专题02 分式方程及其应用（专项训练）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程与不等式 专题02 分式方程及其应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：分式方程的解法 题型1 解分式方程 易｜混｜易｜错 1.去分母时漏乘常数项 方程两边同乘公分母时，每一项都要乘，包括不含分母的常数项。 2.忽略验根步骤增根是分式方程特有的，必须代入原方程分母检验，不能只检验整式方程 3.约分后忘记限制条件 4.分式方程无解的两种情况 ① 转化后的整式方程无解（如 0x=1）；② 整式方程的解都是增根 1．（2025·辽宁锦州·二模）方程的解是 ． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）分式方程 的解是 ． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）计算 解分式方程： 4．（2025·辽宁·一模）若分式的值为2，则 ． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）分式方程的解是 ． 解｜题｜技｜巧 1.找最简公分母分母因式分解→取各因式最高次幂的乘积 2.去分母转整式方程两边同乘公分母，每一项都要乘（勿漏常数项） 3.验根（必做）根代入原分母，≠0 为解；=0 为增根，舍去 考点二：含参数的分式方程 易｜混｜易｜错 1. 1.忽略整式方程本身无解的情况 2. 2.漏验增根对应的参数值 3. 3.忘记分母≠0 的初始限制 题型1分式方程的解为正数/负数问题 1．（2024·辽宁·模拟测试）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 2.（2023·辽宁·模拟测试）已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是 A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1 3．（2023·辽宁·模拟测试）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（2024·辽宁·模拟测试）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 解｜题｜技｜巧 ①由x=f(k)列不等式/整数条件； ②排除使分母为 0 的参数值 题型2 分式方程的增根问题 1．（2024·辽宁·模拟测试）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 2．（2024·辽宁·模拟测试）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 解｜题｜技｜巧 ① 令公分母 = 0，得增根x=a ② 代入整式方程，解参数 题型3 分式方程无解问题 1．（2024·辽宁·模拟测试）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1 2．（2024·辽宁·模拟测试）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．2 B． C．1或2 D．2或 3．（2024·辽宁·模拟测试）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 解｜题｜技｜巧 分两种情况： 1. 整式方程无解（如0x=b,b=0） 2. 整式方程的解全是增根 考点三：分式方程的实际应用 题型1工程问题 1（2024·辽宁·模拟测试）我市在开展“清洁家园”活动中，某区域有一处积水点，为了降低该区域积水的风险，政府计划对该区域一段长4800米的排水管道进行改造．实际施工时，每天的施工速度比原计划提高了，经计算，按现有速度施工，将会比原计划提前10天完成任务． (1)求实际每天改造排水管道的长度； (2)改造完排水管道总长的一半时，为了减少对市民出行的影响，施工单位决定添加人员和机械设备加快施工进度，确保总工期不超过40天，那么接下来每天改造管道时，至少还要增加多少米？ 2．（2025·辽宁营口·二模）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的6倍，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时． (1)求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩； (2)现有145亩农田需要人工和无人机同时喷洒农药，要求最多6小时完成喷洒工作，则无人机至少喷洒农药多少亩? 3．（2024·辽宁·模拟测试）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 4．（2024·辽宁·模拟测试）某单位为美化环境，计划对面积为平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为元，付给乙队的费用为元，要使这次的绿化总费用不超过元，至少安排甲队工作多少天？ 5．（2024·辽宁抚顺·二模）某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 题型2 行程问题 1．（2025·辽宁大连·二模）用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少?设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·辽宁·模拟测试）A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度． 3．（2024·辽宁大连·一模）、两地相距千米，甲车从地出发匀速开往地，乙车同时从地出发匀速开往地，两车相遇时距地．已知乙车每小时比甲车多行驶． (1)求甲、乙两车的速度； (2)若、辆车分别以初速继续在一条长为的道路上相向而行，若经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过，求的取值范围． 4．（2025·辽宁大连·一模）A、B两地铁路全长，从A地到B地乘坐甲列车比乘坐乙列车多用，已知甲列车行驶的平均速度是乙列车行驶的平均速度的0.8倍．求乙列车行驶的平均速度． 5．（2024·辽宁·模拟测试）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度． 题型3 经济问题 1．（2025·辽宁丹东·二模）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书，已知每本乙种课外书的价格比每本甲种课外书的价格高出一半，若购进甲、乙两种课外书的费用分别为480元和600元，则所购买的乙种课外书比甲种课外书少4本． (1)求每本甲种课外书的价格； (2)学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过1300元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？ 2．（2025·辽宁铁岭·二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的兴趣爱好，某校准备为社团购买，两种型号的“文房四宝”共套，共花费元，其中购买型号的“文房四宝”花费元．若每套型号“文房四宝”的价格是每套型号“文房四宝”价格的倍，求型号“文房四宝”的单价是多少元． 3．（2024·辽宁·模拟测试）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人． (1)求八年级的学生总数x的取值范围； (2)如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 4．（2025·辽宁沈阳·一模）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多，求该市今年居民用水的价格是多少元． 5．（2024·辽宁·模拟测试）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 题型4 其他问题 1．（2024·辽宁·模拟测试）为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 2．（2024·辽宁·模拟测试）某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 3．（2024·辽宁本溪·二模）垃圾回收站雇用甲、乙两个清洁公司共同承担A、B两个工地的垃圾清运任务．甲公司清运的垃圾比乙公司清运的垃圾少10万，回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍，回收站补贴给甲、乙公司的燃油补贴总费用分别为800元和600元．A、B两个工地需要清运的垃圾分别是40万和10万．经过测算，甲、乙两个公司在两个工地完成清运垃圾需要的费用（不含燃油补贴）如下： 在A工地清运垃圾所需的费用 在B工地清运垃圾所需的费用 甲公司 50元 45元 乙公司 48元 46元 设甲公司在A工地清运垃圾为x万，完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用（不含燃油补贴）为y万元． (1)求甲、乙公司清运垃圾各是多少？ (2)求y与x的函数关系式； (3)若在实际清运过程中，甲公司在A工地上投入新机械化设备，使清运的费用减少a元，但仍高于甲公司在B工地清运垃圾的费用，求如何分配任务，使清运垃圾的总费用（不含燃油补贴）最小 4．（2023·辽宁葫芦岛·一模）春耕时节，某大型农场为缩短播种时间，安排甲，乙两种型号的播种机进行播种作业．已知一台甲型播种机平均每天比一台乙型播种机多播种2公顷：一台甲型播种机播种5公顷土地与一台乙型播种机播种3公顷土地所用的时间相同． (1)求一台甲型播种机和一台乙型播种机平均每天各播种土地多少公顷？ (2)该农场安排两种型号的播种机共10台进行土地播种作业，为保障每天完成不少于40公顷的土地播种任务，至少安排多少台甲型播种机？ 5．（2024·辽宁·模拟测试）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 (1)求m的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数． 1．（2024·辽宁·模拟测试）某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁锦州·二模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁锦州·模拟预测）小明同学解方程的过程中，从哪一步开始出现错误（    ） 解：方程两边同时乘以，得    第一步 即        第二步 解得，     第三步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．三步都正确 4．（2024·辽宁·模拟测试）分式方程的解是 ． 5．（2025·辽宁鞍山·三模）为传承优秀传统文化，某校为各年级购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元．已知该校花6930元购买《三国演义》连环画的套数是花3300元购买《水浒传》连环画套数的1.5倍，求《三国演义》连环画和《水浒传》连环画的单价各是多少元？ 6．（2025·山东济南·一模）新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． (1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ (2)该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 7．（2024·辽宁·模拟测试）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． (1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ (2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 8．（2024·辽宁·模拟测试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买两种型号的“文房四宝”共40套，已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比每套型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买这两种型号的“文房四宝”共需花费4300元，其中购买型号“文房四宝”花费3000元． (1)求每套型号的“文房四宝”的标价； (2)若学校打算继续在该文化用品店以标价购买第二批“文房四宝”，且两种型号的购买总数量仍为40套，如果要求本次的购买总费用不超过4200元，那么本次最少应购买型号“文房四宝”多少套？ 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． (1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ (2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 2．（2024·辽宁·模拟测试）某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位． (1)求中巴车和大客车各有多少个座位？ (2)客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？ 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 专题02 分式方程及其应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：分式方程的解法 题型1 解分式方程 易｜混｜易｜错 1.去分母时漏乘常数项 方程两边同乘公分母时，每一项都要乘，包括不含分母的常数项。 2.忽略验根步骤增根是分式方程特有的，必须代入原方程分母检验，不能只检验整式方程 3.约分后忘记限制条件 4.分式方程无解的两种情况 ① 转化后的整式方程无解（如 0x=1）；② 整式方程的解都是增根 1．（2025·辽宁锦州·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键．将方程分别去分母，化为整式方程，解方程然后检验即可． 【详解】解：， ， ， 经检验，是方程的解； 故答案为：． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）分式方程 的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验，当， ∴原方程的解为， 故答案为：． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）计算 解分式方程： 【答案】无解 【分析】考查了分式方程的求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 原方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即可. 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 所以原方程无解. 4．（2025·辽宁·一模）若分式的值为2，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解题步骤是解题的关键． 先去分母，化为一元整式方程，再检验即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：5． 5．（2025·辽宁沈阳·一模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为． 解｜题｜技｜巧 1.找最简公分母分母因式分解→取各因式最高次幂的乘积 2.去分母转整式方程两边同乘公分母，每一项都要乘（勿漏常数项） 3.验根（必做）根代入原分母，≠0 为解；=0 为增根，舍去 考点二：含参数的分式方程 易｜混｜易｜错 1. 1.忽略整式方程本身无解的情况 2. 2.漏验增根对应的参数值 3. 3.忘记分母≠0 的初始限制 题型1分式方程的解为正数/负数问题 1．（2024·辽宁·模拟测试）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】先解分式方程，用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得：． ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴． 又∵， ∴． ∴． 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键． 2.（2023·辽宁·模拟测试）已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是 A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1 【答案】B 【详解】试题分析：分式方程去分母得：a+2=x+1，解得：x=a+1， ∵分式方程的解为非正数，∴a+1≤0，解得：a≤﹣1． 又当x=﹣1时，分式方程无意义，∴把x=﹣1代入x=a+1得． ∴要使分式方程有意义，必须a≠﹣2． ∴a的取值范围是a≤﹣1且a≠﹣2．　 故选B． 3．（2023·辽宁·模拟测试）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解． 【详解】方程两边同时乘以，得， 解得， 关于x的分式方程的解是正数， ，且， 即且， 且， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（2024·辽宁·模拟测试）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 解｜题｜技｜巧 ①由x=f(k)列不等式/整数条件； ②排除使分母为 0 的参数值 题型2 分式方程的增根问题 1．（2024·辽宁·模拟测试）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足 解得： 故选：D． 2．（2024·辽宁·模拟测试）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，再求出方程的解，然后根据增根求出k的值． 【详解】去分母，得， 移项，合并同类项得． ∵原方程有增根， ∴， 解得． 故选：C． 解｜题｜技｜巧 ① 令公分母 = 0，得增根x=a ② 代入整式方程，解参数 题型3 分式方程无解问题 1．（2024·辽宁·模拟测试）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1 【答案】B 【分析】去分母，化分式方程为整式方程，根据分式方程产生增根或，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 移项、合并同类项，得， ∵方程无解， ∴或， ∴或， ∴或， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键． 2．（2024·辽宁·模拟测试）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．2 B． C．1或2 D．2或 【答案】C 【分析】分两种情况，整式方程无解，原分式方程产生增根，无解． 【详解】解：， x−a＝a（x−2）， x−a＝ax−2a， x−ax＝a−2a， （1−a）x＝−a， ∵原方程无解， ∴（1−a）x＝−a无解或原分式方程产生增根，无解， 当（1−a）x＝−a无解， ∴1−a＝0， ∴a＝1， 当原分式方程产生增根，无解， ∴x−2＝0， ∴x＝2， 把x＝2代入x−a＝a（x−2）中得： 2−a＝0， ∴a＝2， 综上所述：a的值为1或2， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，分两种情况考虑是解题的关键． 3．（2024·辽宁·模拟测试）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】﹣1或0 【分析】分式方程无解有两种情况：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母化为整式方程后，整式方程无解，据此解答即可． 【详解】解：去分母，得ax+a＝2a+2， 整理，得ax＝a+2， 当a＝0时，方程无解； 当a≠0时，x＝． ∵当x＝﹣1时，分式方程无解， ∴=﹣1，解得：a=﹣1． 故答案为：﹣1或0． 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，解题的关键是既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 解｜题｜技｜巧 分两种情况： 1. 整式方程无解（如0x=b,b=0） 2. 整式方程的解全是增根 考点三：分式方程的实际应用 题型1工程问题 1（2024·辽宁·模拟测试）我市在开展“清洁家园”活动中，某区域有一处积水点，为了降低该区域积水的风险，政府计划对该区域一段长4800米的排水管道进行改造．实际施工时，每天的施工速度比原计划提高了，经计算，按现有速度施工，将会比原计划提前10天完成任务． (1)求实际每天改造排水管道的长度； (2)改造完排水管道总长的一半时，为了减少对市民出行的影响，施工单位决定添加人员和机械设备加快施工进度，确保总工期不超过40天，那么接下来每天改造管道时，至少还要增加多少米？ 【答案】(1)实际每天改造排水管道96米； (2)接下来每天改造管道时，至少还要增加64米． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设原计划每天改造排水管道米，则实际每天改造排水管道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可求出原计划每天改造排水管道的长度，再将其代入中，即可求出实际每天改造排水管道的长度； （2）利用工作时间工作总量工作效率，求出改造完排水管道总长的一半所需时间，利用工作总量工作效率工作时间，结合总工期不超过40天，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划每天改造排水管道米，则实际每天改造排水管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：实际每天改造排水管道96米； （2）解：改造完排水管道总长的一半所需时间为（天． 设接下来每天改造管道时，还要增加米， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为64． 答：接下来每天改造管道时，至少还要增加64米． 2．（2025·辽宁营口·二模）随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的6倍，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时． (1)求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩； (2)现有145亩农田需要人工和无人机同时喷洒农药，要求最多6小时完成喷洒工作，则无人机至少喷洒农药多少亩? 【答案】(1)亩； (2)无人机至少喷洒农药亩． 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是关键． （1）设一个人每小时喷洒农药亩，一架无人机平均每小时喷洒农药亩，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时．据此列方程，解方程并检验即可； （2）设无人机喷洒农药亩，则人工喷洒农药亩，要求最多6小时完成喷洒工作，据此列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设一个人每小时喷洒农药亩，一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 则 解得, 经检验，是分式方程的解且符合题意； 答：一架无人机平均每小时喷洒农药亩； （2）设无人机喷洒农药亩，则人工喷洒农药亩， 则， 解得 答：无人机至少喷洒农药亩． 3．（2024·辽宁·模拟测试）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； (2)15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可； （2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 4．（2024·辽宁·模拟测试）某单位为美化环境，计划对面积为平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为元，付给乙队的费用为元，要使这次的绿化总费用不超过元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】（1）乙队每天绿化面积为40平方米，甲队为60平方米；（2）至少安排甲队工作天． 【分析】（1）由题意设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据题意设安排甲队工作y天，则需安排乙队工作天，根据总费用=700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙队每天绿化面积为平方米，甲队为平方米，于是得： 解得： 经检验，是原方程的解，， 答：甲、乙两队每天绿化的面积分别是平方米、平方米； （2）设至少安排甲队工作天， 于是得： 解得： 答：至少安排甲队工作天． 【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程以及根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 5．（2024·辽宁抚顺·二模）某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是，列分式方程求解即可，注意检验增根； （2）设应安排甲工程队工作天，则应安排乙工程队工作天，进而列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 答：甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是． （2）设应安排甲工程队工作天， 则应安排乙工程队工作天 根据题意得： 解得：． 的最小值是10． 答：至少应安排甲工程队工作10天． 题型2 行程问题 1．（2025·辽宁大连·二模）用相同的时间，某次列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，若平均提速，提速前列车的平均速度为多少?设提速前这次列车的平均速度为，根据行驶时间的等量关系，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程．根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可． 【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程， 故选：B． 2.（2024·辽宁·模拟测试）A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时． 【分析】根据题意，设出甲、乙的速度，然后根据题目中两车相遇时时间相同，列出方程，解方程即可． 【详解】设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为（x+30）千米/时， ， 解得，x=60， 经检验，x=60是原方程的解. 则x+30=90， 即甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时． 3．（2024·辽宁大连·一模）、两地相距千米，甲车从地出发匀速开往地，乙车同时从地出发匀速开往地，两车相遇时距地．已知乙车每小时比甲车多行驶． (1)求甲、乙两车的速度； (2)若、辆车分别以初速继续在一条长为的道路上相向而行，若经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过，求的取值范围． 【答案】(1)甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用，理解题意列分式方程、不等式求解是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/时，乙车的速度为千米/时，根据两车相遇时距地，结合“时间路程速度”列分式方程求解即可，注意分式方程的解要代入原分式方程检验； （2）根据“经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过”，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/时，乙车的速度为千米/时， 由题意得：， 解得，， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时； （2）解：由题意得：， 解得：． 4．（2025·辽宁大连·一模）A、B两地铁路全长，从A地到B地乘坐甲列车比乘坐乙列车多用，已知甲列车行驶的平均速度是乙列车行驶的平均速度的0.8倍．求乙列车行驶的平均速度． 【答案】乙列车行驶的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙列车行驶的平均速度为．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设乙列车行驶的平均速度为． 根据题意，得． 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：乙列车行驶的平均速度为． 5．（2024·辽宁·模拟测试）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题． 【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意可得，， 整理得，， 解得， 经检验是该方程的解， 答：型车的平均速度为． 题型3 经济问题 1．（2025·辽宁丹东·二模）某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书，已知每本乙种课外书的价格比每本甲种课外书的价格高出一半，若购进甲、乙两种课外书的费用分别为480元和600元，则所购买的乙种课外书比甲种课外书少4本． (1)求每本甲种课外书的价格； (2)学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过1300元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？ 【答案】(1)每本甲种课外书的价格为20元； (2)该校最多可以购买30本乙种书． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设每本甲种课外书的价格为元，则每本乙种课外书的价格为元，根据“购进甲、乙两种课外书的费用分别为480元和600元，则所购买的乙种课外书比甲种课外书少4本”列分式方程，即可求解； （2）设购买本乙种书，则购买本甲种书，根据“两种书的总费用不超过1300元”列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每本甲种课外书的价格为元，则每本乙种课外书的价格为元， 根据题意得， 解得， 答：每本甲种课外书的价格为20元； （2）解：设购买本乙种书，则购买本甲种书， 根据题意得， 解得， 答：该校最多可以购买30本乙种书． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的兴趣爱好，某校准备为社团购买，两种型号的“文房四宝”共套，共花费元，其中购买型号的“文房四宝”花费元．若每套型号“文房四宝”的价格是每套型号“文房四宝”价格的倍，求型号“文房四宝”的单价是多少元． 【答案】种型号“文房四宝”的单价200元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号“文房四宝”的单价是元，根据购买 ，两种型号的“文房四宝”共套列方程求解即可． 【详解】解：设型号“文房四宝”的单价是元，由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种型号“文房四宝”的单价元． 3．（2024·辽宁·模拟测试）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人． (1)求八年级的学生总数x的取值范围； (2)如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 【答案】(1)八年级的学生总数x的取值范围为 (2)这个学校八年级学生有300人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出分式方程． （1）根据“给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款；多购买60支，可以按批发价付款”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围； （2）由按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，可得出批发价是零售价的，利用单价总价数量，结合批发价是零售价的，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：的取值范围为； （2）解：按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同， 批发价是零售价的． 根据题意得：， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：这个学校八年级学生有300人． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多，求该市今年居民用水的价格是多少元． 【答案】2元 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键．设该市去年每立方米水费是元，今年居民用水的价格为每立方米水费是元，那么去年12月份的用水量为，今年7月份的用水量为，然后根据已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多列出方程解出答案，然后代入算出答案即可． 【详解】解：设该市去年每立方米水费是元，今年居民用水的价格为每立方米水费是元， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解． （元/立方米）． 答：该市今年居民用水的价格是2元/立方米． 5．（2024·辽宁·模拟测试）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】(1)60 (2)至少购进B品牌100袋 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意、列出分式方程、不等式以及函数解析式成为解题的关键． （1）根据用4800元购进A品牌野生木耳，6080元购进B品牌野生木耳，再根据两种品牌所购得的数量相同列出分式方程求解即可； （2）设购进B为m袋，A为袋，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 经检验：是原方程的解． 答：x的值为60． （2）解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得： ， 解得：． 答：至少购进B品牌100袋． 题型4 其他问题 1．（2024·辽宁·模拟测试）为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 【答案】原计划每天这种树棵 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天种树x棵，则实际每天种树棵，根据工作时间＝工作总量＋工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天这种树棵． 2．（2024·辽宁·模拟测试）某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买1件甲种奖品需35元，1件乙种奖品需20元 (2)甲种奖品最多能购买16件 【分析】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式，根据题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）根据甲种商品和乙种商品的数量相同列出方程； （2）根据总费用不超过元列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：假设购买一件乙种奖品需元，则由题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意； ∴ ， 即一件甲种奖品需元，一件乙种奖品需元． 答：购买件甲种奖品需元，件乙种奖品需元． （2）解：设甲种奖品最多能购买件， 由题意得： ， 解得：． 答：甲种奖品最多能购买件． 3．（2024·辽宁本溪·二模）垃圾回收站雇用甲、乙两个清洁公司共同承担A、B两个工地的垃圾清运任务．甲公司清运的垃圾比乙公司清运的垃圾少10万，回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍，回收站补贴给甲、乙公司的燃油补贴总费用分别为800元和600元．A、B两个工地需要清运的垃圾分别是40万和10万．经过测算，甲、乙两个公司在两个工地完成清运垃圾需要的费用（不含燃油补贴）如下： 在A工地清运垃圾所需的费用 在B工地清运垃圾所需的费用 甲公司 50元 45元 乙公司 48元 46元 设甲公司在A工地清运垃圾为x万，完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用（不含燃油补贴）为y万元． (1)求甲、乙公司清运垃圾各是多少？ (2)求y与x的函数关系式； (3)若在实际清运过程中，甲公司在A工地上投入新机械化设备，使清运的费用减少a元，但仍高于甲公司在B工地清运垃圾的费用，求如何分配任务，使清运垃圾的总费用（不含燃油补贴）最小 【答案】(1)甲、乙两个公司分别清运了垃圾20万和30万； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数解析式求解，一元一次不等式通过分类讨论求解是解决问题的关键． （1）设甲公司清运垃万，则乙公司清运垃圾万，，根据“回收站补贴给甲公司每的燃油补贴是补贴给乙公司每的燃油补贴的2倍”列方程，解方程即可； （2）根据完成A、B两个工地的垃圾清运所需的总费用A，B俩个垃圾站费用之和列出函数解析式即可； （3）因为清清公司在甲公司清理1立方米的费用减少a元，所以在甲公司费用单价变为元，方法同（2）即可得关系式，但是注意根据a的取值范围进行分类讨论． 【详解】（1）解：设甲公司清运垃万，则乙公司清运垃圾万， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 此时， 答：甲、乙两个公司分别清运了垃圾20万和30万； （2）解：由题意得： ∴y与x的函数关系式为； （3）解：由题意得， ∵， 解得， ①当时，，y随x的增大而增大， ∴时，y最小， 此时，甲公司在A地清运垃圾12万，在B地清运垃圾5万；乙公司在A地清运垃圾28万，在B地清运垃圾5万； ②当，清运垃圾的总费用与甲乙公司在A地清运的垃圾数量无关，均为2360万元； ③当时，，y随x的增大而减小， ∴时，y有最小值， 此时，甲公司在A地清运垃圾16万，在B地清运垃圾4万；乙公司在A地清运垃圾24万，在B地清运垃圾6万． 4．（2023·辽宁葫芦岛·一模）春耕时节，某大型农场为缩短播种时间，安排甲，乙两种型号的播种机进行播种作业．已知一台甲型播种机平均每天比一台乙型播种机多播种2公顷：一台甲型播种机播种5公顷土地与一台乙型播种机播种3公顷土地所用的时间相同． (1)求一台甲型播种机和一台乙型播种机平均每天各播种土地多少公顷？ (2)该农场安排两种型号的播种机共10台进行土地播种作业，为保障每天完成不少于40公顷的土地播种任务，至少安排多少台甲型播种机？ 【答案】(1)一台甲型播种机平均每天播种5公顷，一台乙型播种机平均每天播种3公顷； (2)每天至少安排5台甲型播种机 【分析】（1）设一台甲型播种机平均每天播种x公顷土地，则一台乙型播种机平均每天播种公顷土地，然后根据一台甲型播种机播种5公顷土地与一台乙型播种机播种3公顷土地所用的时间相同列出方程求解即可； （2）设每天安排m台甲型播种机，则每天安排台乙型播种机，再根据每天完成不少于40公顷的土地播种任务列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一台甲型播种机平均每天播种x公顷土地，则一台乙型播种机平均每天播种公顷土地． 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是所列分式方程的解 ∴（公顷）， 答：一台甲型播种机平均每天播种5公顷，一台乙型播种机平均每天播种3公顷． （2）解：设每天安排m台甲型播种机， 根据题意，得： 解得：， 答：每天至少安排5台甲型播种机． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系建立不等式是解题的关键． 5．（2024·辽宁·模拟测试）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 (1)求m的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数． 【答案】(1) (2)有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为吨． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键． （1）由万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出分式方程即可求解． （2）设买型污水处理设备台，则B型台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；然后根据题意求得整数解，再分别求得各方案的处理污水量的吨数，即可求解． 【详解】（1）解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同， 即可得：， 解得， 经检验是原方程的解，即； （2）解：∵型污水处理设备的单价为18万元，型污水处理设备的单价为15万元， 设买型污水处理设备台，则B型台， 根据题意得：， 解得，由于是整数，则有种方案， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为吨． 1．（2024·辽宁·模拟测试）某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由采用新技术前后工作效率间的关系可得出采用新技术后每天修建管道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合时间比原计划提前4天完成任务，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：采用新技术，工作效率比原来提升了，且原计划每天修建管道米， 采用新技术后每天修建管道米． 依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2．（2024·辽宁锦州·二模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定分式方程的最简公分母，两边同乘以最简公分母即可． 【详解】分式方程的最简公分母为， 方程两边同时乘以最简公分母，得到， 方程两边同时乘以最简公分母为，即可得到一个一元一次方程． 故选：C． 【点睛】本题考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性质是解决问题的关键． 3．（2024·辽宁锦州·模拟预测）小明同学解方程的过程中，从哪一步开始出现错误（    ） 解：方程两边同时乘以，得    第一步 即        第二步 解得，     第三步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．三步都正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的基本步骤成为解题的关键． 先根据解分式方程的步骤解分式方程并结合题意即可解答． 【详解】解： 方程两边同时乘以，可得: ，即从第二步出现错误． 故选B． 4．（2024·辽宁·模拟测试）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得，， 检验，当时，，是原分式方程的解， 故答案为：． 5．（2025·辽宁鞍山·三模）为传承优秀传统文化，某校为各年级购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元．已知该校花6930元购买《三国演义》连环画的套数是花3300元购买《水浒传》连环画套数的1.5倍，求《三国演义》连环画和《水浒传》连环画的单价各是多少元？ 【答案】《水浒传》连环画每套150元，《三国演义》连环画每套210元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设《水浒传》连环画每套x元．则《三国演义》连环画每套元，根据花6930元购买《三国演义》连环画的套数是花3300元购买《水浒传》连环画套数的1.5倍建立方程求解即可． 【详解】解：设《水浒传》连环画每套x元．则《三国演义》连环画每套元， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是原分式方程的解． 所以，． 答：《水浒传》连环画每套150元，《三国演义》连环画每套210元． 6．（2025·山东济南·一模）新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． (1)求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ (2)该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 【答案】(1)每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元 (2)购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每辆乙型汽车的进价为万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，根据要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，列列出不等式求出的范围，设投资总额为万元，列出一次函数解析式，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设每辆乙型汽车的进价为万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 答：每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，由题意，得：， 解得：， 设投资总额为万元，则：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，为：； 答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 7．（2024·辽宁·模拟测试）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． (1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ (2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； (2)甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）设乙种剪纸每套进价为a元，则甲种剪纸每套进价为元，根据用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套，列出方程，解方程即可； （2）设乙种剪纸的销售单价为x元，商家获得的利润为w元，根据利润=售价-进价，列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， ∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； （2）解：设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为元，商家获得利润为w元， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为120050， 此时， 答：甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 8．（2024·辽宁·模拟测试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买两种型号的“文房四宝”共40套，已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比每套型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买这两种型号的“文房四宝”共需花费4300元，其中购买型号“文房四宝”花费3000元． (1)求每套型号的“文房四宝”的标价； (2)若学校打算继续在该文化用品店以标价购买第二批“文房四宝”，且两种型号的购买总数量仍为40套，如果要求本次的购买总费用不超过4200元，那么本次最少应购买型号“文房四宝”多少套？ 【答案】(1)每套B型号的“文房四宝”的标价为100元． (2)本次最少应购买型号“文房四宝”套； 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系或者不等关系，列出方程和不等式． （1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．列出分式方程，即可求解； （2）设本次最少应购买型号“文房四宝”套，利用本次的购买总费用不超过4200元，再建立不等式解题即可； 【详解】（1）解：设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为元． 根据题意得： ， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． 答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元． （2）解：由（1）得：每套A型号的“文房四宝”的标价为元． 设本次最少应购买型号“文房四宝”套， 则， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为， ∴本次最少应购买型号“文房四宝”套； 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． (1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ (2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； (2)再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，根据所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元， 根据题意得：10， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； （2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶， 根据题意得：， 解得：， 设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时． 答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 2．（2024·辽宁·模拟测试）某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位． (1)求中巴车和大客车各有多少个座位？ (2)客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？ 【答案】(1)每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个． (2)租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车费少100元． 【分析】（1）每辆车的座位数：设每辆中巴车有座位x个，每辆大客车有座位（x+15）个，可座学生人数分别是：270、（270+30）．车辆数可以表示为，因为租用大客车少一辆．所以，中巴车的辆数=大客车辆数+1，列方程． （2）在保证学生都有座位的前提下，有三种租车方案： ①单独租用中巴车，需要租车辆，可以计算费用． ②单独租用大客车，需要租车（6﹣1）辆，也可以计算费用． ③合租，设租用中巴车y辆，则大客车（y+1）辆，座位数应不少于学生数，根据题意列出不等式．注意，车辆数必须是整数．三种情况，通过比较，就可以回答题目的问题了． 【详解】（1）解：设每辆中巴车有座位x个，每辆大客车有座位（x+15）个，依题意有 解之得：x1=45，x2=﹣90（不合题意，舍去）． 经检验x=45是分式方程的解， 故大客车有座位：x+15=45+15=60个． 答：每辆中巴车有座位45个，每辆大客车有座位60个． （2）解法一： ①若单独租用中巴车，租车费用为×350=2100（元） ②若单独租用大客车，租车费用为（6﹣1）×400=2000（元） ③设租用中巴车y辆，大客车（y+1）辆，则有 45y+60（y+1）≥270 解得y≥2，当y=2时，y+1=3，运送人数为45×2+60×3=270人，符合要求 这时租车费用为350×2+400×3=1900（元） 故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车费少100元． 解法二：①、②同解法一 ③设租用中巴车y辆，大客车（y+1）辆，则有 350y+400（y+1）＜2000 解得：． 由y为整数，得到y=1或y=2． 当y=1时，运送人数为45×1+60×2=165＜270，不合要求舍去； 当y=2时，运送人数为45×2+60×3=270，符合要求． 故租用中巴车2辆和大客车3辆，比单独租用中巴车的租车费少200元，比单独租用大客车的租车费少100元． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解一元二次方程-因式分解法，分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $