专题05 直角三角形斜边上的中线（举一反三专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“模型归纳”为主线，构建“知-隐-构-联-用”五步进阶体系，通过几何直观与推理能力培养，系统突破直角三角形斜边上的中线性质应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知斜边中线|1例+3变式|设参数转化线段关系|从性质直接应用到折叠变换| |隐斜边中线|1例+3变式|作平行线或构造中点|从隐含条件挖掘到辅助线添加| |构斜边中线|1例+3变式|取中点构造中线|提升主动构造基本图形能力| |联姻中位线|1例+3变式|双中点连线构建中位线|实现中线与中位线知识融合| |最值中的运用|1例+3变式|定长线段中点转化|培养模型意识解决动态最值问题|

专题05 直角三角形斜边上的中线（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 模型归纳 【模型1 知斜边中线】 1 【模型2 隐斜边中线】 2 【模型3 构斜边中线】 4 【模型4 联姻中位线】 5 【模型5 最值中的运用】 7 【模型1 知斜边中线】 类型 知斜边中线 条件 ，E为AB的中点 图示 方法 设， 结论 ① 【例1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，为的中点，与相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，E为中点，D为延长线上一点，，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式1-2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，△中，，，，点是的中点，将△沿直线翻折得到△，连接，，则线段的长为__ ． 【变式1-3】如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为_______．    【模型2 隐斜边中线】 类型 隐斜边中线 条件 ， 图示 方法 作EF∥AC 结论 【例2】（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． (1)连接，求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示与的数量关系，并证明． 【变式2-1】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则_______ o． 【变式2-2】（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，E是的中点，平分，，连接，．若 ，则的周长为 _________ ． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图1，是等腰直角三角形，，，D在线段上一动点，连接．E是线段上的一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，恰好满足A、E、F三点共线，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2．当点D为中点时，连接，直接写出的值． 【模型3 构斜边中线】 类型 构斜边中线 条件 图示 方法 取AC的中点O 取DB的中点E 结论 ① 【例3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，如图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接． (1)请判断线段与线段的关系，并说明理由； (2)若图2中的，，求的面积与的面积的和． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且． (1)求证：N是边的中点； (2)当，，时，求的长． 【变式3-2】（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，在平行四边形中，延长至点，使得；延长至点，使得．．证明：． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，中，，，点D在上，点E为中点，于H，交直线于N，若，，，． (1)求的度数． (2)求的长． 【模型4 联姻中位线】 类型 联姻中位线 条件 ，，E为BC的中点 ， D为BC的中点 图示 方法 取AB的中点F 取AB，AC的中点M，N 结论 【例4】（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，于点D，E为的中点，，,则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，在等腰梯形中，，点，分别是，的中点，且，若，，则的长为___________． 【变式4-3】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在内取一点，使，作于点，于点，记，，分别为线段，，的中点，连结，． 求证： (1)． (2)的垂直平分线必经过点． 【模型5 最值中的运用】 类型 最值中的运用 条件 AC为定长， AC，BC为定长， 图示 方法 取AC的中点O 取AC的中点O 结论 【例5】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为_________． 【变式5-1】（25-26九年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作，且，若点为的中点，连接，则的最大值为_____． 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直角三角形斜边上的中线（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 模型归纳 【模型1 知斜边中线】 1 【模型2 隐斜边中线】 5 【模型3 构斜边中线】 13 【模型4 联姻中位线】 20 【模型5 最值中的运用】 25 【模型1 知斜边中线】 类型 知斜边中线 条件 ，E为AB的中点 图示 方法 设， 结论 ① 【例1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，为的中点，与相交于点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理：根据直角三角形的性质可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【变式1-1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，E为中点，D为延长线上一点，，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，等边对等角，三角形的外角的性质，推出，进而得到即可得出结果. 【详解】解：∵中，，E为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【变式1-2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，△中，，，，点是的中点，将△沿直线翻折得到△，连接，，则线段的长为__ ． 【答案】 【分析】如图，延长交于点，在△中，由勾股定理求得．由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由翻折的性质可知，，，则，设，则，在△和△中，由勾股定理得，，即，解得，则． 【详解】解：如图，延长交于点， 在△中，由勾股定理得． 为的中点， ， 由翻折的性质可知，，， ， 设，则， 在△中，由勾股定理得， 在△中，由勾股定理得， ， 解得， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1-3】如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为_______．    【答案】// 【分析】连接，延长交与点H，作，垂足为F．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，利用三角形的面积求出，得到的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，延长交与点H，作，垂足为F．    ∵在中，，点D是边的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，解得． ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴． ∵， ∴为直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高． 【模型2 隐斜边中线】 类型 隐斜边中线 条件 ， 图示 方法 作EF∥AC 结论 【例2】（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． (1)连接，求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等腰直角三角形，得到，根据角的和差关系即可得出结果； （2）作于点，作于点，根据三线合一和斜边上的中线得到，证明，得到，，进而推出，，在上截取，根据三角形的中位线定理和中垂线的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 作于点，作于点，则， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在上截取，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴，即． 【变式2-1】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则_______ o． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等、中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键．延长，交于点，延长交于点，先证明，然后证明是的中位线，可得，可得，再证明，可得，进而利用斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别延长，交于点，延长交于点， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ， ． ，， ， ． 在和中， ． ， ∵， ， ， ． 【变式2-2】（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，E是的中点，平分，，连接，．若 ，则的周长为 _________ ． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 延长、交于点G，可证明，得，，由，，，得，则，求得，则， ，所以， ，则的周长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点G， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图1，是等腰直角三角形，，，D在线段上一动点，连接．E是线段上的一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，恰好满足A、E、F三点共线，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2．当点D为中点时，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据直角三角形得出相等的边和直角，然后根据余角定理证明，证明，即可得出结论； （2）设，由勾股定理求出，根据全等三角形得出相等角和边，得出，最后利用勾股定理列出方程求解即可； （3）过点作于点，证明，得出，设，表示出相关线段的长，然后利用三角形的面积公式求出比值即可． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得 ∴ 解得， ∴的长为； （3）解：的值为，理由如下： 如图2所示，过点作于点， 由（2）得， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， 设， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴的值为． 【模型3 构斜边中线】 类型 构斜边中线 条件 图示 方法 取AC的中点O 取DB的中点E 结论 ① 【例3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，如图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接． (1)请判断线段与线段的关系，并说明理由； (2)若图2中的，，求的面积与的面积的和． 【答案】(1)，，见解析 (2)14 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的边、角性质，推导角相等，再通过证明，从而得到；再结合等腰直角三角形的角的关系，推导出，得到． （2）先根据和求出、的长度；再利用等腰直角三角形的性质求出和的面积；接着在中用勾股定理求出，再结合等腰直角三角形的性质求出和的面积，最后将两个面积相加． 【详解】（1）解：，．理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：取中点F，即，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴ 即的面积与的面积的和为14． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的边、角关系是解题的关键． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M是边中点，N是边上一点，且． (1)求证：N是边的中点； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识． （1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由等腰三角形的性质即可证明结果； （2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质结合勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴N是边的中点； （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：的长是． 【变式3-2】（2026八年级下·上海徐汇·专题练习）如图，在平行四边形中，延长至点，使得；延长至点，使得．．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】解题的关键在于构造辅助线，连接，通过直角三角形斜边中线定理，将和分别转化为和，进而利用平行四边形对边相等的性质，得到和；接着，利用等腰三角形“等边对等角”及三角形外角性质，结合已知角相等，推导出，最终利用判定，从而证得． 【详解】证明：连接， ∵， ∴和均为直角三角形， ∵，即为的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， 同理：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴(三角形外角性质) ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 在和中： ， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，中，，，点D在上，点E为中点，于H，交直线于N，若，，，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点F，连接，则是的中线，可得，根据，可得，从而可得为等边三角形，得到，即可求解； （2）设与的交点为P，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，结合线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，取的中点F，连接， ， ， F是的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ； （2）如图，设与的交点为P， ，， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【模型4 联姻中位线】 类型 联姻中位线 条件 ，，E为BC的中点 ， D为BC的中点 图示 方法 取AB的中点F 取AB，AC的中点M，N 结论 【例4】（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）如图，在中，，于点D，E为的中点，，,则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点F，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得长，再由中位线定理得出，进而通过角之间的关系得出，最后由两次勾股定理求解即可． 【详解】解：取中点F，连接， ∵于点D，F为的中点， ∴， ∴， ∵E为的中点，F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质及中位线定理，求出和的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求解即可 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，在等腰梯形中，，点，分别是，的中点，且，若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，三角形中位线定理求出的长，证明，得到，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可. 【详解】解：连接， ∵点，分别是，的中点，， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴. 【变式4-3】（25-26八年级上·湖南·期末）如图，在内取一点，使，作于点，于点，记，，分别为线段，，的中点，连结，． 求证： (1)． (2)的垂直平分线必经过点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质得出，，等量代换即可得证； （2）连结，，，．证明四边形是平行四边形，进而证明，，从而得出，根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）证明∶， ． ， ． ， ∴是的中位线， ， ． （2）证明：如图，连结，，，． ， ． ， ． ， ∴是的中位线， ， ． ， 四边形是平行四边形， ． ， ， ． ， ． ， ． 在与中， ， ， 是等腰三角形， 的垂直平分线必经过点． 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【模型5 最值中的运用】 类型 最值中的运用 条件 AC为定长， AC，BC为定长， 图示 方法 取AC的中点O 取AC的中点O 结论 【例5】（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，根据三角形三边关系得出，可得当点Q，A， 三点共线时，取得最大值，最大值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，点Q为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴当点Q，A， 三点共线时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26九年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点O，连接，由题意易得，，然后根据三角形三边不等关系进行求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵在矩形中，，N是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，则有当点O、M、N三点共线时，有最小值，最小值为． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作，且，若点为的中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】27 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，取的中点，连接，根据矩形的性质可求，，根据勾股定理可求，根据直角三角形的性质可求，根据三角形三边关系可求得当点，，共线时，有最大值，即． 【详解】如图，取的中点，连接． 四边形是矩形，，． 点分别为的中点，， ， 由勾股定理得． 在中，为的中点， ， 当点，，三点共线时，取最大值，最大值为：． 故答案为：27． 【变式5-3】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $