椭圆定义、方程及几何意义 期末复习专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过表格系统梳理椭圆的定义、标准方程及几何性质，对比焦点在不同坐标轴上的图形特征、范围、顶点等核心要素，结合定义注记和离心率与椭圆形状关系的解析，构建清晰的知识框架。 典例分类涵盖定义应用、焦点三角形、离心率求解等题型，如通过动圆外切与内切问题推导轨迹方程，结合焦点三角形面积公式和离心率齐次方程法培养逻辑推理与运算能力。分层练习满足不同学生需求，教师可精准把握重难点，助力高效复习。

椭圆的定义、方程及几何性质 一．重点知识点梳理 1.椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 注：若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 的关系 注：当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 3.焦点三角形中的重要结论 设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1). (2)焦点三角形的面积： . (3)当P点位于短轴顶点处时, 最大,此时也最大; (4) (5)直角顶点的讨论：当时，取得最大值，若，则，；同理，若，则，；若，则，。在分析直角顶点个数时，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在。（注意：与的区别） (6)已知的度数，求椭圆离心率的取值范围：假设为椭圆的最大角，则； (7)内切圆半径为： (8) 4.椭圆离心率的求解方法 （1）直接法：由题设条件求出a，c，从而得e。 （2）等价转化法：由等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e。 （3）列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝a2－c2消去b，然后转化成关于e的方程求解。 列含有a，b，c关系式的方式主要有以下几种： ①根据平行垂直等直接条件列关系式。 ②根据已知条件把曲线上的某点坐标用含a，b，c的式子表示，然后代入椭圆方程。 ③在某个三角形（焦点三角形）中根据正余弦或者勾股定理解三角形。 二．典例分类分析 （一）．椭圆的定义与轨迹方程 1.设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 2.方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3.点P为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A．13 B．1 C．7 D．5 4.已知是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 5.已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6.已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是 ； 7.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 8.已知椭圆的上､下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足. (1)证明：是定值，并求出该定值； (2)求动点的轨迹方程. （二）．椭圆中的常见最值问题 1.已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 3.已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 4.已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ． （三）．椭圆的标准方程 1.（多选）对于曲线，下面四个说法正确的是（    ） A．曲线不可能是椭圆 B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件 D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件 2.方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B． C． D． 3.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5.经过、两点的椭圆的标准方程是 ． 6.已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 7．如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，则椭圆C的标准方程为 ． （四）．椭圆的焦点三角形问题 1.设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，则等于 ． 2.设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3.已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 4.已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 5.在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 6.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 7．（多选）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（    ） A．周长为8 B． C．面积为 D． 8.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ） A． B． C． D． （五）．椭圆的几何性质 1.椭圆与椭圆的（    ） A． 长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 2.椭圆的焦距为4，则m的值为 ． 3.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 4.椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6.已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆的定义、方程及几何性质 一．重点知识点梳理 1.椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 注：若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 的关系 注：当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 3.焦点三角形中的重要结论 设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1). (2)焦点三角形的面积： . (3)当P点位于短轴顶点处时, 最大,此时也最大; (4) (5)直角顶点的讨论：当时，取得最大值，若，则，；同理，若，则，；若，则，。在分析直角顶点个数时，当时，有四个点P存在；当时，有两个点P存在；当时，无点P存在。（注意：与的区别） (6)已知的度数，求椭圆离心率的取值范围：假设为椭圆的最大角，则； (7)内切圆半径为： (8) 4.椭圆离心率的求解方法 （1）直接法：由题设条件求出a，c，从而得e。 （2）等价转化法：由等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e。 （3）列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2＝a2－c2消去b，然后转化成关于e的方程求解。 列含有a，b，c关系式的方式主要有以下几种： ①根据平行垂直等直接条件列关系式。 ②根据已知条件把曲线上的某点坐标用含a，b，c的式子表示，然后代入椭圆方程。 ③在某个三角形（焦点三角形）中根据正余弦或者勾股定理解三角形。 二．典例分类分析 （一）．椭圆的定义与轨迹方程 1.设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 答案：B 【详解】∵表示为到定点的距离之和为5，即， ∴点的轨迹为椭圆. 故答案选：B. 2.方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】：由，可得点到定点，的距离之和等于12， 即， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为， 则，， 所以，， 故答案为：. 3.点P为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A．13 B．1 C．7 D．5 答案：D. 【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：， 故， 故答案选：D. 4.已知是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 答案：C． 【详解】由椭圆可得，所以， 因为点M在C上，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，最大值为9. 故选：C． 5.已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】设，不妨令， 正方形ABCD的面积为16，则，则， 由，可得，即， 则，整理得 故答案选：B 6.已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是 ； 答案： 【详解】设， 因为， 所以，① 因为点在线段上，且， 所以，即代入① ， 即， 故答案为：. 7.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 答案： 【详解】圆，即，圆心为，， 圆，即，圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，， 则， 所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆， 可设方程为，则，， 所以，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 8.已知椭圆的上､下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足. (1)证明：是定值，并求出该定值； (2)求动点的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由题意可知, 设点，显然 ，为定值. （2）设点, 由于， 的方程：①. 的方程：② 由①②联立可得：， 代入①可得， 即点 点满足：， 代入可得点的轨迹方程为： （二）．椭圆中的常见最值问题 1.已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】设，则， 因为P点在椭圆上，则，记， 所以， 又因为开口向上，对称轴， 且，所以当时，取到最小值. 故答案选：B. 2.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 答案：A 【详解】   设椭圆的半焦距为，则，， 如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立， 故的最大值为. 故答案选：A. 3.已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 答案：C 【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则 ， 则， ， 的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号． 的周长最大值等于18． 故答案选：C． 4.已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 【详解】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为. 则椭圆的焦点为. 又,，， 故， 当且仅当分别在的延长线上时取等号. 此时最大值为. 故答案选：C. 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ． 答案：1 【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，由椭圆的定义得，因此， ，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”， 所以的最小值为1. 故答案为：1 （三）．椭圆的标准方程 1.（多选）对于曲线，下面四个说法正确的是（    ） A．曲线不可能是椭圆 B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件 D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件 答案：CD 【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错； 对于B选项，因为或， 所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错； 对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得， 又因为， 所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对； 对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得， 所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对. 故答案选：CD. 2.方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B． C． D． 答案：B 【详解】若方程表示椭圆，则有，解得且， 因为是集合的真子集， 所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件， 故答案选：B. 3.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】由化简可得， 焦点为在轴上， 同时又过点，设， 有，解得， 故答案选：C 4.已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 答案：D 【详解】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上. 将,代入椭圆方程得: , 解得, 椭圆C的标准方程为. 故选:D. 5.经过、两点的椭圆的标准方程是 ． 答案： 【详解】设所求椭圆的方程为， 将点、的坐标代入椭圆方程可得，解得， 因此，所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 6.已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题知：，① 又椭圆经过点， 所以，② 又，③ 联立解得：， 故椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 7．如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，则椭圆C的标准方程为 ． 答案： 【详解】设椭圆C的标准方程为，右焦点为，连接． 由已知，得．又，所以。 在中，． 由椭圆的定义，可知，所以， 所以， 故椭圆C的标准方程为． 故答案为：． （四）．椭圆的焦点三角形问题 1.设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，则等于 ． 答案：5 【详解】 由已知，，可得，. 因为的周长为16，则. 根据椭圆定义可得，， 所以，， 所以，， 所以，. 故答案为：5 2.设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案：B 【详解】椭圆，则， ， 两边平方得①， 在中，由余弦定理得, 即②， 由①②得. 故答案选：B 3.已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得. 由，得，从而，∴. ∵，∴. 故答案选:B 4.已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 答案：C 【详解】由椭圆，得，，. 设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故答案选：C. 5.在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 答案：C 【详解】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点； 当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点； 当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点， 所以符合条件为直角三角形的点有6个， 故答案选：C. 6.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 答案：B 【详解】：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 7．（多选）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（    ） A．周长为8 B． C．面积为 D． 答案；AD 【详解】由题意，在椭圆中，，不妨设在轴上方， 则，， 所以，故B错； 的周长为，A正确； 设， 在中， 得， 所以，D正确； ， 所以， 故C不正确， 故答案选：AD． 8.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得． 所求椭圆方程为，故选B． 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B． （五）．椭圆的几何性质 1.椭圆与椭圆的（    ） A． 长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等 答案：C 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故答案选：C． 2.椭圆的焦距为4，则m的值为 ． 答案：10或2 【详解】椭圆的焦距为4，即 当时，； 当时，； 故m的值为10或2， 故答案为：10或2 3.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 . 答案：或 【详解】因为椭圆的离心率为，易知， 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为. 当时，椭圆焦点在轴上，，， 所以，得，满足题意， 此时，所以椭圆的长轴长为. 故答案为：或. 4.椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（    ） A． B． C． D． 答案:B 【详解】设为椭圆的半焦距，由题意可得， 由对称性可设, 则, 因为，所以, 所以,即,解得或（舍）. 故答案选:B. 5.已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 答案：C 【详解】在中，， 设，由题意知,， 由余弦定理得,， 由椭圆定义知，则离心率. 故答案选:C. 6.已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 答案：D 【详解】由题意，椭圆的左顶点为， 因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则， 所以，可得， 又因为，即， 代入可得，所以离心率为. 故答案选：D.    7.已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 答案：B 【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形． 设，则． 因为，所以， 又因为，所以，所以． 在中，， 由余弦定理得， 所以，所以． 故答案选：B.    8.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 答案；C 【详解】解：，， 在和中利用余弦定理可得 。 即 化简可得同除得：解得或（舍去） 故答案选： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $