精品解析：江苏省徐州市第三中学2025-2026学年高三上学期1月学情调研数学试题

徐州三中2026届高三学情调研 数学 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 7. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 甲､乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（ ） A. 甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数 B. 甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数 C. 甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数 D. 甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差 10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象与直线交于不同的三点，且，则（ ） A. 的极大值为3 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，则______. 13. 已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为______. 14. 已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为______. 四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 锐角三角形中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，为的中点，求中线长的最大值. 16. 等差数列的前n项和为，数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 17. 如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱的下底面的内接四边形，且为圆柱下底而的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1. （1）证明：； （2），B为的中点，点Q在线段上，记，当二面角的余弦值为时，求的值. 18. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 19. 设函数，，其中． （1）求函数的单调区间； （2）求证：和的图象必有两个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州三中2026届高三学情调研 数学 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的单调性求集合，再结合交集运算求解. 【详解】由题意可知：， ， 所以. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及复数的模、共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：A. 3. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的性质进行比较即可. 【详解】，， ，. 故选：D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移规则即可求解. 【详解】由题意：， 故选：D 5. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理和勾股定理证明出，三棱锥补成长方体，利用长方体对角线求外接球直径. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，， 则，所以， 因为平面，三棱锥补成长方体，如图所示， 为长方体对角线，所以三棱锥外接球的直径为， 又，即外接球的直径， 所以外接球的表面积为. 故选：B. 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与题目条件得到数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】由题意：，则公差，得， 又，两式相减得， 易知，所以，所以，故前10项和为 7. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】变形为，故圆心为半径为， 如图：直线与圆相切于， ，， 故，所以，， 于是，即，所以． 故选：A 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，在同一坐标系内画出函数与函数的图象，确定两个图象的交点个数并求得所有根之和即可． 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 由，得，则函数的图象关于直线对称， 且有，则，于是是以4为周期的周期函数， 又当时，，即函数在上单调递增， 又，根据对称性可知，函数在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由，得， 则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标， 而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示. 观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点， 由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点， 因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为， 所以方程所有根之和为13． 故选：D. 二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 甲､乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（ ） A. 甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数 B. 甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数 C. 甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数 D. 甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】 分别根据条形图求出甲和乙运动员的中位数、众数、平均数、方差，经过比较即可判断四个选项的正确性，即可得正确选项. 【详解】由图可得甲运动员测试成绩中次环，次环，次环，次环， 所以甲运动员测试成绩的中位数为，众数为， 平均数为， 方差； 乙运动员测试成绩中次环，次环，次环，次环， 所以乙运动员测试成绩的中位数为，众数为， 平均数为， 方差， 故选项A正确，B不正确，C不正确，D正确， 故选：AD 10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型直接计算；当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球，根据古典概率模型得到；分别计算出再根据条件概率公式即可得到的值；由，再分别计算出对应的每个概率即可. 【详解】表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型，选项A正确； 当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球， 根据古典概率模型，选项B错误； 表示和同时发生，，当发生，即从甲袋取出一个红球放入乙袋， 此时乙口袋中装有3个红球，1个白球，， 根据条件概率公式可得，选项C正确； 综合以上分析得到 ，选项D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的图象与直线交于不同的三点，且，则（ ） A. 的极大值为3 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得，得到的单调性，求得的极大值，可判定A正确；作出函数的图象，结合图象，可判定B正确；设，结合，得出方程组，求得，化简，结合二次函数的性质，可判定C正确；化简，结合函数的性质，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，可得， 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以A正确； 对于B，由A知，当时，取得极小值，极小值为， 且当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示， 要使得函数的图象与直线交于不同的三点，则满足, 即的取值范围为，所以 B正确； 对于C，令，解得或；令，解得或， 由B项知：且 令，则的三个根为， 则， 所以，可得， 所以， 因为，当时， 又因为，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D，由， 因为，所以当时，取得最大值， 又由且， 所以的取值范围为，所以D错误. 故选：ABC. 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知的的值，结合的范围求出的值，再将变形为，最后利用两角和的余弦公式求出. 【详解】因为，则， 因为，所以，可得： . 将变形为， 可得：， 把，，代入上式， 可得：. 因此， . 故答案为： 13. 已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设且的中点，代入双曲线的方程，作差化简求得，根据点在直线上，求得，代入直线的方程，即可求解. 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：. 14. 已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】方程联立消去得，结合判别式得到恒成立，通过分参求最值即可求解. 【详解】由方程组可知，代入化简得：， 由题意，该方程有解，故， 该不等式对任意的恒成立，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最小值为. 故答案为： 四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 锐角三角形中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，为的中点，求中线长的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互换以及三角恒等变换进行化简即可得解. （2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 因为， 所以， 又，所以， 由题意知，所以. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 则， 又由余弦定理得，， 即，所以. 由得，， 则，当且仅当取等号，即， 所以，即中线长的最大值为. 16. 等差数列的前n项和为，数列满足 （1）求数列和的通项公式； （2）若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】（1）， （2）4231 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【小问1详解】 因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，， 两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 17. 如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱的下底面的内接四边形，且为圆柱下底而的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1. （1）证明：； （2），B为的中点，点Q在线段上，记，当二面角的余弦值为时，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据为直径，得到，再根据为母线，易得，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）分别以向量为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的法向量可取为， 然后由求解. 【详解】（1）因为为直径，点D在圆上且不同于A，C点， 所以，又因为为母线， 所以平面，又平面， 从而，又， 所以平面， 又平面， 所以. （2）由（1）知两两相互垂直，所以分别以向量为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为，圆柱的底面直径为2，所以，所以， 又B为的中点，所以，即为正方形， 所以， 由，得， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取， 又因为平面的法向量可取为， 所以， 由题知， 所以，解得（舍）或， 所以的值为 18. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 【答案】（1） （2） 设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则， 设关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令得： ． 直线过定点． 【解析】 【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程； （2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 19. 设函数，，其中． （1）求函数的单调区间； （2）求证：和的图象必有两个交点． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可求解； （2）令，求导说明在上单调递减，在上递增，结合零点存在定理分析知，只需证明即可，即证明即可，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 令，． 当时，即，即，故恒成立，此时在上单调递增， 当时，，即方程有2个根，， ，， 因为，，所以， 当或时，，单调递增． 当时，，单调递减． 综上，时，的单调增区间为． 当时，的单调增区间为， 的单调减区间为． 【小问2详解】 记， 则，， 因为，， 所以若，；若，． 在上单调递减，在上递增， ， 又时，，时， 记， 要证明和的图象必有两个交点，即证明必有两个零点． 即证明，即证明，即证明． 令，则只需证明， 因为，且， 所以当，，当，， 故在上递减，在上递增， 所以，即． 所以成立，和的图象必有两个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $