专题03 不等式与不等式组（专项训练）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程与不等式 专题03 不等式与不等式组 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：不等式的性质 题型 不等式的性质 1．（2023·辽宁·模拟测试）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 2．（2023·辽宁·模拟测试）若，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁·模拟测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（2023·辽宁沈阳·二模）如果，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：解不等式（组） 题型01 解一元一次不等式（组） 1．（2025·辽宁铁岭·三模）已知在第三象限，则a的取值范围是 ． 2．（2025·辽宁营口·二模）不等式组的解集为 ． 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）（1）计算：； （2）解不等式组： 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： (1)计算： (2)解不等式组： 5．（2025·辽宁沈阳·二模）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型02 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集 2．（2023·辽宁·模拟测试）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁·模拟测试）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 题型03 含参数的不等式（组） 1．（2023·辽宁·模拟测试）若关于的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 2．（2023·辽宁·模拟测试）若不等式组无解，则m的取值范围为 ． 3．（2023·辽宁·模拟测试）已知关于x的不等式组的解集是，则 ． 4．（2023·辽宁·模拟测试）若不等式组的解集为-1＜x＜1，那么（a-3）（b+3）的值等于 ． 题型04 不等式（组）的整数解问题 1．（2024·辽宁丹东·二模）不等式组的所有整数解的乘积是 ． 2.（2023·辽宁沈阳·模拟预测）满足不等式组的整数解是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023·辽宁·模拟测试）关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 4．（2023·辽宁·模拟测试）不等式组的所有整数解是 ． 考点三：不等式（组）的实际应用 题型 不等式（组）的实际应用 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节，某校计划采购一批树苗，参加植树节活动．经了解，购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需125元；购买2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需300元． (1)求甲、乙两种树苗的单价； (2)学校决定购买甲、乙两种树苗共50棵，且两种树苗的总费用不超过2000元，求最多可购买多少棵乙种树苗． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为丰富同学们的课余生活，全面响应中小学生每天体育锻炼不低于2小时的要求，引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质．七年四班拟组织学生大课间参加跳绳活动，需购买甲，乙两种跳绳，已知购买甲、乙两种跳绳部分信息如下： 甲种跳绳数量（根） 乙种跳绳数量（根） 总钱数（元） (1)求甲，乙两种跳绳的单价； (2)如果班级计划购买甲，乙两型跳绳共48根，乙型跳绳个数不少于甲型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 3．（2025·辽宁沈阳·三模）二模考试后，九年一班张老师对在二模考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知购买甲种笔记本个与购买乙种笔记本个费用相同，而且购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在三模考试后再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，则至多需要购买多少个甲种笔记本？ 4．（2025·辽宁铁岭·三模）某商场新购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价． (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共90件，且购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍．若甲商品按每件160元销售，乙商品按每件90元销售． ①为满足销售完甲、乙两种商品后获得的总利润不低于3300元，则购进甲商品的件数最多为多少件？ ②随着甲商品销量的逐渐增加，以及乙商品销量的逐渐减少，于是总部下达命令：商场要调整销售策略，要求甲商品每件销售利润随销售数量的变化而变化．当购进甲商品n件时，甲每件利润变为元，乙每件利润仍然为30元，求当甲商品购进多少件时，商场获得利润最大？ 5．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 1．（2023·辽宁·模拟测试）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁·模拟测试）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁·模拟测试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．  B．  C．       D．      4．（2024·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为 ． 5．（2023·辽宁·模拟测试）不等式的解集为 ． 6．（2025·辽宁鞍山·一模）在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； (1)请求出该校共有多少名学生参加活动？ (2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 7．（2025·辽宁铁岭·二模）年关将至，幸福小区物业决定采购A，B两种型号的灯笼．若购买3个A型灯笼和4个B型灯笼共需要116元；购买6个A型灯笼和5个B型灯笼共需要172元． (1)求A，B两种型号灯笼的单价； (2)若需要购买A，B两种型号的灯笼共200个，总费用不超过3000元，至少需要购买A型灯笼多少个？ 8．（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求A，B两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于30件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 专题03 不等式与不等式组 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：不等式的性质 题型 不等式的性质 1．（2023·辽宁·模拟测试）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 2．（2023·辽宁·模拟测试）若，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质依次进行判断即可得，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，则，选项说法错误，不符合题意； B、，则，选项说法错误，不符合题意； C、，则，选项说法错误，不符合题意； D、，则，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（2023·辽宁·模拟测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可． 【详解】解：A、由a＞b，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误； B、由a＞b，不等式两边同时乘以-2可得-2a＜-2b，故此选项正确； C、当a＞b＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a＞b时，有|a|＜|b|，故此选项错误； D、由a＞b，得a2＞b2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4．（2023·辽宁沈阳·二模）如果，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A. ，，故选项符合题意； B. ，，故选项不符合题意； C. ，，故选项不符合题意； D. ，，故选项不符合题意； 故选：． 考点二：解不等式（组） 题型01 解一元一次不等式（组） 1．（2025·辽宁铁岭·三模）已知在第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【详解】∵点在第三象限， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（2025·辽宁营口·二模）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：，解得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为： 3．（2025·辽宁大连·模拟预测）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值，解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的运算． （1）先分别计算算术平方根、立方根、绝对值，然后进行加减运算即可； （2）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式，得，， 解不等式，得，， ∴不等式组的解集为． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： (1)计算： (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，涉及零指数幂、负整数指数幂，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别化简绝对值，二次根式的乘法，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算； （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：； 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）（2），数轴见解析 【分析】本题考查了实数的运算、特殊三角函数值以及一元一次不等式组的求解．解题的关键是牢记相关运算法则、特殊值，并正确求解不等式组． （1）分别计算各项再进行加减运算求解； （2）分别求解不等式组中的两个不等式，再取交集得到解集并在数轴上表示． 【详解】解：（1） （2）解不等式组 解不等式： 解得：， 解不等式： 解得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集如图所示： 题型02 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集 2．（2023·辽宁·模拟测试）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可． 【详解】解：在数轴上表示不等式组的解集，如下： 故选：A 3．（2023·辽宁·模拟测试）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由不等式①得，， 由不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为， 故选：C． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识，正确解该不等式组是解题关键．分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，然后将其表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， ∴该不等式的解集为 ， 将其表示在数轴上如图所示： 故选：B． 题型03 含参数的不等式（组） 1．（2023·辽宁·模拟测试）若关于的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】6≤a＜9 【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：x＞-1， 解不等式②，得：x≤， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴2≤＜3， 解得：6≤a＜9， 故答案为：6≤a＜9． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能得出关于a的不等式组． 2．（2023·辽宁·模拟测试）若不等式组无解，则m的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：由得， 又∵，且不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．（2023·辽宁·模拟测试）已知关于x的不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集是得到，再利用求出，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②，， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法、完全完全平方公式的变形、平方根等相关知识，读懂题意正确计算是解题的关键． 4．（2023·辽宁·模拟测试）若不等式组的解集为-1＜x＜1，那么（a-3）（b+3）的值等于 ． 【答案】-2 【分析】先用字母a，b表示出不等式组的解集2b+3＜x＜，然后再根据已知解集是-1＜x＜1，对应得到相等关系2b+3=-1，=1，求出a，b的值再代入所求代数式中即可求解． 【详解】解不等式组 的解集为2b+3＜x＜， 因为不等式组的解集为-1＜x＜1，所以，=1， 解得a=1，b=-2，代入． 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解． 题型04 不等式（组）的整数解问题 1．（2024·辽宁丹东·二模）不等式组的所有整数解的乘积是 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解，分别求出两个不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解再相乘即可． 【详解】解： 解不等式①得， ， 解不等式②得， ， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为0，1 ∴所有整数解的乘积为0， 故答案为：0 2.（2023·辽宁沈阳·模拟预测）满足不等式组的整数解是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，求出不等式组的解集，即可求解；会解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得： ， 是整数， ； 故选：C． 3．（2023·辽宁·模拟测试）关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】﹣2＜a≤﹣1 【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式，解之可得答案． 【详解】解：解不等式x﹣a≥0，得：x≥a， 解不等式5﹣2x＞3，得：x＜1， ∵不等式组有2个整数解， ∴﹣2＜a≤﹣1， 故答案为：﹣2＜a≤﹣1． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 4．（2023·辽宁·模拟测试）不等式组的所有整数解是 ． 【答案】0，1 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”求得不等式组的解集，进而可求得整数解． 【详解】解： 由①得：x＞ 由②得：x≤1， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为0，1 故答案为：0，1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 考点三：不等式（组）的实际应用 题型 不等式（组）的实际应用 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）2025年3月12日是我国第47个植树节，某校计划采购一批树苗，参加植树节活动．经了解，购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需125元；购买2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需300元． (1)求甲、乙两种树苗的单价； (2)学校决定购买甲、乙两种树苗共50棵，且两种树苗的总费用不超过2000元，求最多可购买多少棵乙种树苗． 【答案】(1)甲种树苗的单价为25元，乙种树苗的单价为50元 (2)最多可购买30棵乙种树苗 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设甲种树苗的单价为元，乙种树苗的单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出的最大正整数值，由此即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗的单价为元，乙种树苗的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：甲种树苗的单价为25元，乙种树苗的单价为50元． （2）解：设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大正整数值为30， 答：最多可购买30棵乙种树苗． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为丰富同学们的课余生活，全面响应中小学生每天体育锻炼不低于2小时的要求，引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质．七年四班拟组织学生大课间参加跳绳活动，需购买甲，乙两种跳绳，已知购买甲、乙两种跳绳部分信息如下： 甲种跳绳数量（根） 乙种跳绳数量（根） 总钱数（元） (1)求甲，乙两种跳绳的单价； (2)如果班级计划购买甲，乙两型跳绳共48根，乙型跳绳个数不少于甲型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】(1)甲种跳绳的单价为元，乙种跳绳的单价为元 (2)购买跳绳所需最少费用是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确的列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲种跳绳的单价是元，乙种跳绳的单价是元，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买根甲种跳绳，所需总费用为元，则购买根乙种跳绳，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，由购买乙种跳绳根数不少于甲种跳绳根数的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲种跳绳的单价为元，乙种跳绳的单价为元． 由题意可得， 解得： 答：甲种跳绳的单价为25元，乙种跳绳的单价为30元． （2）解：设购买甲种跳绳根，则购买乙种跳绳根， 设购买跳绳所需费用为元． 根据题意得： 解得：． 则 随的增大而减小． 当时，为（元）． 答：购买跳绳所需最少费用是1360元． 3．（2025·辽宁沈阳·三模）二模考试后，九年一班张老师对在二模考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知购买甲种笔记本个与购买乙种笔记本个费用相同，而且购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在三模考试后再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，则至多需要购买多少个甲种笔记本？ 【答案】(1)购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元 (2)至多需要购买个甲种笔记本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一个甲种笔记本需要元，则购买一个乙种笔记本需要元，根据购买甲种笔记本个与购买乙种笔记本个费用相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即甲种笔记本的单价，再将其代入中，即可求出乙种笔记本的单价； （2）设需要购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本需要元，则购买一个乙种笔记本需要元， 根据题意得：， 解得：， （元）． 答：购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元； （2）解：设需要购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为． 答：至多需要购买个甲种笔记本． 4．（2025·辽宁铁岭·三模）某商场新购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元． (1)求甲、乙两种商品每件的进价． (2)该商场计划购进甲、乙两种商品共90件，且购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍．若甲商品按每件160元销售，乙商品按每件90元销售． ①为满足销售完甲、乙两种商品后获得的总利润不低于3300元，则购进甲商品的件数最多为多少件？ ②随着甲商品销量的逐渐增加，以及乙商品销量的逐渐减少，于是总部下达命令：商场要调整销售策略，要求甲商品每件销售利润随销售数量的变化而变化．当购进甲商品n件时，甲每件利润变为元，乙每件利润仍然为30元，求当甲商品购进多少件时，商场获得利润最大？ 【答案】(1)甲商品每件进价为100元，乙商品每件进价为60元 (2)①购进甲商品的件数最多为30件；②当甲商品购进90件时，商场获得利润最大，最大利润为4590元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是： （1）设甲商品的进价是x元/件，乙商品的进价是y元/件，根据“购进3件甲商品比购进4件乙商品费用多60元；购进5件甲商品和2件乙商品总费用为620元”列方程组求解即可； （2）①设购进m件甲商品，则购进件乙商品，根据“购进乙商品的件数不少于甲商品件数的2倍；总利润不低于3300元”列不等式组求解即可； ②设总利润为 W 元，根据总利润=甲的利润+乙的利润求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲商品的进价是x元/件，乙商品的进价是y元/件， 根据题意，得：， 解得， 答：甲商品每件进价为100元，乙商品每件进价为60元； （2）解：①设购进m件甲商品，则购进件乙商品． 根据题意，得：， 解得：， 所以m的最大值为30． 答：购进甲商品的件数最多为30件； ②设总利润为 W 元， 则． ∴． ∵，，，又， ∴开口向下，W有最大值． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 但因为总共购进90件， ∴n的取值范围是． ∵当时，W随n的增大而增大， ∴当时，W的值最大，即 ． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，最多能选用几包A种食品？ 【答案】(1)应选用A种食品5包，B种食品4包 (2)最多能选用2包A种食品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设选用A种食品包，B种食品包，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设选用包种食品，根据题意列出不等式，求出的范围，结合是整数，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设选用A种食品包，B种食品包， 由题意得，， 解得：， 答：应选用A种食品5包，B种食品4包． （2）解：设选用包A种食品， 由题意得，， 解得：， 是整数， 的最大值为2， 答：最多能选用2包A种食品． 6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 【答案】(1)甲旅行社一次最多能接纳的人数为30人； (2)每批组织人数的合理范围为． 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； （2）解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 1．（2023·辽宁·模拟测试）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及其解集在数轴上的表示， 首先解出不等式组中每个不等式的解集，然后找出两个不等式解集的公共部分，求出不等式组的解集，最后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， 故不等式组的解集为：， ∴不等式组在数轴上表示为：， 故选：A 2．（2023·辽宁·模拟测试）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 3．（2023·辽宁·模拟测试）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A．  B．  C．       D．      【答案】A 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集        故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键． 4．（2024·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀是解题的关键． 【详解】解：由不等式组可得，不等式组的解集为， 故答案为：． 5．（2023·辽宁·模拟测试）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】去分母，移项即可得． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握正确解不等式． 6．（2025·辽宁鞍山·一模）在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； (1)请求出该校共有多少名学生参加活动？ (2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 【答案】(1)该校共有270名学生参加活动 (2)租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）该校原计划租车x辆，根据两种租车方式的总人数相等列方程求解即可； （2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据题意列出不等式，化简为，根据，分别取，，，，求出相应租车费用进行比较即可． 【详解】（1）解：该校原计划租车x辆， 根据题意得：， 解得， （人）， 答：该校共有270名学生参加活动． （2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 所以， 化简得， 由（1）可知， 必须租2种车， ， 当时，，n最少为1，总租金为 ； 当时，，n最少为2，总租金为； 当时，，n最少为4，总租金为； 当时，，n最少为5，总租金为； 综上所述，租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算． 7．（2025·辽宁铁岭·二模）年关将至，幸福小区物业决定采购A，B两种型号的灯笼．若购买3个A型灯笼和4个B型灯笼共需要116元；购买6个A型灯笼和5个B型灯笼共需要172元． (1)求A，B两种型号灯笼的单价； (2)若需要购买A，B两种型号的灯笼共200个，总费用不超过3000元，至少需要购买A型灯笼多少个？ 【答案】(1)A，B两种型号灯笼的单价分别为12元和20元 (2)125个 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A，B两种型号灯笼的单价分别为元和元，由“购买3个A型灯笼和4个B型灯笼共需要116元；购买6个A型灯笼和5个B型灯笼共需要172元”； （2）设需要购买A型灯笼个，则需要购买B型灯笼个，由总费用不超过3000元建立不等式求解． 【详解】（1）解：设A，B两种型号灯笼的单价分别为元和元 根据题意列方程组得 解得， 答：A，B两种型号灯笼的单价分别为12元和20元； （2）解：设需要购买A型灯笼个，则需要购买B型灯笼个 根据题意得 解得 答：至少需要购买A型灯笼125个． 8．（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【答案】(1)原来每天修路； (2)以后几天内平均每天至少要修路． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式． （1）设原来每天修路，根据工程队用天完成任务，列一元一次方程，解一元一次方程即可求出原来每天修多少千米； （2）设以后几天内平均每天要修路，根据至少比计划提前天完成任务，列关于的不等式，解不等式即可求出以后几天内平均每天至少要修路． 【详解】（1）解：设原来每天修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：原来每天修路； （2）解：设以后几天内平均每天要修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：以后几天内平均每天至少要修路． 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求A，B两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于30件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要900元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．正确理解题意是解题的关键． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据列方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则，设购买这40件劳动用品需要W元，则可求得，最后根据一次函数的增减性，即可求得答案． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元； （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， 则， ， 随着a的增大而减小， 当时，W取最小值（元）， 答：该校购买这40件劳动用品至少需要900元． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 【答案】(1)每件产品的生产成本价为30元 (2)当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列出方程，不等式是解题的关键． （1）设每件产品的生产成本价为x元，根据该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同列一元一次方程求解即可； （2）设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水，根据题意，运用不等式比较方案1与方案2的费用，由此即可求解． 【详解】（1）解：设每件产品的生产成本价为x元， 依题意，得：， 解得：． 答：每件产品的生产成本价为30元． （2）解：设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水， 当选择方案1费用低时，， 解得：； 当选择两种方案费用相同时，， 解得：； 当选择方案2费用低时，， 解得：． ∴当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $