专题02 等差数列及其前n项和（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题02 等差数列及其前n项和 目录 典例详解 类型一、等差数列的通项公式与判定 类型二、等差数列项的性质 类型三、构造等差数列求通项公式 类型四、等差数列的前n项和 类型五、等差数列前n项和的性质 压轴专练 类型一、等差数列的通项公式与判定 1.等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 通项公式的推广：． 2.等差数列基本量的求法 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知量是常用方法． 3.等差数列的四种判断方法： (1)定义法：(d是常数)⇔{}是等差数列． (2)等差中项法：2＝(n∈N＋)⇔{}是等差数列． (3)通项公式法：＝pn＋q(p，q为常数)⇔{}是等差数列． (4)利用前n项和公式：(A，B为常数)⇔{}是等差数列． 例1．设数列的前项之积为，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等差数列，然后求解出，结合已知条件可求. 【详解】因为，所以，即，所以， 又因为，显然， 所以，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即， 所以， 故选：D. 变式1-1．已知数列，则 （用数字作答） 【答案】 【分析】用换，然后两式作差得到奇数项为等差数列，然后求出奇数项的通项，可得答案. 【详解】当时，，两式作差得： 即因此，奇数项和偶数项分别构成公差为 的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当 为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 变式1-2．（多选）若直线与圆相切，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．圆可能经过坐标原点 D．数列的前10项和为23 【答案】BCD 【分析】利用点到直线距离公式可得，可判断出A错误，B正确；根据通项公式可得当时，圆经过坐标原点，即可知C正确；由等差数列前项和公式计算可得D正确. 【详解】易知圆的圆心为，半径为； 由直线与圆相切， 可得，因此； 对于A，易知，因此A错误； 对于B，由可得为定值， 因此数列是以为首项，公差为的等差数列，可知B正确； 对于C，易知，此时圆方程为， 显然原点在圆上，即圆可能经过坐标原点，所以C正确； 对于D，数列的前10项和为，因此D正确. 故选：BCD. 变式1-3．设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ． 【答案】1或2 【分析】由已知递推关系分别令，，即可求解，然后结合等差数列的性质即可求解，并检验. 【详解】因为为数列的前项积，， 当时，可得， 当时，，即， 当时，，则， 若数列为等差数列，则， 所以，整理得，解得或， 当时，，则当时，，即， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，符合题意； 当时，，则当时，，即， 即，又，所以数列为常数列， 即，可得数列是等差数列，符合题意. 综上，或. 故答案为：或. 类型二、等差数列项的性质 1.等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差． （1）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 推广：若(∈N*)，则. （2）在等差数列中下标成等差数列的项组成的新数列仍为等差数列，即，…仍是等差数列，公差为． （3）若是等差数列，则也是等差数列． 2.等差数列的函数特性 （1）在等差数列中，若d>0，则数列为递增数列；若d<0，则数列为递减数列；若d＝0，则数列为常数列． （2）等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线的斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线可快速求解. （3）若a,b,c成等差数列，公差为d(d≠0),且(a,l)，(b,m)，(c,n)三点共线，则，所以，故l,m,n成等差数列. 反之，若a,b,c和l,m,n两组数都成等差数列,则点(a,l)，(b,m)，(c,n)必共线. 例2．设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的前n项和公式得到，转化为，进一步利用基本不等式求解. 【详解】因为为有穷正项等差数列的前n项和，， 所以均为正数，且，解得. 由等差数列的性质知. 所以， 当且仅当，即，亦即时等号成立. 故答案为：. 变式2-1．已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（    ） A．5 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据圆心到点的距离与圆半径的关系确定点与圆的位置关系，再分别确定过点的最短弦长和最长弦长，最后由等差中项的性质计算即可． 【详解】 的标准方程为，圆心为，半径， 又点到圆心的距离， 点在圆内， 过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，则， 过点的最长弦长为直径，， 又过点的条弦长组成一个等差数列， ，解得，故C正确． 故选：C． 变式2-2．若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 【答案】 【分析】设的根为，的根为，由韦达定理得，根据等差数列的性质可得，以及，结合韦达定理求，即可得结果． 【详解】设的根为，的根为， 则（，）． 设数列的首项为， 则根据等差数列的性质，数列的第4项为． 由题意知，则，数列的公差； 所以数列的中间两项分别为，． 可得，， 所以． 故答案为：；. 变式2-3．已知等差数列满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，再由，转化为，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】由，且，可设， 因为等差数列，所以， 所以， 又因为，可得，所以， 所以的取值范围为． 故选：A. 类型三、构造等差数列求通项公式 当已知数列不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出含的式子与n的关系式，进而求出. 由递推公式转化为等差数列的常见形式如下： （1）转化为，则数列是等差数列； （2）转化为，则数列是等差数列； （3）转化为，则数列是等差数列； （4）转化为，则数列是等差数列； （5）转化为常数，则数列是等差数列. 例3．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据递推数列得数列是首项为3，公差为2的等差数列，即，代入即可得解. 【详解】因为，若，则；若，则， 又，所以，， 所以，又， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，即， 所以，所以． 故答案为：. 变式3-1．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合已知可推出当时，，从而求得，利用即可求得答案. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，则， 故. 故选：B. 变式3-2．（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是以2 为公比的等比数列 B．若，则数列是以2为公差的等差数列 C．若，则数列是以1为公差的等差数列 D．若，则数列是以为公差的等差数列 【答案】BC 【分析】本题可根据数列的前项和与的关系、等差数列和等比数列的定义，对选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，已知，当时，； 当时，. 当时，，所以数列不是等比数列，A错误. 对于选项B，由，两边取倒数可得，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确. 对于选项C，由，两边同时除以可得： ，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确. 对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误. 故选：BC . 变式3-3．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 类型四、等差数列的前n项和 1.等差数列的前项和公式： 设等差数列的公差为，其前项和． 2.等差数列的前项和公式的函数特征： 一般地,如果，d是确定的，那么等差数列的前n项和是定义在正整数集上且关于n的函数，即，其图象是由函数上一系列点组成的，横坐标为正整数. 设，，上式可写成；反之，若数列的前n项和能写成(A,B为常数)的形式，则数列为等差数列. 3.含绝对值等差数列的求和： （1）对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 （2）对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 . 例4．已知数列的前n项和. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据和的关系求出数列的通项公式；再根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列 （2）由通项公式可知：当时.分两种情况，根据等差数列的前n项和即可解答. 【详解】（1）证明： 当时，； 当时，； 经验证当时上式成立， 所以. 因为（常数） 所以数列是等差数列. （2）由(1)知： . 令，则. 因为， 所以当时，； 当时，； 综上所得： 变式4-1．（多选）在等差数列中，，，记数列的前项和为，则（   ） A． B．取最小值时， C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50 【答案】ACD 【分析】A选项，设出公差，根据条件得到方程，求出公差，进而求出首项；B选项，表示出，求出时，取得最小值，B错误；C选项，求出，故，C正确；D选项，求出通项公式，当时，，当时，，从而利用求出的前10项和. 【详解】A选项，设的公差为，则， 即，解得， 故，所以，A正确； B选项，， 当时，取得最小值，B错误； C选项，，故， 所以为递增数列，C正确； D选项，， 当时，，当时，， 的前10项和为，D正确. 故选：ACD 变式4-2．等差数列前项的绝对值之和为50，则 ． 【答案】12 【分析】根据题意求等差数列的通项公式，再分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解. 【详解】因为等差数列的，则公差， 所以等差数列的通项公式， 设数列的前n项和为， 当时，，不合题意； 当时，则， 可得， 令，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：12. 变式4-3．（多选）如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（    ） A． B．记为数列的前项和，则为 C．记为数列的前项和，则 D．数列的前项和为 【答案】BD 【分析】A.首先由正三角形求得点和的坐标，代入曲线，即可求解；B. 由为边长为的等边三角形，求得的坐标；C.将坐标代入曲线，判断C；D.根据C的结果，利用公式，即可求通项公式. 【详解】A.由题意可知为等边三角形，如图，，则， 因为点在曲线上，可得，解得或（舍）， 又由题意可知为边长为的等边三角形，则， 则，可得，解得或（舍），故A错误； B.由为边长为的等边三角形，可得，故B正确； C.由点在曲线上，则，整理得， 由，可知，故C错误； D.当时，可得， 所以， 可化为， 因为，则，所以，， 又因为，符合上式，故， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为， 所以，故D正确. 故选：BD. 类型五、等差数列前n项和的性质 1.等差数列前项和的性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）； （2）； （3）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （4）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （5）“片段和”性质：数列，，，…构成等差数列． （6）若项数为，则，； （7）若项数为，则，，，. 2.等差数列的最值问题： （1）二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． （2）邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 例5．分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又，所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC. 变式5-1．已知等差数列，的前n项和分别为和，若，则满足的正整数n的个数为 . 【答案】2 【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设，，由通项与前项n和的关系利用相减法可得通项，，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为和，， 所以可设，， 所以时，， 又满足上式，所以， 时，， 又满足上式，所以，， 则， 因为，所以是63的正因数， 即，3，7，9，21，63，又， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故答案为：2. 变式5-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为13 D．数列前项和为，最大 【答案】ABD 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD. 变式5-3．（多选）已知数列的前项和满足，下列说法正确的是（    ） A．若首项，则数列的奇数项成等差数列 B．若首项，则数列的偶数项成等差数列 C．若首项，则 D．若首项，若对任意，恒成立，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】根据递推公式，得到，与已知式子作差，得到，同样的方法推出，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】由①得②， ①②可得③， 所以④， ③④可得， 因此数列从第三项开始，奇数项成等差，偶数项也成等差； 若，即，则，即，所以； 由得，则； 由得，则； 所以，， 因此数列的奇数项不成等差数列，偶数项成等差数列，即A错，B正确； 此时 ，即C正确； 因为成公差为的等差数列，也成公差为的等差数列； 为使对任意，恒成立， 只需， 若，由，则；由，可得；由得 所以，解得，即D正确. 故选：BCD. 一、单选题 1．已知等差数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质可得，再由即可求. 【详解】由， 若的公差为，则. 故选：B 2．已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用等差数列求和公式及等差数列通项的下标和性质可得，又，进而利用“1”的代换技巧求解最值即可. 【详解】由等差数列前项和公式可得，所以， 所以，又， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：C 3．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列. 奇数项和为    ① 偶数项和为    ② 因为， 所以，解得. 所以，即等差数列的项数为21. 故选：A. 4．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】D 【分析】由已知，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：， ，进而判断选项即可. 【详解】因为是等差数列，且， 所以，， 即，所以，，且，所以B错误，D正确； 因为，所以等差数列是递减数列，所以A错误； 所以当时，取得最大值，所以C错误. 故选：D. 5．在等差数列中，，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【详解】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 6．单调递增的等差数列满足 ，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质以及绝对值的几何意义，分析，，的特点，进而确定公差的最小值以及的值. 【详解】设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离； 已知， 根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，， 因为，由，可得，所以的最小值为， 当时，，， 解不等式可得；解不等式可得，所以. 故选:C． 二、多选题 7．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值 C．若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2 D．若是等差数列，则三点、、共线 【答案】BCD 【分析】根据等差数列及等差数列前n项和的性质，逐项分析判断. 【详解】A项，时，， 时， 时，，所以，不是等差数列； B项，由已知可得，，又 所以，，.所以，有最大值； C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为，所以； D项，设三点分别为A，B，C，，则，，. 则，，，所以三点共线. 故选：BCD. 8．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为 【答案】ABD 【分析】由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D. 【详解】由，可得， 由，可得，即，又因为，所以. 因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列，故A正确； 由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大，故B正确； 由等差数列的前项和公式可知，， ， 所以使得成立的最小自然数，故C错误； 当时，；当时，；当时，， . 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以在时为增函数， 所以数列中的最小项为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 10．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求 的取值范围. 【详解】由，可得. 两式相减，可得，所以数列为等差数列. 因为，，所以，所以，， 则.令，则. 当时，，数列单调递减， 而，，， 所以数列中的最大项为1，故， 即实数的取值范围为. 故答案为: . 四、解答题 11．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1)；(2)，；(3) 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算即可求解； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质即可求解； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：，解得， ； （2）由（1）知，，所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值，此时最小值为； （3），由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 12．记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 【答案】(1)，(2)答案见解析 【分析】（1）先根据递推式判断为等差数列，进而根据已知条件列出方程组求出公差和首项，进而得到该数列的通项公式和前项和. （2）先列出的表达式，然后作差比较大小即可. 【详解】（1）因为，所以为等差数列． 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以， （2）由（1）知，， 当为正偶数时，，， 则当为正奇数时，， 则在时单调递增， ．所以； ，所以， ，所以， 由的单调性可知，当取大于5的奇数时，， 综上所述，当为小于5的正奇数时，； 当为不小于5的正奇数时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列及其前n项和 目录 典例详解 类型一、等差数列的通项公式与判定 类型二、等差数列项的性质 类型三、构造等差数列求通项公式 类型四、等差数列的前n项和 类型五、等差数列前n项和的性质 压轴专练 类型一、等差数列的通项公式与判定 1.等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 通项公式的推广：． 2.等差数列基本量的求法 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知量是常用方法． 3.等差数列的四种判断方法： (1)定义法：(d是常数)⇔{}是等差数列． (2)等差中项法：2＝(n∈N＋)⇔{}是等差数列． (3)通项公式法：＝pn＋q(p，q为常数)⇔{}是等差数列． (4)利用前n项和公式：(A，B为常数)⇔{}是等差数列． 例1．设数列的前项之积为，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知数列，则 （用数字作答） 变式1-2．（多选）若直线与圆相切，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．圆可能经过坐标原点 D．数列的前10项和为23 变式1-3．设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ． 类型二、等差数列项的性质 1.等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差． （1）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 推广：若(∈N*)，则. （2）在等差数列中下标成等差数列的项组成的新数列仍为等差数列，即，…仍是等差数列，公差为． （3）若是等差数列，则也是等差数列． 2.等差数列的函数特性 （1）在等差数列中，若d>0，则数列为递增数列；若d<0，则数列为递减数列；若d＝0，则数列为常数列． （2）等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线的斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线可快速求解. （3）若a,b,c成等差数列，公差为d(d≠0),且(a,l)，(b,m)，(c,n)三点共线，则，所以，故l,m,n成等差数列. 反之，若a,b,c和l,m,n两组数都成等差数列,则点(a,l)，(b,m)，(c,n)必共线. 例2．设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为 ． 变式2-1．已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（    ） A．5 B．6 C．9 D． 变式2-2．若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 变式2-3．已知等差数列满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型三、构造等差数列求通项公式 当已知数列不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出含的式子与n的关系式，进而求出. 由递推公式转化为等差数列的常见形式如下： （1）转化为，则数列是等差数列； （2）转化为，则数列是等差数列； （3）转化为，则数列是等差数列； （4）转化为，则数列是等差数列； （5）转化为常数，则数列是等差数列. 例3．已知数列满足，，则 ． 变式3-1．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是以2 为公比的等比数列 B．若，则数列是以2为公差的等差数列 C．若，则数列是以1为公差的等差数列 D．若，则数列是以为公差的等差数列 变式3-3．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 类型四、等差数列的前n项和 1.等差数列的前项和公式： 设等差数列的公差为，其前项和． 2.等差数列的前项和公式的函数特征： 一般地,如果，d是确定的，那么等差数列的前n项和是定义在正整数集上且关于n的函数，即，其图象是由函数上一系列点组成的，横坐标为正整数. 设，，上式可写成；反之，若数列的前n项和能写成(A,B为常数)的形式，则数列为等差数列. 3.含绝对值等差数列的求和： （1）对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 （2）对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 . 例4．已知数列的前n项和. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前n项和. 变式4-1．（多选）在等差数列中，，，记数列的前项和为，则（   ） A． B．取最小值时， C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50 变式4-2．等差数列前项的绝对值之和为50，则 ． 变式4-3．（多选）如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（    ） A． B．记为数列的前项和，则为 C．记为数列的前项和，则 D．数列的前项和为 类型五、等差数列前n项和的性质 1.等差数列前项和的性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）； （2）； （3）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （4）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （5）“片段和”性质：数列，，，…构成等差数列． （6）若项数为，则，； （7）若项数为，则，，，. 2.等差数列的最值问题： （1）二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． （2）邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 例5．分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式5-1．已知等差数列，的前n项和分别为和，若，则满足的正整数n的个数为 . 变式5-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为13 D．数列前项和为，最大 变式5-3．（多选）已知数列的前项和满足，下列说法正确的是（    ） A．若首项，则数列的奇数项成等差数列 B．若首项，则数列的偶数项成等差数列 C．若首项，则 D．若首项，若对任意，恒成立，则的取值范围是 一、单选题 1．已知等差数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 2．已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．8 3．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 4．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 5．在等差数列中，，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 6．单调递增的等差数列满足 ，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值 C．若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2 D．若是等差数列，则三点、、共线 8．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为 三、填空题 9．已知等差数列的前项和为，，，则 . 10．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 11．等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 12．记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $