专题02 分布列中的十三大热点题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题02 分布列中的十三大热点题型 题型一：随机变量的取值或判断 1 题型二：求离散型随机变量的分布列 2 题型三：由分布列求参数的值或取值范围 2 题型四：由分布列求概率 3 题型五：离散型随机变量的均值或方差的性质 3 题型六 求离散型随机变量的均值或方差 3 题型七 两点分布 4 题型八：超几何分布 5 题型九：独立重复试验的概率 5 题型十：二项分布 6 题型十一：分布列与统计图表的综合 8 题型十二：分布列中的最值问题 10 题型十三：新定义题 10 题型一：随机变量的取值或判断 1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 2．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（    ） A．1，2，…，5 B．1，2，…，10 C．2，3，…，10 D．1，2，…，6 3．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 4．（24-25高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：求离散型随机变量的分布列 5．（25-26高二上·山东日照·月考）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)设甲击中目标的次数为，求的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 6．（25-26高二上·贵州遵义·月考）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 题型三：由分布列求参数的值或取值范围 7．（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 题型四：由分布列求概率 9．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 11．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 题型五：离散型随机变量的均值或方差的性质 12．（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 13．（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型六 求离散型随机变量的均值或方差 14．（多选）（辽宁省葫芦岛市2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题）一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 16．（25-26高二·全国·假期作业）为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 题型七 两点分布 17．（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） 19．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型八：超几何分布 20．（25-26高二上·全国·单元测试）高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 21．（2026·河南开封·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 22．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 题型九：独立重复试验的概率 23．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·云南昆明·月考）云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． (1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； (2)设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 题型十：二项分布 26．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 27．（25-26高三上·河北·开学考试）2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·甘肃·模拟预测）某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 29．（25-26高三上·海南海口·月考）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 题型十一：分布列与统计图表的综合 30．（24-25高三下·北京朝阳·月考）年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 31．（25-26高三上·北京·月考）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； (2)从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 题型十二：分布列中的最值问题 32．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 33．（2025高一·全国·专题练习）甲每次掷骰子，若点数不超过三点，则加1分，若点数超过三点，则减1分．已知甲的初始积分为0分．记甲重复掷骰子n次后的得分为． (1)若，求． (2)证明：若n为偶数，且同奇偶，则越大，k越小． (3)求和． 题型十三：新定义题 34.（2025高一·全国·专题练习）某市场调查公司对某品牌手机的用户满意度进行调查．他们随机抽取了400名用户进行问卷调查，定义满意度评分X为：满意为1分，不满意为0分． (1)设p为总体中满意用户的真实比例，求样本中满意用户比例的期望和方差． (2)利用切比雪夫不等式，求样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03的概率的下界． (3)若调查结果显示满意度为0.75，而该公司声称真实满意度为0.8，根据切比雪夫不等式和小概率原理，判断该声称是否可信． 35．（25-26高三上·广东·月考）在某数据加密系统中，需要生成一对整数校验码.预先设定确定的参数且.从集合中，有放回地随机逐一抽取两个数，分别记为和.若这一对数满足，则称该组校验码为有效码.记生成一组有效码的概率为. (1)当时，求的值； (2)求关于的表达式，并证明：无效码的生成概率小于； (3)现要求连续10次独立生成有效码的概率不低于，且为了保证系统稳定性，的位数应尽可能小，请给出一个满足条件的值并证明. 参考公式：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分布列中的十三大热点题型 题型一：随机变量的取值或判断 1 题型二：求离散型随机变量的分布列 2 题型三：由分布列求参数的值或取值范围 4 题型四：由分布列求概率 5 题型五：离散型随机变量的均值或方差的性质 6 题型六 求离散型随机变量的均值或方差 7 题型七 两点分布 9 题型八：超几何分布 10 题型九：独立重复试验的概率 13 题型十：二项分布 15 题型十一：分布列与统计图表的综合 19 题型十二：分布列中的最值问题 22 题型十三：新定义题 24 题型一：随机变量的取值或判断 1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【答案】C 【分析】根据变量的意义进行判断. 【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次. 故选：C 2．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（    ） A．1，2，…，5 B．1，2，…，10 C．2，3，…，10 D．1，2，…，6 【答案】C 【分析】先得第一次和第二次取出的球可能的号码，相加即可得的所有可能取值. 【详解】第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取， 第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个， 两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10. 故选：C 3．（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 4．（24-25高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐个判断即可. 【详解】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C 题型二：求离散型随机变量的分布列 5．（25-26高二上·山东日照·月考）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)设甲击中目标的次数为，求的分布列； (2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由题意得到的所有可能取值，根据变量对应的概率和独立重复试验的概率公式，写出对应的概率即可得到分布列； （2）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，即为甲击中目标2次且乙击中目标0次，甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可. 【详解】（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，且 ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 6．（25-26高二上·贵州遵义·月考）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）可取2，3，按独立事件概率求解，写出分布列； （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【详解】（1）由题意可得所有可能的取值为2，3， ，， 所以的分布列为： 2 3 （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5局比赛”， 则， ， 故. 故在甲最终获胜了的条件下进行了5局比赛的概率是. 题型三：由分布列求参数的值或取值范围 7．（25-26高二上·陕西渭南·月考）设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案. 【详解】由题意知，解得. 故选：B. 8．（2025高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表所示，则常数为（    ） 0 1 A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质进行求解． 【详解】由题意可得，解得． 故选：A． 题型四：由分布列求概率 9．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 10．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 11．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 题型五：离散型随机变量的均值或方差的性质 12．（25-26高二上·全国·期末）已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 题型六 求离散型随机变量的均值或方差 14．（多选）（辽宁省葫芦岛市2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题）一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据超几何分布和期望、方差公式计算即可. 【详解】对于A：任取2个中有0个白球的概率是，A正确； 对于B：由题意知，所以，B错误； 对于C：由题意知，. 所以，C正确； 对于D：，因为， 所以，所以. 所以，D错误. 故选：AC. 15．（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）列出小李抽奖获得5元的三种情况，然后根据概率加法公式求得概率即可. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，分别求出，然后根据条件概率公式求出结果即可. （3）先列出X的所有取值，然后求出对应的概率，即可得到X的分布列，然后根据期望和方差公式进行求解计算. 【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. （3）依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ，. 16．（25-26高二·全国·假期作业）为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 【答案】(1)答案见解析 (2)均值分别为9.2，8.7；方差分别为0.96，1.21；甲射击技术更好． 【分析】（1）由概率和为1列出的分布列. （2）利用期望、方差的定义求出期望、方差，再比较期望大小即可. 【详解】（1）依据题意，，解得， 由乙射中环的概率分别为，得乙射中7环的概率为， 所以的分布列为： 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的分布列为： 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）得，， ， ， ． 由，说明甲平均射中的环数比乙高，由，说明甲的射击水平更稳定，所以甲射击技术更好. 题型七 两点分布 17．（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 18．（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 19．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 题型八：超几何分布 20．（25-26高二上·全国·单元测试）高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用表示男生被选中的人数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法1；由事件与事件互为对立事件，求出，即可求出； 解法2：由题可得，直接利用概率公式求解即可. 【详解】解法1：因为事件与事件互为对立事件，而， 所以（直接法求解较复杂时，考虑用间接法）． 解法2：由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，， ，则． 故选：B 21．（2026·河南开封·一模）袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）分第一次取出白球或黑球的情况，通过全概率公式计算编号为2的抽屉里放黑球的概率. （2）确定的可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率得到分布列，再根据期望公式计算数学期望. （3）先确定编号为1的抽屉必放白球，分符合条件的不同情况计算概率，求和得到事件的概率. 【详解】（1）设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． （2）的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 （3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 22．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析 (2)①0.108；②打折更划算 【分析】（1）根据超几何分布结合对应的奖金，列出相应的概率即可； （2）消费1000元可知抽奖3次，而抽到100元的可能恰好是抽到20元，30元，50元这种组合；对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 题型九：独立重复试验的概率 23．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 24．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场，由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为， 故选：C. 25．（25-26高三上·云南昆明·月考）云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立． (1)求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率； (2)设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据题意，甲单场获胜分为直接获胜和常规时间战平后点球获胜，分别求得其概率，结合互斥事件概率的加法公式，求得单场获胜的概率，再利用重复试验的概率公式，即可求解； （2）先求得甲单场比赛积分分别为3分，2分和0分的概率，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况： ①直接获胜，其概率为； ②常规时间战平后点球获胜，其概率为， 所以甲单场获胜的概率为， 则三场比赛恰有两场获胜的概率为. （2）解：甲单场比赛的积分有3种情况： 单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为； 单场比赛积0分，其概率为， 设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为， 可得，， ，， ，， 所以随机变量分布列为： 0 2 3 4 5 6 则期望为. 题型十：二项分布 26．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】记质点向右移动的次数为，据题意可得，服从二项分布.分别求得和时对应的的值，由此求得和，从而求得. 【详解】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故选：A. 27．（25-26高三上·河北·开学考试）2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设哪吒向前走的步数为，依题意，，利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】设哪吒向前走的步数为，依题意，. 当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步，即哪吒向前走了3步，向后退了2步， 根据二项分布概率公式，有. 故选：A. 28．（2025·甘肃·模拟预测）某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)0.8 (2)分布列见解析，2.4 【分析】（1）由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式即可求解； （2）由题意确定服从二项分布，进而可求解. 【详解】（1）任选1名学生，记“该人参加过数据分析”为事件，“该人参加过新媒体运营”为事件， 由题意可知，事件与相互独立，，则， 任选1名学生，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名学生，该人参加过培训的概率. （2）由题意结合（1）可知，3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 的期望. 29．（25-26高三上·海南海口·月考）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 (3) 【分析】（1）借助独立事件概率乘法公式计算即可得； （2）利用互斥事件的概率加法公式可得一局比赛中甲得0分的概率，再求出的所有可能取值及其对应概率，即可得其分布列，利用二项分布期望公式即可得其期望； （3）列出甲最终获胜的所有可能情况及其对应概率即可得. 【详解】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为. 题型十一：分布列与统计图表的综合 30．（24-25高三下·北京朝阳·月考）年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获 亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. 《哪吒之魔童降世》综合票房及占比     《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比 (1)从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率； (2)从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望； (3)设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 【答案】(1) (2)，，， (3)<， 【分析】（1）由图得出电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数结合古典概型即可求解； （2）先由图得出两部电影综合票房占比均超过％的天数，接着得随机变量的取值，再由古典概型即可计算各个取值的概率，结合数学期望公式计算期望即可得解； （3）由图中数据大小分布情况即可得解. 【详解】（1）由图电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数有7天， 所以从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，该天电影综合票房比前一天增多的概率为； （2）由图可知两部电影综合票房占比均超过的天数共有4天， 所以的取值有，所以的分布列为， 所以的分布列数学期望； （3）因为， ， 又由图可知《哪吒之魔童降世》除个别数据外综合票房数据大小比较变化幅度较小，所以， 所以，. 31．（25-26高三上·北京·月考）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如下： (1)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； (2)从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)0.6 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图即可求解； （2）先求出地区评分不低于80分的人数，再分别计算为0,1,2的概率，列出分布列计算期望即可； （3）由每组区间的中点值乘对应的频率再求和得到，再由求得，比较大小即可． 【详解】（1）对于该公司产品评分不低于60分的频率为， 由频率估计概率可得对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6． （2）由频率分布直方图可知，评分不低于80分的人数为人， 的可能取值为0,1,2， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 则数学期望． （3）由频率分布直方图可得，， ， 则， 又地区和地区抽取用户人数之比为，地区抽取用户人数占总数的，地区抽取用户人数占总数的， 所以两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为， 所以． 题型十二：分布列中的最值问题 32．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的知识进行求解即可. （2）根据二项分布的概率公式列出不等式方程组，求出最值. 【详解】（1）设“观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票”为事件，则 因此，观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率为. （2）由（1）知，则，， 由题意：，即 解得， 故时，取到最大值为. 33．（2025高一·全国·专题练习）甲每次掷骰子，若点数不超过三点，则加1分，若点数超过三点，则减1分．已知甲的初始积分为0分．记甲重复掷骰子n次后的得分为． (1)若，求． (2)证明：若n为偶数，且同奇偶，则越大，k越小． (3)求和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）首先确定成功和失败的次数，再根据独立重复概率公式，即可求解； （2）首先设成功i次，失败次，再写出，再根据组合数的性质，即可证明； （3）首先求和，再代入期望和方差公式，即可求解. 【详解】（1）投骰子点数的概率为，记为“成功”，得分．点数的概率为，记为“失败”，得分．． 设成功k次，则失败次． 总得分． ． 即4次中需成功2次，失败2次． 这是一个二项分布问题． （2）n为偶数．．设成功i次，失败次． ．． 因为i是整数，所以必须是偶数．因为n是偶数，所以k也必须是偶数． （成功i）次． 要比较与k的关系，就是比较的大小． 二项式系数在m接近时最大．这里． 当k越小越接近，由于关于对称且在该点取最大值，当时，m越大，越小，这里． 所以，当k增大时，增大且离更远，故减小，因此，k越大，越小． （3）设第i次投掷的得分为随机变量．． ．．． 由于各次投掷相互独立，． ． 题型十三：新定义题 34.（2025高一·全国·专题练习）某市场调查公司对某品牌手机的用户满意度进行调查．他们随机抽取了400名用户进行问卷调查，定义满意度评分X为：满意为1分，不满意为0分． (1)设p为总体中满意用户的真实比例，求样本中满意用户比例的期望和方差． (2)利用切比雪夫不等式，求样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03的概率的下界． (3)若调查结果显示满意度为0.75，而该公司声称真实满意度为0.8，根据切比雪夫不等式和小概率原理，判断该声称是否可信． 【答案】(1)， (2) (3)没有足够理由怀疑该公司的声称 【分析】（1）根据满意用户数量服从二项分布，求出满意用户数量的均值和方差，再根据样本中满意用户的比例与满意用户数量的关系求解. （2）根据切比雪夫不等式，将（1）结论代入，根据基本不等式求解. （3）根据切比雪夫不等式及小概率事件的判断求解. 【详解】（1）设表示第i个用户的满意度，，即． 样本中满意用户数量服从二项分布， 则，. 样本满意度． 期望：， 方差：. （2）要估计的下界． 根据切比雪夫不等式： 这里． 由于（当时取等号），所以 代入切比雪夫不等式：， 因此，样本满意度与真实满意度偏差不超过0.03的概率至少为． （3）调查结果显示，声称的真实满意度，偏差为． 根据切比雪夫不等式：， 其中， 代入得 所以不能认为该事件为小概率事件． 但我们可以进一步分析：0.05相当于个标准差． 根据切比雪夫不等式： 所以不能认为该事件为小概率事件，因此没有足够的理由怀疑声称. 35．（25-26高三上·广东·月考）在某数据加密系统中，需要生成一对整数校验码.预先设定确定的参数且.从集合中，有放回地随机逐一抽取两个数，分别记为和.若这一对数满足，则称该组校验码为有效码.记生成一组有效码的概率为. (1)当时，求的值； (2)求关于的表达式，并证明：无效码的生成概率小于； (3)现要求连续10次独立生成有效码的概率不低于，且为了保证系统稳定性，的位数应尽可能小，请给出一个满足条件的值并证明. 参考公式：. 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)667，证明见解析 【分析】（1）确定集合M中的元素及样本空间总数，利用古典概型求解； （2）样本空间总数为，分、两种情况分别求出满足条件的样本总数，利用数列求和公式及古典概型即可求出的表达式，无效码的生成概率为，由即可证明； （3）定义事件及求出相应概率表达式，利用二项式定理对所求概率进行展开，再由（2）的结论证明、，从而得出，利用放缩式推导的范围，最后再次结合第（2）问的结论求n. 【详解】（1）当时，集合中的元素为，，，，样本空间总数为. 列举满足条件的数对：当时，，则，共1种；当，，时，，而的最大值为4，故可取，，，，共种. 符合条件的样本总数为，故. （2）样本空间总数为，记满足条件的样本数为. 当时，因，对于确定的，有种取法，此部分总数为. 当时，因，对于确定的，可取中任意值，此部分共有个，故总数为. 则， 记无效码的生成概率为，则. 因为，故，故，即无效码的生成概率小于，得证. （3）记连续10次独立生成有效码为事件，则. 根据二项式定理有 ， 设， 由（2）知，当时，，故，从而，即. 下面证明. 由于为正数，只需证明，即证， 而，且，即. 对于代数式，随着的增大，分子增大且分母减小，该比值单调递增，故当时，右侧取得最小值，且易知，则，即，则. 要使原不等式成立，只需令其下界满足条件，即，整理得，由（2）中的结论，只需满足，解得.故取整数.综上，一个满足条件的值为667. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $