边同时平方得，再利用三角代换，结合三角函数的性质求解. 【详解】依题意，，，， 由两边同时平方，得， 即，令，则， 因此，其中锐角由确定， 而，则，， 所以的取值范围是. 故答案为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $