专题20圆的有关计算（知识清单）（4大考点+13大题型+3大易错+6大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题20圆的有关计算 （4大考点+13大题型+3大易错+6大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01正多边形与圆 考点02弧长的计算 考点03扇形面积及计算 考点04圆锥及其计算 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（13大重难题型） 题型01正多边形的中心角 题型02正多边形的边数及边长 题型03正多边形的有关计算 题型04弧长的有关计算 题型05求点的弧形运动长度 题型06扇形的面积 题型07图形旋转后扫过的面积 题型08不规则图形的面积 题型09圆锥的侧面积 题型10圆锥侧面展开图 题型11圆锥的实际问题 题型12正多边形的有关计算与证明 题型13切线的判定与不规则图形面积的计算 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（3个易混易错点） 易错点01正多边形的内切圆和外接圆问题 易错点02圆锥的侧面积 易错点03圆锥的侧面展开图的计算 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01：正多边形的有关计算与证明 技巧02：求滚动问题中的路径长问题 技巧03：和扇形有关的不规则图形的面积 技巧04：与扇形有关的动态问题 技巧05：圆锥侧面展开图的有关计算 技巧06：圆锥中的最短路径问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，会求正多边形的中心角、边心距、周长和面积； 2.理解并会推导圆的弧长计算公式，会利用弧长公式求弧长、半径、圆心角； 3.理解并会推导扇形面积计算公式，知道扇形面积与弧长之间的关系，会利用扇形面积公式求面积、半径、圆心角、弧长； 4.理解圆锥的侧面积和表面积，会用公式进行圆锥的展开图的有关计算. 考点01正多边形与圆 1.正多边形的有关概念： 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2.正多边形的有关计算 （1）内角：正n边形的每个内角和为. （2）中心角：正n边形的每个外角/中心角为. （3）周长：正n边形的周长. （4）面积：正n边形的面积. 3.正多边形的对称性: 对于正n边形： ①当n为奇数时，正n边形是轴对称图形； ②当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 考点02弧长的计算 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 【提示】 (1)若圆心角的单位不全是度，一定要把分和秒全部转化为度，再进行计算. (2)l表示孤长，它的单位与半径R的单位一致 (3)计算时，若题目中没有精确度的要求，则结果保留π. (4)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 考点03扇形面积及计算 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【提示】 （1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． （2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 考点04圆锥及其计算 1. 圆锥的有关概念 （1）圆锥：由一个底面和一个侧面围成的几何体 （2）母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段 （3）高：连接圆锥的顶点与底面圆锥及圆的圆心的线段 （4）侧面展开图：沿着圆锥的一条母线，把圆锥的侧面剪开并展平，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 2.圆锥的有关计算： 圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【提示】 （1）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. （2）注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 题型01正多边形的中心角 【典例1】（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 【变式练习】 1．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1），司南中心为一圆形，圆心为点O，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连结，并延长交于点P．则D点位于点P的南偏西的角度是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 题型02正多边形的边数及边长 【典例2】（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式练习】 4．（2025·山东聊城·三模）如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 5．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 6．（2025·上海杨浦·模拟预测）如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 题型03正多边形的有关计算 【典例3】（2025·四川雅安·二模）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式练习】 7．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 9．（2025·宁夏银川·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为 ． 题型04弧长的有关计算 【典例4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正五边形中，连接，以点B为圆心，长为半径作圆弧，得到，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 10．（2026·浙江·一模）如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 12．（2025·河南周口·三模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度． 题型05求点的弧形运动长度 【典例4】（2025·山东临沂·二模）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 【变式练习】 13．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在单位长度为1的正方形网格中，将绕顶点B 逆时针旋转至的位置，已知，则旋转过程中点A所经过的路径长为（    ）． A．2π B．4π C． D． 14．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 题型06扇形的面积 【典例6】（2025·江苏苏州·二模）扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为 （结果保留）． 【变式练习】 16．（25-26九年级上·江西南昌·月考）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ． 18．（2026·江苏连云港·模拟预测）川扇，被古人赞誉为“蜀中奇产”．《诗经》曾言：“五月鸣蜩”．宋代成都的初夏，第一声蝉鸣响起，大慈寺的扇市便如约而至．如图，某家设计公司根据川扇知识设计了一款纸扇：纸扇张开角度与的比为黄金比，，，那么制作这样一把纸扇需要 平方厘米的纸．（纸扇有两面，结果精确到；参考数据：） 题型07图形旋转后扫过的面积 【典例7】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 19．（2025·河南周口·一模）一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是 ． 题型08不规则图形的面积 【典例8】（2024·广东·模拟预测）如图，矩形对角线、交于点O，E为线段上一点，以点B为圆心，为半径画圆与相切于的中点G，交于点F，若，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 22．（2025·山西临汾·二模）如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 24．（2025·四川广元·一模）如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点．已知，则图中阴影部分的面积为 题型09圆锥的侧面积 【典例9】（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 .（结果保留） 【变式练习】 25．（2026·湖北襄阳·二模）一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 26．（2024·广东·模拟预测）用一个圆心角为，半径为9的扇形制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（2026·新疆·一模）已知一个圆锥体的三视图如图所示，三角形的高为3，圆的直径为8，则这个圆锥体的侧面积为 ． 题型10圆锥侧面展开图 【典例10】（2025·四川广安·一模）如图1是一个圆锥形生日帽，图2是其示意图．若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，则将该圆锥沿母线剪开后，其侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【变式练习】 28．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 29．（2025九年级下·浙江·专题练习）圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的母线长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 30．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 题型11圆锥的实际问题 【典例11】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【变式练习】 31．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 32．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    33．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 题型12正多边形的有关计算与证明 【典例12】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【变式练习】 34．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 35．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 36．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 题型13切线的判定与不规则图形面积的计算 【典例13】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积． 【变式练习】 37．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，是的弦，是的切线，为切点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 38．（25-26九年级上·广西防城港·月考）如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，且，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 39．（25-26九年级上·广西防城港·期末）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 易错点01正多边形的内切圆和外接圆问题 【错因】因混淆正多边形的内切圆与外接圆的半径而致错 【避错关键】正多边形的半径是其外接圆的半径，正多边形的边心距是其内切圆的半径.求解时只有看清题目的要求，准确区分两个概念，才能防止出现失误. 【典例】 1．（25-26九年级上·天津东丽·期末）如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是 ． 易错点02圆锥的侧面积 【错因】混淆圆锥的侧面积与表面积 【避错关键】圆锥侧面（即曲面部分）展开后的扇形面积，圆锥表面积（也称全面积） ，圆锥侧面积加上底面圆的面积，表面积包括包含侧面和底面（一个圆形底面） 【典例】 4．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）数学综合实践课上，小红打算用纸板制作一个如图所示的高为8、底面圆半径为6的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，她所需纸板的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州铜仁·三模）某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为 （结果保留）． 易错点03圆锥的侧面展开图的计算 【错因】混淆圆锥的底面圆半径与侧面展开图的半径而出错 【避错关键】圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的孤长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的半径和底面圆的半径不能混淆，审题时要结合图形加以区分，避免出现错误， 【典例】 7．（2023·山东泰安·二模）已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的侧面积和侧面展开图圆心角的度数为（    ）．    A．和 B．和 C．和 D．和 8．（2023·云南临沧·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 技巧01：正多边形的有关计算与证明 《方法技巧》 根据正多边形和圆的关系，在圆中说明一条弦是正多边形的一边，可转化为求这条弦所对的圆心角的度数，根据圆心角的度数与正多边形中心角的度数的关系作出判断即可. 【典例】 1．（2025·广东广州·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图1，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，，若用圆内接正十二边形作近似估计，则π的估计值为 ． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． (1)设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆． ①若，则该正n边形的“接近度”等于______； ②若“接近度”等于18，则该正n边形的边数n的值等于______； ③当“接近度”等于______时，正n边形就成了圆． (2)设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆．你认为这种说法是否合理？若不合理，请写出正n边形“接近度”的一个合理定义． 技巧02：求滚动问题中的路径长问题 《方法技巧》 旋转或滚动问题中路径长的计算需考虑两方面：一是根据问题情境确定路径的形状，二是寻找计算路径长度的条件， 【典例】 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆·一模）如图，是的直径，M、N是上异于A，B的两点，C是上一动点，的角平分线交于点D，的平分线交于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是 ． 6．（2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 技巧03：和扇形有关的不规则图形的面积 《方法技巧》 求不规则图形的面积的常用策略 (1)通过“割”“补”“拼”“凑”等方法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式 (2)通过等积代换的方法将不规则图形的面积转化成规则图形的面积 【典例】 7．（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江·模拟预测）如图，C是以为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦相切．已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（2026九年级·广西·专题练习）如图，是的直径，点在上，连接，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 技巧04：与扇形有关的动态问题 《方法技巧》 解决与动点运动路径有关的问题时，找准动点的运动轨迹是成功解题的关键.一般地，某动点绕一定,点以某一定长为半径旋转，动点运动的轨迹为扇形的弧. 【典例】 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）平面内，如图，在中，，，．点P为边上任意一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．当点Q恰好落在直线上，则旋转到所扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（    ）    A． B． C． D． 13．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在反比例函数的图象上，若线段绕点逆时针旋转，使点的对应点落在轴上，若线段扫过的面积为，则 ． 14．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，线段扫过的面积为 ． 技巧05：圆锥侧面展开图的有关计算 《方法技巧》 圆锥与其侧面展开图（扇形）常用的三个等量关系 (1)侧面展开图（扇形）的弧长=圆锥底面圆的周长 (2)侧面展开图（扇形）的面积=圆锥的侧面积； (3)侧面展开图（扇形）的半径=圆锥的母线长 【典例】 15．（22-23九年级上·山东临沂·期中）如图，圆锥的底面半径，高．则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·新疆和田·期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为 ． 17．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 技巧06：圆锥中的最短路径问题 《方法技巧》 解决与空间图形有关的最短距离问题时，可以先将空间立体图形转化为平面图形，并利用平面图形中 “两点之间，线段最短”画出线段（路径），再借助勾股定理等求解. 【典例】 18．（25-26九年级上·江苏南京·月考）将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 19．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 20．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    21．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 一、单选题 1．（2025·云南丽江·一模）半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 2．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在正十边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·一模）如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，是以为直径的半圆的一条弦，且，，设的面积为，阴影部分面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·贵州遵义·一模）下列结论说法正确的是（    ） ①的内切圆半径为，周长为，则的面积是； ②有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，若这个圆锥的侧面展开图是半圆，则它的母线长； ③以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆面积四等分，则这三个圆、、的半径比为． A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 7．（2025·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 8．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下． 甲：作的中垂线，交于左，右两点； 再作的中垂线，交于左，右两点； 连结，六边形即为所求的六边形． 乙：以D为圆心，长为半径作圆弧，交于左，右两点； 再以A为圆心，长为半径作圆弧，交于左，右两点； 连结，六边形即为所求的六边形． 对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（    ） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 9．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 10．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·青海西宁·模拟预测）圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数 ． 12．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是 ． 13．（2025·陕西西安·一模）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是 . 14．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 15．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是 ． 16．（2024·湖北·模拟预测）如图，边长为的正方形的顶点A、B在一个半径为的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 ． 三、解答题 17．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)画出关于原点O对称的，并写出的坐标； (2)若将点A绕原点O逆时针旋转，请直接写出点A运动的路径长． 18．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 19．（25-26九年级上·河南许昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 20．（2025-2026学年度第一学期学业监测九年级数学试题）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 21．（湖北随州市2025-2026学年度上学期九年级期末学业水平模拟考试数学）如图，菱形的边长为2，过点D作，垂足为H，以点A为圆心，长为半径画弧，已知． (1)求证：； (2)求阴影部分的面积（结果保留）． 22．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 23．（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 24．（25-26八年级上·福建福州·期末）“化圆为方是古希腊著名的几何作图难题，要求仅用没有刻度的直尺和圆规构造一个与给定圆面积相等的正方形．尽管这在19世纪被证明为尺规作图不可能问题，但古希腊数学家希波克拉底发现，某些特殊的月牙形（由圆弧围成的图形）的面积可以与多边形的面积相等．下面我们探索相关的问题． (1)有一个半径为20的圆，求与该圆面积相等的正方形的边长； (2)如图1，是等腰直角三角形，，，D为中点，以A为圆心，长为半径作圆A，以D为圆心，长为半径作圆D．若，求月牙形阴影部分的面积，并利用图1中的线段，画出与其面积相等的正方形，说明理由；（无需尺规作图） (3)尺规作图：如图2，已知线段，请以为底边，作一个等腰直角三角形，使得，并作出一个月牙形，使其面积等于该三角形面积的一半（保留作图痕迹，不写作法） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20圆的有关计算 （4大考点+13大题型+3大易错+6大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01正多边形与圆 考点02弧长的计算 考点03扇形面积及计算 考点04圆锥及其计算 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（13大重难题型） 题型01正多边形的中心角 题型02正多边形的边数及边长 题型03正多边形的有关计算 题型04弧长的有关计算 题型05求点的弧形运动长度 题型06扇形的面积 题型07图形旋转后扫过的面积 题型08不规则图形的面积 题型09圆锥的侧面积 题型10圆锥侧面展开图 题型11圆锥的实际问题 题型12正多边形的有关计算与证明 题型13切线的判定与不规则图形面积的计算 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（3个易混易错点） 易错点01正多边形的内切圆和外接圆问题 易错点02圆锥的侧面积 易错点03圆锥的侧面展开图的计算 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01：正多边形的有关计算与证明 技巧02：求滚动问题中的路径长问题 技巧03：和扇形有关的不规则图形的面积 技巧04：与扇形有关的动态问题 技巧05：圆锥侧面展开图的有关计算 技巧06：圆锥中的最短路径问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，会求正多边形的中心角、边心距、周长和面积； 2.理解并会推导圆的弧长计算公式，会利用弧长公式求弧长、半径、圆心角； 3.理解并会推导扇形面积计算公式，知道扇形面积与弧长之间的关系，会利用扇形面积公式求面积、半径、圆心角、弧长； 4.理解圆锥的侧面积和表面积，会用公式进行圆锥的展开图的有关计算. 考点01正多边形与圆 1.正多边形的有关概念： 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 2.正多边形的有关计算 （1）内角：正n边形的每个内角和为. （2）中心角：正n边形的每个外角/中心角为. （3）周长：正n边形的周长. （4）面积：正n边形的面积. 3.正多边形的对称性: 对于正n边形： ①当n为奇数时，正n边形是轴对称图形； ②当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 考点02弧长的计算 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 【提示】 (1)若圆心角的单位不全是度，一定要把分和秒全部转化为度，再进行计算. (2)l表示孤长，它的单位与半径R的单位一致 (3)计算时，若题目中没有精确度的要求，则结果保留π. (4)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量． 考点03扇形面积及计算 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长). 【提示】 （1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． （2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=或S扇形=R中求解即可． 考点04圆锥及其计算 1. 圆锥的有关概念 （1）圆锥：由一个底面和一个侧面围成的几何体 （2）母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段 （3）高：连接圆锥的顶点与底面圆锥及圆的圆心的线段 （4）侧面展开图：沿着圆锥的一条母线，把圆锥的侧面剪开并展平，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 2.圆锥的有关计算： 圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 【提示】 （1）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. （2）注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 题型01正多边形的中心角 【典例1】（2024·湖南·模拟预测）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 【变式练习】 1．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（2025·山东德州·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1），司南中心为一圆形，圆心为点O，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连结，并延长交于点P．则D点位于点P的南偏西的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵八个方位将圆形八等分（图2中的点， ∴正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的南偏西的角度是； 故选：C． 3．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 题型02正多边形的边数及边长 【典例2】．（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 【变式练习】 4．（2025·山东聊城·三模）如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 5．（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 6．（2025·上海杨浦·模拟预测）如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正多边形中心角与其边数的关系，正多边形的中心角等于360度除以其边数，根据题意可得该正多边形的中心角为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该正多边形的中心角为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：12． 题型03正多边形的有关计算 【典例3】（2025·四川雅安·二模）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确解答此题的关键．根据正六边形的性质知是正三角形，在中，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， ． 故答案为：D． 【变式练习】 7．（2026·广西柳州·一模）如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆周角定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 连接，根据正六边形的性质可得为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接 正六边形内接于， ∴为的直径． 又， 是等边三角形， ． ∵是的直径， ∴,， ∴在中，， 是的中点， ， 在中， ． 故选：B． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等. 连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得，结合三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作交于点， 正八边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 解得：， 的半径为； 故选：B． 9．（2025·宁夏银川·三模）如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：设半径为r，由题意得，， 解得， 六边形是的内接正六边形， ， ， 是正三角形， ， 弦所对应的弦心距为， 故答案为： 题型04弧长的有关计算 【典例4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正五边形中，连接，以点B为圆心，长为半径作圆弧，得到，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧长计算．先求出五边形的内角，进而求出所对的圆心角，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：多边形为正五边形， 每一个内角均为， ， ， ， ， 的长为 故选：B． 【变式练习】 10．（2026·浙江·一模）如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，先证，设，则，由三角形内角和定理得，由菱形对角线互相平分，可得，，再根据，可得，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，， 由题意知， ，， 四边形是菱形， ， ， 又， ， ， 设， 则， ， 与的长之比为， ， ， ， 菱形中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查弧长的计算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握菱形的性质是解题的关键． 11．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 12．（2025·河南周口·三模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度． 【答案】36 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为， 即点旋转的弧长为， 设点旋转的角度为度， 则， 解得：， 故答案为：36． 题型05求点的弧形运动长度 【典例4】（2025·山东临沂·二模）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 【变式练习】 13．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在单位长度为1的正方形网格中，将绕顶点B 逆时针旋转至的位置，已知，则旋转过程中点A所经过的路径长为（    ）． A．2π B．4π C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的旋转变换，解题的关键是理解A所经过的路径是扇形，扇形弧长公式． 由题知，A所经过的路径是扇形，结合扇形弧长公式． 【详解】解：根据题意，A所经过的路径是扇形，半径， 圆心角， 所以． 故选：D． 14．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式的应用．解题关键在于确定点的运动轨迹是圆弧，利用勾股定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算．本题需要先确定点的运动轨迹，再根据弧长公式计算轨迹长度．点绕点顺时针旋转，其运动轨迹是以为圆心，长为半径的一段圆弧，先求出的长度，再利用弧长公式计算． 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地面划出的痕迹长． 15．（2025·江苏苏州·模拟预测）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 题型06扇形的面积 【典例6】（2025·江苏苏州·二模）扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积，利用扇形的面积公式求解即可，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的面积为， 由题意得，弧长为，半径为， ∴扇形的面积， 故答案为：． 【变式练习】 16．（25-26九年级上·江西南昌·月考）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 连接，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 17．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握正多边形的内角和公式和扇形面积公式是解题的关键． 先根据正多边形的内角公式：每个内角度数，求出正五边形内角，再利用扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆， ∴， ∴阴影部分面积． 故答案为：． 18．（2026·江苏连云港·模拟预测）川扇，被古人赞誉为“蜀中奇产”．《诗经》曾言：“五月鸣蜩”．宋代成都的初夏，第一声蝉鸣响起，大慈寺的扇市便如约而至．如图，某家设计公司根据川扇知识设计了一款纸扇：纸扇张开角度与的比为黄金比，，，那么制作这样一把纸扇需要 平方厘米的纸．（纸扇有两面，结果精确到；参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割比，扇形面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，再结合纸扇张开角度与的比为黄金比，进行列式计算，得，再结合扇形面积公式进行列式计算，得扇子一面的面积为平方厘米，最后根据纸扇有两面进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵纸扇张开角度与的比为黄金比， ∴ ∴ 解得 则 （平方厘米）， ∵纸扇有两面， ∴（平方厘米）， 那么制作这样一把纸扇需要平方厘米的纸． 故答案为： 题型07图形旋转后扫过的面积 【典例7】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 【变式练习】 19．（2025·河南周口·一模）一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据得出是解题的关键． 连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E， 由旋转知，经过点O，且， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选A． 20．（2025·广东湛江·二模）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 21．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键． 题型08不规则图形的面积 【典例8】（2024·广东·模拟预测）如图，矩形对角线、交于点O，E为线段上一点，以点B为圆心，为半径画圆与相切于的中点G，交于点F，若，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，含角的直角三角形的三边关系以及等边三角形的判定与性质． 连接，根据切线性质及G为中点可知垂直平分，再结合矩形性质可证明为等边三角形，从而得到，，再利用角的直角三角形的三边关系求出，然后求出和扇形的面积，两者相减即可得到阴影部分面积． 【详解】连接，由题可知， ∵G为中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，， ， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【变式练习】 22．（2025·山西临汾·二模）如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，求特殊图形的面积，掌握扇形面积公式是解题关键． 连接，过点作于点，先求出、扇形的面积、扇形的面积，再利用面积的和差进行计算即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴的面积为：， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， ∴图形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：A． 23．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、求扇形面积等知识点，弄清图形间的面积关系是解题的关键． 根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴的半径为：， ∵过点O， ∴根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，即， ∴阴影部分面积为： ． 故选：A． 24．（2025·四川广元·一模）如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点．已知，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解决问题的关键．连接，根据阴影部分的面积的面积+扇形的面积扇形的面积，解答即可． 【详解】解：连接， 由题意可知： 阴影部分的面积的面积+扇形的面积扇形的面积，. ∵以为圆心，的长为半径画圆，交于点，， ∴， ∵以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 题型09圆锥的侧面积 【典例9】（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 .（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积. 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 【变式练习】 25．（2026·湖北襄阳·二模）一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面积公式为，其中r为底面半径，l为母线长． 根据圆锥的侧面积计算即可． 【详解】解：∵底面直径， ∴半径． ∵母线长， ∴侧面积． 故选：A． 26．（2024·广东·模拟预测）用一个圆心角为，半径为9的扇形制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥的底面直径．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【详解】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：D． 27．（2026·新疆·一模）已知一个圆锥体的三视图如图所示，三角形的高为3，圆的直径为8，则这个圆锥体的侧面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查由三视图求几何体的表面积．先利用三视图得到圆锥的底面圆的半径为4，高为3，再根据勾股定理计算出母线长为5，然后根据圆锥的侧面积公式：代入计算即可． 【详解】解：根据三视图得到 圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径为4，圆锥的高为3， 所以圆锥的母线长， 所以这个圆锥的侧面积是． 故答案为：． 题型10圆锥侧面展开图 【典例10】（2025·四川广安·一模）如图1是一个圆锥形生日帽，图2是其示意图．若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，则将该圆锥沿母线剪开后，其侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故答案为：． 【变式练习】 28．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知一个圆锥的母线长，底面半径是，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，弧长等知识．熟练圆锥侧面展开图的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键．设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是， 依题意得，， 解得，， 故选：D． 29．（2025九年级下·浙江·专题练习）圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的母线长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】 本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解题的关键．根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长求解即可． 【详解】 解：设圆锥的母线长为l， ∵圆锥的底面半径为4， ∴圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：， ∴圆锥的母线长为12， 故选：B． 30．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，求圆锥底面圆半径，勾股定理，，设这个圆锥体的底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥体的底面圆半径为r， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥体的高为， 故答案为：． 题型11圆锥的实际问题 【典例11】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长， ∴侧面积为 ∴底面积为， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 【变式练习】 31．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 32．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    【答案】22 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 33．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 题型12正多边形的有关计算与证明 【典例12】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【变式练习】 34．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接，，． (1)求的度数； (2)若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形的性质与扇形面积公式． （1）由正五边形的性质，可得，即可解答； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：正五边形内接于， ； （2）由（1）得， 的半径为， 扇形（阴影部分）的面积为：． 35．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）解：正六边形如图所示， （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 平方米． 36．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】(1)是，见解析 (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； 【详解】（1）是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形． （2）如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 题型13切线的判定与不规则图形面积的计算 【典例13】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，切线的判定等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式练习】 37．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，是的弦，是的切线，为切点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理以及圆周角定理和扇形的面积公式，解题关键在于利用切线性质证明三角形全等． （1）连接，由圆周角定理可得，由是的切线且为切点，则，结合四边形内角和，，可得与相切． （2）连接，先证，，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：相切． 连接，如图 ， ． 是的切线且为切点， ． ， 在四边形中， ． 故． 与相切． （2）解：如图2，连接． ，是的切线， ． 在和中 ． ，． 在中， ， ． ． ． ． ． 38．（25-26九年级上·广西防城港·月考）如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，且，． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则得出，可求得，可得出结论； （2）先根据直角三角形的性质和勾股定理求得和的长度，利用的面积扇形的面积求得阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 39．（25-26九年级上·广西防城港·期末）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，扇形的面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）连接，由角平分线的定义可得，由，得到，推出，结合，即可得证； （2）先解求出，即可求解的面积，再由三角形中线等分三角形面积得到面积，然后根据圆周角定理得到，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， 又， ， 即直线是的切线； （2）解： 如图， 平分， ， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点为中点， ∴， ∵ ∴， ∴ 易错点01正多边形的内切圆和外接圆问题 【错因】因混淆正多边形的内切圆与外接圆的半径而致错 【避错关键】正多边形的半径是其外接圆的半径，正多边形的边心距是其内切圆的半径.求解时只有看清题目的要求，准确区分两个概念，才能防止出现失误. 【典例】 1．（25-26九年级上·天津东丽·期末）如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及正六边形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 根据圆周角定理，得到是含的直角三角形，再根据的直角三角形性质及勾股定理求出的长，即可得的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是⊙O的内接正六边形， ，． ，． ． ． ． ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知，分别是的外心和内心，，则的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外心和内心的性质．外心是三角形外接圆的圆心，给定，根据点的位置不同，有两种可能值；内心是三角形角平分线的交点，利用公式计算即可． 【详解】解：∵是的外心，， ∴当点在优弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴； 当点在劣弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴． 故答案为：或． 易错点02圆锥的侧面积 【错因】混淆圆锥的侧面积与表面积 【避错关键】圆锥侧面（即曲面部分）展开后的扇形面积，圆锥表面积（也称全面积） ，圆锥侧面积加上底面圆的面积，表面积包括包含侧面和底面（一个圆形底面） 【典例】 4．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）数学综合实践课上，小红打算用纸板制作一个如图所示的高为8、底面圆半径为6的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，她所需纸板的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理以及求圆锥侧面积．本题关键在于理解“所需纸板面积为圆锥侧面积”，并熟练运用勾股定理求母线长和圆锥侧面积公式．解题时需明确圆锥的高、底面半径与母线的几何关系，再结合公式完成计算．要计算制作圆锥形漏斗所需纸板的面积，即求圆锥的侧面积．需先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥侧面积公式进行计算． 【详解】解：圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，其中高为8，底面半径为6， 根据勾股定理，母线长：； 圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）， 将， 代入公式得：． 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的全面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键． 根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的全面积=侧面积+底面面积”计算即可． 【详解】解：圆锥侧面展开图扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为， 圆锥底面圆的半径为． ∴圆锥的底面积为． ∴圆锥的全面积是． 故选：C． 6．（2025·贵州铜仁·三模）某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为 （结果保留）． 【答案】平方米 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，关键是先求母线长，再用侧面积公式： 先根据圆锥底面半径与高，利用勾股定理算出母线长；再代入圆锥侧面积公式，求出覆盖侧面所需防尘布的最小面积 ． 【详解】解：根据题意知：圆锥底面半径米，高米， 由勾股定理米 ． 圆锥侧面积公式，代入，，得 （平方米）； 故答案为：平方米 易错点03圆锥的侧面展开图的计算 【错因】混淆圆锥的底面圆半径与侧面展开图的半径而出错 【避错关键】圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的孤长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的半径和底面圆的半径不能混淆，审题时要结合图形加以区分，避免出现错误， 【典例】 7．（2023·山东泰安·二模）已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的侧面积和侧面展开图圆心角的度数为（    ）．    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据三视图可知该几何体是圆锥，然后根据圆锥的底面圆周长是展开图扇形的弧长求出圆心角度数，进而求出侧面积即可． 【详解】解：由题意得该几何体是圆锥，且底面圆直径为，高为， ∴底面圆半径为， ∴母线长为， 设展开图圆心角度数为， ∴， ∴， ∴侧面积为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，求圆锥的侧面积和侧面展开图扇形圆心角度数，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．（2023·云南临沧·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【详解】解：，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故选：A． 9．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 设圆锥底面半径，，再根据题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】设圆锥底面半径，， 又扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， 所以，解得，即圆锥母线长， 所以该圆锥的高， 解得． 故答案为：． 技巧01：正多边形的有关计算与证明 《方法技巧》 根据正多边形和圆的关系，在圆中说明一条弦是正多边形的一边，可转化为求这条弦所对的圆心角的度数，根据圆心角的度数与正多边形中心角的度数的关系作出判断即可. 【典例】 1．（2025·广东广州·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图1，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得π的估计值为，如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，，若用圆内接正十二边形作近似估计，则π的估计值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过A作于M，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图2，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， 过A作于M， 在正十二边形中，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， ∴， ∴π的近似值为3， 故答案为：3． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）连接、，证明是等边三角形，得出即可求出结论； （2）过作于，求出，，再求出，即可求出结论； （3）求出，，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：连接、； 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长； （2）解：过作于， 是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． (1)设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆． ①若，则该正n边形的“接近度”等于______； ②若“接近度”等于18，则该正n边形的边数n的值等于______； ③当“接近度”等于______时，正n边形就成了圆． (2)设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆．你认为这种说法是否合理？若不合理，请写出正n边形“接近度”的一个合理定义． 【答案】(1)①；②；③ (2)不合理．合理定义如越小，正n边形越接近于圆． 【分析】此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解直角三角形，解此题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）①根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；②根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；③根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解； （2）由于正n边形的半径R，边心距r都与此正n边形的边长有关，故将正n边形的“接近度”定义为，不合理，举反例说明；然后给出正n边形“接近度”的一个合理定义，结合正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形，求解即可． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴“接近度”等于； 故答案为：60； ②当“接近度”等于时，则， 解得或（舍去）， 则， 解得， 故答案为：20； ③∵越小，该正n边形就越接近于圆， ∴当时，该正n边形就成了圆， 此时， ∴； 故答案为：0； （2）解：不合理． 例如，对两个相似而不全等的正n边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但却不相等． 合理定义方法不唯一，如定义为越小，正n边形越接近于圆． 如图，当时，为正的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，为正六边形的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆． 技巧02：求滚动问题中的路径长问题 《方法技巧》 旋转或滚动问题中路径长的计算需考虑两方面：一是根据问题情境确定路径的形状，二是寻找计算路径长度的条件， 【典例】 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，先确定点在以为直径的圆上运动，当与重合时，连接，取的中点，连接，求得点最终位置，根据已知条件得出点E旋转，进而最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵，则 ∴在以为直径的圆上运动， 如图，当与重合时，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴即点E旋转， ∵， ∴ 在中， ∴ ∴点经过的路径长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 5．（2025·新疆·一模）如图，是的直径，M、N是上异于A，B的两点，C是上一动点，的角平分线交于点D，的平分线交于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等；如图，连接，连接交于G，连接交于F，设．求出，证明平分，求出；再证明，则，可得，得到点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，连接交于G，连接交于F，连接， 设．则， ∵是直径， ∴， ∵的角平分线交于点，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∴， ∴点E在以D为圆心，为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵， ∴设，则， 的长的长， 故答案为：． 6．（2025·广东广州·一模）如图，边长为的正方形内部有一点，点在边的上方，，，连接、、． (1)求证：； (2)延长交所在直线于点； ①若，时，求的面积； ②若，当从到的变化过程中，求点经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用四边形是正方形，得出，，再证明，即可证明； （2）①设交于点，交于点，先证明证明，再证明和是等腰直角三角形，求出，，求出，再证明，得出，结合，即可求解； ②连接，取的中点，连接、．先证明，得出在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，求出、，利用，判定，则可求出，当旋转角从变化到时，在上运动，求出，利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ∵， ∴， ， 在和中，， ； （2）解：①如图，设交于点，交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ， ∴， 又， ； ②如图，连接，取的中点，连接、． 四边形是正方形， ， 点是的中点， ，， 同①可知， 点是的中点， ， ∴在以为圆心，为半径的上， 如图，过作于， 当时， ， ， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， 当旋转角从变化到时，在上运动， ，，， ， ∴点经过路线的长度为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 技巧03：和扇形有关的不规则图形的面积 《方法技巧》 求不规则图形的面积的常用策略 (1)通过“割”“补”“拼”“凑”等方法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式 (2)通过等积代换的方法将不规则图形的面积转化成规则图形的面积 【典例】 7．（2025·云南·模拟预测）如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不规则图形的面积的求解，阴影面积为扇形的面积减去等边三角形的面积的倍，代入已知数据计算即可． 【详解】解：过A点作于D点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 8．（2025·浙江·模拟预测）如图，C是以为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦相切．已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点D，的圆心为O，连接，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到经过圆心O，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用阴影部分的面积解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 【详解】解：设与交于点D，的圆心为O，连接，如图， 为半圆的直径， ， ， 过B，C两点作与弦相切， 经过圆心O， 即为直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 故选：D 9．（2026九年级·广西·专题练习）如图，是的直径，点在上，连接，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图，先利用平行线的性质得到，则可证明，接着证明，然后根据圆周角定理得到，从而可证明，于是根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用点F是OE的中点得到，则根据余弦的定义可求出，再根据含度角的直角三角形三边的关系计算出，，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式，利用阴影部分的面积=进行计算． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的直径， 即 即 是⊙O的切线； （2）解：点F是的中点， 在中， 在中， ， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式． 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 技巧04：与扇形有关的动态问题 《方法技巧》 解决与动点运动路径有关的问题时，找准动点的运动轨迹是成功解题的关键.一般地，某动点绕一定,点以某一定长为半径旋转，动点运动的轨迹为扇形的弧. 【典例】 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）平面内，如图，在中，，，．点P为边上任意一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．当点Q恰好落在直线上，则旋转到所扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于，于．则四边形是矩形．解求出的长，进而得到的长，再求出的值，最后根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当点落在直线上时，作于，于．则四边形是矩形． 在中，， ∴可设， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ，， ， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旋转到所扫过的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，扇形面积计算，正确作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键． 12．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，……均为等腰直角三角形， ∴，，，…… ∴，，，，…… ∴可推导一般性规律为， ∴， 故选：A． 13．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，点在反比例函数的图象上，若线段绕点逆时针旋转，使点的对应点落在轴上，若线段扫过的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据扇形面积计算公式求出半径，继而求出点A坐标，可得k值． 【详解】解：由得：， 解得：， 如图，作轴，垂足为C， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 14．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接，在运动过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解直角三角形，动点P的运动轨迹等知识，如图，过点A作于A，作于B，连接，交于D，证明，得，再证明，可得，确定点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧，利用面积差可得线段扫过的面积，确定点P的运动轨迹是解本题的关键． 【详解】过点A作于A，作于B，两线交于点O，连接，交于D， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线，， 在中，， ∴， ∴， ∵点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧， ∴线段扫过的面积 ， 故答案为：． 技巧05：圆锥侧面展开图的有关计算 《方法技巧》 圆锥与其侧面展开图（扇形）常用的三个等量关系 (1)侧面展开图（扇形）的弧长=圆锥底面圆的周长 (2)侧面展开图（扇形）的面积=圆锥的侧面积； (3)侧面展开图（扇形）的半径=圆锥的母线长 【典例】 15．（22-23九年级上·山东临沂·期中）如图，圆锥的底面半径，高．则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再利用底面周长=展开图的弧长，圆锥的母线长=展开图的扇形的半径，即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的母线长， 设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为，则 ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式和圆的周长公式列方程求值． 16．（25-26九年级上·新疆和田·期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了圆锥的计算，关键是熟练掌握扇形弧长公式．根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， 解得， 所以此扇形卡纸的圆心角的度数为． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，扇形的面积公式，圆锥的侧面积，熟练掌握相关公式是解题的关键． （1）设扇形的圆心角的度数为，根据扇形的面积公式列方程求解即可； （2）根据圆锥的侧面积等底面周长的一半乘母线长，列式计算即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 18．（25-26九年级上·江苏南京·月考）将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)矩形长为，宽为． 【分析】（）设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，然后根据弧长公式得，，从而求解； （）设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为，则，然后由弧长，，得，再代入即可求解； （）延长，交于点，连接，过点作于，交于，由（）知，从而可得和都为等边三角形，所以，然后通过勾股定理得，从而矩形长为，宽通过即可求解． 【详解】（1）解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）解：设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为， 则：， ∵，， ∴， ∴， ∴扇环的面积 ； （3）解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∵，， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形长：，宽：， 所以矩形长为，宽为． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，弧长公式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用及添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 技巧06：圆锥中的最短路径问题 《方法技巧》 解决与空间图形有关的最短距离问题时，可以先将空间立体图形转化为平面图形，并利用平面图形中 “两点之间，线段最短”画出线段（路径），再借助勾股定理等求解. 【典例】 19．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 20．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 21．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 一、单选题 1．（2025·云南丽江·一模）半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形面积为：. 故选：B． 2．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在正十边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，连接，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接， 则， 由圆周角定理得，， 故选：B． 3．（2025·贵州·一模）如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式：． 设此定滑轮旋转的度数为，则由弧长公式得到，据此即可求解． 【详解】解：设此定滑轮旋转的度数为，则， 解得， ∴此定滑轮旋转的度数为． 故选：D． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图，是以为直径的半圆的一条弦，且，，设的面积为，阴影部分面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理等，掌握扇形面积公式、圆周角定理及三角函数是本题的关键． 连接、，过点作于点，设的半径为，根据圆周角定理和三角函数将的面积用和表示出来，根据与同底等高得，从而得，利用扇形的面积公式用和将扇形的面积表示出来，进而计算即可． 【详解】解：连接、，过点作于点，设的半径为． ， ， ，， ， ，， ； ， 与同底等高， ， ， ． 故选：C． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵阴影部分的周长， ∴阴影部分的周长． 故选：A． 6．（2023·贵州遵义·一模）下列结论说法正确的是（    ） ①的内切圆半径为，周长为，则的面积是； ②有一个圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高，若这个圆锥的侧面展开图是半圆，则它的母线长； ③以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆面积四等分，则这三个圆、、的半径比为． A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆锥的侧面积等知识，①设内切圆的圆心为，将的面积分为三部分，进行求解，进行判断即可；②设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，先求出圆柱的高，再根据圆锥的侧面展开图是半圆，求出之间的数量关系，利用勾股定理进行求解即可；③根据以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆面积四等分，得出，然后解方程即可． 【详解】解：①如图： 的内切圆半径为r，的周长为L，则 ，故①正确，符合题意； ②设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R， 根据题意得， 则， ∵圆锥，与底面圆直径是且体积为的圆柱等高， ∴， ∴， ∵， 即， 则， 即它的母线长是，故②错误，不符合题意； ③根据题意，得， 解得，， ∴，故③正确，符合题意； 故选：B． 7．（2025·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．作于C，利用等腰直角三角形的性质求出的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题． 【详解】解：如图，作于C， ∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计， ∴，， ∵ ∴， 则， ∴的面积为， ∴正八边形面积为 ∴的估计值为． 故选：B． 8．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下． 甲：作的中垂线，交于左，右两点； 再作的中垂线，交于左，右两点； 连结，六边形即为所求的六边形． 乙：以D为圆心，长为半径作圆弧，交于左，右两点； 再以A为圆心，长为半径作圆弧，交于左，右两点； 连结，六边形即为所求的六边形． 对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（    ） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】此题主要考查了作图-复杂作图，关键是掌握垂径定理及圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识． 根据作图即可得到，，进而得出六边形为正六边形．进而即可判断． 【详解】解：甲：∵作的中垂线，交于左，右两点， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， 同理可得，，，，均为等边三角形， 故，， 所以六边形为正六边形； 乙：由作图可得，，即为等边三角形， 同理可得，，均为等边三角形， 故，而， 所以，均为等边三角形， 所以，， 所以六边形为正六边形； 因此，甲、乙两人的作法均正确， 故选：A 9．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 10．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴对角线长为， ∴转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2026次经过的路线长为：． 故选：D． 二、填空题 11．（2023·青海西宁·模拟预测）圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、圆锥的侧面积公式、扇形的面积公式，掌握理解圆锥的侧面展开图为扇形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得圆锥的底面半径和母线长，再根据圆锥的侧面积公式和扇形的面积公式即可得答案． 【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为度， 圆锥的主视图是边长为的等边三角形， 圆锥的底面直径和母线长均为， 由圆锥的侧面积公式得：， 又圆锥的侧面展开图是扇形， ， 解得， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角为180度， 故答案为：． 12．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 13．（2025·陕西西安·一模）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是 . 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，圆内接四边形，先理解正五边形的外接圆为,列式计算得，运用圆内接四边形对角互补进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵正五边形的外接圆为, ∴， ∵点P是劣弧上一点, ∴观察图中，四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 14．（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．把圆锥沿母线展开得到它的侧面积为扇形点为弧的中点，如图，设该扇形圆心角为，利用弧长公式得到，解得，所以，然后利用等边三角形的性质计算出的长，从而根据两点之间线段最短得到答案． 【详解】解：圆锥底面圆直径长是， ∴圆锥底面圆周长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：， 如图， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， ， ， ， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 16．（2024·湖北·模拟预测）如图，边长为的正方形的顶点A、B在一个半径为的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】设圆心为O，连接，，，，易证三角形是等边三角形，确定，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示：设圆心为O，连接，，，，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 同理：是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数． 三、解答题 17．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)画出关于原点O对称的，并写出的坐标； (2)若将点A绕原点O逆时针旋转，请直接写出点A运动的路径长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形，求关于原点对称的点的坐标，勾股定理，弧长公式，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）作出点A、B、C关于原点对称的点，再顺次连接即可； （2）先求出的长，然后根据弧长计算公式，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：， ∴将点A绕原点O逆时针旋转，则点A运动的路径长为： ． 18．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在四边形中，，． (1)证明四边形有外接圆； (2)简要说明正边形有外接圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的性质与判定，圆的定义； （1）取的中点，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而结合已知证明，得出，即可得证 （2）根据正边形的定义可得，对称中心到所有顶点的距离相等，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形有外接圆； （2）解：∵正边形是各边长度相等、各内角相等的多边形，其对称中心到所有顶点的距离相等； ∴正边形的所有顶点共圆，外接圆存在． 19．（25-26九年级上·河南许昌·月考）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【分析】本题考查了正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质、勾股定理、点坐标与轴对称，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．过点作轴于点，连接，先求出，，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵正六边形的中心为原点，半径为， ∴，，正六边形关于轴和轴对称， ∴是等边三角形，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称， ∴，，，， 综上，正六边形各个顶点的坐标分别为，，，，，． 20．（2025-2026学年度第一学期学业监测九年级数学试题）如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定、扇形的面积公式； （1）由是的直径，得到，由得到，进而得到，再利用切线的判定定理即可证明； （2）根据圆周角定理得到，进而推出是等边三角形，则，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积． 21．（湖北随州市2025-2026学年度上学期九年级期末学业水平模拟考试数学）如图，菱形的边长为2，过点D作，垂足为H，以点A为圆心，长为半径画弧，已知． (1)求证：； (2)求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． （1）先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，则，由此即可得证； （2）先求出菱形和的面积，再求出，然后求出扇形的面积，最后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】（1）证明：∵菱形的边长为2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵菱形的边长为2，，， ∴，， 由（1）已得：， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 22．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）解：与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 23．（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先由正六边形的性质、等腰三角形的性质得到相关角度，再由两个三角形全等的判定定理得到，则，进而由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，由全等三角形性质及等边三角形性质即可得到，从而得证； （2）由尺规作图，过点作线段的垂直平分线即可得到答案； （3）过点作，垂足为，连接，如图所示，由切线的判定方法求证即可得到答案． 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； （2）解：如图所示： 、即为所求； （3）证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 【点睛】本题考查圆与多边形综合，涉及圆的基本性质、圆内接正六边形性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图-作垂直平分线、圆的切线的判定等知识，熟记圆与多边形相关性质是解决问题的关键． 24．（25-26八年级上·福建福州·期末）“化圆为方是古希腊著名的几何作图难题，要求仅用没有刻度的直尺和圆规构造一个与给定圆面积相等的正方形．尽管这在19世纪被证明为尺规作图不可能问题，但古希腊数学家希波克拉底发现，某些特殊的月牙形（由圆弧围成的图形）的面积可以与多边形的面积相等．下面我们探索相关的问题． (1)有一个半径为20的圆，求与该圆面积相等的正方形的边长； (2)如图1，是等腰直角三角形，，，D为中点，以A为圆心，长为半径作圆A，以D为圆心，长为半径作圆D．若，求月牙形阴影部分的面积，并利用图1中的线段，画出与其面积相等的正方形，说明理由；（无需尺规作图） (3)尺规作图：如图2，已知线段，请以为底边，作一个等腰直角三角形，使得，并作出一个月牙形，使其面积等于该三角形面积的一半（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)阴影部分的面积，作图见解析，理由见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，扇形的面积公式，尺规作图作垂直平分线． （1）求出圆的面积，再开平方即可； （2）应用勾股定理求出的长，进而根据阴影部分的面积计算，即可求出与其面积相等的正方形的边长，进而作图即可； （3）作线段的垂直平分线交于D，以D为圆心，长为半径画弧，交垂直平分线于一点C，连接，等腰直角三角形即为所求；由（2）可知月牙形的面积与其所对直角三角形的面积相等，则以为月牙形所对的三角形，仿照图1作图即可． 【详解】（1）解：半径为20的圆的面积为， 则与该圆面积相等的正方形的边长； （2）解：∵，， ∴， ∴的直径为， ∴的半径为， ∴阴影部分的面积 ， 则与其面积相等的正方形的边长的半径， 即根据的半径作正方形即可，作图如下： （3）解：如图：等腰直角三角形，月牙形（阴影）即为所求． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $