精品解析：浙江省宁波市蛟川书院（甬真校区）2025-2026学年七年级上学期12月考数学试卷（学科素养大比拼 ）

蛟川书院（甬江校区）2025学年第一学期学科素养大比拼 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选不得分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 星海璀璨，银河浩渺．天文学家发现一片新生星云，其中约有八十九万七千颗恒星．若以科学记数法记录这份来自宇宙的馈赠，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 是多项式 C. 的常数项为2 D. 的次数是6次 5. 已知，则下列等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是线段上一点，且，则的长是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 3 7. 如图，平分，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》记载了“李白沽酒”的故事．诗云：“今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮斗九．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有．”大意是：李白在郊外春游时遇见一友，先将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的1.9斗酒．按照这样的约定，在第3次遇到朋友后正好喝光了壶中的酒，问壶中原有多少酒？设壶中原有斗酒，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 9. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 在一个方格中填写9个数，若每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则称这个三阶幻方为“优雅幻方”，方格中9个数的和为“优雅数”．下图是一个“优雅幻方”，则它的“优雅数”为（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作_____． 12. 比较大小，用“”“”或“”连接： _____． 13. 近似数3.60万精确到_____位． 14. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角是_____． 15. 关于的方程的解是，则的值是_____． 16. 已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 17. 如图所示，在数轴上放置了两个完全相同的长方形、．现长方形、分别以每秒2个单位、3个单位的速度沿数轴正方向运动．则在运动过程中，两个长方形的重叠部分的面积最大时，持续时间是_____秒． 18. 若两个关于的多项式，满足，则称与是关于的“灵动多项式”．已知，与是关于的“灵动多项式”，若当时，多项式的值是小于200的整数，则所有满足条件的正整数的和为_____． 三、解答题（本题有6小题，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题8分，第24题12分，共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，平面上有3个点，，． （1）作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． （2）比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 22. 有一个整式（其中a、b为常数），同学们给、赋予不同的数值进行计算． （1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是_____，_____． （2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式． （3）丙同学给出一组数，使得计算最后结果与的取值无关，写出丙同学所给的、的值，并求出丙同学的计算结果． 23. 甲乙两位诗人相约共填《蝶恋花》词集．甲才思舒缓，每日可填两阙；乙文思敏捷，每日可填三阙．若单独完成这部词集，甲比乙要多用20天． （1）求《蝶恋花》词集共有多少阙． （2）为早日成编，二人先合作数日，后甲因事搁笔，乙则灵感渐涌，将每日填词速度提高三分之一，独自完成余稿．已知乙参与填词的总天数恰好是甲参与总天数的2倍还多3天，求乙参与填词的总天数． 24. 阅读以下材料，解决问题 素材一 音乐中的和弦与数学有着奇妙的联系．和弦由不同频率的音符组成，当三个音的频率比为时，根音与三音是大三度，三音与五音是小三度，构成和谐的大三和弦（如，，和弦）． 素材二 在一个圆形的音乐转盘（图1）上，我们可以用低音指针、中音指针和高音指针来模拟声波（图2）．低音、中音、高音指针都从方向开始逆时针旋转，旋转速度分别为秒、秒、秒．规定两根指针的夹角为它们所成的最小正角（即到之间的角）设转动时间为秒． 素材三 根据音乐理论，当低音指针、中音指针和高音指针两两之间的夹角均为时，会发出和谐的和弦声音，我们称此时的转动时间为“和谐时刻” 问题解决 基音初探 当时，指针与指针的夹角为_____；当时，指针与指针的夹角为_____． 和谐时刻 当时，求出所有的“和谐时刻”． 变换元曲 若指针与指针的夹角第一次成后，指针的旋转方向变为顺时针，速度变为秒，其余条件均保持不变．当时，是否存在某个时刻，使得指针所在的直线恰好平分指针和指针的夹角？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院（甬江校区）2025学年第一学期学科素养大比拼 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选不得分） 1. 2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据同类项的定义和合并法则逐项判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原结果错误，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，原结果错误，不符合题意； C、，原结果错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选D． 3. 星海璀璨，银河浩渺．天文学家发现一片新生星云，其中约有八十九万七千颗恒星．若以科学记数法记录这份来自宇宙的馈赠，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将数字“八十九万七千”转换为阿拉伯数字为897000，将897000写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：八十九万七千， 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 是多项式 C. 的常数项为2 D. 的次数是6次 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数、多项式的定义、常数项和次数的概念，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A．的系数是，不是，该选项说法错误，不合题意； B． 可化为 ，是多项式，该选项说法正确，符合题意； C．的常数项为，不是2，该选项说法错误，不合题意； D．的次数是和的指数和，即 ，不是6，该选项说法错误，不合题意； 故选：B． 5. 已知，则下列等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则，等式成立，不符合题意； B、，则，等式成立，不符合题意； C、，则，等式成立，不符合题意； D、，当时，，故原等式不一定成立，符合题意； 故选D． 6. 已知，是线段上一点，且，则的长是（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，根据，以及，进行求解即可． 【详解】解：∵，是线段上一点，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7. 如图，平分，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义．熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 由已知求出，则，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴ ∵平分， ∴． 故选：D． 8. 李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》记载了“李白沽酒”的故事．诗云：“今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮斗九．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有．”大意是：李白在郊外春游时遇见一友，先将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的1.9斗酒．按照这样的约定，在第3次遇到朋友后正好喝光了壶中的酒，问壶中原有多少酒？设壶中原有斗酒，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据酒量变化规律逐步推导方程，设壶中原有酒x斗，根据题意，每次遇友酒增加一倍后喝掉1.9斗，经过3次过程后酒喝光，逐步推导剩余酒量并列出方程即可． 【详解】解：第一次遇友后：酒量变为，喝掉斗，剩余斗； 第二次遇友后：酒量变为，喝掉1.9斗，剩余斗； 第三次遇友后：酒量变为，喝掉1.9斗，剩余斗； 由题意，； 故选C． 9. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据新定义运算，将代入公式，得到方程，求解x即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 在一个方格中填写9个数，若每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则称这个三阶幻方为“优雅幻方”，方格中9个数的和为“优雅数”．下图是一个“优雅幻方”，则它的“优雅数”为（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解“优雅数”的定义． 先设三阶幻方中的数，然后根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等建立方程求解即可． 【详解】解：设出未知数如图： 由题意得，， ∴， 由题意得，，即， ∴，即 由题意得，， ∴， ∴ 由题意得，，即， 将代入，则， 解得， ∴，， ∴， ∴“优雅数”为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相反意义的量，用正负数表示具有相反意义的量，上升记为正，则下降记为负，据此进行作答即可． 【详解】解：温度上升，记作，那么温度下降记作； 故答案为： 12. 比较大小，用“”“”或“”连接： _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则，两个负数相比较，绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 13. 近似数3.60万精确到_____位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查近似数．近似数3.60万的数字部分3.60精确到百分位，但单位“万”表示乘以10000，因此实际精确到百位． 【详解】解：近似数3.60万中，数字部分3.60的最后一位0位于百分位，表示精确到0.01万． 由于1万=10000，0.01万=100， 故精确到百位． 故答案为：百． 14. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，度数之和为的两个角互补，据此求出这个角的度数，再根据度数之和为的两个角互余，据此可求出这个角的余角的度数． 【详解】解：一个角的补角是， 这个角的度数是． 这个角的余角是． 故答案为：． 15. 关于的方程的解是，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解，把方程的解代入方程中进行求解即可． 【详解】解：把代入，得，解得； 故答案为： 16. 已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 17. 如图所示，在数轴上放置了两个完全相同的长方形、．现长方形、分别以每秒2个单位、3个单位的速度沿数轴正方向运动．则在运动过程中，两个长方形的重叠部分的面积最大时，持续时间是_____秒． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，当点与点重合时开始，直至点与点重合时，两个长方形重叠的面积最大，进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点与点重合时开始，直至点与点重合时，两个长方形重叠的面积最大， 设经过秒点与点重合，则，解得； 设经过秒点与点重合，则，解得； 故两个长方形的重叠部分的面积最大时，持续时间是（秒）； 故答案为：1． 18. 若两个关于的多项式，满足，则称与是关于的“灵动多项式”．已知，与是关于的“灵动多项式”，若当时，多项式的值是小于200的整数，则所有满足条件的正整数的和为_____． 【答案】 20 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据灵动多项式的定义，表示出多项式M，再计算，代入得到表达式，根据值为小于200的整数，求出m的值即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 当时，则． 由题意，是小于200的整数， 故是偶数，且，即，， 又∵为正整数， ∴， ∴所有满足条件的正整数的和为． 故答案为：20． 三、解答题（本题有6小题，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题8分，第24题12分，共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，算术平方根，立方根，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘方，绝对值，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，算术平方根，绝对值，立方根，再计算加法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ． 21. 如图，平面上有3个点，，． （1）作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． （2）比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2），垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查画直线，线段和垂线，以及垂线段最短，熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键： （1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短，进行比较，作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 22. 有一个整式（其中a、b为常数），同学们给、赋予不同的数值进行计算． （1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是_____，_____． （2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式． （3）丙同学给出一组数，使得计算最后结果与的取值无关，写出丙同学所给的、的值，并求出丙同学的计算结果． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，无关型问题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）将整式去括号，合并同类项后，根据恒等式，对应项的系数相同，进行求解即可； （2）把，代入整式，计算即可； （3）根据最后结果与的值无关，进而得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵最后计算的结果为， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 当，时，原式； 【小问3详解】 解：由（1）知：， ∵最后结果与的取值无关， ∴， ∴，即丙同学给出的值为． 此时原式． 23. 甲乙两位诗人相约共填《蝶恋花》词集．甲才思舒缓，每日可填两阙；乙文思敏捷，每日可填三阙．若单独完成这部词集，甲比乙要多用20天． （1）求《蝶恋花》词集共有多少阙． （2）为早日成编，二人先合作数日，后甲因事搁笔，乙则灵感渐涌，将每日填词速度提高三分之一，独自完成余稿．已知乙参与填词的总天数恰好是甲参与总天数的2倍还多3天，求乙参与填词的总天数． 【答案】（1）120 （2）27 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设《蝶恋花》词集共有阙，根据单独完成这部词集，甲比乙要多用20天，列出方程进行求解即可； （2）设甲参与填词的总天数为天，根据甲乙合作完成的部分加上乙独自完成的部分之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设《蝶恋花》词集共有阙，由题意，得： ， 解得； 答：《蝶恋花》词集共有120阙； 【小问2详解】 解：设甲参与填词的总天数为天，则乙参与填词的总天数为天，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：乙参与填词的总天数为27天． 24. 阅读以下材料，解决问题 素材一 音乐中的和弦与数学有着奇妙的联系．和弦由不同频率的音符组成，当三个音的频率比为时，根音与三音是大三度，三音与五音是小三度，构成和谐的大三和弦（如，，和弦）． 素材二 在一个圆形的音乐转盘（图1）上，我们可以用低音指针、中音指针和高音指针来模拟声波（图2）．低音、中音、高音指针都从方向开始逆时针旋转，旋转速度分别为秒、秒、秒．规定两根指针的夹角为它们所成的最小正角（即到之间的角）设转动时间为秒． 素材三 根据音乐理论，当低音指针、中音指针和高音指针两两之间的夹角均为时，会发出和谐的和弦声音，我们称此时的转动时间为“和谐时刻” 问题解决 基音初探 当时，指针与指针的夹角为_____；当时，指针与指针的夹角为_____． 和谐时刻 当时，求出所有的“和谐时刻”． 变换元曲 若指针与指针的夹角第一次成后，指针的旋转方向变为顺时针，速度变为秒，其余条件均保持不变．当时，是否存在某个时刻，使得指针所在的直线恰好平分指针和指针的夹角？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由． 【答案】基音初探：，；和谐时刻：“和谐时刻”的t值为120或240；变换元曲：的值为或 【解析】 【分析】基音初探：根据题意求出夹角即可； 和谐时刻：由题意得，与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，要使最小正角为，进行求解即可； 变换元曲：由题意得，求出当与第一次成时的时刻，再分为四种情况：当时或当时或当时或当，分别求解即可． 【详解】解：基音初探：当时：指针与的角度为：， 指针与的角度为：， ∴指针与指针的夹角为； 当时：指针与的角度为：， 指针与的角度为：， ∴指针与指针的夹角为， 故答案为：，； 和谐时刻：由题意得，与的夹角：，要使最小正角为， ∴或（时，夹角的最小正角为）； 与的夹角：，要使最小正角为， ∴或； 与的夹角：，要使最小正角为， ∴（舍去，因不满足前两者）或或， 此时， ∵， ∴最小正角为（符合要求）， ∴“和谐时刻”的t值为120或240； 变换元曲：当与第一次成时：其夹角为， ∴， 当时，如图，此时将与相重合， ∴与的夹角为， 与的夹角为 ， 由题意得，直线平分与的夹角， ∴ 解得， ∵， ∴此时与重合，则此情况不存在； 当时，如图，此过程即将转完一周，已经转完一周， ∴与的夹角为， 当与的夹角为 ， 由题意得，直线平分与的夹角， ∴ 解得； 当时，如图，此过程和已经转完一周，即将回到， ∴与的夹角为， 当与的夹角为 ， 由题意得，直线平分与的夹角， ∴ 解得； 当时，如图，此过程和已经转完两周，从处出发， ∴与的夹角为， 当与的夹角为 ， 由题意得，直线平分与的夹角， ∴ 解得， 此时与的夹角为， 与的夹角为：∵， ∴， ∴此时与重合，不存在此情况， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、角的计算以及角平分线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $