第07讲 分式方程及其应用（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式方程及其应用”，覆盖解法、含参数问题（增根/解的范围）、应用（工程/行程/经济）等中考核心考点，按“概念-解法-应用”逻辑构建知识网络，通过考情剖析、考点解析、真题训练等环节突破难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于对接辽宁中考命题规律，如强调验根步骤、应用贴近本地生活，创新“参数问题四步法”培养数学思维，设分层练习（基础/能力/新趋势）与真题变式训练，助力学生高效提升，教师可精准把控复习节奏。

第二章 方程与不等式 第07讲 分式方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 分式方程的解法 题型 解分式方程 命题点二 与分式方程的解有关问题 题型01 分式方程的解为正数﹑负数 题型02 分式方程无解/增根问题 命题三 分式方程的应用 题型01 分式方程的工程问题 题型02 分式方程的行程问题 题型03 分式方程的经济问题 题型04 分式方程的其他问题 05·重难突破·思维进阶难 11 突破一 解分式方程 突破二 含参数的分式方程 突破三 分式方程的应用 06·优题精选·练能提分 15 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式方程的解法 辽宁卷 T11/T16 辽宁卷 T11 辽宁卷 T11 能熟练解可化为一元一次方程的分式方程；能解决含参数的分式方程问题 分式方程的应用 / / 辽宁卷 T16 能根据实际问题设未知数（直接设或间接设），列出分式方程。 命题预测 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题；沈阳 / 大连等市卷单独考（6-8 分），背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 考点一 解分式方程 1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 解分式方程：基本思路：将分式方程化为整式方程，再求解 解题步骤： a.去分母法 1)找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式; 2)去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程;3)解整式方程; 4)验根，把整式方程的根代入最简公分母 b.换元法 1)设辅助未知数: 2)得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值: 3)把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值; 4)检验作答. 2.增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 1．（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ． 2．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 考点二 与分式方程的解有关的问题 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，解法： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的步骤： ①先将分式方程转化为整式方程; ②由题意求出增根; ③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数 1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 2．（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 3．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 考点三 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ （1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. （2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 常见的分式方程应用类型： 1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁锦州·中考真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 命题点一 解分式方程 ►题型01 解分式方程 / 解题步骤： 1)找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式; 2)去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程; 3)解整式方程; 4)验根，把整式方程的根代入最简公分母 易错提醒： ①漏写验根步骤(辽宁中考扣分重点) ②去分母时漏乘常数项、符号处理错误 【典例1】（2025·辽宁本溪·模拟预测）计算： (1)计算：； (2)解方程：． 【变式1】（2025·辽宁沈阳·二模）方程的解为 ． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）方程的解是 ． 命题点二 与分式方程的解有关的问题 ►题型01 分式方程的解为正数/负数 / ①化整式：去分母转化为整式方程，用参数表示x； ②列不等式：根据“解为正数/非负数”列不等式； ③排增根：令x使公分母为0的值，列不等式； ④求交集：联立不等式，确定参数范围。 【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）若分式方程的解为正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 ►题型02 分式方程的解为无解的有关问题 / ① 找增根：令最简公分母 = 0，求出x的值； ② 化整式：将分式方程化为整式方程； ③ 代值求参：把增根代入整式方程，解出参数。 【典例3】（2024·辽宁·模拟预测）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．2或4 C．4 D．0或2 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 命题点三 分式方程的实际应用 ►题型01 分式方程应用-工程问题 【典例4】（2025·辽宁盘锦·二模）甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． (1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ (2)甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某市为了在雨季来临前将城市建设成“海绵城市”，加快了雨、污分离管网建设进程，提速后甲工程队每天比原来多铺设管网200米，提速后铺设2000米的管网与提速前铺设1600米的管网所用的时间相同，求提速前甲工程队每天铺设管网多少米？设提速前甲工程队每天铺设管网米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)日前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． ►题型02 分式方程应用-行程问题 【典例5】（2025·辽宁本溪·一模）从沈阳站到大连北站铁路里程约为520千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)沈阳市某校共有30名师生前往大连参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为180元，学校预计提供交通补助费单程不超过6000元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 【变式1】（2025·辽宁葫芦岛·二模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少（中间站停车时间忽略不计）．请根据以上信息，求出列车A车的平均速度． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）列方程解应用题 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． ►题型03 分式方程应用-经济问题 【典例7】（2023·辽宁阜新·中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)求：足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【变式1】（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《昆虫记》和《经典常谈》两种书籍，分别花费了1400元和700元，已知《昆虫记》的订购单价是《经典常谈》订购单价的倍，并且订购的《昆虫记》的数量比《经典常谈》的数量多30本． (1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． (2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《昆虫记》最多购买多少本． ►题型04 分式方程应用-其他问题 【典例8】（2025·辽宁铁岭·二模）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等． (1)A，B两种机器每天各处理多少吨垃圾？ (2)该垃圾处理厂现有680吨垃圾要在不超过一天时间处理完，如果购进的A型机器比B型机器多2台，那么至少购进A型机器多少台才能按时处理完这些垃圾？ 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【变式2】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 突破一 解分式方程 【典例1】（2024·辽宁·模拟预测）解方程： (1) (2) 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）分式方程 的解为 ． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）分式方程的解为 ． 突破二 含参数的分式方程 【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）若方程有增根，则a的值为 ． 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为 ． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 突破三 分式方程的实际应用 【典例3】（2025·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【变式1】（2025·辽宁朝阳·一模）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为元，所有工人的工资总金额不超过万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为了培养学生养成整理收纳的好习惯．某班准备为学生购进若干幅面侧开扣收纳夹和幅面大容量试卷袋．已知每个试卷袋的价格是每个收纳夹的3倍，用300元购买收纳夹的数量比购买试卷袋的数量多40个． (1)求每个收纳夹和每个试卷袋的价格； (2)全班共有40人，保证人手一个收纳夹或一个试卷袋，且总费用不超过325元，那么该班最多可以购进多少个试卷袋？ 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）分式方程的解为 ． 6．（2024·辽宁·模拟预测）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 7．（2025·辽宁鞍山·三模）端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元? 8．（2025·辽宁丹东·一模）某树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，A种树苗共花费10000元，B种树苗共花费7500元，其中每棵B种树苗的进价是每棵A种树苗进价的1.5倍． (1)求每棵A种树苗的进价是多少元； (2)已知A种树苗需要另支付运输费1000元，若该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，求A种树苗的最低销售单价． 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）“天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入两款物理实验套装，其中款套装的单价比款套装单价的倍少元，用元买款套装的数量是用元买款套装数量的一半． (1)求套装的单价分别是多少元？ (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买款套装和款套装共个，两种套装的总费用不超过元，学校最多可以购进多少个款套装？ 2．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 4．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 5．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 7．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 8．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 9．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 10．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第07讲 分式方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 分式方程的解法 题型 解分式方程 命题点二 与分式方程的解有关问题 题型01 分式方程的解为正数﹑负数 题型02 分式方程无解/增根问题 命题三 分式方程的应用 题型01 分式方程的工程问题 题型02 分式方程的行程问题 题型03 分式方程的经济问题 题型04 分式方程的其他问题 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 解分式方程 突破二 含参数的分式方程 突破三 分式方程的应用 06·优题精选·练能提分 26 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式方程的解法 辽宁卷 T11/T16 辽宁卷 T11 辽宁卷 T11 能熟练解可化为一元一次方程的分式方程；能解决含参数的分式方程问题 分式方程的应用 / / 辽宁卷 T16 能根据实际问题设未知数（直接设或间接设），列出分式方程。 命题预测 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题；沈阳 / 大连等市卷单独考（6-8 分），背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 考点一 解分式方程 1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 解分式方程：基本思路：将分式方程化为整式方程，再求解 解题步骤： a.去分母法 1)找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式; 2)去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程;3)解整式方程; 4)验根，把整式方程的根代入最简公分母 b.换元法 1)设辅助未知数: 2)得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值: 3)把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值; 4)检验作答. 2.增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 1．（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解一元一次方程，最后再检验． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 2．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可． 【详解】解：分式方程的两侧同乘得：． 故选：B． 考点二 与分式方程的解有关的问题 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，解法： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的步骤： ①先将分式方程转化为整式方程; ②由题意求出增根; ③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数 1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，利用分式方程的解的意义，将方程的解代入原方程是解题的关键． 将方程的解代入原方程，解关于的方程即可求得结论． 【详解】解：∵关于的分式方程的解为， ， ， ， 将代入原方程，， ∴是原方程的解， ， 故答案为：2． 2．（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 整理得：， 当时，方程无解， ∵分式方程的增根是：， ∴把代入，得 ， 解得：， 所以的范围是，且． 故答案为：，且． 3．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：， 解得：． 故答案为：1． 考点三 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ （1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. （2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 常见的分式方程应用类型： 1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输kg货物，由题意，得： ； 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 2．（2023·辽宁锦州·中考真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元 【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可． 【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （元）． 所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键． 命题点一 解分式方程 ►题型01 解分式方程 / 解题步骤： 1)找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式; 2)去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程; 3)解整式方程; 4)验根，把整式方程的根代入最简公分母 易错提醒： ①漏写验根步骤(辽宁中考扣分重点) ②去分母时漏乘常数项、符号处理错误 【典例1】（2025·辽宁本溪·模拟预测）计算： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）方程两边同时乘以，解方程并检验． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：解方程：． 解：方程两边同时乘以 ， 检验：当时， 是原方程的根． 【变式1】（2025·辽宁沈阳·二模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握：先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后再进行检验．据此解答即可． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的根， ∴原方程的解为． 故答案为：． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，化为整式方程，再解方程，并检验即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：． 故答案为：． 命题点二 与分式方程的解有关的问题 ►题型01 分式方程的解为正数/负数 / ①化整式：去分母转化为整式方程，用参数表示x； ②列不等式：根据“解为正数/非负数”列不等式； ③排增根：令x使公分母为0的值，列不等式； ④求交集：联立不等式，确定参数范围。 【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识即可求解； 本题需要将分式方程解得，根据解是非负数且不能使原分式方程的分母为0，进行作答，即可求解； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， ∵ 关于x的分式方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∵解 不能使分母为零， ∴，即， 解得：， 综上所述：且， 故选：C． 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）若分式方程的解为正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的解，在解分式方程时应方程两边同乘以方程的最简公分母，化为整式方程，得到解要检验．首先解分式方程，得到解关于k的表达式，再结合解为正数及分母不为零的条件，确定k的取值范围． 【详解】同乘以最简公分母得： 整理得： 由题意，解需满足，即：，故， 原方程分母，即，代入解得：即， 另一分母，即，代入解得：即， 综上，且， 故选：D． ►题型02 分式方程的解为无解的有关问题 / ① 找增根：令最简公分母 = 0，求出x的值； ② 化整式：将分式方程化为整式方程； ③ 代值求参：把增根代入整式方程，解出参数。 【典例3】（2024·辽宁·模拟预测）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．2或4 C．4 D．0或2 【答案】D 【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，分别进行计算即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， ∵原方程无解， ∴当时，； 当时，此时，， 当时，无解； 当时，，解得； 综上，m的值为0或2； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】（2025·辽宁·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母，得， 整理可得 ， 由于分式方程的增根是， 将代入，得， 解得：． 故答案为：． 命题点三 分式方程的实际应用 ►题型01 分式方程应用-工程问题 【典例4】（2025·辽宁盘锦·二模）甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． (1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ (2)甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 【答案】(1)甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米 (2)甲队至少筑路天 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系列方程解题即可． （1）设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，根据“甲筑路队筑路1800米所用时间与乙筑路队筑路1500米所用时间相等”列分式方程求解； （2）设甲甲筑路a天，由乙队筑路不超过天，列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，由题意可得： 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米； （2）解：设甲筑路a天， 由题意可得：， 解得：， 答：甲队至少筑路天． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某市为了在雨季来临前将城市建设成“海绵城市”，加快了雨、污分离管网建设进程，提速后甲工程队每天比原来多铺设管网200米，提速后铺设2000米的管网与提速前铺设1600米的管网所用的时间相同，求提速前甲工程队每天铺设管网多少米？设提速前甲工程队每天铺设管网米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题干中的数量关系列出方程是解题的关键．　设提速前甲工程队每天铺设管网米，根据提速后的管网与提速前所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：设提速前甲工程队每天铺设管网米， 根据题意得，， 故选：B． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)日前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 【答案】(1)新设备每天生产125件产品 (2)至少需要12天完成任务 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键。 （1）设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品．根据旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天建立方程求解即可； （2）设该企业需要y天完成任务，根据新旧设备生产总量要不少于8000件建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品． 根据题意，得． 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴． 答：新设备每天生产125件产品． （2）解：设该企业需要y天完成任务． 根据题意，得． 解得． ∵y是正整数， ∴y的最小值为12． 答：至少需要12天完成任务． ►题型02 分式方程应用-行程问题 【典例5】（2025·辽宁本溪·一模）从沈阳站到大连北站铁路里程约为520千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)沈阳市某校共有30名师生前往大连参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为180元，学校预计提供交通补助费单程不超过6000元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 【答案】(1)高铁的平均速度为156千米/小时 (2)学校为师生最少购买24张高铁二等座的车票 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设高铁的平均速度为千米/小时，则快车平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可； （2）设学校为师生购买张高铁二等座的车票，则购买张高铁一等座的车票，根据“交通补助费单程不超过6000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设高铁的平均速度为千米/小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原分式方程的根， 答：高铁的平均速度为156千米/小时． （2）解：设学校为师生购买张高铁二等座的车票， 根据题意，得， ， 答：学校为师生最少购买24张高铁二等座的车票． 【变式1】（2025·辽宁葫芦岛·二模）葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少（中间站停车时间忽略不计）．请根据以上信息，求出列车A车的平均速度． 【答案】A车的平均数速度为 【分析】本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的相等关系是解题的关键． 设B车的平均速度为，则A车的平均数速度为，然后依据A车行驶时间比B车少列方程求解即可． 【详解】解：设B车的平均速度为，则A车的平均数速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A车的平均数速度为． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）列方程解应用题 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【答案】骑车学生的速度为 【分析】设骑车学生的速度为，根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，以及他们同时到达，列出方程进行计算即可． 【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，由题意，得： ， 解的：， 经检验，是原方程的解． 答：骑车学生的速度为． 【点睛】本题考查分式方程的应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出分式方程 ►题型03 分式方程应用-经济问题 【典例7】（2023·辽宁阜新·中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)求：足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)足球的单价是80元，排球的单价是65元； (2)学校最多可以购买70个足球． 【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式1】（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案． 【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. （2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大， 根据题意得出：， 整理得：， 根据二次函数的性质得出：当时，利润最大， 最大利润为：， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《昆虫记》和《经典常谈》两种书籍，分别花费了1400元和700元，已知《昆虫记》的订购单价是《经典常谈》订购单价的倍，并且订购的《昆虫记》的数量比《经典常谈》的数量多30本． (1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． (2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《昆虫记》最多购买多少本． 【答案】(1)该校八年级订购的《经典常谈》的单价是10元，《昆虫记》的单价是14元 (2)《昆虫记》最多购买50本 【分析】（1）设该校八年级订购的《经典常谈》的单价是x元，则《昆虫记》的单价是元，根据订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多30本．列出分式方程，解方程即可； （2）设《朝花夕拾》购买本，则《经典常谈》购买本，根据两种书总花费不超过1200元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设该校八年级订购《经典常谈》的单价是元，则《昆虫记》的单价是元， 由题意得：， 解得：， 检验，将代入，所以是原方程的解，且符合题意． ∴， 答：该校八年级订购的《经典常谈》的单价是10元，《昆虫记》的单价是14元； （2）设《昆虫记》购买本，则《经典常谈》购买本， 由题意得：， 解得：， 答：《昆虫记》最多购买50本． ►题型04 分式方程应用-其他问题 【典例8】（2025·辽宁铁岭·二模）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A，B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等． (1)A，B两种机器每天各处理多少吨垃圾？ (2)该垃圾处理厂现有680吨垃圾要在不超过一天时间处理完，如果购进的A型机器比B型机器多2台，那么至少购进A型机器多少台才能按时处理完这些垃圾？ 【答案】(1)A型机器每天处理100吨垃圾，B型机器每天处理60吨垃圾 (2)至少购进A型机器5台才能按时处理完这些垃圾 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设B型机器每天处理吨垃圾，则A型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出分式方程，解出的值即可解答； （2）设购进台A型机器，则购进台B型机器，根据题意列出不等式，求出的范围，即可解答． 【详解】（1）解：设B型机器每天处理吨垃圾，则A型机器每天处理吨垃圾． 根据题意，得， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 则， 答：A型机器每天处理100吨垃圾，B型机器每天处理60吨垃圾． （2）解：设购进台A型机器，则购进台B型机器， 根据题意，得， 解得：， 答：至少购进A型机器5台才能按时处理完这些垃圾． 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； (2)需要更新设备费用为万元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； ． 【变式2】（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是 【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∵与的比是， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴上、下、左、右边衬的宽度分别是． 突破一 解分式方程 【典例1】（2024·辽宁·模拟预测）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）分式方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．去分母，化分式方程为整式方程，求整式方程的解，验根，写出分式方程的解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根， ∴原方程的解为：， 故答案为： 突破二 含参数的分式方程 【典例2】（2024·辽宁·模拟预测）若方程有增根，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根是解题的关键． 先将分式方程去分母，转化为整式方程；再根据分式方程有增根，得到，代入整式方程即可得到a的值． 【详解】解：原式去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解： 去分母，得：， 移项，合并得：， 化系数为1得： ∵原方程无解， ∴，解得：， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且，     解得，且． 故答案为：且． 【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：C． 突破三 分式方程的实际应用 【典例3】（2025·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘6米 (2)至少每天应多挖掘2米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验． （1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过80天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设计划每天挖掘米，根据题意，得 ，， 解得． 经检验是原方程的根． 实际每天挖掘为米． 答：实际每天挖掘6米． （2）解：设每天应多挖掘米，根据题意得， 解得． 答：至少每天应多挖掘2米． 【变式1】（2025·辽宁朝阳·一模）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为元，所有工人的工资总金额不超过万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划每天铺设管道米，实际每天铺设管道米 (2)名 【分析】（）设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米，根据题意列出方程解答即可； （）设该公司原计划应安排名工人施工，根据题意列出不等式解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量公式是解题的关键． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，而符合题意， ∴， 答：原计划每天铺设管道米，实际每天铺设管道米； （2）解：设该公司原计划应安排名工人施工， 由题意得，， 解得， 答：该公司原计划最多应安排名工人施工． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为了培养学生养成整理收纳的好习惯．某班准备为学生购进若干幅面侧开扣收纳夹和幅面大容量试卷袋．已知每个试卷袋的价格是每个收纳夹的3倍，用300元购买收纳夹的数量比购买试卷袋的数量多40个． (1)求每个收纳夹和每个试卷袋的价格； (2)全班共有40人，保证人手一个收纳夹或一个试卷袋，且总费用不超过325元，那么该班最多可以购进多少个试卷袋？ 【答案】(1)每个收纳夹5元，每个试卷袋15元 (2)该班最多可以购进12个试卷袋 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设每个收纳夹元，则每个试卷袋元，再列出分式方程，解得，最后验根，即可作答． （2）理解题意，设该班购进a个试卷袋，则购进个收纳夹，再列出不等式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：设每个收纳夹元，则每个试卷袋元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个收纳夹5元，每个试卷袋15元． （2）解：设该班购进a个试卷袋，则购进个收纳夹， 根据题意，得， 解得， 是正整数， 的最大值为12， 答：该班最多可以购进12个试卷袋． 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以即可求解． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ． 故选D． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：C 3．（2024·辽宁·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天， 由题意得：． 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的方程的解是正数， 且， 解得：且． 故选：A． 5．（2024·辽宁·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 【详解】解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根， 故答案为：． 6．（2024·辽宁·模拟预测）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 7．（2025·辽宁鞍山·三模）端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元? 【答案】种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元 【分析】本题考查分式方程的应用，熟练掌握根据题意列出等式是解题的关键，设种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元，根据“用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒”列出式子，计算即可． 【详解】解：设种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元， 根据题意得， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元． 8．（2025·辽宁丹东·一模）某树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，A种树苗共花费10000元，B种树苗共花费7500元，其中每棵B种树苗的进价是每棵A种树苗进价的1.5倍． (1)求每棵A种树苗的进价是多少元； (2)已知A种树苗需要另支付运输费1000元，若该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，求A种树苗的最低销售单价． 【答案】(1)每棵A种树苗进价为10元 (2)A种树苗最低销售单价为13元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每棵A种树苗的进价是x元，则每棵B种树苗的进价是元，利用数量总价单价，结合该树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设A种树苗的销售单价为y元，利用利润销售单价销售数量进货总价运费，结合该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每棵A种树苗进价x元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：每棵A种树苗进价为10元． （2）解：设每棵A种树苗销售单价为y元， A种树苗买了棵， ， 解得：， 答：A种树苗最低销售单价为13元． 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）“天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入两款物理实验套装，其中款套装的单价比款套装单价的倍少元，用元买款套装的数量是用元买款套装数量的一半． (1)求套装的单价分别是多少元？ (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买款套装和款套装共个，两种套装的总费用不超过元，学校最多可以购进多少个款套装？ 【答案】(1)款套装的单价为元，款套装的单价为元； (2)个 【分析】（）设款套装的单价为元，则款套装的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购买款套装个，则款套装为个，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设款套装的单价为元，则款套装的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款套装的单价为元，款套装的单价为元； （2）解：设购买款套装个，则款套装为个， 由题意得，， 解得， 答：学校最多可以购进个款套装． 2．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 1．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 4．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 7．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 8．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 9．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 10．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $