精品解析：陕西省铜川市第二中学2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

铜川市第二中学2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学（北师大版） 本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 某积木配件如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，连接AC．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x … 0 1 3 … y … 3 4 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，y的值随x值的增大而增大 D. 此函数有最小值4 二、填空题（共6小题，每小题3分计18分） 9. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为_____． 10. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____． 11. 在中，，则的长为_____． 12. 某人工智能大模型10月份用户数量为亿，12月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，则11月、12月份用户数量的月均增长率为_____． 13. 已知点与点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____．（填“”“ ”或“”） 14. 如图，为半圆O的直径，，为半圆O的弦，D为的中点，于点M，若，则的长为____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程:(x-3)2-2(3-x) =0 16. 计算：． 17. 在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值． 18. 如图，是的直径，弦于点E，若，求弦的长． 19. 如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 20. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 21. 钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，在古时主要承担报时之贵．西安钟楼（如图①）是由基座、楼体和楼顶三部分组成的，位于西安市中心，是东西南北四条大街的交汇点．周末某学校研学小组对西安钟楼的高度进行测量．如图②，观察员在地面上的点处观察基座顶端点的仰角为．他在点处竖直向上升起一架无人机（大小忽略不计），当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为．已知图中各点均在同一竖直平面内，，两点的水平距离，，两点的竖直距离．请根据上述数据，计算西安钟楼的顶端点到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点．与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 23. 剪纸作为一种传统民间艺术，常被用来表达祝福和吉祥的心愿．已知某商店一种剪纸的成本价为每幅8元，市场调查发现，当销售单价为10元时，一天能卖30幅，若每涨价1元、一天少卖1幅．设这种剪纸每天的销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元．规定该剪纸的销售单价不高于20元． （1）每天这种剪纸的销售量为_____幅；（用含的代数式表示） （2）①求销售利润与之间的函数表达式； ②当该种剪纸的销售单价上涨多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，则的长为______． 25. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图①，点A是外一点，点是上一动点．若的半径为3，长度为5，根据，得到点到点A的最短距离为_____________； （2）如图②，已知正方形的边长为4，点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点和运动，连接和交于点．求点到点的最短距离． 【问题解决】 （3）如图③，某老小区有一个矩形活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在上取一点，在上留一条小路与小路交于点，并将绕点逆时针旋转得到线段，与交于点，连接与交于点，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市第二中学2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学（北师大版） 本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 2. 某积木配件如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可． 【详解】解：观察图形，从左面看到的图形如图所示： 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的概念是解答的关键，注意：可见部分用实线，不可见部分用虚线． 3. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中正确识别角的对边与斜边是解题的关键． 根据题意画出图形，明确的对边及斜边，根据正弦定义列式，代入即可求解． 【详解】解：如图，在中，，的对边是，斜边是， 又∵， ∴． 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，连接AC．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，利用弧相等得到弦相等从而推出等腰三角形，再结合圆内接四边形的对角互补进行角度计算是解题的关键． 由，根据弧、弦、圆心角的关系可得，由等边对等角得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 故选：D． 8. 已知一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x … 0 1 3 … y … 3 4 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，y的值随x值的增大而增大 D. 此函数有最小值4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 根据表格数据，用待定系数法求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质判断各选项． 【详解】解：选取点、、代入， 当时，， ； 当时，， ，即， ； 当时，， ，即， ，即； 联立方程，与相减，得， ， 代入，得， ， 二次函数解析式为， ， 图象开口向下，故A错误； 对称轴，故B错误； 开口向下，对称轴， 当时，y随x增大而增大， ， 当时，y随x增大而增大，故C正确； 顶点坐标，函数有最大值4，没有最小值，故D错误． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分计18分） 9. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程没有实数根的条件，判别式小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， 即， 整理得， ∴． 故答案为：． 10. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，连接，交于点，由菱形的性质得到，由点的坐标可得，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点， 故答案为：． 11. 在中，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，勾股定理． 利用正切值求出的长，再应用勾股定理计算的长 【详解】解：在中，，，， 所以， 由勾股定理得． 故答案为：． 12. 某人工智能大模型10月份用户数量为亿，12月份用户数量增长至亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，则11月、12月份用户数量的月均增长率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．设11月、12月份用户数量的月平均增长率为，根据增长模型列出方程并求解即可． 【详解】解：设月均增长率为， 由题意得：， 解方程得：， 所以（取正值）， 因此， 故答案为：． 13. 已知点与点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是_____．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数性质，时，函数图象分别位于第一、三象限，点A横坐标为正，纵坐标为正；点B横坐标为负，纵坐标为负，因此． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象分别位于第一、三象限， ∵点A横坐标为正，点B横坐标为负， ∴点A纵坐标为正，点B纵坐标为负， ∴． 故答案为：． 14. 如图，为半圆O的直径，，为半圆O的弦，D为的中点，于点M，若，则的长为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 如图，连接交于，连接，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，，，证明，构建关系式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，连接， 为半圆O的直径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即， ． 故答案为：1． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程:(x-3)2-2(3-x) =0 【答案】x1=3,x2= 1. 【解析】 【详解】试题分析：可以用因式分解法解方程. 试题解析： 或 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答． 【详解】解：原式 ． 17. 在二次函数中，若它的图象与轴只有一个交点，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与轴的交点的情况是做题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，可得，即可求出结果． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ， ， 即， ， ， 或． 18. 如图，是的直径，弦于点E，若，求弦的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，利用勾股定理解求出，再根据垂径定理求弦的长． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 弦于点E， 在中，，， ． 19. 如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． 根据函数值直接得到的度数以及的长，在中，利用勾股定理可得的长，再由，可得到的长，即可求解． 【详解】解：为锐角，且，， ， ， ． 在中，， ， ． ． 20. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）． 21. 钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，在古时主要承担报时之贵．西安钟楼（如图①）是由基座、楼体和楼顶三部分组成的，位于西安市中心，是东西南北四条大街的交汇点．周末某学校研学小组对西安钟楼的高度进行测量．如图②，观察员在地面上的点处观察基座顶端点的仰角为．他在点处竖直向上升起一架无人机（大小忽略不计），当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为．已知图中各点均在同一竖直平面内，，两点的水平距离，，两点的竖直距离．请根据上述数据，计算西安钟楼的顶端点到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点D作于点N，延长交于点M，得到四边形，四边形是矩形，．根据矩形的性质得到，，，设，则，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点D作于点N，延长交于点M， 则四边形，四边形是矩形，， ∴，，， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：西安钟楼的顶端D到地面的距离约为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点．与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出B点的坐标，再代入反比例函数中求出m即可； （2）先求出，再根据轴，且点在反比例函数的图象上，得出点的纵坐标为1，代入将代入反比例函数中，求得，即可得到，从而可得，于是可求得． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴． ∴． ∴， 解得：． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解： 当时，， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴． ∵轴，且点在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为1． 将代入反比例函数中， 即，解得：． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了求直线围成的图形面积，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23. 剪纸作为一种传统民间艺术，常被用来表达祝福和吉祥的心愿．已知某商店一种剪纸的成本价为每幅8元，市场调查发现，当销售单价为10元时，一天能卖30幅，若每涨价1元、一天少卖1幅．设这种剪纸每天的销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元．规定该剪纸的销售单价不高于20元． （1）每天这种剪纸的销售量为_____幅；（用含的代数式表示） （2）①求销售利润与之间的函数表达式； ②当该种剪纸的销售单价上涨多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）①；②单价上涨10元时，每天的销售利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、二次函数的最值求解、代数式的化简以及不等式的应用，熟练掌握“销售利润单件利润销售量”的公式、二次函数的顶点式变换，并结合实际问题中的取值范围进行分析是解题的关键． （1）已知每涨价元，销量减少幅，因此当单价上涨元时，销量减少幅．用初始销量减去减少的销量，即可得到每天的销售量． （2）①根据“销售利润单件利润销售量”的公式，单件利润为元，销售量为幅，将两者相乘并化简，即可得到利润与的函数表达式． ②先将第①小题得到的二次函数表达式配方，得到顶点式，从而确定其对称轴．再结合题目中“销售单价不高于元”的条件，确定的取值范围，最后在该范围内找到使利润最大的值及对应的最大利润． 【小问1详解】 解：由题意可得 每天这种剪纸的销售量为幅； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①． 销售利润与之间的函数表达式为． ②由①得． 该剪纸的销售单价不高于元， ． 当时，最大，最大值为． 答：当该种剪纸的销售单价上涨元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 24. 如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，可证，可得，可得结论； （2）证明，得，，由勾股定理得，再证明，运用相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴． 故答案 为：． 25. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 略 26. 【问题提出】 （1）如图①，点A是外一点，点是上一动点．若的半径为3，长度为5，根据，得到点到点A的最短距离为_____________； （2）如图②，已知正方形的边长为4，点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点和运动，连接和交于点．求点到点的最短距离． 【问题解决】 （3）如图③，某老小区有一个矩形活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在上取一点，在上留一条小路与小路交于点，并将绕点逆时针旋转得到线段，与交于点，连接与交于点，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）存在，面积的最小值为19200 【解析】 【分析】本题考查了正方形、勾股定理、圆、旋转、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆、全等三角形、相似三角形的性质； （1）结合题意，当三点共线时，最小值，从而得到答案； （2）根据题意得，在根据全等三角形的性质，通过证明，推导得，在结合圆的性质，得点在以为直径的圆上，当三点共线时，有最小值；再结合正方形和勾股定理计算，即可得到答案； （3）根据圆的性质，得为定值，再根据相似三角形的性质，通过证明，得，设的半径为，从而计算得，结合一元一次不等式，当共线时，即可得到答案． 【详解】（1）当三点共线时，有最小值为， 故答案为：2； （2）根据题意，得， 又∵， 和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴点在以为直径的圆上． 如图，取的中点，连接． ∴． 当三点共线时，有最小值为， ∵已知正方形的边长为4， ∴， ∴． ∴的最短距离为． （3）存在． 如图，作的外接圆，连接，过点A作，垂足为，过点作，垂足为S． ∵， ∴四边形四点共圆． ∴为定值． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， 设的半径为， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 由图可知，即，解得． ∴． 当共线，即时取等号，即面积的最小值为19200． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $