精品解析：江苏省连云港市赣榆区2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

连云港市赣榆区2025-2026学年八年级1月学业质量检测 数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 为了解某校七年级800名学生的期中数学测试成绩，调查小组随机抽取了200名学生的期中数学测试成绩进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 七年级800名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的200名学生是样本 D. 样本容量是200 3. 如图，，若，则的长为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 6 4. 由四舍五入法得到的近似数42.3万精确到的数位是（ ） A. 十分位 B. 十位 C. 百位 D. 千位 5. 对于函数，下列结论正确的是　　 A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 6. 已知点，在直线上，则a与b的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一个正数的平方根是和，则a的值是______． 10. 已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是_________． 11. 在一个不透明的口袋中只装有红、黄两种颜色的玻璃球共m个，它们除颜色外其他均相同，其中黄球有12个．通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么可以估计的值约为______． 12. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 13. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 14. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标是______． 15. 如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则_____． 16. 如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是___________． 三、解答题（本大题共9小题，共102分） 17. 计算与求值： （1）计算： （2）求x的值： 18. 如图，点、、、在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 为了解七年级学生的身高情况，某校随机抽取了七年级部分学生，测得他们的身高（单位：cm）如表所示，并绘制了两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题： 某校随机抽取的七年级部分学生的身高表（单位：cm） 身高 人数/人 百分比 A： 36 B： a C： 84 b D： 48 E： 12 n 合计 m （1）上述统计表中______，______，______，______； （2）请补全图甲中的频数分布直方图； （3）求图乙中扇形A的圆心角度数； （4）若全校共有七年级学生人，请估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 21. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 22. 如图，经过点的直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为2． （1）求直线的表达式及点的坐标； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围； （3）记与轴的交点为，若点在直线上，且，求点的坐标． 23. 为助力吉安“美丽乡村”建设，某村计划分两次采购甲、乙两种特色果树苗，第一次分别采购甲、乙两种果树苗20株和10株，共花费550元；第二次分别采购甲、乙两种果树苗15株和8株，共花费430元．两次采购果树苗的单价不变． （1）甲、乙两种果树苗每株的价格分别是多少元？ （2）若该村计划再采购甲、乙两种果树苗共40株，其中采购甲种果树苗株，且数量不超过总数的一半，采购果树苗的总费用为元，求出关于的函数解析式；并求出当为何值时，采购果树苗的总费用最少，最少费用为多少元？ 24. 越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： （1）______，______； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，此时小军骑行的时间为______分钟． 25. 在平面直角坐标系中，对点和点给出了定义：若则称点Q为点P的“联动点”．例如：点的联动点的坐标是点． （1）点的联动点的坐标为 ；点是点M的联动点，则点M的坐标为 ； （2）若点，均是一次函数图象上某一个点的联动点，求k和c的值； （3）若点P在函数的图象上，求点P的联动点Q的纵坐标的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B． （1）如图1，若点，点B关于y轴的对称点为点，求直线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，点C是线段上不与点B、重合的一个动点． ①如图1，，，垂足分别为点M、N，试探究的值是否变化，若不变求出的值；若变化，说明理由； ②点D是线段上的一点，且满足．直接写出当为等腰三角形时点C的坐标； （3）如图3，若，动点C在线段上，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接、，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连云港市赣榆区2025-2026学年八年级1月学业质量检测 数学试题 （本卷满分150分，共6页，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的定义，逐项判断正误即可． 【详解】A、，原式子错误，不符合题意； B、，原式子错误，不符合题意； C、，原式子正确，符合题意； D、，原式子错误，不符合题意； 故选C． 2. 为了解某校七年级800名学生的期中数学测试成绩，调查小组随机抽取了200名学生的期中数学测试成绩进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 七年级800名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的200名学生是样本 D. 样本容量是200 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐一判断即可． 【详解】A、七年级800名学生的期中数学测试成绩是总体，原说法错误； B、 每名学生的期中数学测试成绩是个体，原说法错误； C、从中抽取的200名学生的期中数学测试成绩是样本，原说法错误； D、 样本容量是200，原说法正确； 故选：D． 3. 如图，，若，则的长为（　　） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 4. 由四舍五入法得到的近似数42.3万精确到的数位是（ ） A. 十分位 B. 十位 C. 百位 D. 千位 【答案】D 【解析】 【分析】根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数42.3万精确到0.1万位，即千位． 故选：D． 【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 5. 对于函数，下列结论正确的是　　 A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】把点代入到函数中看是否成立，据此判断选项A；根据直线中，，的符号判断其所经过的象限，据此判断选项B；把代入到函数中，求得的值，即可判断选项C；直接根据的符号判断选项D． 【详解】解：A、当时，，它的图象不经过点，故A错误； B、，，它的图象经过第一、二、四象限，故B错误； C、当时，，故C正确； D、，的值随值的增大而减小，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，对于一次函数来说，，直线过一三象限，在每个象限内，随增大而增大；，直线过二四象限，在每个象限内，随增大而减小． 6. 已知点，在直线上，则a与b的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据，随的增大而减小，得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 7. 已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 8. 正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 一个正数的平方根是和，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可得． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且． 由，得，解得． 由，得． ∴． 故答案为：． 11. 在一个不透明的口袋中只装有红、黄两种颜色的玻璃球共m个，它们除颜色外其他均相同，其中黄球有12个．通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么可以估计的值约为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率． 根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”即可求解． 【详解】解：由题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解． 故答案为：30． 12. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离． 设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴， ∵P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 14. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标，勾股定理，利用一元一次方程求一次函数与轴的交点的横坐标是解题的关键． 先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再根据勾股定理可得的长，从而可得点C的坐标． 【详解】解：令，则， ∴， 令，则，解得：， ∴， 在中，， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴于点C， ∴， 当点在点的左边时，， ∴， 当点在点的右边时，， ∴， ∴点C的坐标是或． 故答案为：或． 15. 如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点到、的距离相等是解题关键． 作到、、的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过的面积求出垂线段长度，用该长度计算的面积即可． 【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，交延长线于点，交延长线于点，交于点． 平分，平分， ，， ， 已知，，， ， 解得，即， ． 故答案为：． 16. 如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，三角形与坐标系的综合题型，关键在于合理利用辅助线，熟练掌握基础知识是正确解答此题的关键． 首先取的中点，连接，，，可求得与的长，然后由三角形三边关系，求得点到原点的最大距离． 【详解】解：当时，，则； 当时，，则， ∴，，， 如图所示： 取的中点，连接，，， ，，， ，， ， 当，，三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共102分） 17. 计算与求值： （1）计算： （2）求x的值： 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程： （1）先进行开方运算，再进行减法运算即可； （2）利用平方根的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， ， 解得或． 18. 如图，点、、、在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）11 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握判定方法及性质是关键． （1）运用角边角证明即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 19. 为了解七年级学生的身高情况，某校随机抽取了七年级部分学生，测得他们的身高（单位：cm）如表所示，并绘制了两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题： 某校随机抽取的七年级部分学生的身高表（单位：cm） 身高 人数/人 百分比 A： 36 B： a C： 84 b D： 48 E： 12 n 合计 m （1）上述统计表中______，______，______，______； （2）请补全图甲中的频数分布直方图； （3）求图乙中扇形A的圆心角度数； （4）若全校共有七年级学生人，请估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数． 【答案】（1）60，，240， （2）图见解析 （3） （4）估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数约为50人 【解析】 【分析】（1）由A组人数及其所占百分比得出样本容量，再根据百分比=人数样本容量求解即可； （2）根据所求a的值即可补全图形； （3）用乘A组人数所占百分比即可； （4）总人数乘以样本中E组人数所占比例即可． 本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 则，，， 故答案为：60，，240，； 【小问2详解】 补全直方图如下： 【小问3详解】 图乙中扇形A的圆心角度数为； 【小问4详解】 人， 答：估计该校七年级身高在E：范围内的学生人数约为50人． （1）由A组人数及其所占百分比得出样本容量，再根据百分比=人数样本容量求解即可； （2）根据所求a的值即可补全图形； （3）用乘A组人数所占百分比即可； （4）总人数乘以样本中E组人数所占比例即可． 本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 21. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】（1） 是直角三角形，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）可证明，则由勾股定理的逆定理可得结论； （2）利用等面积法可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 答：一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 22. 如图，经过点的直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为2． （1）求直线的表达式及点的坐标； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围； （3）记与轴的交点为，若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）；点的坐标为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式，然后求出点M的坐标即可； （2）得到直线在直线上方时，自变量x的取值范围即可； （3）把M点的坐标代入求出n的值，然后求出点D的坐标，根据求出点P的纵坐标即可． 【小问1详解】 将点代入， 得方程组：，解得， 故直线的表达式为； 点在上，且纵坐标为， 解得， 故点的坐标为； 【小问2详解】 解：借助图象可得直线在直线上方时，自变量x的取值范围为， ∴时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：点也在上，代入点的坐标，则，解得； 与轴的交点为， 则令，代入得， 解得， ∴． ，点的纵坐标为， ， ， 设在上，故， ，得， 解得或， 当时，代入， 解得， 故； 当时，代入， 解得， 故． 综上，点的坐标为或． 23. 为助力吉安“美丽乡村”建设，某村计划分两次采购甲、乙两种特色果树苗，第一次分别采购甲、乙两种果树苗20株和10株，共花费550元；第二次分别采购甲、乙两种果树苗15株和8株，共花费430元．两次采购果树苗的单价不变． （1）甲、乙两种果树苗每株的价格分别是多少元？ （2）若该村计划再采购甲、乙两种果树苗共40株，其中采购甲种果树苗株，且数量不超过总数的一半，采购果树苗的总费用为元，求出关于的函数解析式；并求出当为何值时，采购果树苗的总费用最少，最少费用为多少元？ 【答案】（1）甲种果树苗单价为10元/株，乙种果树苗单价为35元/株 （2）（，为整数），当时，采购费用最少，最少费用为900元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是： （1）设甲种果树苗的单价为元/株，乙种果树苗的单价为元/株，根据第一次分别采购甲、乙两种果树苗20株和10株，共花费550元；第二次分别采购甲、乙两种果树苗15株和8株，共花费430元；两次采购果树苗的单价不变，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）采购甲种树苗株，则采购乙种树苗株，结合（1）结论，列出一次函数解析式，再根据甲种果树苗数量不超过总数的一半，可确定n的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种果树苗的单价为元/株，乙种果树苗的单价为元/株． 由题可列得方程组：， 解得． 所以，甲种果树苗单价为10元/株，乙种果树苗单价为35元/株． 【小问2详解】 解：已知采购甲种果树苗株，两种树苗共40株，则采购乙种果树苗株． 总费用甲的总价＋乙的总价，即． 甲种果树苗“数量不超过总数的一半”，总数是40株，一半为20株，所以； 同时树苗数量为正整数，所以，且为整数, ∴（，为整数）． 在一次函数中，，所以随的增大而减小． 因此，当取最大值20时，取得最小值． 将代入解析式得，（元）． 关于的函数解析式为（，且为整数）； 当时，采购费用最少，最少费用为900元． 24. 越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题： （1）______，______； （2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； （3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，此时小军骑行的时间为______分钟． 【答案】（1）15；200 （2）距图书馆的距离是750米 （3）或20 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组． （1）根据时间=路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度路程时间，即可求出m的值； （2）根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论； （3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：（分钟）， （分钟）， （米/分）， 即，，， 故答案为： 15；200； 【小问2详解】 解：线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为， 联立两函数解析式成方程组，， 解得：， ∴（米）， 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：，， 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟或20分钟时与小军相距100米． 故答案为：或20． 25. 在平面直角坐标系中，对点和点给出了定义：若则称点Q为点P的“联动点”．例如：点的联动点的坐标是点． （1）点的联动点的坐标为 ；点是点M的联动点，则点M的坐标为 ； （2）若点，均是一次函数图象上某一个点的联动点，求k和c的值； （3）若点P在函数的图象上，求点P的联动点Q的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2）k的值为，c的值为 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了新定义“联动点”的理解与应用，涉及分段函数、一次函数图象性质． （1）根据题中的对于“联动点”的定义进行解答即可； （2）设点的联动点为点A，点的联动点为B，由题意可得点，，由点，在一次函数图象上将两点代入到一次函数解析式中，解得k和c的值； （3）设点P在一次函数上的坐标表达式为，分情况讨论当时和当时的取值情况，进而求得的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴当时，， ∴点的联动点坐标为， 对于点，有， ∴当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设点的联动点为点A，点的联动点为B，由题意可得点，， ∵点，在一次函数图象上，将点，代入，得 ，解得 ， ∴k的值为，c的值为． 【小问3详解】 解：∵点P在一次函数的图象上， ∴设点P坐标为，则， ∴当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即； 综上所述，的取值范围是． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B． （1）如图1，若点，点B关于y轴的对称点为点，求直线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，点C是线段上不与点B、重合的一个动点． ①如图1，，，垂足分别为点M、N，试探究的值是否变化，若不变求出的值；若变化，说明理由； ②点D是线段上的一点，且满足．直接写出当为等腰三角形时点C的坐标； （3）如图3，若，动点C在线段上，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接、，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）①不变化，的值为；②C点坐标为或 （3）线段长度的最小值为 【解析】 【分析】（1）分别求，，再由待定系数法求直线的解析式即可； （2）①连接，利用等积法，，即可求是定值； ②分三种情况讨论：当时，，可求；当时，，在中，利用勾股定理，解得，可求；当时，，此时C点与重合或与B重合，不符合题意； （3）取的中点E，连接，证明，则，当轴时，的长最小，即长最小，求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵点，点B关于y轴的对称点为点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①的值不变，理由如下： 连接， ∵， ∴， 即， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， 分以下三种情况讨论： 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴，此时C点与重合或与B重合，不符合题意； 综上所述：C点坐标为或； 【小问3详解】 解：取的中点E，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当轴时，的长最小，即长最小， ∵轴，E是的中点， ∴， ∴线段长度的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $