专题11直角三角形与勾股定理（知识清单）（4大考点+10大题型+4大易错+4大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单聚焦“直角三角形与勾股定理”专题，系统涵盖4大核心考点、10大重难题型、4大易混易错点及4大方法技巧，构建从基础概念到综合应用的递进式复习架构。 清单以思维导图呈现知识体系，通过“考点梳理+题型剖析+易错警示+方法技巧”四维设计，如将“含30°角的直角三角形”“勾股定理与翻折问题”等标注为重点题型，结合典例与变式练习培养学生几何直观和推理意识。特别设置“易错点分类讨论”（如已知两边求第三边需分直角边与斜边）和“方法技巧总结”（如最短路径问题展开图应用），助力学生夯实基础、突破难点，同时为教师提供清晰的教学指引，提升复习效率。

专题11直角三角形与勾股定理 （4大考点+10大题型+4大易错+4大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01直角三角形 考点02勾股定理 考点03勾股定理的逆定理 考点04勾股定理的应用 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（10大重难题型） 题型01含30°角的直角三角形 题型02直角三角形斜边的中线 题型03直角三角形全等的判定 题型04用勾股定理解三角形 题型05勾股定理与网格问题 题型06勾股定理与翻折问题 题型07勾股定理与弦图问题 题型08勾股定理的逆定理 题型09勾股定理的应用 题型10勾股定理与最值问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01已知两边求第三边 易错点02勾股定理与分类讨论思想 易错点03勾股数的探究问题 易错点04利用勾股定理的逆定理解决实际问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧） 技巧01：勾股定理与最短路径问题 技巧02：勾股定理与代数式最值的关系 技巧03：勾股定理与翻折问题 技巧04：勾股定理的证明与弦图计算问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，30°所对的值直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.理解直角三角形的判定方法 3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 考点01直角三角形 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2.直角三角形的性质： （1）直角三角形两个锐角互余. （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.直角三角形的判定： （1）两个内角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 4.两个直角三角形全等的判定方法： （1）斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （2）两条直角边对应相等（其实就是 SAS，夹角是直角） （3）一个锐角和一条直角边对应相等（AAS 或 ASA ） （4）一个锐角和斜边对应相等（AAS ） 考点02勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有, , （4）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． （5）勾股数： 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 考点03勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 考点04勾股定理的应用 ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 题型01含30°角的直角三角形 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则 ． 【变式练习】 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 2．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 4．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于 题型02直角三角形斜边的中线 【典例】（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【变式练习】 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ． 题型03直角三角形全等的判定 【典例】（山东滨州·中考真题）如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1． 【变式练习】 7．（2025·陕西榆林·三模）如图，在正方形中，等边三角形的顶点，分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 9．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在正方形 中，是边上一点，，，将正方形边沿 折叠到，延长交于点，则 的长为 ． 题型04用勾股定理解三角形 【典例】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 10．（25-26九年级上·河南周口·期中）在中，，若为高，且，则三边的长分别是(        ) A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（   ） A．4 B． C．5 D．6 12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 题型05勾股定理与网格问题 【典例】（2025·山东·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 【变式练习】 13．（2025·江西抚州·二模）如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 14．（2025·上海·二模）如图，在边长为1的正方形网格中有下列图形，点A、B、C、D都在正方形格子顶点上，和交于点E．则下列结论中有（　　）个是错误的． [结论一] 射线平分； [结论二] ； [结论三] A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．    题型06勾股定理与翻折问题 【典例】（2024·湖北·模拟预测）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，    （1）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． （2）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． 【变式练习】 16．（2026·全国·模拟预测）如图，正方形的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则的长是（   ） A．1 B．2 C．4 D． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 18．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ． 题型07勾股定理与弦图问题 【典例】（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【变式练习】 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·广东·二模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，交，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中非阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D．5 21．（2025·河南·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ． 题型08勾股定理的逆定理 【典例】（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 【变式练习】 22．（2025·湖南·模拟预测）如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 23．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 24．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则 度． 题型09勾股定理的应用 【典例】（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为 ． 【变式练习】 25．（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 26．（2025·安徽·模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（    ） A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺 27．（2025·安徽淮南·二模）我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 m． 题型10勾股定理与最值问题 【典例】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【变式练习】 28．（2025·广东广州·二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 29．（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 30．（2025·青海西宁·三模）参照例题解决问题 例题：求的最小值 求解：如图所示在中可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边的长度，延长到D，使得，则为，以点D为直角构造，使得，可得，过点E作交的延长线于点F，此时为直角三角形，四边形为矩形，连结交于点，当x等于时，最小，此时最小值 拓展应用 (1)直接写出的最小值为______． (2)请求出的值最小时x的值． 易错点01已知两边求第三边 【错因】易错点一应用勾股定理时，直角边和斜边不确定，造成漏解 【避错关键】在应用勾股定理时，要注意确定斜边和直角边 【典例】 1．一个直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上中线长为 ． 2．直角三角形两边长分别为5和12，则第三边为 ． 易错点02勾股定理与分类讨论思想 【错因】易错点三在利用勾股定理求解有关问题时，考虑问题不全面而造成漏解 【典例】 3．在中，，高，则的周长是 ． 4．在中，，，点D是直线上一点且，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则的长为 ． 5．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 易错点03勾股数的探究问题 【错因】对于勾股数的探究题因材料不理解而出错 【典例】 6．若数组3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……；每一组数都是某一个直角三角形的三边，称每一组数为勾股数．若奇数n�为直角三角形的一直角边，用含n的代数式表示斜边和另一直角边．并写出接下来的两组勾股数． 7．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数． （1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明； （2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，直接写出第6个数组． 8．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 易错点04利用勾股定理的逆定理解决实际问题 【错因】在利用勾股定理逆定理解决问题时忽视了直角三角形的证明 【典例】 9．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)经判断，海港会受到台风影响，请写出理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 10．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉，已知，米，米，米，米． (1)证明：； (2)一天傍晚，老林和老李以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 技巧01：勾股定理与最短路径问题 《方法技巧》 在立体几何或平面几何中，“最短路径”通常指的是在某种限制下，两点之间的最短可能长度。 常见的一类问题是：在长方体（或圆柱、棱柱等）的表面上，从一个点爬到另一个点的最短路径。 这类问题往往需要将几何体的表面展开，然后利用“两点之间，线段最短”的公理，在展开图中用勾股定理求出最短路径长度。 【典例】 1．已知圆锥的底面圆直径为4，母线长为6，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到该点，求蚂蚁爬行的最短路径长． 2．如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 3．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 技巧02：勾股定理与代数式最值的关系 《方法技巧》 勾股定理在解析几何中对应的是 两点间距离公式： 因此，形如的最值问题，可以看成是平面直角坐标系中两个线段长度之和的最值 【典例】 4．【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A、E两点在直线l同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为______； （2）请在图找出点C，使得的值最小，简要说明作法，并求出的最小值． 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 5．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 技巧03：勾股定理与翻折问题 《方法技巧》翻折问题（折叠问题）在初中数学中非常常见，通常涉及图形的轴对称变换，而勾股定理常用于求折叠后的线段长度. 翻折即轴对称变换，翻折前后有以下不变关系： 1.对应边相等，对应角相等； 2.对称轴垂直平分对应点的连线； 3.折叠后重合部分全等； 4.折痕上的点到对应点的距离相等。 在矩形、直角三角形等几何图形中折叠，常常产生直角三角形，从而可以使用勾股定理列方程求解未知边长。 【典例】 6．如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片，使边与对角线重合，折痕为，求及的长． 7．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处， (1)求证 (2)已知，求的值． 8．如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)求折痕的长． 技巧04：勾股定理的证明与弦图计算问题 《方法技巧》 弦图不仅可以证明勾股定理，还蕴含着重要的数学思想： 等积变换：图形重组，面积不变。 数形结合：代数等式与几何图形对应。 【典例】 9．综合与实践 问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，为边上任意一点，先把矩形纸片上下对折，折痕交于点，交于点． (1)如图1，当点恰好落在折痕线上时，得到．“勤学小组”发现，此时是一个特殊角，___________°．如图2，再过点向右折纸片，得到折痕，使交于点，交于点．此时，．请说明理由． (2)如图3，“好问小组”折叠，使得点恰好落在对角线上，发现点为边的中点，请说明理由． (3)“勤学小组”折叠，使得落在矩形纸片内部，若，当是直角三角形时，直接写出的长度． 10．【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 11．经典再现 图1是我们熟悉的“赵爽弦图”，此图可用“出入相补法”证明勾股定理．即图1是四个全等的直角三角形围成大正方形和小正方形，设． （1）请结合图1证明勾股定理：； 经典延伸 （2）将图1经过拉伸可得到图2，图2可以看成两组全等的三角形围成四边形和四边形，若四边形为平行四边形，四边形为菱形，且．当，平行四边形的面积为时，求n的值； （3）当时，直接写出平行四边形面积的最大值． 一、单选题 1．（2025·浙江杭州·一模）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，于点D，添加下列条件后仍不能使成为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽亳州·一模）如图，在7×4网格中，点A，B，C，D是格点（网格线的交点），连接，，过点D作交于点P，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·一模）如图，四边形中，，则的长为（　　）    A．12 B． C． D． 5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，是斜边的中线，E，F分别是，的中点，连接若，，则的长为（    ）   A．3 B． C． D． 6．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图是边长为1的正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，顶点A到最远的顶点之间距离是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 8．（2025·宁夏中卫·二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 9．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，且，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 二、填空题 11．（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ． 12．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 13．（2025·四川绵阳·一模）如图，将边长为的正方形绕点A逆时针旋转后，得到正方形，则图中阴影部分的面积是 ． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为 ． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，四边形中，，，是的中点，连接并延长交于点，若，，则 ． 16．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点，绕原点顺时针旋转得到对应点，点在射线上，且，得到最终的对应点，称点为点经过变换后的对应点．例如，点经过变换后的对应点为，那么点经过变换后的对应点坐标为 ． 三、解答题 17．（2025·甘肃武威·一模）如图，在等腰直角三角形中，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点M，； ②再分别以点M，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③作射线，交于点 (2)直接写出线段，与之间的数量关系． 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，点P在射线上．请用尺规作图法，在射线上求作一点Q，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，，，垂足分别是点、，，，求的长． 20．（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 21．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 22．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 23．（2024·广东清远·一模）如图，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点（），连接并延长，交于点F，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点 (1)求证：； (2)当时，求的长； 24．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11直角三角形与勾股定理 （4大考点+10大题型+4大易错+4大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01直角三角形 考点02勾股定理 考点03勾股定理的逆定理 考点04勾股定理的应用 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（10大重难题型） 题型01含30°角的直角三角形 题型02直角三角形斜边的中线 题型03直角三角形全等的判定 题型04用勾股定理解三角形 题型05勾股定理与网格问题 题型06勾股定理与翻折问题 题型07勾股定理与弦图问题 题型08勾股定理的逆定理 题型09勾股定理的应用 题型10勾股定理与最值问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01已知两边求第三边 易错点02勾股定理与分类讨论思想 易错点03勾股数的探究问题 易错点04利用勾股定理的逆定理解决实际问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧） 技巧01：勾股定理与最短路径问题 技巧02：勾股定理与代数式最值的关系 技巧03：勾股定理与翻折问题 技巧04：勾股定理的证明与弦图计算问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，30°所对的值直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.理解直角三角形的判定方法 3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 考点01直角三角形 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2.直角三角形的性质： （1）直角三角形两个锐角互余. （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.直角三角形的判定： （1）两个内角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 4.两个直角三角形全等的判定方法： （1）斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （2）两条直角边对应相等（其实就是 SAS，夹角是直角） （3）一个锐角和一条直角边对应相等（AAS 或 ASA ） （4）一个锐角和斜边对应相等（AAS ） 考点02勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有, , （4）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． （5）勾股数： 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 考点03勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 考点04勾股定理的应用 ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 题型01含30°角的直角三角形 【典例】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，先由基本作图得直线垂直平分，再推出，，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，直线垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式练习】1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 2．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 题型02直角三角形斜边的中线 【典例】（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 【变式练习】 4．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点O是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型03直角三角形全等的判定 【典例】（山东滨州·中考真题）如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键． （1）如图作于，于，由于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，故（）正确； （2）因为，故（）正确； （3）由三角形全等可知，所以定值，故（）正确； （4），的位置变化，所以的长度是变化的，故（4）错误． 【详解】解：如图，作于E，于F．   ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，，故（）正确， ， =定值，故（）正确， 为定值，故（2）正确， ，的位置变化， 的长度是变化的，故（4）错误． 正确的有（1）（2）（3），共3个 故选：B． 【变式练习】 7．（2025·陕西榆林·三模）如图，在正方形中，等边三角形的顶点，分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明，进而得出为等腰直角三角形即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：A． 8．（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在正方形 中，是边上一点，，，将正方形边沿 折叠到，延长交于点，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，连接，先求出，由四边形是正方形，则，，再通过折叠性质可知，，，，证明，所以，设，则，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型04用勾股定理解三角形 【典例】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程． 连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长． 【详解】解：连接，如图， 设，则有， 在中，， 在中，， 在中，， ∵，即， 在中，， 即，解得， ∴． 故选：C． 【变式练习】 10．（25-26九年级上·河南周口·期中）在中，，若为高，且，则三边的长分别是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，结合勾股定理，根据高求解各边长度． 【详解】，，，． 在中，，，，即． 在中，， 由勾股定理，，代入，，得， 解得：（负值舍去）． 故，，， 故选：C． 11．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据旋转的性质可证，根据直角三角形两锐角互余可证，由此可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点旋转至， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， ， 故选：C． 12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：48． 题型05勾股定理与网格问题 【典例】（2025·山东·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键． （1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短； （2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作， 故答案为： （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作，由方格和为的中点知，，， ， 故答案为：． 【变式练习】 13．（2025·江西抚州·二模）如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理可得长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线，即可求解． 【详解】解：因为， 所以长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线， 如图， 共有14条线段． 故选：D 14．（2025·上海·二模）如图，在边长为1的正方形网格中有下列图形，点A、B、C、D都在正方形格子顶点上，和交于点E．则下列结论中有（　　）个是错误的． [结论一] 射线平分； [结论二] ； [结论三] A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平行线的性质、勾股定理与网格等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由网格图可知：四边形是正方形，为对角线，利用正方形的性质可判断结论一；由勾股定理可得，可判断结论二；由平行线和正方形的性质可得，，再根据平行线的性质以及正方形的性质可得，，可得，即，可判断结论三． 【详解】解：如图：由网格图可知：四边形是正方形，为对角线， ∴射线平分，即结论一正确，不符合题意； 由勾股定理可得：，即结论二正确，不符合题意； 如图：由网格图可得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即结论三错误，符合题意； 综上，错误的只有1个． 故选：B． 15．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．    【答案】 【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接，   ， ， 又点是的中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 题型06勾股定理与翻折问题 【典例】（2024·湖北·模拟预测）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，    （1）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． （2）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． 【答案】 【分析】（1）设，，根据折叠，可知，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）连接，先证明，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）设， ， ， 长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）连接，如图所示：   折叠， ，， 四边形是长方形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式练习】 16．（2026·全国·模拟预测）如图，正方形的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则的长是（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据折叠可得，，在直角中，设，则，根据可得，可以根据勾股定理列出方程，从而解出的长，再由，求得、，进而求得，设，用y表示与，在中，由勾股定理列出y的方程，即可求得的长度． 【详解】解：如图，设与相交于点K， 根据折叠的性质得，，， 设，则， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴线段的长是2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查翻折变换（折叠问题），正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键． 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 18．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，由折叠得，，因为点恰好落在的延长线上的点处，所以，，所以，则，，即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ∴， 由折叠得， ∵点恰好落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型07勾股定理与弦图问题 【典例】（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 【变式练习】 19．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 20．（2024·广东·二模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，交，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中非阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，以弦图为背景的计算题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积，再求出图中非阴影部分的面积之和． 【详解】解：， ， 设， 则， ∴， ， 根据题意可知： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积之和为： ． ∴图中非阴影部分的面积之和为， 故选：A． 21．（2025·河南·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、弧长公式等知识．设，则，根据勾股定理求出或，根据小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差，得到正方形的边长为，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：∵每个直角三角形的两直角边之和为7， ∴设，则． 在中，由勾股定理可得到， ， 解得或． 由题图可知，小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差， ∴正方形的边长为， ∴的长为 故答案为： 题型08勾股定理的逆定理 【典例】（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理．连接，根据勾股定理可得的长，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，再根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积是． 故答案为： 【变式练习】 22．（2025·湖南·模拟预测）如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查三角形及其性质、解直角三角形，A选项三边不满足三角形三边关系，B选项为等腰直角三角形，D选项为直角三角形，C选项为等腰三角形，且角度为，，，满足条件． 【详解】解：A．，三边不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不合题意； B．，则此三边构成等腰直角三角形，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； C．1，1，，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为，顶角为，满足一个角是另一个角的4倍，符合题意； D．1，2，，此三边构成直角三角形，最小角为，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； 故选：C． 23．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段、一元二次方程的解法、勾股定理，解决本题的关键是根据“边积三角形”的定义和勾股定理找到三角形各边之间的关系．根据“边积三角形”的定义可得：，根据比例的性质可得：；设，根据三角形三边之间的关系可得：，解得：，根据三角形的三边长度必须是正数，可得：；根据，，由得，则有；根据勾股定理可知，当是直角三角形时，可知，，得，在选项的取值范围中，所以可能是直角三角形． 【详解】解：A选项：且是“边积三角形”， ， ，故A选项正确，不符合题意； 设， B选项：则有，， ， ，， ， ， 是的边， ， 不等式两边同时除以，可得：， 移项得：， 令， 则二次函数的图象开口向上， 当时，可得：， 解得：，， 当时，成立， 又， ， 当时，， ，故选项正确，不符合题意； 选项：由得，， 又， ∴，则， ∴， ∴， 即，故选项正确，不符合题意； 选项：若是直角三角形，则有， ， 等号两边同时除以，得， 则有，解得 由选项可知， 在取值范围内， 故存在“边积三角形”是直角三角形的概率不为， 故选项错误，符合题意． 故选：． 24．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则 度． 【答案】150 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．以为边，构造等边，连接，，先根据等边三角形的性质，用判定证得，再根据勾股定理的逆定理证得为直角三角形，从而有，最后根据求得角度． 【详解】解：如图，以为边，构造等边，连接，， ∵是等边三角形，是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ， 在中，，，， ∴， 为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． 题型09勾股定理的应用 【典例】（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先求出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺， 由勾股定理，得． 故答案为：． 【变式练习】 25．（2025·湖北·模拟预测）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，    故底面直径为，高为， 则， 故圆柱内部吸管长， 又露出的部分至少为， 故吸管长． 故选：A． 26．（2025·安徽·模拟预测）《九章算术》卷三载有“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈（一丈等于十尺），葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长几何”．下列答案正确的是（    ） A．3尺、4尺 B．6尺、8尺 C．12尺、13尺 D．24尺、25尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．设水深为x尺，则葭长为尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设水深为x尺，则葭长为尺，根据题意得： ， 解得：， 答：水深为12尺，则葭长为13尺． 故选：C 27．（2025·安徽淮南·二模）我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 m． 【答案】3.25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两个直角边分别为a、b，斜边为c，那么，本题设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 故答案为：3.25． 题型10勾股定理与最值问题 【典例】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 【变式练习】 28．（2025·广东广州·二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，平面展开-最短路径问题，简单组合体的三视图，关键是得到点M、N所在位置． 先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果． 【详解】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的处，即处，如图， 所以所求的最短路径的长度为． 故选：D． 29．（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 【答案】(1)见解析 (2)最短矩离的长为 【分析】本题考查的知识点是尺规作图—垂直平分线、勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）点即为侧面展开图中长的垂直平分线与长的交点，作垂直平分线找到点后，连接即可； （2）结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由题意知，，，， 在中，． 答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为． 30．（2025·青海西宁·三模）参照例题解决问题 例题：求的最小值 求解：如图所示在中可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边的长度，延长到D，使得，则为，以点D为直角构造，使得，可得，过点E作交的延长线于点F，此时为直角三角形，四边形为矩形，连结交于点，当x等于时，最小，此时最小值 拓展应用 (1)直接写出的最小值为______． (2)请求出的值最小时x的值． 【答案】(1)10 (2)的值最小时x的值为 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）通过构造几何图形，利用勾股定理将代数式中的根式转化为直角三角形的斜边，再依据两点之间线段最短的性质来求解最小值． （2）证明，根据相似三角形性质求出结论． 【详解】（1）解：如下图所示， 在中，可看成是直角边分别为x和2的直角三角形的斜边的长度， 延长到D，使得，则为， 以点D为直角构造，使得，可得， 过点E作交的延长线的垂线交于点F， 此时为直角三角形，四边形为矩形， 连结交于点， ∵， ∴当点A、C、E三点共线时，最小，最小值为的长， 即当x等于时，最小， 此时最小值， 故答案为：10； （2）由（1）知，当x等于时，最小， ， ， ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， 的值最小时x的值为． 易错点01已知两边求第三边 【错因】易错点一应用勾股定理时，直角边和斜边不确定，造成漏解 【避错关键】在应用勾股定理时，要注意确定斜边和直角边 【典例】 1．一个直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上中线长为 ． 【答案】6.5或6 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质．先利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：当长为5和12的边长为两条直角边时，斜边长为：， 则斜边上的中线长为：． 当边长为12的边为斜边时， 则斜边上的中线的长为：； 故答案为：6.5或6． 2．直角三角形两边长分别为5和12，则第三边为 ． 【答案】13或 【分析】本题考查勾股定理的应用，分情况讨论两边均为直角边或一边为斜边的情形，进而求解即可． 【详解】解：当5和12均为直角边时， 由勾股定理得斜边； 当12为斜边，5为一条直角边时，另一条直角边． 故答案：13或． 易错点02勾股定理与分类讨论思想 【错因】易错点三在利用勾股定理求解有关问题时，考虑问题不全面而造成漏解 【典例】 3．在中，，高，则的周长是 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：当高在的内部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 当高在的外部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 综上所述，的周长是或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 4．在中，，，点D是直线上一点且，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，旋转的性质及勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，分为当点D在线段上时及当点D在线段的延长线上时，分别证明，再求解即可． 【详解】解：，， ， ①如图，当点D在线段上时， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ； ②如图，当点D在线段的延长线上时， ，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 5．如图，在中，，点为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当时，当时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，则， 由折益的性质可得， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， 由折叠的性质可得，,， ∴， ∴三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， 综上可得：当为直角三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 易错点03勾股数的探究问题 【错因】对于勾股数的探究题因材料不理解而出错 【典例】 6．若数组3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……；每一组数都是某一个直角三角形的三边，称每一组数为勾股数．若奇数n�为直角三角形的一直角边，用含n的代数式表示斜边和另一直角边．并写出接下来的两组勾股数． 【答案】11、60、61；13、84、85． 【详解】试题分析:解决本题的关键是找到所给勾股数中两个数相差1的规律,此时可设另一直角边为x,则斜边为x+1,再根据勾股定理列出关系式,从而解得: x＝(n2－1), x+1＝(n2+1). 解：设它们是x，x+1，根据勾股定理有：n2+x2＝(x+1)2， 整理得x＝(n2－1)，x+1＝(n2+1)． 所以直角三角形的三边分别是n，(n2－1)，(n2+1)． 当n＝11时，(n2－1)＝(112－1)＝60，(n2+1)＝61，勾股数是11、60、61； 当n＝13时，(n2-－1)＝(132－1)＝84，(n2+1)＝85，勾股数是13、84、85． 7．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数． （1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明； （2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，直接写出第6个数组． 【答案】（1）见解析；（2）第6组勾股数是：（13，84，85） 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案． （2）先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答． 【详解】（1）证明：x2+y2 ＝（2n）2+（n2﹣1）2, ＝4n2+n4﹣2n2+1， ＝n4+2n2+1， ＝（n2+1）2， ＝z2， 即x，y，z为勾股数． （2）∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1； ②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1； ③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1； ④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1； ⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1， 则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85， ∴第6组勾股数是：（13，84，85）． 【点睛】此题考查勾股定理的证明，勾股数的规律探究，掌握勾股定理的等量关系是证明勾股定理的基础，根据已知的勾股数得到各组数据的规律是解题的关键. 8．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41，⑤11， ， ； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37，⑤14， ， ； (2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数，请你补充完整的猜想并验证这一猜想是否正确． 【答案】(1)60，61；48，50 (2) 【分析】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据所提供的几组勾股数找出规律，难度不大． （1）根据所提供的几组勾股数的规律即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第（5）组勾股数： 当为奇数时，如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；（5）11，60，61； 当为偶数时，如6，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37；（5）14，48，50； 故答案为：60，61；48，50； （2）猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为，则这三个数为勾股数． 证明： 又∵n为奇数， ∴为整数， ∴这三个数为勾股数． 故答案为：． 易错点04利用勾股定理的逆定理解决实际问题 【错因】在利用勾股定理逆定理解决问题时忽视了直角三角形的证明 【典例】 9．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为．，，且，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)经判断，海港会受到台风影响，请写出理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用三角形面积得出的长，进而得出海港受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：，，， 是直角三角形， 如图， 过点作于， 是直角三角形， ， 即， ． 距离台风中心及以内的地区会受到影响，而， 海港会受到台风影响． （2）解：如图所示， 在直线上取点，连接， 使， 则， ， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 10．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了、和三个区域，分别摆放三种不同的花卉，已知，米，米，米，米． (1)证明：； (2)一天傍晚，老林和老李以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）在中，根据勾股定理，可得米，在中，可得，根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，即可证得； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理可列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 根据勾股定理，得， 即米， 在中，米，米， ∵米，米， ∴， 根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形， ∴； （2）解：由（1）知为直角三角形，， 根据题意可得，， 设米，则米， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∴线段的长度为米． 技巧01：勾股定理与最短路径问题 《方法技巧》 在立体几何或平面几何中，“最短路径”通常指的是在某种限制下，两点之间的最短可能长度。 常见的一类问题是：在长方体（或圆柱、棱柱等）的表面上，从一个点爬到另一个点的最短路径。 这类问题往往需要将几何体的表面展开，然后利用“两点之间，线段最短”的公理，在展开图中用勾股定理求出最短路径长度。 【典例】 1．已知圆锥的底面圆直径为4，母线长为6，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到该点，求蚂蚁爬行的最短路径长． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，勾股定理，把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径．将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键． 【详解】解：圆锥的侧面展开如图，过点作， 则， 设， 由题意得，， 得， 即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 2．如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽． (1)求该纸帽的底面半径． (2)如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可； （2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，且点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为， 设该纸帽的底面半径为， ∴， 解得； （2）解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点， 此时，，， ∴丝带的最短长度为的长度， ∵， ∴为等边三角形， ∴根据三线合一得，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴丝带的最短长度为． 【点睛】本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质． 3．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 技巧02：勾股定理与代数式最值的关系 《方法技巧》 勾股定理在解析几何中对应的是 两点间距离公式： 因此，形如的最值问题，可以看成是平面直角坐标系中两个线段长度之和的最值 【典例】 4．【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A、E两点在直线l同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为______； （2）请在图找出点C，使得的值最小，简要说明作法，并求出的最小值． 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）     （2）的值最小为17     （3） 【分析】本题主要考查勾股定理和几何模型求最值，矩形的判定和性质，轴对称求最短线段，根据题干将代数式的几何意义表示出来和熟练运用两点间的距离公式是解题的关键． （1）利用线段的加减表示为的长即可； （2）作点E关于l的对称点，连接，依据两点之间线段最短的原理，当、、三点共线时，的值最小为的长，连接，作的延长线于点F，先证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （3）首先根据题干将代数式转化为平面直角坐标系中两点间的距离，再利用几何模型在平面直角坐标系中求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，作点E关于l的对称点，连接，即当、、三点共线时，的值最小为的长，连接，作的延长线于点F， ∵点E关于l的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的值最小为17． （3）解：∵， ∴几何意义为：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离， ∴代数式的最小值即为的最小值， 如图，作点B关于l的对称点，即当、、三点共线时，的值最小为的长，过点作轴的平行线，作于点C， ∵点B关于l的对称点为点， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴代数式的最小值为． 5．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 技巧03：勾股定理与翻折问题 《方法技巧》翻折问题（折叠问题）在初中数学中非常常见，通常涉及图形的轴对称变换，而勾股定理常用于求折叠后的线段长度. 翻折即轴对称变换，翻折前后有以下不变关系： 1.对应边相等，对应角相等； 2.对称轴垂直平分对应点的连线； 3.折叠后重合部分全等； 4.折痕上的点到对应点的距离相等。 在矩形、直角三角形等几何图形中折叠，常常产生直角三角形，从而可以使用勾股定理列方程求解未知边长。 【典例】 6．如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片，使边与对角线重合，折痕为，求及的长． 【答案】； 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，设先由矩形的性质与勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得的长，则可求出，再在中利用勾股定理建立方程求出的长即可． 【详解】解：设 ∵四边形是矩形， ∴， ， 由折叠的性质可得：， ， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得： 7．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处， (1)求证 (2)已知，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查的知识点涵盖矩形的性质(对 边相等、四个角为直角)、图形折叠的性质 (折叠前后对应边相等、对应角相等)、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用，以及锐角三角函数(正切)的定义，是对平面几何中矩形、相似三角形、直角三角形相关知识的综合考查，同时也考查了利用几何性质进行逻辑推理和计算的能力． （）利用矩形的性质和折叠的角度相等性质，通过角度互余推出两组对应角相等，再依据相似三角形的判定定理证明三角形相似即可； （）先由折叠得，结合勾股定理求出的长度；再利用()的相似结论求出(即)的长度；最后在中，根据正切的定义计算的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由折叠得， 在中，根据勾股定理： ∴ 由（）得，得 ， 即， 解得， 则 由折叠得， 在中， ． 8．如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质可得和分别是和的角平分线，据此即可求解； （2）在直角中利用勾股定理求得的长，设，则，在直角和直角分别利用三角函数即可得到关于的方程，求得的值，再在直角中利用勾股定理求得的长，再根据，则函数值相等，据此列方程求解． 本题考查了图形的折叠与三角函数，勾股定理，角度相等则对应的三角函数值相等，据此求得的长度是本题的关键． 【详解】（1）解：∵折叠 ，， 又， ； （2）解：，，， ． 由折叠可知，，，，． 设，则． 在直角中，， 又在直角中，． ． ， ． ， ， ， ． 9．综合与实践 问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，为边上任意一点，先把矩形纸片上下对折，折痕交于点，交于点． (1)如图1，当点恰好落在折痕线上时，得到．“勤学小组”发现，此时是一个特殊角，___________°．如图2，再过点向右折纸片，得到折痕，使交于点，交于点．此时，．请说明理由． (2)如图3，“好问小组”折叠，使得点恰好落在对角线上，发现点为边的中点，请说明理由． (3)“勤学小组”折叠，使得落在矩形纸片内部，若，当是直角三角形时，直接写出的长度． 【答案】(1)；见详解； (2)见详解； (3)6或 【分析】（1）由折叠的性质得是、的中点的连线，求得中则，进而求出；再根据等角的三角函数值相等，即可求证； （2）由折叠的性质得对应角，对应边相等，结合三角形内角和定理可推出，结合平行线的性质得即可得出答案； （3）分当和两种情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵矩形上下对折后，折痕是、的中点的连线， ∴， 由折叠性质知， ∴在中， ∴， ∴， ∵，点恰好落在折痕线上， ∴为的中点，即， ∴， ∴， 由折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质知，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为边的中点； （3）解：当，如图： 由折叠性质知， ∴， 即点共线， ∵折痕是、的中点的连线， ∴， ∵， 在中，， 由折叠性质知， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ， 即； 当时，如图： 由折叠性质知，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴当是直角三角形时，的长度是6或． 【点睛】本题考查了图形的折叠、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，熟练理解折叠的性质是解题的关键． 技巧04：勾股定理的证明与弦图计算问题 《方法技巧》 弦图不仅可以证明勾股定理，还蕴含着重要的数学思想： 等积变换：图形重组，面积不变。 数形结合：代数等式与几何图形对应。 【典例】 10．【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 11．经典再现 图1是我们熟悉的“赵爽弦图”，此图可用“出入相补法”证明勾股定理．即图1是四个全等的直角三角形围成大正方形和小正方形，设． （1）请结合图1证明勾股定理：； 经典延伸 （2）将图1经过拉伸可得到图2，图2可以看成两组全等的三角形围成四边形和四边形，若四边形为平行四边形，四边形为菱形，且．当，平行四边形的面积为时，求n的值； （3）当时，直接写出平行四边形面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的面积等于其边长的平方，以及正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上正方形的面积进行证明即可 ； （2）分别过点A，点C作的垂线，垂足分别为P、M，过点E作于Q，由菱形的性质得到，则，则可求出，进而可得；证明，得到，则，可得；同理可得，据此可得方程，解方程即可得到答案； （3）类似于（2）分别求出，，进而用含m、n的式子表示出，再结合已知条件和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）， ， ∴； （2）如图所示，分别过点A，点C作的垂线，垂足分别为P、M，过点E作于Q， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去；） （3）如图所示，分别过点A，点C作的垂线，垂足分别为P、M，过点E作于Q， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的最值问题等等，正确作出辅助线构造直角三角形，进而表示出对应图形的面积是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·浙江杭州·一模）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为． 【详解】解：由题意得， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，于点D，添加下列条件后仍不能使成为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形定义和判定，勾股定理的逆定理、相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 此题根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理、相似三角形的判定方法判断即可． 【详解】A．∵，∴，又∵所以，即，故为直角三角形，故A不符合题意， B． 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B不符合题意， C． 因为，∴，所以，即为直角三角形，故C不符合题意． D． ，因为，所以，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D符合题意． 故选：D 3．（2025·安徽亳州·一模）如图，在7×4网格中，点A，B，C，D是格点（网格线的交点），连接，，过点D作交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，相似三角形的性质；通过网格数出，，根据勾股定理求出，再用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由图可知：，，， ∵ ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 故选D． 4．（2025·安徽·一模）如图，四边形中，，则的长为（　　）    A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线间的距离，掌握含30度角的直角三角形的性质，平行线间的距离是解题的关键．分别作于E点，于F点，则有，根据含的直角三角形的性质，等腰直角三角形和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：如图，分别作于E点，于F点，    ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：D． 5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，是斜边的中线，E，F分别是，的中点，连接若，，则的长为（    ）   A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出，再根据三角形中位线定理即可求出． 本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：，F分别是，的中点，， ，是的中位线， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 6．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图是边长为1的正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，顶点A到最远的顶点之间距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．先画出图形（见解析），则可得，，再利用勾股定理可得的值，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，在这个正方体中，，， ∴， ∴， 即折叠成正方体后，顶点到最远的顶点之间距离是， 故选：C． 7．（2025·四川成都·一模）对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（   ） A．至少存在一个钝角三角形 B．至多存在一个直角三角形 C．至少存在一个锐角三角形 D．至多存在一个钝角三角形 【答案】A 【分析】根据若为直角三角形，那么两个较小边的平方和等于最大边的平方；若为钝角三角形，那么两个较小边的平方和小于最大边的平方；若为锐角三角形，那么两个较小边的平方和大于最大边的平方；分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， ∴， ∴， ，且为正整数， 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即， ， ， 又， ， ，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即， 解得：，不符合题意，舍去， ，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形，此时， 即， ， ， 又， 的最小值为， 即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意； 故选：A． 8．（2025·宁夏中卫·二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积．本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和-重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键． 【详解】解：根据题意可得， 小正方形的边长． ∴ 故选：． 9．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，且，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中线的性质、等腰三角形的判定与性质以及角度计算，掌握利用中线性质推导等腰三角形，并通过等量代换进行角度求解是解题的关键．如图，在中，为斜边的中线，故，从而．以为圆心、为半径画弧可得，故为等腰三角形．在中，利用内角和定理求出，最后通过邻补角关系求得． 【详解】解：，为边上的中线， ， ， ， ， ， 以点为圆心，长为半径画弧交边于点， ， ， ， 故选：． 10．（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由作图过程可得、垂直平分，进而得到、、，即；由直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 故选：B． 二、填空题 11．（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．二次根式，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出． 【详解】解：在中，，， 则， 在中，，，是斜边的中点， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（2025·上海嘉定·一模）如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距 海里．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 13．（2025·四川绵阳·一模）如图，将边长为的正方形绕点A逆时针旋转后，得到正方形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质， 连接，根据正方形的性质和旋转的性质证明，可得，然后根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，可求，则此题可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，且绕点A逆时针旋转得到四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 14．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，是边上的中线，D，E分别是的中点，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理．易知是的中位线，那么，而是斜边上的中线，应等于的一半． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵在中，，是边上的中线， ∴， 故答案为：6． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，四边形中，，，是的中点，连接并延长交于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，作于点，根据直角三角形斜边中线和等腰三角形的性质可得，再证明可得，再根据中位线的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于点， ，是的中点， ， ，， ， ， ，， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线，中位线的性质，解题的关键综合运用以上知识点，正确作出辅助线． 16．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点，绕原点顺时针旋转得到对应点，点在射线上，且，得到最终的对应点，称点为点经过变换后的对应点．例如，点经过变换后的对应点为，那么点经过变换后的对应点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据变换规则可求出，且，过点作轴于点B，求出和的长即可得到答案． 【详解】解：设点经过变换后的对应点为， ∵， ∴， ∴，且， 如图所示，过点作轴于点B， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 17．（2025·甘肃武威·一模）如图，在等腰直角三角形中，． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点M，； ②再分别以点M，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③作射线，交于点 (2)直接写出线段，与之间的数量关系． 【答案】(1)图见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查尺规作图以及等腰三角形性质、直角三角形性质，通过尺规作图转化出必要的条件，熟练掌握等腰三角形性质、直角三角形性质是本题的解题关键． （1）根据题目要求尺规作图即可； （2）根据等腰三角形性质得出，再根据直角三角形性质得出即可． 【详解】（1）解：如下图即为所求作； （2）解：，理由如下： 在等腰直角三角形中，， 由作图知：平分， ， ． 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，点P在射线上．请用尺规作图法，在射线上求作一点Q，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 过点作于点即可． 【详解】解：如图，，点即为所求． 19．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，，，垂足分别是点、，，，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据条件可以得出，利用可以得出，再根据全等三角形的性质得出，，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， 20．（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 21．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用斜边中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：于D， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 点E为的中点， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．掌握上述性质是解题的关键． 22．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 【答案】（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40． 【分析】本题主要考查了平方差公式及勾股定理，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，根据“智慧数”的定义和规律即可解答． （1）根据定义进行解答即可； （2）证明，即表示所有4的倍数（4除外），即可得到结论； （3）根据定义进行解答即可； （4）根据前面的讨论可知即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴11是“智慧数”， 故答案为：； （2）验证：设（，且k为整数） ∵， ∴是“智慧数”， 又∵， ∴，即表示所有4的倍数（4除外）， ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”； （3）解：∵， ∴24是“智慧数”， 故答案为：； （4）解：因为8是4的倍数， 所以由（2）及勾股定理可知：， 这个直角三角形纸片的周长是或； 故答案为：24或40． 23．（2024·广东清远·一模）如图，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点（），连接并延长，交于点F，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点 (1)求证：； (2)当时，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由四边形是矩形，可得，而四边形与关于所在直线成轴对称，有，故，； （2）过G作于H，设，可知，，根据点O为矩形的对称中心，可得，故，在中，，解得x的值从而可得的长为． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形与关于所在直线成轴对称， ∴， ∴， ∴； （2）解：过G作于H，如图： 设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点O为矩形的对称中心， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴的长为； 24．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 【答案】（）①；②证明见解析；（） 【分析】（）①由勾股定理可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；②由旋转的性质可得，，，，进而可证，得到，再根据得到，即可求证； （）作于，由勾股定理得，进而得，又由等腰三角形的判定可得，即得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； ②证明：∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示， 则，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，’ ∴； （）作于，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $