素养拓展07 立体几何中的外接球与内切球问题（思维导图+5知识点+五大考点+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教A版必修第二册

素养拓展07 立体几何中的外接球与内切球问题 知识点1：外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点2：外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点3：外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点4：外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点5：外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点6：内切球思路 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【题型一：墙角模型】 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川自贡·期末）长方体的长宽高分别为，，，则该长方体外接球的体积为 ． 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是 ． 【题型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型】 1．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ． 2．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型三：其他补成长方体模型】 1．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 . 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·海南海口·期末）如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型四：直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型】 1．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上､下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 6．已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为 ，圆台的外接球的体积为 . 【题型五：正棱锥、圆锥模型】 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 3．（24-25高一下·河北·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 4．（23-24高一下·安徽芜湖·期末）底面半径为1，母线长为的圆锥的外接球的表面积为 . 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为 . 【题型六：垂面模型】 1．（24-25高一下·山东滨州·期末）在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期末）已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为（   ） A．2 B． C．3 D． 3．（24-25高一下·河北·期末）已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为 ． 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知是球O表面上的点， 平面ABC，，.若球O的体积为则 . 6．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【题型七：内切球问题】 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 2．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D． 3．半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津和平·期末）已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为 ，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则 （   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川绵阳·月考）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为 ． 7．在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 1．（2025高一·北京·专题练习）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西河池·月考）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（    ） A．3 B．6 C．2 D．2.5 5．（24-25高一下·辽宁·期末）已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 8．已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（   ） A．4 B． C．3 D． 9．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·天津滨海新·月考）四棱锥的底面为正方形，底面，，四棱锥的顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（    ） A．3 B． C．1 D． 12．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·广东广州·期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·云南楚雄·月考）三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 16．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 17．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选题）在四棱锥中，平面，，，，，，则（    ） A．四边形外接圆的半径为 B．四边形外接圆的半径为 C．四棱锥外接球的体积为 D．四棱锥外接球的体积为 19．圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为 ． 20．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为 ，该圆锥的底面半径为 . 21．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 22．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且，则该四面体外接球的体积为 . 23．已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 24．（24-25高一下·天津南开·期末）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 . 25．一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . 26．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为 . 27．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为 ． 28．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为 ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养拓展07 立体几何中的外接球与内切球问题 知识点1：外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点2：外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点3：外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点4：外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点5：外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点6：内切球思路 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【题型一：墙角模型】 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的体对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故选：B． 2．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径，求出外接球的半径，即可求出其表面积. 【详解】因为在四棱锥中，底面是矩形，平面， 如图将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球， 又，设长方体外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积. 故选：A    3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 4．（24-25高一下·四川自贡·期末）长方体的长宽高分别为，，，则该长方体外接球的体积为 ． 【答案】 【分析】根据长方体的特征和勾股定理求出外接球半径，然后根据公式求出球的体积即可. 【详解】设长方体外接球的直径为， 则根据勾股定理可得. 所以长方体外接球的半径为. 所以长方体外接球的体积为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的体积是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，可由三棱锥构造正方体，利用两者的外接球相同，即可求出三棱锥的外接球体积. 【详解】 由题意，，，，， 故可将三棱锥放在如图以为四个顶点的正方体中， 则三棱锥的外接球即该正方体的外接球，则外接球的直径为， 故三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 【题型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型】 1．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径 ． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 2．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四面体的所有棱长都为的四面体是正四面体，将正四面体放入正方体中，即可求解. 【详解】因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球， 故正方体的棱长为，外接球半径为， 所以. 故选：C. 【题型三：其他补成长方体模型】 1．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 3．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，又长方体的体对角线即为外接球的直径，求出外接球的半径，即可求出其表面积. 【详解】因为在四棱锥中，底面是矩形，平面， 如图将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球， 又，设长方体外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积. 故选：A    4．（23-24高一下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得平面，将鳖臑补全成长方体，进而可求外接球半径，从而得解. 【详解】根据题意，平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将鳖臑补全成长方体，如图， 则此四面体的外接球的半径为， 其外接球的表面积为. 故选：B. 5．（23-24高一下·海南海口·期末）如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面时，三棱锥体积最大，把三棱锥补形为一个长方体，求出外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】在中，，是的中点，则有， ，， 当，即平面时，三棱锥体积最大，此时两两垂直， 可把三棱锥补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为：， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 6．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 【题型四：直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型】 1．（24-25高一下·福建泉州·期末）已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积. 【详解】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得所在的截面圆的半径，再结合勾股定理求出球O的半径，结合球的体积公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为 ， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 3．已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上､下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆柱的侧面积公式求出圆柱的底面圆半径，再由即可求出球的半径，再用球的体积公式即得. 【详解】由圆柱侧面积，解得， 因为圆柱的上､下底面圆周都在某一球的球面上，所以球心在圆柱的上、下底面圆心连线的中点处. 设球半径为，则， 所以. 故选：A. 4．在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，， 若在线段上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此在的延长线上（如图），即在平面下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． 故选：D． 5．（24-25高一下·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据正三棱台性质找出其外接球球心所在位置即可求得其半径，再由球的表面积公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为， 由正三棱台性质可知在上， 易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为； 可得，即； 即， 又，设，则，解得； 所以外接球半径为， 可得则该球的表面积为. 故答案为： 6．已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为 ，圆台的外接球的体积为 . 【答案】 1 / 【分析】作圆台轴截面，根据母线与高的夹角为求得，根据截面及已知列方程组求得，代入球的体积公式求解即可. 【详解】设此圆台上底面圆心为，下底面圆心为，其外接球的球心为，半径为，作圆台轴截面如图所示： 则，设圆台的高为， 根据轴截面及母线与高的夹角为，可知， 所以，所以. 设（若球心在圆台内，则求得）， 则，解得， 所以圆台的外接球的体积为. 故答案为：1； 【题型五：正棱锥、圆锥模型】 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积. 【详解】 根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接， 由等边三角形，其边长，可知， 再由勾股定理得：， 设外接球半径为，结合勾股定理： 可得：，解得：， 由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程， 故该外接球的半径仍为， 所以该外接球的表面积为：， 故选：A 2．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 【答案】A 【分析】根据正四棱锥及其外接球的特征，利用勾股定理求得底面对角线的一半的长，再求得底面正方形的边长和正四棱锥的侧棱长，利用余弦定理求得侧面的顶角余弦值，计算正弦值，利用三角形面积公式计算一个侧面的面积，进而求得全面积. 【详解】如图，在正四棱锥中，设底面的中心为，外接球的球心为， 则，，则， 在中，， 则在正方形中，，则， 又， 则， 所以， 则， 正方形的面积为， 则正四棱锥的表面积为. 故选：A. 3．（24-25高一下·河北·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，确定外接球球心位置，利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，取线段的中点，连接， 则，，设点在底面的射影为点， 则为正的中心，，则， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为R， 则，由勾股定理得，即，解得， 所以该正三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 4．（23-24高一下·安徽芜湖·期末）底面半径为1，母线长为的圆锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】先求出圆锥的高，设出外接球的半径，从而列出方程，求出半径，得到外接球的表面积. 【详解】设圆锥的高为，则， 设外接球的半径为，则，解得， 故圆锥的外接球的表面积为. 故答案为： 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为 . 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的体积公式，即可求出结果． 【详解】由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆， 所以圆锥的底面圆周长为，母线长为2， 所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形， 作出圆锥的外接球的草图，如下： 则，设外接球的半径为，则， 在中，， 所以，解得， 所以圆锥的外接球的体积为． 故答案为：. 【题型六：垂面模型】 1．（24-25高一下·山东滨州·期末）在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合球的截面性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 2．（24-25高一下·重庆·期末）已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将三棱锥转化为正三棱柱，根据题意结合正三棱柱的性质求外接球的半径. 【详解】将三棱锥转化为正三棱柱， 可知三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球， 设的外接圆圆心为，半径为r， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为O，连接OA，， 则，因为，解得， 所以该三棱锥外接球的半径长为2. 故选：A． 3．（24-25高一下·河北·期末）已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当三棱锥体积最大时，平面平面，分别取和的外接圆圆心，进而找到三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解. 【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面， 所以， 如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线， 过上靠近的三等分点作平面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案. 【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知是球O表面上的点， 平面ABC，，.若球O的体积为则 . 【答案】 【分析】取的中点为，可得点为的外心，设三棱锥的外接球球心为，易得平面，求出外接球的半径，设求得，利用直角梯形列方程，求出即可. 【详解】 如图，取的中点为，因，， 则点为的外心，且， 设三棱锥的外接球球心为，半径为，连接， 则平面， 依题意，，解得，因SA⊥平面，则，， 设则，解得，即. 故答案为：. 6．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】取中点，连接，可证平面平面，记的外心为，为的外心为，过在平面内作，过在平面内作两直线交于点，求得即为外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】取中点，连接，所以，， 因为，所以， 又，，，所以， 所以，所以，所以， 所以为二面角的平面角， 又因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 记的外心为，的外心为， 过在平面内作，过在平面内作两直线交于点， 可得为三棱锥的外接球的球心， 因为，设，则， 解得，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 【题型七：内切球问题】 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽， 故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 2．若正四棱锥体积为，内接于球O，且底面过球心O，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由正四棱锥体积先求出外接球半径，进而得到正四棱锥的底面边长与高，再利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径. 【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O， 设球的半径为， 所以， 所以， 于是正四棱锥的体积，解得， 所以正四棱锥的表面积， 设正四棱锥内切球的半径为， 则，解得. 故选：A. 3．半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据球内切于正三棱柱求出高，然后内切球的性质求得底面正三角形的边长，最后利用柱体体积公式求解即可. 【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 4．（24-25高一下·天津和平·期末）已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为 ，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正四面体的性质，即内切球半径为高的四分之一，外接球半径为高的四分之三，再结合勾股定理进行求高，再利用球的表面积公式和体积公式，即可求解. 【详解】    如图能装下正四面体的最小正方体，其体积为，可知正方体边长为， 从而可得正四面体的棱长为正方体的面对角线长，    利用正四面体的性质可知， 正四面体的内切球球心位于正四面体的高线上，且内切球半径为高的四分之一； 正四面体的外接球球心位于正四面体的高线上，且外接球半径为高的四分之三； 由球与底面的切点为底面中心，可知， 而，所以， 即内切球半径为，外接球半径为， 所以有正四面体的体积为， 即， 故选：A. 5．（24-25高一下·四川绵阳·月考）正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得到正三棱台的高. 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为和， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 为侧面等腰梯形上下底边中点，则， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 故选：B 6．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 7．在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【分析】设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为，连接，由已知条件求出，然后根据可求出，从而可求出三棱锥的内切球的表面积. 【详解】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 1．（2025高一·北京·专题练习）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，得到正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直， 可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内， 可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球， 设正三棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 2．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 3．（23-24高一下·广西河池·月考）已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方体的外接球来研究正四面体的外接球，只需要把正四面体放入正方体中，如图分析研究即可得到球的半径. 【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示，    设正方体的棱长为，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径， 所以球的体积， 故选：C. 4．（23-24高一下·重庆·期末）四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（    ） A．3 B．6 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】首先根据题意将四棱锥中补全成长方体，根据表面积可得球半径，再求长方体的外接球半径即可． 【详解】将四棱锥中补全成长方体，如图所示： 所以四棱锥的外接球即为长方体的外接球． 由于四棱锥的外接球的表面积为，故球半径满足，故， 则外接球的半径为， ． 故选：A． 5．（24-25高一下·辽宁·期末）已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得，再补成正方体得外接球得半径，最后根据球体积公式得结果. 【详解】因为所以，， 即， 因为，，所以平面，同理可得平面， 所以可作为边长为1的正方体的四个顶点， 因为正方体的外接球直径为，所以外接球的半径为， 因此球的体积为， 故选：A. 6．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合底面直角三角形的外接圆的半径，以及直棱柱的结构特征，得到外接球的半径，满足，再由球的体积公式，即可求解. 【详解】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和， 设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得， 设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为， 则三棱柱外接球的球心为的中点，设为， 又因为三棱柱的高为， 所以外接球的直径为， 可得，所以该三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 7．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，利用正四棱锥的特征，过作棱锥的高，过球心且交于与的交点，连接，设球的半径为，在中，利用勾股定理构建方程，即可求出球的半径，求得球的体积. 【详解】如图，正四棱锥外接于球， 过作棱锥的高，过球心且交于与的交点， 连接，设球的半径为， 则，， 且， 所以， 即，解得， 所以球的体积为.    故选：A 8．已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果. 【详解】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上， 连接并延长交于，连接并延长交AB于D， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，C=CD=，则， 设正三棱台的外接球的半径, 得，解得，即. 故选：B.    9．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设分别取的中点，连接，判断直三棱柱的外接球球心在的中点，借助于求得外接球半径，代入公式即得其体积. 【详解】 如图，，，分别取的中点，连接， 则点分别是的外心，故直三棱柱的外接球球心在的中点， 连接，则，， 故直三棱柱的外接球半径，则其体积为. 故选：B. 10．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 11．（23-24高一下·天津滨海新·月考）四棱锥的底面为正方形，底面，，四棱锥的顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】连结，交于点，则是中点，取中点，连结，推导出是该四棱锥的外接的球心，可得球半径，由四棱锥的所有顶点都在体积为的球面上，建立方程求出即可. 【详解】，交于点，则是中点，取中点，连结， 因为底面，所以底面， 因为是正方形的中心，所以外接球的球心在直线上， 而到的距离相等，则点到的距离相等，故为外接球的球心， ， 所以由球的体积可得，解得. 故选：C. 12．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 13．（24-25高一下·广东广州·期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求得圆锥的高和母线长，进而判断轴截面三角形为等边三角形，得出圆锥外接球球心位置，计算得出半径，得出结果. 【详解】作出如图所示轴截面，设圆锥底面半径为，则圆锥的高，设圆锥母线长为，    由勾股定理可得 ， 因为圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1， 所以，轴截面三角形面积为， 解得 ，则圆锥的高 ， 所以母线， 三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为， 设外接球半径为，则， 根据球的表面积公式，可得. 所以该圆锥外接球的表面积为. 故选：B 14．（23-24高一下·云南楚雄·月考）三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件证明平面，取的中点分别为，通过计算得到，推出点为三棱锥的外接球的球心，则得外接球半径，代入球的表面积公式计算即可. 【详解】 如图，因，， 在中，由，可得. 在中，.在中,由，可得. 因,且平面，则平面. 取的中点分别为，连接，则，故可得平面. 在中，为的中点，则， 在中，,则, 即，即点为三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为1， 所以外接球的表面积为. 故选:A. 15．（24-25高一下·四川资阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出的外接圆的圆心，确定球心的位置，利用勾股定理列式求出球的半径，再根据球的体积公式即可求解. 【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为点，的外接圆的圆心为点， 连接，则，设的外接圆的半径为， ，可得，即， 因为平面，， 所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为.    故选：. 16．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积. 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 17．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高，求出该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为，由三棱锥的体积公式可得，可得答案. 【详解】因为底面底面，所以. 又因为，所以，而， 所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高， 因此该三棱锥外接球的半径， 设该三棱锥的内切球的半径为， 因为， 所以. 因为， 所以， 由三棱锥的体积公式可得 ， 所以. 故选：C. 18．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选题）在四棱锥中，平面，，，，，，则（    ） A．四边形外接圆的半径为 B．四边形外接圆的半径为 C．四棱锥外接球的体积为 D．四棱锥外接球的体积为 【答案】AC 【分析】连接，，设的中点为，过作直线平面，可得是四边形的外接圆圆心，球心一定在直线上，设的中点为，连接，可得，进而利用余弦定理求得，利用正弦定理可求得四边形外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径即可. 【详解】连接，，设的中点为，过作直线平面， 因为，所以是和的公共斜边， 即是四边形的外接圆圆心， 所以直线上的点到点，，，的距离相等， 故球心一定在直线上，即平面，现在只要保证即可， 即球心也在的垂直平分线上.设的中点为，连接，则. 因为，所以，所以， 则（为四边形外接圆的半径）， 即，故A正确，B错误. 因为平面，平面，所以. 又，所以四边形为矩形，， 所以该四棱锥外接球的半径， 故四棱锥外接球的体积，故C正确，D错误. 故选：AC. 19．圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积. 【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为， 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得， 由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处， 因此，所以球的表面积为. 故答案为： 20．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为 ，该圆锥的底面半径为 . 【答案】 / 1 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥外接球的半径为，根据已知条件结合球的面积公式及勾股定理求出、. 【详解】如图，设圆锥的底面半径，圆锥外接球的球心为，外接球的半径为， 由题意，球的表面积为，解得，即， 由，则， 在中，， 则，解得. 故答案为：；1. 21．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】利用补形法，把底面是直角三角形的直三棱柱补形为长方体，再利用长方体的外接球直径是长方体的对角线，即可求解外接球的表面积. 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 22．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且，则该四面体外接球的体积为 . 【答案】 【分析】根据已知条件得出，再结合长方体的外接球半径公式求解进而得出体积即可. 【详解】四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且，可知， 将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为， 则，解得， 由于，四面体的外接球半径为， 四面体外接球的体积为. 故答案为： 23．已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 【答案】/ 【分析】作出图形，设圆台上、下底面的圆心分别为、，则外接球球心在直线上，设，根据圆台的几何性质可得出关于的等式，解出的值，可求出球的半径，结合球体的体积公式可求得球的体积. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为、，取该圆台的轴截面， 则该圆台的外接球球心在直线上，连接、， 设，则， 由，即， 即，解得， 因为该圆台的外接球半径为， 因此，所以该圆台的外接球的体积为. 故答案为；. 24．（24-25高一下·天津南开·期末）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的体积． 【详解】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为. 故答案为：． 25．一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为 . 【答案】/ 【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积. 【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图， 为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点， 连接是球与侧面的切点，可知在上，， 设内切球半径为， 则， 由△∽△可知，即，解得， 所以内切球表面积. 故答案为：. 26．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】证明两两垂直，由的边长，求出外接球半径，求表面积即可. 【详解】直角三角形ABC中，，，则斜边，， CH为斜边AB上的高，则，，， 平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 又，所以两两垂直， ，，， 则三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球表面积为. 故答案为：. 27．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为 ． 【答案】 【分析】利用正棱台的性质，分别求出内切球与外接球的半径即可得解. 【详解】根据题意，该正棱台的轴截面，如图：    由题意，由知， 由圆的切线长性质可知，所以， 所以， 所以该四棱台的内切球的半径为， 下面画出正四棱台， 连接,，交于点,连接,，交于点，如图，    由可得,，， 设外接球的半径为，，则， 由得，解得， 于是，则. 所以. 故答案为：. 28．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【答案】2 【分析】根据题意，三棱锥的体积最大时，平面平面，取的中点，证得平面，再取的中点为，证得，在直角中，求得，再在直角中，得到，得到为三棱锥外接球的球心，即可求解. 【详解】如图所示，设点到平面的距离为， 因为，且为定值， 所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，此时平面平面， 取的中点，连接，因为且， 可得且， 因为平面平面，且平面，所以平面， 取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，， 可得，则，所以，且， 在直角中，可得， 在直角中，根据直角三角形的中线性质，可得， 所以，即为三棱锥外接球的球心， 设三棱锥外接球的半径为，则. 故答案为：2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $