第08讲 不等式（组）及其应用（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“不等式（组）及其应用”专题，覆盖不等式性质、解法、含参数问题及实际应用等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析到分层训练的系统架构，设计考点梳理、方法指导与真题训练环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于精准对接中考命题趋势，如弱化单独基础题融入综合应用，含参数题型作为拉分点专项突破，通过“解不等式五步”“口诀法找公共解集”等方法培养学生数学思维，设置基础到全国新趋势分层练习，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

第二章 方程与不等式 第08讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 不等式的性质 题型 不等式的性质 命题点二 解一元一次不等式（组） 题型01 一元一次不等式（组）的解 题型02 一元一次不等式（组）的整数解 题型03 在数轴上表示不等式（组）的解集 题型04含参数的不等式（组） 命题三 一元一次不等式（组）的应用 题型 不等式（组）的实际问题 05·重难突破·思维进阶难 10 突破一 不等式（组）的解法 突破二 不等式（ 组）的实际应用 06·优题精选·练能提分 12 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 解一元一次不等式（组） / / 阜新卷 T5 丹东卷 T5 1.会解一元一次不等式，能在数轴上规范表示解集（空心圈表示不含端点，实心点表示含端点）。 2.会解一元一次不等式组，能借助数轴或口诀确定公共解集。 不等式的实际 应用 辽宁卷 T17 辽宁卷 T17 营口卷 T19 大连卷T23 能根据实际问题中的 “至少”“不超过” 等关键词，列不等式（组）并求解 命题预测 延续 2024-2025 年风格，弱化单独基础题，将不等式融入方程与实际应用综合题（如方案设计、利润最值），分值 6-8 分；含参数题型作为拉分点，大概率在填空题中考查。 考点一 不等式的性质 不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1．（2025·辽宁大连·一模）若，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·一模）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 考点二 一元一次不等式（组）的解 一元一次不等式解法(5 步) 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 2.去括号 括号前是负号，括号内各项要变号 3.移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 4.合并同类项 化为 ax >b(或 ax <b等)的形式 5.系数化为1 两边同除以 a：① a>0 → 不等号方向不变 ② a<0 → 不等号方向改变 一元一次不等式组解法（3 步） 1.分别解：解出不等式组中每个不等式的解集； 2.找公共： （1）数轴法：画出每个不等式的解集，找重叠部分； （2）口诀法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了； 3.写解集：用不等式表示公共部分。 1．（2024·辽宁·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁锦州·三模）计算与解不等式组 (1)计算： (2)解不等式组并写出它的正整数解． 考点三 不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： （1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中。 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2025·辽宁·模拟预测）盘锦，自古就有“鱼米之乡”的美誉，又被称为“辽河金三角”．其出产的“盘锦大米”更是享誉国内外，大米外观如珠似玉、粒形完整，米饭清香浓郁、筋道滑腻、口感极佳，堪称米之珍品．某超市决定购进甲、乙两种盘锦大米，已知购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需280元；购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需260元． (1)求甲、乙两种盘锦大米的单价； (2)若该超市准备购进甲、乙两种盘锦大米共，并且费用不超过9000元，则超市最多购进甲种盘锦大米多少千克？ 2．（2025·辽宁朝阳·三模）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．已知销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元． (1)求A，B两种产品的销售单价． (2)若该工厂销售A，B两种产品共300件，总收入不超过4000元，最少要销售A产品多少件？ 命题点一 不等式的性质 ►题型 不等式的性质 / 牢记性质 3，遇到乘除负数，不等号必须变方向； 注意“同向不等式可加不可减，可乘正数不可乘负数”。 【典例1】（2025·辽宁·一模）若，则下列各式中正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式1】（2024·辽宁大连·一模）已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁·一模）已知 ，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． D． 命题点二 一元一次不等式（组）的解 ►题型01 求一元一次不等式 （组）的解 / 1.解不等式步骤与解方程一致，系数化为 1 时关注系数正负； 2.数轴表示解集：空心圈（不含端点，>、<），实心点（含端点，≥、≤） 3.不等式组解集取各不等式解集的公共部分。 【典例2】（2025·辽宁大连·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·辽宁大连·一模）不等式的解集为 ． 【变式2】（2024·辽宁·一模）计算： （1）； （2）． ►题型02 一元一次不等式（组）的整数解 / 【典例3】（2025·辽宁沈阳·一模）不等式的最大整数解是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2024·辽宁·一模）不等式的最大整数解是（    ） A．0 B．1 C．3 D．2 【变式2】（2024·辽宁·一模）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． ►题型03 在数轴上表示不等式（组）的解集 / 【典例4】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）关于不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·辽宁锦州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B． C．   D． 【变式2】（2024·辽宁·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． ►题型4 含参数的不等式（组） / 类型1 已知不等式解集求参数 （1）解含参数的不等式，用参数表示解集； （2）对比已知解集，列等式求参数 类型2 已知不等式组整数解个数求参数范围 1. （1）解不等式组，用参数表示解集； 2. （2）确定已知整数解，结合数轴分析端点值的取舍（含等号 / 不含等号是关键） 【典例5】（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式1】（2024·辽宁·一模）若不等式组无解，则m的取值范围为 ． 【变式2】（2024·辽宁·一模）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ． 命题点三 不等式（组）的实际应用 ►题型 不等式的实际应用 / 1.设未知数，根据 “至少”“不超过”“最多” 等关键词列不等式（组）； 2.解不等式（组），结合实际意义取整数解（如人数、物品数量为正整数）； 3.方案设计题需列出所有符合条件的整数解。 【典例6】（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【变式1】（2024·辽宁·一模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【变式2】（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 突破一 不等式（组）的解法 【典例1】（2025·辽宁沈阳·二模）（1）计算：； （2）解不等式组： 【变式1】（2024·辽宁阜新·三模）（1）计算：． （2）解一元一次不等式组． 【变式2】（2024·辽宁·一模）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 突破二 不等式（组）的实际应用 【典例2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）电影《哪吒2》一经上映，迅速燃爆影院．与之相关的哪吒系列摆件深受欢迎，某经销商计划同时购进哪吒系列A、B两种摆件玩具．据了解，8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元． (1)求购进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需多少元？ (2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进A、B两种摆件共200个，要求购买的总费用不超过1240元，求最多可以购买B摆件多少个？ 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某中学计划为每个班级购置储物柜，现有甲、乙两种规格的储物柜供选择，调查发现，若购买甲种储物柜2个、乙种储物柜1个，共需资金600元；若购买甲种储物柜4个，乙种储物柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种储物柜的单价分别是多少元？ (2)若该校计划投资9000元购进这两种储物柜共40个，求学校最少要购进多少个甲种储物柜． 【变式2】（2024·辽宁·一模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 1．（2024·辽宁·模拟预测）在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进丹东九九草莓，运输过程中质量损失，超市计划销售这批草莓至少获得的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为x元/kg，根据题意，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁沈阳·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买 个． 6．（2022·辽宁丹东·一模）不等式组的所有整数解是 7．（2025·辽宁·一模）解不等式组： 8．（2025·辽宁·模拟预测）某商场计划购进甲，乙两种商品，已知购进甲种商品2个和乙种商品3个共需270元；购进甲种商品3个和乙种商品2个共需230元． (1)甲，乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲种商品以40元/个的价格出售，乙种商品以90元/个的价格出售，为满足市场需求，需购进甲，乙两种商品共100个，当购进的甲，乙两种商品全部售出后，该商场要想获得利润不低于1200元，则最多购进甲种商品多少个？ 1．（2025·辽宁抚顺·二模）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，该超市准备用不多于5400元的金额再次采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台． 2．（2025·辽宁营口·一模）智能快递机器人是一种能够自主完成快递分拣任务的智能设备．它可以自主感知、识别、分拣快递包裹，大大提高了物流企业的分拣速度和效率．某物流公司为提高工作效率，拟购买甲、乙两种型号智能快递机器人共10台进行快递分拣工作，1台甲型智能快递机器人和3台乙型智能快递机器人每天一共可分拣快递36万件；3台甲型智能快递机器人比2台乙型智能快递机器人每天可多分拣快递20万件． 求： (1)甲、乙两种型号智能快递机器人每台每天分别可分拣快递多少万件？ (2)该物流公司每天快递量不超过100万件，则该公司最多可以购买甲型智能快递分拣机器人多少台？ 3．（2025·辽宁·模拟预测）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） (1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ (2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 3．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 5．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 7．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 8．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 9．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 10．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 11．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第08讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 不等式的性质 题型 不等式的性质 命题点二 解一元一次不等式（组） 题型01 一元一次不等式（组）的解 题型02 一元一次不等式（组）的整数解 题型03 在数轴上表示不等式（组）的解集 题型04含参数的不等式（组） 命题三 一元一次不等式（组）的应用 题型 不等式解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 17 突破一 不等式（组）的解法 突破二 不等式的实际应用 06·优题精选·练能提分 20 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 解一元一次不等式（组） / / 阜新卷 T5 丹东卷 T5 1.会解一元一次不等式，能在数轴上规范表示解集（空心圈表示不含端点，实心点表示含端点）。 2.会解一元一次不等式组，能借助数轴或口诀确定公共解集。 不等式的实际 应用 辽宁卷 T17 辽宁卷 T17 营口卷 T19 大连卷T23 能根据实际问题中的 “至少”“不超过” 等关键词，列不等式（组）并求解 命题预测 延续 2024-2025 年风格，弱化单独基础题，将不等式融入方程与实际应用综合题（如方案设计、利润最值），分值 6-8 分；含参数题型作为拉分点，大概率在填空题中考查。 考点一 不等式的性质 不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1．（2025·辽宁大连·一模）若，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是确定使用了不等式的哪个性质，不等号的方向是否发生变化． 根据不等式的基本性质逐项判断可得答案． 【详解】解：A，∵，则，故此选项成立； B，∵，则，故此选项成立； C，∵，则，∴，故此选项成立； D，∵，∴，故此选项不成立． 故选：D． 2．（2024·辽宁·一模）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐项判定． 【详解】解：A、若，则，故不合题意； B、若，则，故符合题意； C、若，则，故不合题意； D、若，则，故不合题意， 故选：B． 考点二 一元一次不等式（组）的解 一元一次不等式解法(5 步) 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 2.去括号 括号前是负号，括号内各项要变号 3.移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 4.合并同类项 化为 ax >b(或 ax <b等)的形式 5.系数化为1 两边同除以 a：① a>0 → 不等号方向不变 ② a<0 → 不等号方向改变 一元一次不等式组解法（3 步） 1.分别解：解出不等式组中每个不等式的解集； 2.找公共： （1）数轴法：画出每个不等式的解集，找重叠部分； （2）口诀法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了； 3.写解集：用不等式表示公共部分。 1．（2024·辽宁·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示解集如图： 故选D． 2．（2025·辽宁锦州·三模）计算与解不等式组 (1)计算： (2)解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】(1) (2)，正整数解为1，2，3，4 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数幂、特殊角的三角函数和负整数指数幂等知识，也考查了一元一次不等式组的解法； （1）先计算绝对值、0指数幂、代入特殊角的三角函数、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分 即可得到不等式组的解集，进而可得正整数解. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：解得． 解得． 故原不等式组的解集为． 故正整数解为1，2，3，4． 考点三 不等式的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： （1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中。 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2025·辽宁·模拟预测）盘锦，自古就有“鱼米之乡”的美誉，又被称为“辽河金三角”．其出产的“盘锦大米”更是享誉国内外，大米外观如珠似玉、粒形完整，米饭清香浓郁、筋道滑腻、口感极佳，堪称米之珍品．某超市决定购进甲、乙两种盘锦大米，已知购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需280元；购进甲种盘锦大米和乙种盘锦大米共需260元． (1)求甲、乙两种盘锦大米的单价； (2)若该超市准备购进甲、乙两种盘锦大米共，并且费用不超过9000元，则超市最多购进甲种盘锦大米多少千克？ 【答案】(1)甲、乙两种盘锦大米的单价分别为10元每千克，8元每千克 (2)500千克 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种盘锦大米的单价分别为x元每千克，y元每千克， 则， 解得， 即甲、乙两种盘锦大米的单价分别为10元每千克，8元每千克． （2）解：设购进甲种盘锦大米m千克， 则， 解得， 即超市最多购进甲种盘锦大米500千克． 2．（2025·辽宁朝阳·三模）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．已知销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元． (1)求A，B两种产品的销售单价． (2)若该工厂销售A，B两种产品共300件，总收入不超过4000元，最少要销售A产品多少件？ 【答案】(1)A产品的销售单价为12元，B产品的销售单价为16元 (2)200件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系式列出方程组，根据不等关系式列出不等式． （1）设A产品每件销售x元，B产品每件销售y元，销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元，列出方程组，解方程组即可； （2）设销售A产品m件，则销售B产品件，根据销售、两种产品总费用不超过4000元列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A产品的销售单价为x元，B产品的销售单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A产品的销售单价为12元，B产品的销售单价为16元； （2）解：设销售A产品m件，则销售B产品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为200． 答：最少要销售A产品200件． 命题点一 不等式的性质 ►题型 不等式的性质 / 牢记性质 3，遇到乘除负数，不等号必须变方向； 注意“同向不等式可加不可减，可乘正数不可乘负数”。 【典例1】（2025·辽宁·一模）若，则下列各式中正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质进行判断． 【详解】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意． B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m-3＞n-3，故本选项不符合题意． C、在不等式m＞n的两边同时乘-5，不等号方向改变，即-5m＜-5n，故本选项符合题意． D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 【变式1】（2024·辽宁大连·一模）已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质判断即可：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除）同一个负数，不等号的方向变． 本题考查不等式性质，熟记概念是关键． 【详解】解：∵ A、∴，故该选项错误； B、∴，故该选项错误； C、∴，∴，故该选项正确； D、即，不等号两边乘的不是同一个数，不能比较，故该选项错误； 故选：C． 【变式2】（2024·辽宁·一模）已知 ，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别．运用不等式的性质进行逐一辨别、求解． 【详解】解：∵， ∴故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误 ∴选项C符合题意． 故选：C． 命题点二 一元一次不等式（组）的解 ►题型01 求一元一次不等式 （组）的解 / 1.解不等式步骤与解方程一致，系数化为 1 时关注系数正负； 2.数轴表示解集：空心圈（不含端点，>、<），实心点（含端点，≥、≤） 3.不等式组解集取各不等式解集的公共部分。 【典例2】（2025·辽宁大连·一模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，解题的关键是分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分． 分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分． 【详解】解不等式，解得， 解不等式，解得， 不等式组的解集是， 故选：C． 【变式1】（2025·辽宁大连·一模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．利用解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 移项，得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2024·辽宁·一模）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先计算有理数的乘方、零指数幂、算术平方根、化简绝对值，再计算实数的加减运算即可得； （2）先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解． 【详解】解：（1）原式， ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解为． 【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根、实数的加减运算、解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． ►题型02 一元一次不等式（组）的整数解 / 【典例3】（2025·辽宁沈阳·一模）不等式的最大整数解是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式的解集即可求出答案，解题的关键是能求出不等式的解集． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴不等式的最大整数解是， 故选：D． 【变式1】（2024·辽宁·一模）不等式的最大整数解是（    ） A．0 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再取最大整数解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴最大整数解是2， 故选D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解，解题的关键是正确求出不等式的解集． 【变式2】（2024·辽宁·一模）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得情况列出关于a的不等式是解题关键．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于a的不等式即可解答． 【详解】解：解不等式，得：， ∵其正整数解是1、2、3， ∴． 故选D． ►题型03 在数轴上表示不等式（组）的解集 / 【典例4】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）关于不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式在数轴上的表示，先解该不等式组，然后根据解集即可找到答案． 【详解】解：， 解得， 解得， 在数轴上表示为， 故选：B． 【变式1】（2025·辽宁锦州·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B． C．   D． 【答案】B 【分析】此题考查的是不等式的解集在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线； 掌握其方法是解决此题的关键； 求得不等式的解集，将不等式的解集在数轴上表示出来就可判定答案了． 【详解】解：解不等式 得，， 将它的解集在数轴上表示如下： ， 故答案为：B． 【变式2】（2024·辽宁·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，先解出不等式组解集，然后在数轴上表示即可，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ， 故选：． ►题型4 含参数的不等式（组） / 类型1 已知不等式解集求参数 （1）解含参数的不等式，用参数表示解集； （2）对比已知解集，列等式求参数 类型2 已知不等式组整数解个数求参数范围 1. （1）解不等式组，用参数表示解集； 2. （2）确定已知整数解，结合数轴分析端点值的取舍（含等号 / 不含等号是关键） 【典例5】（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第二个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，解不等式可得． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∵不等式组无解， ∴， 故a的取值范围是：． 【变式1】（2024·辽宁·一模）若不等式组无解，则m的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：由得， 又∵，且不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式2】（2024·辽宁·一模）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有三个整数解， 不等式组的整数解为，0、1， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 命题点三 不等式的实际应用 ►题型 不等式的实际应用 / 1.设未知数，根据 “至少”“不超过”“最多” 等关键词列不等式（组）； 2.解不等式（组），结合实际意义取整数解（如人数、物品数量为正整数）； 3.方案设计题需列出所有符合条件的整数解。 【典例6】（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 【变式1】（2024·辽宁·一模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） (1)求每本文学名著和人物传记各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】(1)每本文学名著25元，每本人物传记20元； (2)人物传记至多买33本． 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1），首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案； （2），设购买人物传记本，文学名著（）本，根据题意列出不等式，从而求出不等式的解，最后根据m为整数得出答案． 【详解】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元， ， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元． （2）解：设购买人物传记本，文学名著本， ， 解得：， 为整数， ， ∴人物传记至多买33本． 【变式2】（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 突破一 不等式（组）的解法 【典例1】（2025·辽宁沈阳·二模）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和解一元一次不等式组，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂，零指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 【变式1】（2024·辽宁阜新·三模）（1）计算：． （2）解一元一次不等式组． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值和二次根式，然后计算加减； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） ． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值和二次根式，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． 【变式2】（2024·辽宁·一模）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 突破二 不等式的实际应用 【典例2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）电影《哪吒2》一经上映，迅速燃爆影院．与之相关的哪吒系列摆件深受欢迎，某经销商计划同时购进哪吒系列A、B两种摆件玩具．据了解，8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元． (1)求购进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需多少元？ (2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进A、B两种摆件共200个，要求购买的总费用不超过1240元，求最多可以购买B摆件多少个？ 【答案】(1)进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需5元、8元 (2)80个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设购进一个A摆件和一个B摆件各需元、元，根据“8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B摆件个，根据“购买的总费用不超过1240元”列不等式，取最大正整数解即可． 【详解】（1）解：设购进一个A摆件和一个B摆件各需元、元， 根据题意得：，解得 答：进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需5元、8元； （2）解：设购买B摆件个，则购买A摆件为个， 根据题意得：， 解得， 答：最多可以购买B摆件80个． 【变式1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某中学计划为每个班级购置储物柜，现有甲、乙两种规格的储物柜供选择，调查发现，若购买甲种储物柜2个、乙种储物柜1个，共需资金600元；若购买甲种储物柜4个，乙种储物柜3个，共需资金1440元． (1)甲、乙两种储物柜的单价分别是多少元？ (2)若该校计划投资9000元购进这两种储物柜共40个，求学校最少要购进多少个甲种储物柜． 【答案】(1)每个甲储物柜180元，每个乙储物柜240元； (2)学校最少要购进10个甲种储物柜． 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个甲储物柜元，每个乙储物柜元，根据“甲种储物柜2个、乙种储物柜1个，共需资金600元；若购买甲种储物柜4个，乙种储物柜3个，共需资金1440元”建立方程组求解； （2）设学校要购进个甲种储物柜，则需购买乙储物柜个，根据“计划投资9000元”建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设每个甲储物柜元，每个乙储物柜元，根据题意列方程组得 ， 解得 答：每个甲储物柜180元，每个乙储物柜240元； （2）解：设学校要购进个甲种储物柜，则需购买乙储物柜个 根据题意得，解得 答：学校最少要购进10个甲种储物柜． 【变式2】（2024·辽宁·一模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共80本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本? 【答案】(1)数学书有35本，语文书有45本 (2)87本 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设书架上数学书有本，则有语文书有本，根据题意列出关于的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设摆放数学书本，根据题意列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，则有语文书有本， 根据题意得 ， 解得（本）， ∴（本）， 答：书架上数学书有35本，语文书有45本； （2）设摆放数学书本， 根据题意，可得， 解得， 即数学书最多还可以摆87本． 1．（2024·辽宁·模拟预测）在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式解集，注意区分方向和实心、空心点．表示数轴上2左边的部分，且2处是实心点，据此来判断． 【详解】解：表示数轴上2左边的部分，且2处是实心点， 故选：C． 2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】 解：， 由①得，由②得 ∴原不等式组无解． 故选：B． 3．（2024·辽宁·模拟预测）丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进丹东九九草莓，运输过程中质量损失，超市计划销售这批草莓至少获得的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为x元/kg，根据题意，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，这批草莓可卖元． 根据“这批草莓至少获得20%的利润”，得． 故选：B． 4．（2024·辽宁沈阳·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；因此此题可根据不等式的性质进行排除选项． 【详解】解：A、由可得，故不符合题意； B、由可得，故符合题意； C、由，但的大小不确定，所以不一定成立，故不符合题意； D、由，当时，则，所以不一定成立，故不符合题意； 故选B． 5．（2024·辽宁·模拟预测）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买 个． 【答案】16 【分析】设购买篮球x个，则购买足球个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可． 【详解】设购买篮球x个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得：． 为整数， 最大值为16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式． 6．（2022·辽宁丹东·一模）不等式组的所有整数解是 【答案】0，1 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为0，1． 故答案为：0，1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（2025·辽宁·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算方法是解此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得． ∴不等式组的解集为． 8．（2025·辽宁·模拟预测）某商场计划购进甲，乙两种商品，已知购进甲种商品2个和乙种商品3个共需270元；购进甲种商品3个和乙种商品2个共需230元． (1)甲，乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲种商品以40元/个的价格出售，乙种商品以90元/个的价格出售，为满足市场需求，需购进甲，乙两种商品共100个，当购进的甲，乙两种商品全部售出后，该商场要想获得利润不低于1200元，则最多购进甲种商品多少个？ 【答案】(1)每个甲种商品的进价是30元，每个乙种商品的进价是70元 (2)80个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的实际应用； （1）设每个甲种商品的进价是x元，每个乙种商品的进价是y元，根据“购进甲商品2个和乙商品3个共需270元；购进甲商品3个和乙商品2个共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价； （2）设购进m个甲种商品，则购进个乙种商品，根据“商场要想获得利润不低于1200元”可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：设每个甲种商品的进价是x元，每个乙种商品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个甲种商品的进价是30元，每个乙种商品的进价是70元； （2）解：设购进m个甲种商品，则购进个乙种商品， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为80． 答：最多购进甲种商品80个． 1．（2025·辽宁抚顺·二模）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，该超市准备用不多于5400元的金额再次采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台． 【答案】(1)A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元 (2)A种型号的电风扇最多能采购10台 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意． （1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，根据题意列方程组求解； （2）设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇台，根据“不多于5400元的金额”列不等式求解； 【详解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元． 由题意，得， 解得． 答：A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元． （2）解：设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇台． 由题意，得． 解得． 答：A种型号的电风扇最多能采购10台． 2．（2025·辽宁营口·一模）智能快递机器人是一种能够自主完成快递分拣任务的智能设备．它可以自主感知、识别、分拣快递包裹，大大提高了物流企业的分拣速度和效率．某物流公司为提高工作效率，拟购买甲、乙两种型号智能快递机器人共10台进行快递分拣工作，1台甲型智能快递机器人和3台乙型智能快递机器人每天一共可分拣快递36万件；3台甲型智能快递机器人比2台乙型智能快递机器人每天可多分拣快递20万件． 求： (1)甲、乙两种型号智能快递机器人每台每天分别可分拣快递多少万件？ (2)该物流公司每天快递量不超过100万件，则该公司最多可以购买甲型智能快递分拣机器人多少台？ 【答案】(1)设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递12万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递8万件 (2)该公司最多可以购买甲型智能分拣机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递x万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递y万件，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买甲型智能分拣机器人a台，则购买乙型智能分拣机器人台，根据“该物流公司每天快递量不超过100万件”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递x万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递y万件． 根据题意得：， 解得：， 答：设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递12万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递8万件． （2）解：设购买甲型智能分拣机器人a台，则购买乙型智能分拣机器人台． 则， 解得， 答：该公司最多可以购买甲型智能分拣机器人5台． 3．（2025·辽宁·模拟预测）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） (1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ (2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 【答案】(1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元； (2)购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组和函数关系式． （）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，由题意得，再解方程组即可； （）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，求得，然后根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元， ∴由题意得：，解得：， 答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元； （2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元， 则， ∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时，， 答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是； 故选：A． 3．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 4．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 5．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴ ，故①正确， ②∵ ， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 6.（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 7．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 8．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 9．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 10．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 11．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $