专题03 等比数列及其前n项和（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题03 等比数列及其前n项和 目录 典例详解 类型一、等比数列的通项公式与判定 类型二、等比数列的常用性质 类型三、构造等比数列求通项公式 类型四、等比数列的前n项和及其性质 压轴专练 类型一、等比数列的通项公式与判定 1.等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式：. 2.等比数列的基本量 （1）方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． （2）分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 3.等比数列的判定与证明 （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． （3）通项公式法：数列是等比数列． （4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 例1．已知数列满足：.且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．在等比数列中，，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 类型二、等比数列的常用性质 1.等比数列项的性质 若，则． 2.其他衍生等比数列 （1）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （2）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （3）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （4）为等比数列，若，则成等比数列． （5）若为正项等比数列，则为等差数列． （6）若为等差数列，则为等比数列． （7）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 3.等比数列的函数特性 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 例2．在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是（    ） A． B．4 C． D．2 变式2-1．已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则 ． 变式2-2．已知等比数列为递增数列，且，，则 ． 变式2-3．已知等比数列的前项积为，并且满足条件，数列为单调递减数列，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 类型三、构造等比数列求通项公式 当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列. 再利用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出通项公式. 常见类型如下： （1），可化归为，当时，数列 为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题. 也可消去常数项，由，，两式相减，得，当时，数列 是公比为c的等比数列. （2），可化归为或将递推公式两边同时除以化为（1）型，或两边同时除以，累加求通项公式. （3），可化归为，即(2)型. 例3．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．设数列满足，若，则数列的前8项和为（   ） A．255 B．256 C．511 D．510 变式3-3．已知数列和满足， 则 . 类型四、等比数列的前n项和及其性质 1.等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为. 注意：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． 2.等比数列的前n项和公式的函数特征： （1）当公比时，，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． （2）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列，，...，是正比例函数的图象上的一些孤立的点. 3.等比数列前n项和的性质 已知为等比数列，为公差，为该数列的前项和． （1）对，有； （2）设，分别是等比数列的偶数项和与奇数项和，若项数为，则，若项数为，则； （3）“片段和”性质：公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 例4．（多选）已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 变式4-1．已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．若等比数列共有奇数项，且所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则公比 . 变式4-3．已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 一、单选题 1．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（   ） A． B． C．7 D．14 2．已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 3．设等比数列的首项为65，公比为，记为数列的前项积，若对于任意，都有成立，则正整数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 5．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则n的最大值为4047 二、多选题 7．设是等比数列，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 8．设正项等比数列 的前 项和为 ， 的前 项积为 ．若 ，，则下列结论正确的有（   ） A．数列 为等差数列 B． C． D． 的最大值为 三、填空题 9．等比数列中，，是方程的两根，则的值为 . 10．已知数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，例如，则 . 四、解答题 11．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 12．已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等比数列及其前n项和 目录 典例详解 类型一、等比数列的通项公式与判定 类型二、等比数列的常用性质 类型三、构造等比数列求通项公式 类型四、等比数列的前n项和及其性质 压轴专练 类型一、等比数列的通项公式与判定 1.等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式：. 2.等比数列的基本量 （1）方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． （2）分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 3.等比数列的判定与证明 （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． （3）通项公式法：数列是等比数列． （4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 例1．已知数列满足：.且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的定义证明数列为等比数列，再由通项公式求解. 【详解】由题知， 故， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故选：C. 变式1-1．已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为 ， 两个式子相比，得， 又由于同号，且相加小于0，所以， 故选：C. 变式1-2．数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质推得，结合等比数列通项的基本量运算即可逐一判断. 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 因数列是等差数列，且，则， 对于AB，由 ，当时等号成立， 即，故A项仅在时可能成立，而B项始终正确； 对于CD，由 ，当时等号成立， 即，故C项仅在时可能成立，D项仅在时成立. 故选：B. 变式1-3．在等比数列中，，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，易得数列为等比数列，公比为，进而结合等比数列的通项公式可得，根据的正负讨论求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以数列为等比数列，公比为， 由题设可得， 当时，，两式相互矛盾； 当时，， 两式相加得，，即， 两式相减得，，即， 所以，即，则； 当时，，即，两式相互矛盾； 当时，， 两式相加得，，即， 两式相减得，，即， 所以，即，则. 综上所述，或. 故选：A. 类型二、等比数列的常用性质 1.等比数列项的性质 若，则． 2.其他衍生等比数列 （1）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （2）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （3）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （4）为等比数列，若，则成等比数列． （5）若为正项等比数列，则为等差数列． （6）若为等差数列，则为等比数列． （7）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 3.等比数列的函数特性 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 例2．在各项均为正数的等比数列 中， ，则 的最大值是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据等比数列的下标和性质及基本不等式即可求解。 【详解】在各项均为正数的等比数列 中，设公比为， 则，即， 根据基本不等式，得，即， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，取等号， 又，解得，即的最大值为2. 故选：D 变式2-1．已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则 ． 【答案】 【分析】取对数得，再结合等差数列、等比数列的性质和对数运算性质，即可求解． 【详解】，两边同时取以为底的对数，得，， 又是等差数列，则（常数）， 故，故是等比数列， 则， 又， . 故答案为：. 变式2-2．已知等比数列为递增数列，且，，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意分析可知，，可得，，结合等比数列的性质分析求解. 【详解】因为递增的等比数列中，，，且， 可知和是一元二次方程的两个根， 且，解得，， 可得，所以 故答案为：2. 变式2-3．已知等比数列的前项积为，并且满足条件，数列为单调递减数列，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】AC 【分析】先分析数列的单调性与公比范围，结合题中不等式，利用等比数列的性质计算判断各个选项. 【详解】已知等比数列为单调递减数列，且.设公比为， 若，则单调递增（舍去）；若，则，数列是常数列（舍去）； 若，则不具有单调性(舍去)；若，则单调递减； 可知，. 对于A，因为，所以或， 解得或，根据单调性，所以，A正确. 对于B，因为，，B错误. 对于C，前项积，因为， 故，而，后续因乘以小于的项而递减， 故的最大值为，C正确. 对于D，根据等比数列性质，因为， 故，D错误. 故选：AC. 类型三、构造等比数列求通项公式 当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列. 再利用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出通项公式. 常见类型如下： （1），可化归为，当时，数列 为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题. 也可消去常数项，由，，两式相减，得，当时，数列 是公比为c的等比数列. （2），可化归为或将递推公式两边同时除以化为（1）型，或两边同时除以，累加求通项公式. （3），可化归为，即(2)型. 例3．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，令，数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，即可求解． 【详解】根据题意，，设， ∴化简可得对照可得， ， 令，，又， ∴数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以， ，令，． 故选：D. 变式3-1．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意得：，即， 由，得，从而得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，所以，解得. 故选：A. 变式3-2．设数列满足，若，则数列的前8项和为（   ） A．255 B．256 C．511 D．510 【答案】A 【分析】整理可得，分析可知数列是以为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为，则，可得， 等号两边取对数可得， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以的前8项和为． 故选：A． 变式3-3．已知数列和满足， 则 . 【答案】1014 【分析】求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出，进一步推导出数列为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得的通项公式，进一步求出和，由此可求得结果. 【详解】因，且，， 则，由可得， 将以上两式代入，可得， 所以，且， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则， 在等式两边同时除以可得， 所以数列为等差数列，且首项为，公差为， 所以，， 因， 因此，所以. 故答案为：. 类型四、等比数列的前n项和及其性质 1.等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为. 注意：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． 2.等比数列的前n项和公式的函数特征： （1）当公比时，，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． （2）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列，，...，是正比例函数的图象上的一些孤立的点. 3.等比数列前n项和的性质 已知为等比数列，为公差，为该数列的前项和． （1）对，有； （2）设，分别是等比数列的偶数项和与奇数项和，若项数为，则，若项数为，则； （3）“片段和”性质：公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 例4．（多选）已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 变式4-1．已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】因为为等比数列，所以也构成等比数列.根据条件给出的值，求得及公比. 【详解】因为为等比数列，所以也构成等比数列. 因为，所以， 得. 因为，所以，解得. 因为， 所以，，故A错误，B正确； 因为，且，所以，故C正确，D错误. 故选：BC. 变式4-2．若等比数列共有奇数项，且所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则公比 . 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为：． 变式4-3．已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推关系，令、和即可求出答案； （2）由递推公式求出，再利用等比数列定义判断作答. （3）利用（2）的结论求出的通项公式，再结合递推关系得到的表达式，最后借助分组求和法求和作答. 【详解】（1）由， 令，则；令，则， 令，则， 所以，，. （2）依题意，设， 则 ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）知，， 因此， 当时，，又， 则， ， 因此 . 一、单选题 1．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（   ） A． B． C．7 D．14 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的定义和性质可化简得到，再将其代入即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，则，； 将，，代入中，得，化简得； 所以. 故选：B. 2．已知数列满足，其前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析数列的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可. 【详解】令，则. 由，所以， 两式相除可得：. 所以数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列. 所以 . 故选：B 3．设等比数列的首项为65，公比为，记为数列的前项积，若对于任意，都有成立，则正整数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意先求出等比数列的通项公式，从而得到的表达式，将问题转化为求取最大值时对应的的问题即可. 【详解】因为等比数列的首项为65，公比为，所以， 因为对于任意，都有成立，所以的最大值为. 当取最大值时，，且. 令，即，而， 所以满足的最大整数为6，即， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在时取得最大值，即， 故选：C. 4．已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】首先对两边取对数，求解出的公式，然后求解. 【详解】因为，两边取对数，解得： 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， ，， ， 令，即 根据等比数列的求和公式，整理得； 又因为所以正整数的最大值为10. 故选：C. 5．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为奇数时，为递增数列， 所以，即． 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以． 又，所以，所以. 故选：C 6．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则n的最大值为4047 【答案】D 【分析】首先分析，再由得到，，即，然后逐项判断. 【详解】根据题意，等比数列的公比为， 若，则， 又由，必有，则数列各项均为正值， 若，即，必有，，则必有， 依次分析选项： 对于A，数列各项均为正值，则，必有，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C：根据，所以是数列中的最大项，故C正确， 对于D：由,， 可知，故D错误； 故选：D. 二、多选题 7．设是等比数列，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C、，令，可判断B，取可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨取等比数列为，则，此时不是等比数列，所以D选项错误. 故选：AC 8．设正项等比数列 的前 项和为 ， 的前 项积为 ．若 ，，则下列结论正确的有（   ） A．数列 为等差数列 B． C． D． 的最大值为 【答案】AC 【分析】根据等比数列的性质结合已知条件求出的通项公式，进而结合等比数列的前项和公式、对数的运算法则等分析判断各选项． 【详解】 是正项等比数列，设公比为，则公比， 又， ， 令，则，解得或（舍去）， ， ， ， 选项A：， 是首项是9公差是的等差数列，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：， 又对所有恒成立， ，故C正确； 选项D：为的前项积， ， ，，为递减数列， 当时，的最大值为，故D错误． 故选：AC． 三、填空题 9．等比数列中，，是方程的两根，则的值为 . 【答案】 【分析】由韦达定理可得，易知，再由等比数列的性质有，结合等比数列通项公式判断的符号，进而求目标式的值. 【详解】由题设知：，又为等比数列， ∴，且，而， ∴，故. 故答案为： 10．已知数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，例如，则 . 【答案】18214 【分析】根据题中定义，结合对数函数的单调性、对数的运算性质、错位相减法进行求解即可. 【详解】当时，， 每组共有个，， 故 ， 设， 则， 相减得到， 整理得到， 故. 故答案为：18214 四、解答题 11．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【答案】(1)；(2)10 【分析】（1）由构造法可得数列是等比数列，写出其通项公式后即可得解； （2）由题可得，求出其前项和后，根据数列单调性及特殊值法即可得解. 【详解】（1）由，变形可得， 因为，即得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 故， 即； （2）由（1）知， 则，设数列的前项和为， 则 ， ， 数列单调递增. 令 当时，， 当时，， 所以使得不等式成立的最小正整数的值为10. 12．已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 【答案】(1)，；(2)；(3)2646 【分析】（1）由等差数列的基本量运算求得，求得通项；进而求得，再根据等比数列的基本量运算求得答案； （2）由（1）易得，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解； （3）易得中截至共有项，再由时，有2016项，然后由求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，解得， 故； 所以，， 因为，所以数列为等比数列，设公比为， 则，得，又，所以， 所以. （2）由（1），可得， 设的前项和中，偶数项的和为，奇数项的和为， 所以，， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 所以. （3）， 截至共有项， 当时，， . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $