专题03平面直角坐标系与函数 （知识清单）（5大考点+11大题型+4大易错+4大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单全面梳理了“平面直角坐标系与函数”的内容，涵盖坐标系概念、点的坐标特征、坐标变化与距离、函数概念及表示方法五大核心考点，搭建了从基础梳理到题型突破再到方法提炼的递进式复习架构。 清单通过思维导图构建知识体系，11大重难题型分类剖析重点，如“坐标方法的应用”培养空间观念，4大易错点警示点到坐标轴距离等误区提升思维严谨性。提炼“点的坐标变化规律”等方法技巧，结合实战演练，帮助学生用数学语言表达变量关系，发展推理意识和应用意识，助力学生自主复习和教师精准教学。

专题03平面直角坐标系与函数 （5大考点+11大题型+4大易错+4大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5个核心考点） 考点01 平面直角坐标系 考点02点的坐标 考点03点的坐标变化 考点04函数的概念 考点05函数的表示方法 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（11大重难题型） 题型01有序数对 题型02点所在的象限 题型03点的坐标 题型04坐标与平移、对称、旋转 题型05坐标方法的应用 题型06点的坐标规律探索 题型07变量与常量 题型08自变量与函数值 题型09图象的识别和信息的提取 题型10函数解析式 题型11动点问题的函数图象 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01点到坐标轴的距离 易错点02点的坐标特征 易错点03点的坐标的平移 易错点04描点法画函数的图象 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧） 方法01点的坐标变化规律 方法02动点问题的函数图象 方法03平面直角坐标系与几何综合问题 方法04新定义问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.理解平面直角坐标系的有关概念，在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标;；会求一个点平移、对称变换后的坐标 2.在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 3.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例； 4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值； 5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义;结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 考点01平面直角坐标系 1. 点的坐标： （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 考点02点的坐标 1.各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． 2.坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b=0；②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0． 3.两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： 1 一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b． 考点03点的坐标变化     ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）     ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）     ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）     ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b） 考点04函数的有关概念 1. 常量与变量 （1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 2. 函数的有关概念 （1）函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． （2）函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （3）函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 考点05函数的表示方法 表示 方法 定义 优点 缺点 解析 式法 用含自变量x的式 子表示函数y的 方法 简单明了,能准确地反 映整个变化过程中自 变量与函数的关系 求出对应值时,往往要 经过比较复杂的计算, 而且有些实际问题不一 定能用解析式表示出来 列表 法 把一系列自变量值 x与对应的函数值y 列成一个表格来表 示函数关系的方法 一目了然,由表中已有 自变量的每一个值,可 以直接得出相应的函 数值 自变量的值不能一一列 出,也不容易看出自变 量与函数之间的对应 关系 图象 法 用图象来表示函数 关系的方法 能直观形象地表示函 数关系 观察图象只能得到近似 的数值 题型01有序数对 【典例】（2024·四川达州·二模）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成，则A与B的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，用有序数对表示位置，先根据题意得到点B的位置可以表示成，进而得到和中心点的夹角为90度，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意得，点B的位置可以表示成， ∴和中心点的夹角为90度， ∴， 故答案为：． 【变式练习】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（    ） A．表示排a号 B．表示第b排a号位 C．表示b排或a号 D．与不可能代表同一个位置 【答案】B 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可． 【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为， ∴表示第b排a号位， 故选：B． 2．（2024·江苏盐城·三模）小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能为（    ） 4 3 2 1 1 2 3 4 5 A．汉 B．华 C．盐 D．音 【答案】C 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据题意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”， 表示的对应的字母为“”，则“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示对应的字母为“”，即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”， ∴ “咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的对应的字母为“”， ∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示对应的字母为“”， ∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能是：“盐”， 故选：C． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”．若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是 ． 【答案】20 【分析】认真读懂题意，利用发现的规律解决数字问题． 本题考查了数字的变化，解题的关键是掌握数字变化的规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可知第7行为1 6 15 20 15 6 1， 表示的正整数是． 故答案为：． 题型02点所在的象限 【典例】（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 根据点P的坐标，通过讨论m的取值范围，分析点P可能所在的象限，并判断不可能出现的象限． 【详解】解：点P的坐标为．平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征为：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 分情况讨论： 当时，，点P在第一象限； 当时，且，点P在第二象限； 当时，且，点P在第三象限； 不存在m使得且，因此点P不可能在第四象限． 故答案为：四． 【变式练习】 4．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系与坐标，理解各象限内点坐标的符号特征是解题的关键．根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特征处理． 【详解】解：第四象限内点横坐标为正，纵坐标为负； 故选：A． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法，熟练掌握点的坐标所在象限及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，根据整点可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是第三象限内的整点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点M与点N关于x轴对称， ∴； 故选B． 6．（2025·山东·模拟预测）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为0列式求出，然后解答即可． 【详解】解：由点在直角坐标系的轴上，可得：， 解得：， ， 点； 故答案为：． 题型03点的坐标 【典例】（2025·河北沧州·模拟预测）若第二象限内的点满足，写出一个满足条件的点的坐标： ． 【答案】（答案不唯一，保证，，即可） 【分析】本题考查了点所在的象限求参数，写出直角坐标系中点的坐标，根据点在第二象限，以及即可得出符合题意的结果． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， ，时，，满足要求， ， 故答案为：． 【变式练习】 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知第二象限的点，那么点P到y轴的距离为（    ） A．5 B．4 C．-5 D．-4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值是解题的关键． 明确点到y轴距离的解题思路，即根据点的坐标特征，点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值． 【详解】解：∵ 点的坐标为， ∴ 点到轴的距离为， 故选：． 8．（2025·天津·一模）如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形与坐标，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．设与x轴交于点C，根据等腰三角形三线合一知，，利用勾股定理求出长，根据点所在象限写出坐标． 【详解】解：设与x轴交于点C， ∵，轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为， 故选：A． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形综合，解直角三角形，勾股定理，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，进而得出，得到，得到，勾股定理求出，，代入即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，， ， ， ， ， ， 的坐标是， ，， ， ，， ， ， 解得：． 故选：A． 10．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质、两点间距离公式的应用，解题关键是根据圆与轴相切及过点的条件，建立圆心坐标的关系式，进而求解与轴的交点． 设圆心为，因为圆与轴相切，所以半径为．又圆过点，根据两点间距离公式，圆心到的距离等于半径，可得，平方后整理得，令，求出，即得与轴交点． 【详解】设圆心为， 圆与轴相切， 圆的半径 圆心到的距离为半径，即 整理得 当时， 即交点为 题型04坐标与平移、对称、旋转 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的等边三角形绕点O逆时针旋转后得到，按照此方式，绕点O连续旋转3次得到，那么的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形．先求出点B的坐标，再根据旋转3次所得三角形中的点与点B关于坐标原点成中心对称即可解决问题． 【详解】解：令与y轴的交点为M， ∵等边三角形的边长为2， ∴， 由旋转可知， 又∵， ∴， 则， 在中，， ∴点B的坐标为． ∵绕点O逆时针连续旋转3次得到，每次旋转， ∴旋转3次后，即旋转， 则点在的延长线上，且，即点与点关于坐标原点对称， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【变式练习】 11．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”这一核心规律． 已知点A坐标为，根据关于y轴对称的坐标特征，先保持点A的纵坐标1不变，再求横坐标的相反数为2，由此可确定点B的坐标为． 【详解】解：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数．   已知点，其纵坐标为(保持不变)，横坐标的相反数为2，故点B的坐标为．   故选：C． 12．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点在坐标平面中的平移，熟记平移中点的变化规律是解决此题的关键．点在坐标平面中平移时，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移方式即可确定点的横纵坐标，从而解题． 【详解】解：点向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是． 故选：B． 13．（2025·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称、点坐标与平移，熟练掌握轴对称变换和平移变换规律是解题关键．先根据点坐标与轴对称变换规律可得点的坐标为，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点， ∴， ∵将点向右平移2个单位长度得到点， ∴，即， 故答案为：． 14．（2025·广东佛山·三模）如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，点A的对应点为．若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 过点A作轴于点B，过点作轴于点C，由旋转得，，，可得，则，．由已知条件可得，，则，，可得点的坐标． 【详解】解：过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， ∴． 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点在第四象限内， ∴点的坐标为． 故答案为：． 题型05坐标方法的应用 【典例】（2025·河南郑州·三模）如图，如果“马”在点，“仕”在点，则“帅”所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系的实际应用、中国象棋棋盘布局知识．解题关键在于准确建立坐标系，结合棋子标准位置和图形相对距离进行空间推理，实现几何位置向坐标数值的转化．首先，建立坐标系，每个单位长度为棋盘的一个格子宽度．据此求解即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的坐标系，x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，每个单位长度为棋盘的一个格子宽度，从图中观察，“帅”位于第四象限，“帅”的坐标为． 故选：D． 【变式练习】 15．（2025·甘肃金昌·三模）如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图：    可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为． 故选：A． 16．（2025·贵州铜仁·三模）小丽特别喜欢学以致用，这天她尝试建立平面直角坐标系，并在图中标注了部分城市的位置，如图所示，若表示成都、武汉的点的坐标分别为，则表示贵阳的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查坐标确定位置，建立正确的直角坐标系是解题的关键． 根据题意建立正确的直角坐标系，即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系， 则贵阳的点的坐标是． 故选：C． 17．（2025·贵州·模拟预测）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，则藏宝处应为图中的点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置，建立坐标系是解题关键．直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 故答案为 18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 根据已知点的坐标建立直角坐标系，即可得出结果． 【详解】解：如图，由已知点的坐标建立直角坐标系， 根据图示． 故答案为：． 题型06点的坐标规律探索 【典例】（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，已知等边三角形的边长为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键． 通过观察可得，每个点的纵坐标规律：，，，，，，点的横坐标规律：，，，，，，，，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，秒钟走一段，运动每秒循环一次，点运动秒的横坐标规律：，，，，，，，，点的纵坐标规律：，，，，，，，确定循环的点即可． 【详解】解：过点作轴于， 图中是边长为个单位长度的等边三角形， ，， ，， 同理，，，，，， 中每个点的纵坐标规律：，，，，，， 点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，秒钟走一段， 运动每秒循环一次， 点的纵坐标规律：，，，，，，，， 点的横坐标规律：，，，，，，，， ， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 故选：． 【变式练习】 19．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于，在x轴正半轴上，纵坐标是0，再根据横坐标变化找到规律即可解． 【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上， ∵，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形， ∴，，…， ∵， ∴点在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是， ∴的坐标为． 故选：B． 20．（2024·湖北·模拟预测）如图，点，，，…，在直线上，过点，，，…，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，…，．若，，，…，均为等腰直角三角形，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质与等腰直角三角形的性质，熟练掌握通过分析前几个点的坐标总结规律，进而计算图形面积的方法是解题的关键．通过分析等腰直角三角形的性质与直线方程的关系，依次求出前几个点的坐标，总结出和的规律，进而计算的面积． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，轴， ∴， 设，代入，得， 解得， ∴，． ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， 设，代入， 得， 解得， ∴，，． ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， 设，代入，得，解得， ∴，，． 观察可得：， ， ， ……， 故； ， ， ， ……， 故． ∴，． ∴． 故选：B． 21．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 题型07变量与常量 【典例】（2024·辽宁大连·一模）已知下列材料在时的电阻率如下： 材料 金 银 铜 铁 电阻率（） 已知电阻率越高，导电能力越差，则在温度相同的情况下，导电性第三优良的为（    ） A．金 B．银 C．铜 D．铁 【答案】C 【分析】本题考查了变量，根据“电阻率越高，导电能力越差”选出答案即可，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵电阻率越高，导电能力越差，， ∴导电能力从大到小排序为：铁，金，铜，银， ∴导电性第三优良的为铜， 故选：C． 【变式练习】 22．（2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量． 【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量， 故选：． 23．（2025·贵州黔东南·二模）如图是佳佳购买贵州刺梨干的销售标签，则在单价、数量、总价的关系中，常量是（   ） 品种：刺梨干 单价：45.00元/箱 数量：3箱 总价：135.00元 A．总价 B．数量 C．单价 D．总价和数量 【答案】C 【分析】本题主要考查了常量和变量， 在单价、数量、总价的关系中，单价是固定不变的量，而数量和总价会随购买情况变化，则答案可得． 【详解】解：根据题意，单价为45.00元/箱，固定不变；数量为购买箱数，可以改变；，随数量变化而变化，常量是单价． 故选：C． 24．（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 ，因变量是 ． 【答案】 t s 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义． 根据自变量和因变量的定义，时间t是独立变化的量，路程s随t的变化而变化 【详解】解：从表格数据可知，时间t每增加5分钟，路程s相应增加1公里， 因此路程s的变化依赖于时间t的变化， 故自变量是时间t，因变量是路程s． 故答案为：t，s． 题型08自变量与函数值 【典例】（2023·北京·模拟预测）若函数有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得， 即实数x的取值范围是， 故答案为：． 【变式练习】 25．（2025·云南楚雄·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式有意义的条件及自变量的范围，熟练掌握分式有意义的条件及自变量的范围是解题的关键；函数为分式，分母不能为零，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选A． 26．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值． 【详解】解：∵ ， 设 ，则 ， 当 时，，， ∴ ①； 当 时，，， ∴ ②． ② － ① 得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 代入①：， ∴ ． 当 时，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 计算： ． ∴ ， 故选：C． 27．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可． 【详解】解：由题可得， 解得且， 故答案为：且． 题型09图象的识别和信息的提取 【典例】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，一只水桶底部有一小孔，在装满水的情况下，能简单刻画水位高度h随漏水时间t变化情况的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，根据水桶上粗下细、确定桶内水面高度h随时间t变化规律是解题的关键． 由于水桶上粗下细，则桶内水面高度h的下降随时间t变化越来越快，据此即可解答． 【详解】解∶∵一只水桶底部有一出水孔， ∴单位时间出水量一定， ∵水桶上粗下细， ∴桶内水面高度h的下降随时间t变化越来越快，即B选项符合题意． 故选：B． 【变式练习】 28．（2024·广东·模拟预测）长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没瓶底时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛放的面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：B． 29．（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分， 所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高， 因为瓶子的上半部分是圆柱， 所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升． 故选：A． 30．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．    【答案】150 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 31．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确．故答案为：． 题型10函数解析式 【典例】（2025·山西阳泉·模拟预测）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下，则与之间的函数关系式为（　　） 出水时间 ．．． 5 10 15 20 ．．． 剩余水量 ．．． 80 60 40 20 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的解析式，找到函数变化的规律是解题的关键．根据表格的数据可知，出水时间每增加，剩余水量就减少，据此先求出水箱内原有水量，再求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】解：由表格可知，出水时间每增加，剩余水量就减少， 则水箱内原有水量为， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 【变式练习】 32．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 33．（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 34．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小杨同学用描点法画它的图象，列出了下列表格： … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在轴下方； ③该函数没有最高点；④当时，随的增大而增大； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则对称后的图象函数解析式是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了函数的表示、反例法、轴对称的性质、函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 直接根据表格数据可判定①；举反例可以判定②；根据表格数据可以判定③和④；根据关于坐标轴对称的特点可判定⑤． 【详解】解：①通过表格数据可知该函数是一个对称轴为的轴对称图形，即①正确； ②当时，，故该函数图象不一定在轴下方，即②错误； ③由结论②的分析可知，当时，，而表格中的值均为负数，说明函数没有最高点，即③正确； ④当时，由表格可知，即随的增大而减小，故④错误； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则纵坐标变为原来的相反数，即，故⑤正确． 综上，正确的为①③⑤． 故答案为①③⑤． 35．（2025·湖南·模拟预测）快递公司规定：配送距离不超过3公里收费8元，超出部分每公里2元．若配送距离为x公里，费用y元与x的关系式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是对关系式进行化简，得到与的函数关系式．根据题意把千米分成3千米和千米两部分，再根据单价乘里程表示出关系式，再化简即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴y与x之间的函数表达式为． 故选：B． 36．（2025·黑龙江佳木斯·二模）小明用一张长为、宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列函数关系式．根据题意得到长方体盒子的长宽高，即可得到答案． 【详解】解：若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为， 故选：D 37．（2024·广东·二模）如图，将足够大的等腰直角三角板的锐角顶点放在另一个等腰直角三角板的直角顶点处，三角板绕点在平面内转动，且的两边始终与斜边相交，交于点，交于点，设，，，则与的函数关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，注意自变量的取值范围．作于，根据等腰直角三角形的性质得，，则可判断和都是等腰直角三角形，得到，，由于的两边始终与斜边相交，交于点，交于点，而，所以，再证明，这样可判断，利用相似比得，则，所以得到与的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为． 【详解】解：作于，如图， 为等腰直角三角形， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， 的两边始终与斜边相交，交于点，交于点 而， ，即， ，， ， 而， ， ，即， ， 故答案为：． 题型11动点问题的函数图象 【典例】（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 【变式练习】 38．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，可以排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时， ，可以排除B选项； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 39．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，根据三角形面积公式进行列式化简，即可作答． 【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止． ①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积， ∴； ②当时， 依题意，，， 移动距离， 则 ∴ ∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积， 即， 此时是开口方向向上的二次函数， ③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选A． 40．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，，可得；当时，的值最小，可得的值；由图象可知的最大值为4，据此即可求解． 【详解】解：由图②知：当，P和A重合，则， 当时，y最小，最小值为n，此时，， ∴， 当时，P和C重合，则， 过点B作， ∴，， ∴， 故答案为：；． 易错点01点到坐标轴的距离 【错因】易对点到坐标轴的距离理解不全面导致错误 【避错关键】解答此类问题时，容易受思维定式的影响，误认为距离相等，横、纵坐标值就相等，从而导致漏解.解题时，应根据点到坐标轴的距离的意义，先确定相应横、纵坐标的绝对值，再分类讨论 【典例】 1．已知点，点到轴的距离与到轴的距离相等，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．0或 【答案】D 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或； 故选D． 2．在平面直角坐标系中，点到轴和轴的距离相等，则的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标系中，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：2或3． 3．若点到x轴的距离为4，则点P坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离为4，得出，解出的值，再代入，即可作答． 【详解】解：∵点到x轴的距离为4， ∴， ∴， 当时，则，， ∴点P坐标为， 当时，则，， ∴点P坐标为， 综上：则点P坐标为或． 4．如果点到轴、轴的距离相等，那么点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标，根据点到轴和轴的距离相等，则，然后去绝对值得到两个一次方程，解方程求出，再写出点坐标即可，正确理解点到轴的距离等于纵坐标的绝对值和点到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴或， 解得：或， ∴或， 故答案为：或． 易错点02点的坐标特征 【错因】对点的坐标特征理解错误而导致考虑不全 【避错关键】仔细审题，对问题进行全面考虑，避免因为考虑不全而出错，本题客易对x,y同号只考虑 一种情况，从而导致漏解 【典例】1．若点的坐标满足，则点P的位置在（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，根据不等式易得x，y异号，第二象限点的符号为；第四象限点的符号为，那么可得点P所在象限． 【详解】解：， ；或， ∴点P的位置在第二、四象限， 故选：D． 2．若点的坐标满足，则点P在第 象限； 【答案】一、三 【分析】根据xy＞0，可判断x和y的符号，即可确定点P所在的象限． 【详解】解：∵xy＞0， ∴x和y为同号即为同正或同负， ∴点P（x，y）在第一或第三象限． 故答案为：一、三． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 易错点03点的坐标的平移 【错因】混淆点的坐标的平移规律；混淆点的平移与坐标系的平移 【避错关键】易将坐标系的平移与点的平移相混淆，实际上坐标系向左平移相当于点向右平移，坐标系向上平移相当于点向下平移，所以本题应先把坐标系的平移转化为点A的平移，再根据点的平移规律求解， 【典例】 1．已知坐标平面内点，若将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．将坐标系向右、向上平移，相当于将原来坐标系中的点向左、向下平移．根据题意，将平面直角坐标系向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，依据坐标的变化规律即可求解． 【详解】解：∵坐标平面内点，将坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴点A的横坐标增大3，纵坐标减小2， ∴点A变化后的坐标为． 故答案为：． 2．在平面直角坐标系中，将线段先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，点P是线段上的一点，平移后点P 的对应点 Q 的坐标为，则点 P 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的平移规律，熟知点的坐标的平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据点的坐标的平移规律进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，点P 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后对应点 Q 的坐标为，即点P的坐标为， 即． 故答案为． 3．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点A在直线上，点B的坐标是，，，，将先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点B恰好落在直线上，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数解析式，点坐标的平移．熟练掌握一次函数解析式，点坐标的平移是解题的关键． 由题意知，将代入，可求，即，点平移后的点坐标为，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，即， 将代入得，， 解得，， ∴， 点平移后的点坐标为，即， 将代入得，， 解得，， 故答案为：6． 易错点04描点法画函数的图象 【错因】忽视自变量的取值范围而画错函数的图象 【避错关键】客易出现的错误是画图象时没有考虑自变量的取值范围，在画涉及实际问题的函数图象时，图象上的点的横坐标必须限定在自变量的取值范围内， 【典例】 1．某蜡烛原长，点燃后每小时燃烧，求蜡烛的剩余长度与点燃时间之间的函数表达式，并画出函数的图象． 【答案】，图象见解析 【分析】 本题考查了一次函数的应用，抓住蜡烛的剩余长度蜡烛原长燃烧的长度，即可求解． 【详解】解：∵蜡烛点燃后每小时燃烧， ∴ 列表如下： 图象如下： 2．用一根长为的铁丝围成一个正方形，该正方形的面积为． (1)求S关于C的函数关系式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象，求时正方形的周长； (4)根据图象，求出C取何值时， 【答案】(1) ()． (2)见解析 (3)周长是 (4)当时， 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握正方形的周长正方形的边长，正方形的面积=正方形的边长×正方形的边长， （1）首先根据周长求出正方形的边长，进而得到S与C的关系式， （2）列表、描点、连线直接作出图形即可； （3）把代入函数关系式中计算即可求周长； （4）根据函数关系式中，建立关于C的不等式可得出C的取值． 【详解】（1）解：根据题意，知正方形的边长为， 由正方形面积公式得 ()． （2）列表、描点、连线(如图所示)． C … 2 4 6 8 … … 1 4 … （3）根据图象知，，即正方形的周长是． （4）观察图象可知，当时，． 技巧01：点的坐标变化规律 《方法技巧》 1.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律； 2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律 【典例】 1．（2025·河南漯河·三模）如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，， ∵， ∴的坐标为． 故选：B． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在第二象限交于点M，连接．点C在上，连接，，且．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运用勾股定理得，根据，则，由作图过程可得，射线为的平分线，证明，是等边三角形，即四边形是菱形，所以点的纵坐标与点相同，即点的坐标为．因为线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，所以旋转4次为一个循环．然后进行列式计算，即可作答． 【详解】如图，过点C作轴于D，过，点A作轴于H， ， ，， ． 由作图过程可得，射线为的平分线， ， ． ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴四边形是菱形， ， 点的纵坐标与点相同， 即． 在中，， 点的坐标为． 线段绕原点逆时针旋转，每次旋转， 旋转4次为一个循环． ， 线段绕原点逆时针旋转2025次与旋转1次的点重合，第一次旋转得到点的对应点为， 第2025次旋转结束时，点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转性质，点的坐标规律，菱形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，等边三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2025·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…，按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 【详解】解：依题意 结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，， ， 把代入， 得出， ∴， 直线， 当时，则， ， ∵， ∴， 把，则， 即， ∵， ∴把，则， 即， ， ，， ∴的坐标为． 故选：B 4．（2025·河南漯河·三模）如图，平面直角坐标系中，，，点为的中点，将作以下操作：①将沿折叠，得到，点的对应点为点；②将沿折叠，得到，点的对应点为点；③将沿折叠，得到，点的对应点为点……按此规律操作，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．利用旋转的性质求得点的坐标为，，点的坐标为，观察图形，每12个一次循环，余9，则点的坐标与的坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵，，点为的中点， ∴点的坐标为，，， ∴，点的坐标为， 由折叠的性质得点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 观察图形，每12个一次循环， ∵余9， ∴点的坐标与的坐标相同， 由轴对称的性质，点的坐标为， 故选：A． 5．（2025·山东泰安·一模）三月的泰安，玉兰花迎着春风绽放，数学活动小组在绘制如“玉兰花”形的美丽图案，如图在平面直角坐标系中，等腰三角形．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，称点为第一个“玉兰花”的花瓣，点为第二个“玉兰花”的花瓣；……；按此规律，滚动2025次后停止滚动，则最后一个“玉兰花”的花瓣的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，过点作轴于C，由等腰三角形的性质得到，则可求出，，进而求出的长，则可求出的坐标，根据题意可得的纵坐标为，且是由（n为正整数）向右滚动3次得到的，且滚动的距离为个单位长度，据此求出2025除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴于C， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得， ∴， ∴； ∴的横坐标为，纵坐标为， 由题意得，的纵坐标为，且是由（n为正整数）向右滚动3次得到的，且滚动的距离为个单位长度， ∵， ∴滚动2025次后，最后一个“玉兰花”的横坐标为，纵坐标为， ∴滚动2025次后，最后一个“玉兰花”的坐标为， 故答案为：． 技巧02：动点问题的函数图象 《方法技巧》 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 【典例】 1.．（2024·江西·模拟预测）如图1，点P以每秒1个单位长度的速度从的顶点B处出发，沿着方向运动到点C处停止，连接．设点P的运动时间为，的面积为S，若S是t的一次函数，其图象如图2所示． (1)根据图2，可推出 ，的面积为 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)4；4 (2) 【分析】本题考查动点与函数图象，平行四边形的性质，锐角三角函数解直角三角形，读懂图象是解题的关键． （1）由图2可得，点P从点B运动到点C需要，即可求出的长．由时，，得到，根据平行四边形的性质即可求出的面积； （2）过点C作于点E．由的面积求出的长，从而根据特殊角三角函数值得到，即可求出，再根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】（1）解：由图2可得，， ∴点P从点B运动到点C需要， ∵点P以每秒1个单位长度的速度运动， ∴． 由图2可得，当时，， ∴点P运动到点C时，， ∴． 故答案为：4；4 （2）解：过点C作于点E． ∵，即， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 2.（2024·江西·模拟预测）如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段． (1)的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____． (2)当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且  求的值． 【答案】(1)4，8 (2)，图见解析 (3) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质； （1）由函数图象可得，当时，，此时与重合，则，得到； （2）当点Q在上运动时，点在上运动，，，，，根据计算即可； （3）由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中，再根据和的函数值相等，且都在上，得到，求出，即可求出3个时刻 其对应的 相等的面积，再代入计算求出即可． 【详解】（1）解：∵正方形中，E为的中点， ∴， 由函数图象可得，当时，，此时与重合，则， ∴， 故答案为：4，8； （2）解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合， ∴当点Q在上运动时，点在上运动， ∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动， ∴， ∴当点Q在上运动时，点在上运动，， ∴，，， ∴ ， ∴当点Q在上运动时，， 函数图象为： （3）解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中， ∵和的函数值相等，且都在上， ∴， ∵ ∴， 当时，点Q在上运动，此时，，，， ∴是方程的两个解， 整理得 解得，． 3.（2025·重庆·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，有最大值8（答案不唯一） (3) 【分析】（1）过点D作交延长线于点H，证明出四边形是正方形，得到，然后分两种情况讨论，分别表示即可； （2）列表，描点，然后画出图象，然后根据图象写出性质即可； （3）由图象求解即可． 【详解】（1）解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； （2）解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； （3）解：由图象得，当时x的取值范围为． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质和判定，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4.（2025·河南郑州·模拟预测）如图1，在中，分别是的中点，连接，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动，到点停止，将射线绕点顺时针旋转，与的边或交于点，设点的运动时间为的长为，探究与的函数关系．经过探究发现在点从点运动到点的过程中，是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据以上信息，回答下列问题： (1)观察图象，直接写出： ①的长为___________； ②点从点运动到点的过程中，的最大值是___________． (2)当点从点运动到点时，求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）． (3)在点的运动过程中，若恰有两个时刻和，使其对应的的值相等，请你借助函数图象分析，直接写出和的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，三角形相似、二次函数的图象和性质、动点问题，明确点的移动情况是解题的关键． （1）①由图（2）知，，而，则，即可求解； ②点从点运动到点的过程中，点在上，长度由逐渐变大，当点移动到的中点时，为等腰直角的中位线，即可求解； （2）证明，则．由题意，可知，，，．即可求解； （3）画出的图象，由函数图象，可知当的值为时，恰有两个时刻和，满足题意，即可求解． 【详解】（1）解：①由图（）知，，而， 则； ②由①知，， 点从点运动到点的过程中，点在上，长度由逐渐变大，当点移动到的中点时，为等腰直角的中位线， 则， 故答案为：①，②； （2）由函数图象，可知． ，，是的中点， ，． ，． 是的中点， ． ，， ． ， ， ，，，， ， ， 当点从点运动到点时，，与的函数关系式为； （3）画出的图象，如图所示． 由函数图象，可知当的值为时，恰有两个时刻和，满足题意． ， 解得：或（舍去）， ， 根据函数图象可得在中间，， ． 5．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，在中，，，，为边上的中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着——的路线运动，到达点停止．同时动点以相同的速度从点出发，沿运动，到达点停止，连接，过点作交于点运动的时间为秒．点，的距离为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)作图见解析；的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（不唯一）； (3) 【分析】本题综合考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式、一次函数和反比例函数的图象与性质．解题关键是分情况讨论动点位置，利用相似关系建立函数． （1）需要根据动点P的位置分情况，利用相似三角形的性质求出关于x的函数解析式；根据三角形面积公式求出关于x的函数解析式． （2）根据（1）中所求函数解析式，通过确定关键点坐标来画出函数图象，再观察图象得出的性质． （3）通过观察画出的与的函数图象，找出图象在图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ∵是中点，， ∴ 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得 在中，根据勾股定理 当时， ∵，为边上的中点， ∴， ∴， 过作于， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即， 解得， ∴ 综上，， ， 设，则， ∴； （2）解：画函数图象如下： 的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（不唯一）； （3）解：当时，找到图象在图象上方时对应的取值范围，可得 ． 技巧03：平面直角坐标系与几何综合问题 《方法技巧》 平面直角坐标系中,解决与面积有关的问题时,要会求出点到坐标轴的距离.在求面积时,要会应用转化方法,将图形补成规则的图形或将图形分割成规则的图形进行求解. 在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了). 【典例】 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为． ①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①  ② 【分析】本题主要考查了平移的性质、解直角三角形、等腰梯形的性质、二次函数的图象与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）解和等腰梯形即可得解； （2）①由重叠部分为五边形可知，再进再用梯形面积减去面积即可得解； ②由范围，分类讨论重叠部分的图形，进而画图求解即可． 【详解】（1）解：，． 在中，， ． 如图，过作于点，于点， 则， ． 在中，， ． 故答案为： ，． （2）①如图，作于，于， ，． 又， 四边形为矩形， ． ． ， ． 在中，，， ． 则． ，． 四边形为平行四边形． ． 则． ， ． ， ． ，则． ． ． ②当时，如图，重叠部分为梯形， 由题可知， ． ， ． 当时，如图，重叠部分为梯形， ，， 点是中点． ． ． 当时，此时重叠部分为五边形，如①中情形， ． 此时在时，随增大而减小， 当时，，当时，， ． 当时，如图，此时重叠部分为， ， 为等边三角形． 此时， ． ． 当时，，当时，， ． 综上，． 2．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) ， (2)①，其中t的取值范围是：；② 【分析】（1）解直角三角形可得，，从而可得B、C坐标； （2）①由平移的性质可得， ，．利用三角函数表示出和和的面积，根据即可求重叠部分的面积； ②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直，将折线段拼接起来后，利用两点之间线段最短求最值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，，， ∴， 故B的坐标为，的坐标为， 故作案为：，； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 在中，，则，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，，设， ∴，，， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算，解直角三角形的计算，平行四边形的性质，中点坐标的计算，待定系数法求一次函数解析式，最短路径的计算等知识的综合，掌握一次函数与几何图形的综合运用，合理作出辅助线是解题的关键． 3．（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②当时， 如图，重叠部分的面积为， 由（1）得出， ∴， ∴， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 技巧04：新定义问题 《方法技巧》 平面直角坐标系中的新定义问题，核心是理解题目自定义的概念（如“新距离”“特殊点/图形”），再结合坐标系的基本性质（坐标运算、距离公式、函数图像等）求解。 这类问题的解题步骤通常可总结为： 1. 精读定义：圈出关键条件（如“若两点满足某种坐标关系，则称为XX点”），明确新概念的数学表达（如用公式、等式或图形特征描述）。 2. 转化定义：将抽象的新定义“翻译”为坐标系中的具体运算（如用两点坐标表示新距离，用函数解析式表示新图形）。 3. 结合旧知：调用平面直角坐标系的基础知识点（如两点间距离公式、一次函数与坐标轴交点、图形面积计算等），代入转化后的表达式求解。 4. 验证结果：将求得的坐标、图形等代入新定义，验证是否符合题目要求，排除不符合条件的解。 【典例】 1．（2025·江西吉安·一模）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点_____“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则_____； (3)已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式_____． 【答案】(1)不是 (2)18 (3)①；②4 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②将代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴点不是“美好点”， 故答案为：不是； （2）∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 解得， 故答案为：； （3）∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为． 2．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，当 点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点， 哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A 是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)抛物线上存在两个点是点的“差反点”，求p 的取值范围； (4)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t 的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）设点，根据新定义可得关于a的方程，求出a的值即可； （3）设抛物线上满足题意的“差反点”为，根据新定义可得，再由一元二次方程根的判别式解答即可； （4）设抛物线 上满足题意的唯一的“差反点”为，根据新定义可得，然后根据一元二次方程根的判别式可得，从而得到n关于m 的函数图象开口向下，其对称轴为直线，然后分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是点的“差反点”； 故答案为： （2）解：∵点A是直线上的点， ∴可设点， ∵点A是点的“差反点”， ∴，    解得：， ∴， ∴； （3）解：设抛物线上满足题意的“差反点”为， ∵点， ∴， 整理，得， ∵抛物线上存在两个满足题意的“差反点”， ∴， ∴； （4）解：设抛物线 上满足题意的唯一的“差反点”为， ∵， ∴， 整理，得， ∵抛物线上存在唯一的“差反点”， ， 整理，得， ∴n关于m 的函数图象开口向下，其对称轴为直线， 分类讨论如下： ①如图，当时 ， ∵， ∴函数在时，取得最大值，最大值为， 解得：（舍去）； ②如图，当时 ， ∵， ∴函数在时，取得最大值， ∴， 化简得， 此时无解； ③如图，当时 ， ∵， ∴函数在时，取得最大值， ∴， 解得： 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的图象和性质，新定义，理解新定义，熟练掌握一次函数的性质，二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 【答案】(1)，，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、翻折变换、点的“参照线”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解； （1）根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，； （2）由题意可知，点的横坐标为3，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分两种情形①如图1中，当点在参照线上时，设．②如图2中，当点在参照线上时，设．分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：根据参照线的定义可知，点的所有参照线为：，，，， 故答案为，，，； （2）解：，点在线段的垂直平分线上， 点的横坐标为3， 又点有一条参照线是， 时，， 点坐标为， 故答案为． （3）解：①如图1中，当点在参照线上时，设． ，，， ， ， 在中， ， ， ， ， ②如图2中，当点在参照线上时，设． ，，， ， 在中， ， ， ， ， 综上可知，点的坐标为或． 一、单选题 1．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 4．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 5．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 6．（2025·浙江杭州·二模）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系， 根据小刚家的坐标位置建立直角坐标系，进而可求得小敏家的位置． 【详解】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系，    根据图形得学校的位置坐标为． 故选：C． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意．根据题意求出“漏壶”的漏水速度，即可求出水面高度从变化到所用的时间． 【详解】解：“漏壶”的漏水速度为：， 水面高度从变化到所用的时间是， 故选：A． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可． 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示： 故选：B． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形、勾股定理、圆周角定理以及锐角三角函数的定义．解题的关键是作辅助线，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由圆周角定理可得，然后由锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解∶连接， ，点A坐标为，点B坐标为， ． ∵， ∴， ∵， ． 故选：B． 10．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与平移，点的平移，解直角三角形，菱形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，再根据菱形的性质以及解直角三角形求出，然后再根据点的平移方式求解即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，两点的坐标分别为，， ∴点向右平移3个单位，向下平移到点， ∴点向右平移3个单位，向下平移得到， 故选：C． 二、填空题 11．（2024·湖北·一模）在函数中，自变量x的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，求自变量的取值范围．熟练地掌握相关结论是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：且． 故答案为：且． 12．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的点的坐标特征，涉及知识点：平行于轴的直线上的点纵坐标相等．解题方法是利用“平行于轴的直线上点的纵坐标相同”列方程求解；解题关键是识别直线平行轴的坐标规律，易错点是混淆轴、轴平行时的坐标特征． 【详解】∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等，即， 解得，， 故答案为． 13．（2025·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．利用中心对称图形的性质即可求出D的坐标． 【详解】解：∵正六边形是中心对称图形，且对称中心为坐标原点O， ∴点A与点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 14．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分三种情况讨论：当点在轴上，在原点，在轴上，根据勾股定理列出式计算即可求解． 【详解】解：①当点在轴上运动，时，连接． ∵，， ∴，，， 设点的坐标是， ∵， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是； ②当点在原点时，， ∴点的坐标为； ③当点在轴上运动，时，连接， 设点的坐标是， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是． 故答案为：或或． 15．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 【答案】 6 4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：6，4． 16．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，点的坐标规律探索，过点作于，过点作于，过点作于，可得，，，即得点的纵坐标为，据此解答即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， 把代入，得， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题 17．（2025·安徽淮南·一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出； (2)在所给的网格中确定一个格点P，使得，并写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，点P的坐标为 【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，轴对称性质，是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方向以及旋转角度找到A、B、C对应点的位置，描出，并首尾顺次连接即可； （2）根据点B、P在线段的垂直平分线上，确定P点． 【详解】（1）解：∵A、B、C的坐标分别为、、，绕点O逆时针旋转得到， ∴点的坐标为、、， 首尾顺次连接， 如图所示，即为所求． （2）解：∵点B在线段的垂直平分线上， ∴点P也在线段的垂直平分线上， 如图所示，点P即为所求， 点P的坐标为． 18．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，每个小方格的边长为个单位长度．四边形顶点都在格点上，点的坐标为 (1)以点为旋转中心，将四边形顺时针旋转，得到四边形，画出旋转后的图形，并写出、、的坐标； (2)求点旋转轨迹的长度． 【答案】(1)见解析，，， (2) 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等且都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、和，然后写出、、的坐标； （2）先计算出的长，然后利用弧长计算点旋转轨迹的长度． 【详解】（1）解：如图， ，，， （2）解：， 则点旋转轨迹的长度 ． 19．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 【答案】(1)乙 (2)110 【分析】本题主要考查了有理数的加法，用有序数对表示位置，解题的关键是理清游戏规则． （1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知； （2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可． 【详解】（1）解：根据游戏规则可知： 甲选1，2号座位， 乙选3，4，5号座位， 丙选7，8，9，10号座位， 丁选13，14，15，16，17号座位， 故3，4，5号座位会被乙选择， 故答案为：乙； （2）解：根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15； 丙选择了：9、2、3、14； 乙选择了：7、6、5； 甲选择了：10、11； 故四人所选的座位号数字之和为：． 第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11； 丙选择了：5、4、3、12； 乙选择了：7、8、9； 甲选择了：10、13； 故四人所选的座位号数字之和为：． 故答案为：110． 20．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) 【分析】本题考查了余弦函数，相似三角形的性质，点的坐标规律探索，找到各直角三角形斜边长度的规律是解题的关键． （1）由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，则得每个三角形中以O为顶点的内角均为，利用三角函数得，，，，…，得到一般规律，从而可完成解答； （2）根据（1）中的规律，即可求点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似， ∴每个三角形中以O为顶点的内角均为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， …， 一般地：； ∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：由（1）知，，且12次一个循环， ， 则点与点一样落在y轴正半轴上， ， ∴点的坐标为． 21．（2025·重庆·模拟预测）如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)请直接写出点的坐标； (2)如图2，平分交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数形结合是解题的关键； （1）根据矩形的性质写出点C的坐标，即可求解． （2）根据勾股定理求得，证明，得出，，，进而勾股定理建立方程求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：∵在矩形中，，． ∴，，，， ∴． （2）过点作交于，如图： ，， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， ， ， 解得， ． 22．（2025·山西长治·模拟预测）如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示． (1)________； (2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式； (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】（1）根据图象得出当点P运动到点A时，求解即可； （2）过点作交于点，证明则四边形为矩形，得出，，结合，，，得出，勾股定理求出，则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，当点在上，即时，根据待定系数法即可解出与之间的函数关系式； （3）先求出在上时，与之间的函数关系式，再代入时，即或，求解即可． 【详解】（1）解：根据图象可得， ∵， ∴当点P运动到点A时，， ∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：过点作交于点， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， 则可得运动到时的坐标为，运动到时的坐标为，运动到时的坐标为， 当点在上，即时，设， 代入，，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：在上，即时，设， 代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 当时，即或， 解得：或， 综上所述：当的值为解得或时，的面积为． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 23．（2025·河南郑州·二模）数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： (1)建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． (2)画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． (3)观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． (4)得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 【答案】(1)一 (2)见解析 (3)当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点 (4) 【分析】（1），分别为矩形相邻两边的长，取值应为正数； （2）直线为过原点和点的一条直线； （3）①将代入求解即可；②联立和整理得关于的一元二次方程，通过根的判别式讨论解的情况即可； （4）由（3）②可知当直线与函数的图象在第一象限有交点时的取值范围即为所求． 【详解】（1）解：因为，分别为矩形相邻两边的长，所以， ，则满足要求的交点应在第一象限； 故答案为：一． （2）如图所示： （3）①将代入，解得， 故周长的值为12． ②联立和整理得， 当时，该方程无解，有0个交点，即，解得； 当时，该方程有2个解，有2个交点，即，解得； 综上，当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点． （4）由（3）知，当直线与函数的图象在第一象限有交点时，满足矩形的面积为，此时； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象平移、一次函数与反比例函数的交点和一元二次方程根的情况，熟练掌握联立一次函数与反比例函数的解析式求交点和根的判别式是解题的关键． 24．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，为平面坐标系中任意一点且，．    (1)若且，求证：； (2)若，求证：； (3)在问题（2）的条件下，x轴上一点，求取得最小值时，P点的坐标． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)取得最小值时，P点的坐标为或． 【分析】（1）作于点，可得，，，根据勾股定理可得，，即可证得结论； （2）作于点，可得，，关于的表达式，根据勾股定理可得，关于的表达式，代入，化简整理，即可证得结论； （3）由绝对值的非负性，结合线段垂直平分线的判定定理可知，点在线段的垂直平分线上，从而可得点的横坐标，代入，可得点的纵坐标． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 如图，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      （2）证明：如图，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．    （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值， 当时，点在线段的垂直平分线上， ∵，， ∴，， ∴的中点坐标为 ∴点的横坐标， 由（2）知， ∴， ∴， ∵，， ∴或， 当时，无解， 当时，， ∴取得最小值时，P点的坐标为或． 【点睛】本题考查勾股定理，绝对值的非负性，线段垂直平分线的判定，中点坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平面直角坐标系与函数 （5大考点+11大题型+4大易错+4大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5个核心考点） 考点01 平面直角坐标系 考点02点的坐标 考点03点的坐标变化 考点04函数的概念 考点05函数的表示方法 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（11大重难题型） 题型01有序数对 题型02点所在的象限 题型03点的坐标 题型04坐标与平移、对称、旋转 题型05坐标方法的应用 题型06点的坐标规律探索 题型07变量与常量 题型08自变量与函数值 题型09图象的识别和信息的提取 题型10函数解析式 题型11动点问题的函数图象 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（4个易混易错点） 易错点01点到坐标轴的距离 易错点02点的坐标特征 易错点03点的坐标的平移 易错点04描点法画函数的图象 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧） 方法01点的坐标变化规律 方法02动点问题的函数图象 方法03平面直角坐标系与几何综合问题 方法04新定义问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.理解平面直角坐标系的有关概念，在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标;；会求一个点平移、对称变换后的坐标 2.在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 3.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例； 4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值； 5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义;结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 考点01平面直角坐标系 1. 点的坐标： （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 考点02点的坐标 1.各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． 2.坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b=0；②y轴上：b为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0． 3.两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： 1 一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b． 考点03点的坐标变化     ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）     ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）     ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）     ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b） 考点04函数的有关概念 1. 常量与变量 （1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 2. 函数的有关概念 （1）函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． （2）函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （3）函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 考点05函数的表示方法 表示 方法 定义 优点 缺点 解析 式法 用含自变量x的式 子表示函数y的 方法 简单明了,能准确地反 映整个变化过程中自 变量与函数的关系 求出对应值时,往往要 经过比较复杂的计算, 而且有些实际问题不一 定能用解析式表示出来 列表 法 把一系列自变量值 x与对应的函数值y 列成一个表格来表 示函数关系的方法 一目了然,由表中已有 自变量的每一个值,可 以直接得出相应的函 数值 自变量的值不能一一列 出,也不容易看出自变 量与函数之间的对应 关系 图象 法 用图象来表示函数 关系的方法 能直观形象地表示函 数关系 观察图象只能得到近似 的数值 题型01有序数对 【典例】（2024·四川达州·二模）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成，则A与B的距离为 ． 【变式练习】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（    ） A．表示排a号 B．表示第b排a号位 C．表示b排或a号 D．与不可能代表同一个位置 2．（2024·江苏盐城·三模）小民和小泽两姐弟拿着如图的密码表玩听声音猜汉字的游戏，若听到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，则听到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的汉字可能为（    ） 4 3 2 1 1 2 3 4 5 A．汉 B．华 C．盐 D．音 3．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”．若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是 ． 题型02点所在的象限 【典例】（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，点不可能在第 象限． 【变式练习】 4．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是(   ) A． B． C． D． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知M点关于x轴的对称点是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则M点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东·模拟预测）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为 ． 题型03点的坐标 【典例】（2025·河北沧州·模拟预测）若第二象限内的点满足，写出一个满足条件的点的坐标： ． 【变式练习】 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知第二象限的点，那么点P到y轴的距离为（    ） A．5 B．4 C．-5 D．-4 8．（2025·天津·一模）如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点到y轴的距离是（　） A．2 B．4 C． D． 10．（2025·上海·二模）已知第四象限一点A，则全体经过点A且与x轴相切的圆的圆心所组成图像与y轴的交点为 ． 题型04坐标与平移、对称、旋转 【典例】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的等边三角形绕点O逆时针旋转后得到，按照此方式，绕点O连续旋转3次得到，那么的坐标为 ． 【变式练习】 11．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是(    ) A． B． C． D． 12．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是 ． 14．（2025·广东佛山·三模）如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，点A的对应点为．若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 题型05坐标方法的应用 【典例】（2025·河南郑州·三模）如图，如果“马”在点，“仕”在点，则“帅”所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 15．（2025·甘肃金昌·三模）如图是发现于甘肃省敦煌藏经洞中的《全天星图》中的一部分，《全天星图》中的一种画法便是用直角坐标投影．某同学按全天星图的绘图方式将观察到的北斗七星画在如图2所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点坐标为，表示“开阳”的点坐标为，则表示“天权”的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·贵州铜仁·三模）小丽特别喜欢学以致用，这天她尝试建立平面直角坐标系，并在图中标注了部分城市的位置，如图所示，若表示成都、武汉的点的坐标分别为，则表示贵阳的点坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·贵州·模拟预测）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，则藏宝处应为图中的点 ． 18．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，某小区有3处健身休闲广场，为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将其中的2处位置用坐标表示为，则第3处健身休闲广场的位置用坐标表示为 ． 题型06点的坐标规律探索 【典例】（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，已知等边三角形的边长为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【变式练习】 19．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 20．（2024·湖北·模拟预测）如图，点，，，…，在直线上，过点，，，…，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，…，．若，，，…，均为等腰直角三角形，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 21．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为 ． 题型07变量与常量 【典例】（2024·辽宁大连·一模）已知下列材料在时的电阻率如下： 材料 金 银 铜 铁 电阻率（） 已知电阻率越高，导电能力越差，则在温度相同的情况下，导电性第三优良的为（    ） A．金 B．银 C．铜 D．铁 【变式练习】 22．（2025·云南·模拟预测）假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） 金额：168.80元 油量：20.00升 单价：8.44元/升 A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 23．（2025·贵州黔东南·二模）如图是佳佳购买贵州刺梨干的销售标签，则在单价、数量、总价的关系中，常量是（   ） 品种：刺梨干 单价：45.00元/箱 数量：3箱 总价：135.00元 A．总价 B．数量 C．单价 D．总价和数量 24．（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 ，因变量是 ． 题型08自变量与函数值 【典例】（2023·北京·模拟预测）若函数有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式练习】 25．（2025·云南楚雄·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 27．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 题型09图象的识别和信息的提取 【典例】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，一只水桶底部有一小孔，在装满水的情况下，能简单刻画水位高度h随漏水时间t变化情况的图象是（     ） A．B． C． D． 【变式练习】 28．（2024·广东·模拟预测）长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．    31．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 题型10函数解析式 【典例】（2025·山西阳泉·模拟预测）某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下，则与之间的函数关系式为（　　） 出水时间 ．．． 5 10 15 20 ．．． 剩余水量 ．．． 80 60 40 20 ．．． A． B． C． D． 【变式练习】 32．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 34．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小杨同学用描点法画它的图象，列出了下列表格： … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在轴下方； ③该函数没有最高点；④当时，随的增大而增大； ⑤若将该函数图象关于轴对称，则对称后的图象函数解析式是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 35．（2025·湖南·模拟预测）快递公司规定：配送距离不超过3公里收费8元，超出部分每公里2元．若配送距离为x公里，费用y元与x的关系式是（    ）． A． B． C． D． 36．（2025·黑龙江佳木斯·二模）小明用一张长为、宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 37．（2024·广东·二模）如图，将足够大的等腰直角三角板的锐角顶点放在另一个等腰直角三角板的直角顶点处，三角板绕点在平面内转动，且的两边始终与斜边相交，交于点，交于点，设，，，则与的函数关系是 ． 题型11动点问题的函数图象 【典例】（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A．B．C．D． 【变式练习】 38．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A． B． C． D． 39．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 40．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 易错点01点到坐标轴的距离 【错因】易对点到坐标轴的距离理解不全面导致错误 【避错关键】解答此类问题时，容易受思维定式的影响，误认为距离相等，横、纵坐标值就相等，从而导致漏解.解题时，应根据点到坐标轴的距离的意义，先确定相应横、纵坐标的绝对值，再分类讨论 【典例】 1．已知点，点到轴的距离与到轴的距离相等，则的值为（   ） 2．在平面直角坐标系中，点到轴和轴的距离相等，则的值为 ． 3．若点到x轴的距离为4，则点P坐标为 ． 4．如果点到轴、轴的距离相等，那么点的坐标是 ． 易错点02点的坐标特征 【错因】对点的坐标特征理解错误而导致考虑不全 【避错关键】仔细审题，对问题进行全面考虑，避免因为考虑不全而出错，本题客易对x,y同号只考虑 一种情况，从而导致漏解 【典例】1．若点的坐标满足，则点P的位置在（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 2．若点的坐标满足，则点P在第 象限； 易错点03点的坐标的平移 【错因】混淆点的坐标的平移规律；混淆点的平移与坐标系的平移 【避错关键】易将坐标系的平移与点的平移相混淆，实际上坐标系向左平移相当于点向右平移，坐标系向上平移相当于点向下平移，所以本题应先把坐标系的平移转化为点A的平移，再根据点的平移规律求解， 【典例】 1．已知坐标平面内点，若将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则点A的对应点的坐标为 ． 2．在平面直角坐标系中，将线段先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，点P是线段上的一点，平移后点P 的对应点 Q 的坐标为，则点 P 的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点A在直线上，点B的坐标是，，，，将先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点B恰好落在直线上，则的值是 ． 易错点04描点法画函数的图象 【错因】忽视自变量的取值范围而画错函数的图象 【避错关键】客易出现的错误是画图象时没有考虑自变量的取值范围，在画涉及实际问题的函数图象时，图象上的点的横坐标必须限定在自变量的取值范围内， 【典例】 1．某蜡烛原长，点燃后每小时燃烧，求蜡烛的剩余长度与点燃时间之间的函数表达式，并画出函数的图象． 2．用一根长为的铁丝围成一个正方形，该正方形的面积为． (1)求S关于C的函数关系式； (2)画出函数的图象； (3)根据图象，求时正方形的周长； (4)根据图象，求出C取何值时， 技巧01：点的坐标变化规律 《方法技巧》 1.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律； 2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律 【典例】 1．（2025·河南漯河·三模）如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在第二象限交于点M，连接．点C在上，连接，，且．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…，按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·河南漯河·三模）如图，平面直角坐标系中，，，点为的中点，将作以下操作：①将沿折叠，得到，点的对应点为点；②将沿折叠，得到，点的对应点为点；③将沿折叠，得到，点的对应点为点……按此规律操作，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·一模）三月的泰安，玉兰花迎着春风绽放，数学活动小组在绘制如“玉兰花”形的美丽图案，如图在平面直角坐标系中，等腰三角形．将沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，称点为第一个“玉兰花”的花瓣，点为第二个“玉兰花”的花瓣；……；按此规律，滚动2025次后停止滚动，则最后一个“玉兰花”的花瓣的坐标为 ． 技巧02：动点问题的函数图象 《方法技巧》 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 【典例】 1．（2024·江西·模拟预测）如图1，点P以每秒1个单位长度的速度从的顶点B处出发，沿着方向运动到点C处停止，连接．设点P的运动时间为，的面积为S，若S是t的一次函数，其图象如图2所示． (1)根据图2，可推出 ，的面积为 ． (2)若，求的度数． 2．（2024·江西·模拟预测）如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段． (1)的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____． (2)当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且  求的值． 3（2025·重庆·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 4．（2025·河南郑州·模拟预测）如图1，在中，分别是的中点，连接，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动，到点停止，将射线绕点顺时针旋转，与的边或交于点，设点的运动时间为的长为，探究与的函数关系．经过探究发现在点从点运动到点的过程中，是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据以上信息，回答下列问题： (1)观察图象，直接写出： ①的长为___________； ②点从点运动到点的过程中，的最大值是___________． (2)当点从点运动到点时，求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）． (3)在点的运动过程中，若恰有两个时刻和，使其对应的的值相等，请你借助函数图象分析，直接写出和的值． 18．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，在中，，，，为边上的中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着——的路线运动，到达点停止．同时动点以相同的速度从点出发，沿运动，到达点停止，连接，过点作交于点运动的时间为秒．点，的距离为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 技巧03：平面直角坐标系与几何综合问题 《方法技巧》 平面直角坐标系中,解决与面积有关的问题时,要会求出点到坐标轴的距离.在求面积时,要会应用转化方法,将图形补成规则的图形或将图形分割成规则的图形进行求解. 在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了). 【典例】 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为． ①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 3．（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取 值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 技巧04：新定义问题 《方法技巧》 平面直角坐标系中的新定义问题，核心是理解题目自定义的概念（如“新距离”“特殊点/图形”），再结合坐标系的基本性质（坐标运算、距离公式、函数图像等）求解。 这类问题的解题步骤通常可总结为： 1. 精读定义：圈出关键条件（如“若两点满足某种坐标关系，则称为XX点”），明确新概念的数学表达（如用公式、等式或图形特征描述）。 2. 转化定义：将抽象的新定义“翻译”为坐标系中的具体运算（如用两点坐标表示新距离，用函数解析式表示新图形）。 3. 结合旧知：调用平面直角坐标系的基础知识点（如两点间距离公式、一次函数与坐标轴交点、图形面积计算等），代入转化后的表达式求解。 4. 验证结果：将求得的坐标、图形等代入新定义，验证是否符合题目要求，排除不符合条件的解。 【典例】 1．（2025·江西吉安·一模）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点_____“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则_____； (3)已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式_____． 2．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，当 点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点， 哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A 是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)抛物线上存在两个点是点的“差反点”，求p 的取值范围； (4)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t 的值． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）我们约定，在平面直角坐标系中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”．例如，点的参照线有：，，，（如图1）．如图，正方形在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，分别在轴和轴上，点在正方形内部． (1)直接写出点的所有参照线：______； (2)若，点在线段的垂直平分线上，且点有一条参照线是，则点的坐标是______； (3)在（2）的条件下，点是边上任意一点（点P不与点A，B重合），连接，将沿着折叠，点的对应点记为，当点在点的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点的坐标______． 一、单选题 1．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·浙江杭州·二模）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·湖北·一模）在函数中，自变量x的取值范围是 12．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 13．（2025·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 14．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 15．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1） ；（2）m的值为 ． 16．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为 ． 三、解答题 17．（2025·安徽淮南·一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出； (2)在所给的网格中确定一个格点P，使得，并写出点P的坐标． 18．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，每个小方格的边长为个单位长度．四边形顶点都在格点上，点的坐标为 (1)以点为旋转中心，将四边形顺时针旋转，得到四边形，画出旋转后的图形，并写出、、的坐标； (2)求点旋转轨迹的长度． 19．（2025·江苏盐城·二模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下： ①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位； ②每人使自己所选的座位号数字之和最小； ③座位不能重复选择． (1)如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被 选择； (2)如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为 ． 20．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 21．（2025·重庆·模拟预测）如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)请直接写出点的坐标； (2)如图2，平分交于点，求的面积； 22．（2025·山西长治·模拟预测）如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示． (1)________； (2)求点在段上运动时，的面积与运动时间的函数关系式； (3)当的面积为时，求的值． 23．（2025·河南郑州·二模）数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： (1)建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． (2)画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． (3)观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． (4)得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 24．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，为平面坐标系中任意一点且，．    (1)若且，求证：； (2)若，求证：； (3)在问题（2）的条件下，x轴上一点，求取得最小值时，P点的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $