四川省成都市2025-2026学年九年级数学中考一诊模拟试卷（真题重组）

2025-2026四川省成都市九年级一诊模拟 （真题重组） A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是解题的关键． 根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：这个几何体的主视图如下： 故选：． 2．一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 3．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积即可得出正确选项，熟记比例的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，，，， 故选：C． 4．为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（   ） A．800 B．1200 C．2000 D．3000 【答案】C 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以池塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：， 故选：C． 5．如图，直线，若，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据，则，然后代入数值进行求解，即可作答． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 7．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得，从而易得，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故选：A． 8．2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：设浏览量平均每月增长率为x，列方程是， 故选：D． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若，则＝ ． 【答案】4 【分析】设，则a=2k，b=3k，再代入式子中即可求得结果. 【详解】设，则a=2k，b=3k， ===4 故答案为4 【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解答此题的关键. 10．若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 把代入方程中得，然后解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质得到，证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵和是位似图形， ∴，， ∵与的面积之比为， ∴与的相似比为，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，为了测量学校校旗杆的高度，小东用长2.4米的竹竿做测量工具．保持与地面垂直，移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿影长8米，竹竿与旗杆相距22米，则旗杆的高为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴，即， ∴米， ∴旗杆的高为米， 故答案为：． 13．如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图、勾股定理及正方形的性质是解题的关键；由题意易得，，，，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线， ， 四边形ABCD为正方形， ，，， ， ， ， 由勾股定理得，， 的长为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，负指数幂的计算，公式法求一元二次方程，掌握实数的混合运算法则，公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，特殊角的三角函数的计算，负指数幂的计算，最后根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先确定，，再运用求根公式即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ，， ∴， 解得，． 15．近年来，哈尔滨冰雪大世界在网络上爆火，吸引了国内外许多游客前往游览，冰雪大世界主要景点有梦幻冰雪馆、四季游乐馆、冰雪秀场、雪花摩天轮（依次用A、B、C、D表示）等．为了了解游客更喜欢哪个景点，工作人员随机对现场的游客进行采访调查，要求只能选择一个自己最喜欢的景点，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图： (1)本次统计共调查了________名游客，请将条形统计图补充完整； (2)求出扇形统计图中喜欢“四季游乐馆”所对应的圆心角度数； (3)景区工作人员准备向受访游客中的两男两女发放免费游览票2张，若要从4人中随机抽取2人发放免费游览票，请用树状图或列表法求恰好抽到1男1女的概率． 【答案】(1)400，图见解析； (2) (3) 【分析】（1）先根据D的人数人，占，求出总人数，再先求出喜欢C冰雪秀场的人数，再据此补全条形统计图即可； （2）用乘以喜欢B“四季游乐馆”在样体中点的百分比即可求解； （3）画树状图分析得出所有可能结果共有12种，恰好恰好抽到1男1女的8种，然后由概率公式求解即可． 本题考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，能从统计图中获取有用信息和掌握用树状图或列表法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：本次统计共调查的总人数为：(名)， 喜欢C冰雪秀场的人数为：(名)， 补全条形统计图如图所示： （2）解：， 答：扇形统计图中喜欢“四季游乐馆”所对应的圆心角度数为， （3）解：画树状图为： 由图可知，所有可能结果共有12种，恰好1男1女被选到的8种，所以恰好甲和丙被选到的概率为， 答：恰好1男1女被选到的概率为． 16．在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 【答案】13.5厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 像的高是13.5厘米． 17．在正方形中，点、分别在边和上，且，连接和分别交对角线于点、，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若正方形边长为，求四边形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合，易证，根据一组对边平行且相等即可证明四边形为平行四边形； （2）根据正方形的性质可证，，再根据平行四边形的性质可证，进而证明，推出，过点G作于点G，易证是等腰直角三角形，得到，进而求出，再利用正方形的面积即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点G作于点G， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴ 四边形面积为：正方形的面积 ． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 18．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，三角形面积，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质及平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）运用待定系数法求得反比例函数和一次函数的表达式，联立方程组求解即可求得点B的坐标； （2）设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，运用三角形面积公式可得：，，据题意建立方程求解即可求得答案； （3）设，分两种情况：当点Q在第一象限时，当点Q在第三象限时，再运用平行四边形的判定和性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为： ∵一次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 联立反比例函数和一次函数解析式得，， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，在第一象限中关于x轴对称的新比例函数解析式为， 设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，    ∵， ∴设直线解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴点P的坐标为； （3）解：设， 当点在第一象限时，如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得：， ∴； 当点在第三象限时，如图，连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得： ∴ 综上所述：点的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键． 根据已知，用b表示a、d表示c、f表示e，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 20．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 21．2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵若点C可看作是线段的黄金分割点，且， ∴． 又∵， ∴ 故答案为：． 22．如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则 ；若（均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为 ． 【答案】 或3 【分析】第一空：根据题意建立关于的式子，消去，得到关于的一元二次方程求解即可； 第二空：同上思路，得到关于和的式子，进而可以看成关于的一元二次方程有两个正根问题，再将代入验证即可． 【详解】解：第一空：∵， ∴矩形的周长为，矩形的面积为， ∵， ∴矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，或； 第二空：同理（1）思路可得 矩形的周长为，矩形的面积为， ∵， ∴矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴，， ∴可以把和看成一元二次方程的两个正根， ∴， 整理得， ∵（均为正整数）， ∴，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴共有组，符合题意的有组， 矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为， 故答案为：或；． 【点睛】本题主要考查新定义，整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，概率的计算，理解新定义的计算，整式的混合运算法则，根的判别式的计算，概率的计算方法是解题的关键． 23．如图，在中，，点D、E分别是上的动点，，将线段绕点E顺时针旋转到，旋转角等于，连接与，最小值是 【答案】 【分析】由勾股定理求出，设，则得到，在延长线上截取，证明，得到，，过F作于点H，则证明，求出，在延长线上截取点P，使，证明，则是等腰直角三角形，则，证明点F在过P且满足的直线上，作C关于的对称点，连接，则，得到，当且仅当B，F，共线时取等号，进一步利用勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则 ∵， ∴， 在延长线上截取， ∵，且， ∴， ∵线段绕点E顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴，， 过F作于点H，则 ∴， ∴， ∴ ∴， 在延长线上截取点P，使, ∵ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点F在过P且满足的直线上， 作C关于的对称点，连接，则， ∴， 当且仅当B，F，共线时取等号， ∵，， ∴在中，， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，添加辅助线较多，属于填空题中的压轴题． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． (1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； (2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ (3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)，． (2)当2元或16元时，平均每天盈利784元． (3)见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识点，解决此题的关键是正确列出一元二次方程． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）由（1）的结果可得到每天盈利为，再根据题意列出方程即可求解； （3）由（2）的思路可列出方程，再算出方程根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得现在平均每天售卖盆，每盆盈利为元，即元． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：当为2元或16元时，平均每天的盈利为784元． （3）解：不能实现，理由如下： 由题可得方程： 整理得：， ∵ ∴原方程无解， ∴该销售商的这种想法不能实现． 【点睛】 25．在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点． 　　　　 (1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积； (2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点． ①如图2，若，点的横坐标为1，求的长； ②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先由直线解析式求出点C坐标，进而得到的长度，再通过联立直线和反比例解析式求出点A坐标，最后由求出答案； （2）①通过作辅助线得到及，结合建立关于的方程求出即可；②先设A点坐标为，B点坐标为，然后根据题意求出直线及的解析式，得出，进而根据直角三角形的性质证得，得到到，再根据轴对称和直角三角形的性质得出．点和点D关于对称，过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S，证明，再证明，得到，即，即可解答． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 解得：， ∴点C坐标为，则， 联立， 解得或． ∴， ∴； （2）解：①过点A、B、D向x轴作垂线，垂足分别为P、Q、H， 由题意得：点A和点D关于原点O对称， ∴． 根据作图可得． 由平行线分线段成比例得：，， ∵， ∴， ∴， 根据反比例函数的性质，，则． ∴， ∴． ②过点B作x轴的垂线，再过点A、D作直线的垂线，垂足分别为G、H，连接．直线和分别与y轴交于P，Q，直线l与x轴交于点K，设直线与直线交点为， 设点坐标为，B点坐标为，则点D坐标为， ∴点G坐标为，点H坐标为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为，则，解得：， 直线解析式为； ∴， ∴， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴，即点T是的中点， ∵，则， ∴是直角三角形，且为斜边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 将代入，则， ∴， 将代入，则， ∴， ∵． ∴点B在线段的中垂线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵，，点关于直线的对称点为， ∴， ∴点和点D关于对称， 过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 把点及代入解析式得：， 整理得：，则． 故点A的横坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，轴对称图形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，求出两点横坐标的关系及直线和直线关于对称是解答本题的关键． 26．如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，若是以为腰的等腰三角形，，求的值； (3)如图2，在中，，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理． （1）证出即可得证； （2）分类讨论，当时，证即可得解，当时，证，即可得解； （3）由题易得点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接，先证，得到，进而设参，再证，设参，然后在 中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设， 在中，由勾股定理可得， ①当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴综上所述，的值为或； （3）如图，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上， 连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接， ∵点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 整理可得：， 解得（负值舍去）， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026四川省成都市九年级一诊模拟 （真题重组） A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是(   ) A． B． C． D． 2．一元二次方程的解是（      ） A． B． C． D． 3．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（   ） A．800 B．1200 C．2000 D．3000 5．如图，直线，若，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（    ） A． B． C． D． 8．2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若，则＝ ． 10．若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 11．如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 ． 12．如图，为了测量学校校旗杆的高度，小东用长2.4米的竹竿做测量工具．保持与地面垂直，移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿影长8米，竹竿与旗杆相距22米，则旗杆的高为 米． 13．如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（1）计算：； （2）解方程：． 15．近年来，哈尔滨冰雪大世界在网络上爆火，吸引了国内外许多游客前往游览，冰雪大世界主要景点有梦幻冰雪馆、四季游乐馆、冰雪秀场、雪花摩天轮（依次用A、B、C、D表示）等．为了了解游客更喜欢哪个景点，工作人员随机对现场的游客进行采访调查，要求只能选择一个自己最喜欢的景点，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图： (1)本次统计共调查了________名游客，请将条形统计图补充完整； (2)求出扇形统计图中喜欢“四季游乐馆”所对应的圆心角度数； (3)景区工作人员准备向受访游客中的两男两女发放免费游览票2张，若要从4人中随机抽取2人发放免费游览票，请用树状图或列表法求恰好抽到1男1女的概率． 16．在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？ 17．在正方形中，点、分别在边和上，且，连接和分别交对角线于点、，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若正方形边长为，求四边形面积． 18．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． B卷（共50分） 1、 填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若，且，则 ． 20．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 21．2024年，四川天府新区美术馆入选法国凡尔赛建筑奖《2024全球最美七大博物馆》．我们知道在美术作品中常常会运用“黄金分割”，以突出画面焦点，如图，若点C可看作是线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号）    22．如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则 ；若（均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为 ． 23．如图，在中，，点D、E分别是上的动点，，将线段绕点E顺时针旋转到，旋转角等于，连接与，最小值是 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． (1)填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； (2)试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ (3)若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 25．在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点． 　　　　 (1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积； (2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点． ①如图2，若，点的横坐标为1，求的长； ②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标． 26．如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，若是以为腰的等腰三角形，，求的值； (3)如图2，在中，，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $