专题09 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型（专项训练）数学北京版九年级上册
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内容正文：
专题09 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型（解析版）
目录
压轴题型一、二次函数的图象与性质
压轴题型二、二次函数的图象与各系数关系
压轴题型三、二次函数的平移问题
压轴题型四、二次函数的最值问题
压轴题型五、二次函数的存在性问题
压轴题型六、二次函数的角度问题
压轴题型七、二次函数的面积问题
压轴题型八、二次函数与方程、不等式综合
压轴题型九、二次函数应用之含参问题
压轴题型十、二次函数应用之符合要求问题
压轴题型十一、反比例函数的图象与性质
压轴题型十二、反比例函数的实际应用综合
压轴题型一、二次函数的图象与性质
1．已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求得抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【详解】解：将代入二次函数，
二次函数的图象过点，
点，都在二次函数的图象上，
二次函数的对称轴为直线，
，
，故A错误；
，
，
，
故B错误；
二次函数的对称轴为直线，
为二次函数的顶点，
当时，二次函数有最小值为，
，
，故C错误；
，
，
点，都在二次函数的图象上，且在对称轴的左侧，
二次函数的图象在对称轴的左侧，随的增大小减小，
，
，
，故D正确；
故选：D
2．已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论；确定出抛物线的对称轴，分三种情况考虑即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线；
当时，；当时，；当时，；
当时，在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大，
而此时，则函数在范围内的最小值不小于4，故满足题意；
当时，函数在内取得最小值，
由题意，只需满足，解得：，
即；
当时，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小，
由题意，只需满足，解得：，
故这样的t不存在，
综上，t的取值范围为．
故答案为：．
3．关于x的方程 的两个实根分别为α，β，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由“关于x的方程 有两个实根α，β”可得，解得或，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，进而将变形为，令（或），则该式可看成关于的二次函数，然后求其最值即可得出答案．注意，解题过程勿要忽略了方程有实根的前提条件．
【详解】解：关于x的方程 有两个实根α，β，
，
解得：或，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
令（或），
上式可看成关于的二次函数，其对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
又，
当时，取得最小值，其最小值为，
即：的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，图象法解一元二次不等式等知识点，根据方程有实根的前提条件得出的取值范围，并利用一元二次方程根与系数的关系将转化为关于的二次函数是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)若，求a的值；
(2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．
（1）直接将代入计算即可；
（2）先由求出，，，设对称轴为直线，则，计算得到，再分别判断每个因式的正负即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线经过点，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
设对称轴为直线，
则，即，
∵点和是抛物线上的两个点，
∴
∵，
∴，
即
，
∵，，
∴，，
即，
∵，，
∴，
即．
压轴题型二、二次函数的图象与各系数关系
5．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有( )个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；把，代入中可对③进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对④进行判断；由于方程有个根，方程有个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的开口向上，
，
，，
，所以①错误；
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
时，，
，所以②错误；
，
，所以③正确；
方程有两个根和，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，
，所以④正确；
方程有四个根，
方程有个根，方程有个根，
所有根之和为，所以⑤正确．
综上所述，正确的有：③④⑤．
故选：B．
6．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则；⑤当时则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程等知识，由抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，得到，由图象可知，抛物线的对称轴在轴的右侧，可得，可判断①，由图象可知，当时，，可判断②，根据抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小可判断③，由抛物线与直线有交点，方程有解，，则有实数解，要使有实数解，则，可判断④，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，则，设，，由根与系数的关系得到，则，得到，再得到，所以，即，设，则，解得，则可判断⑤，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，
∴，
由图象可知，抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故②不符合题意；
若点，，在抛物线上，根据抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小和图象可知，，故③不符合题意；
∵抛物线与直线有交点，方程有解，，
∴有实数解，
要使有实数解，
∴，故④不符合题意；
过点作轴于点，如图：
由抛物线的对称性可知，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是抛物线的顶点，
∴，，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
设，
∴，
解得：，
∴，故⑤符合题意，
综上，符合题意的有，共个，
故选：C．
7．抛物线经过点和，且．下列结论：①；②；③一元二次不等式的解集为；④当时，一元二次方程无实数根．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系；①根据题意，判断系数符号即可；②由两根之积得到，即可求出；③根据题意得到的两根分别为，，即可求出；④根据题意得，由判别式得，由两根和可知，，即可求出．
【详解】解：∵，
∴图象开口向下，
∵抛物线经过点和，且
∴图象与轴交正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴，
∴
，①正确；
∵抛物线经过点和
∴
∵
∴两根之积可知，
∴，
，
，
，
，，
，②错误；
的两根分别为，，
∵，
两边同时除以得
令
∴
整理：
的两根分别为，，
，的图象开口向上
的解集为，③正确；
抛物线经过，，
，
，
整理一元二次方程，
，
，
由两根和可知，，
∵
∴
∴，
，
，
，方程无实数根，④正确；
故答案为：①③④．
8．已知二次函数，且满足条件，，给出以下结论：
①；
②存在满足条件的，，，使得二次函数在时取得最小值；
③；
④对任意满足的实数，都有；
其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的各个知识点是解题的关键．①根据，，通过正、负来判断；②根据对称轴列式得到，与已知的矛盾；③分两种情况讨论，将和代入可得结论；④利用数形结合的方法，设抛物线与轴的交点为，，分两种情况：当，，时，抛物线对称轴在轴的左侧，画出函数图象，可知当时，，此时，可知，从而得出；当，，，抛物线对称轴在轴的右侧，同第一种情况讨论即可．
【详解】，，，
①、、中有正、负，
为最小，为最大，
，，
，故①正确；
②，
图象一定经过，
对于二次函数，当时，有最小值，即，
，故②错误；
③当时，时，，
当时，，
即时，，
，故③正确；
④如图所示，设抛物线与轴的交点为，，分两种情况：
i）当，，时，抛物线对称轴在轴的左侧，如图1，
当时，，
当时，，
，
，
当满足时，即当时，，此时，
，则当时，，
，
ii）当，，，抛物线对称轴在轴的右侧，如图2，
，
当时，，
，
当时，即当时，，此时，
，则当时，，
，
④正确；
故答案为：①③④．
压轴题型三、二次函数的平移问题
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运用数形结合的思想是解决问题的关键．
先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可．
【详解】解：将配成顶点式：，
此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，
则此二次函数的顶点在直线的直线运动，
如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点，此时取最小值，
将代入得：
，
解得：，（舍去），
则的最小值是，
如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，
将代入得：
，
解得：，（舍去）
∴，
故选：B．
10．已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出的坐标，根据轴，得到点的纵坐标为，进而推出点的纵坐标为：，根据点在轴的正半轴上，求出的值，得到抛物线向下平移了3个单位，设抛物线向右平移了个单位，得到，根据平移后的抛物线仍过点，求出的值，进而求出点的坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵， 当时，，
∴，，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∴点沿着轴向上平移了个单位，
∴点也沿着轴向上平移了个单位，即：点的纵坐标为：，
∵点在轴的正半轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点沿着轴向下平移了3个单位，即抛物线向下平移了3个单位，
∵点在轴的正半轴上，
∴设抛物线向右平移了个单位，则：新的抛物线的解析式为：，
∵平移后的抛物线仍然过点，
∴，解得：或（舍去），
∴抛物线向右平移了个单位，
∴点平移后的坐标为：，即：，
∴；
故选D．
11．已知抛物线（是实数）的对称轴为直线，现将该抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的几何变换的平移变换，平移规律是“左加右减，上加下减”，解题的关键是写出平移后抛物线解析式．
解抛物线得或，对称轴为直线，即可得出，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将代入，即可求得的值．
【详解】解：解抛物线，
可得：或，
∵抛物线（m，k是实数）的对称轴为直线，
∴，
即，
∵抛物线．
∴将该抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：，
∴将代入上式，
得，
整理得，
将代入中，
则，
解得．
故答案为：．
12．已知二次函数．
(1)当时，
①这个二次函数的顶点坐标为 ；
②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)的值为或
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质以及平移，熟记二次函数的增减性是解本题的关键；
（1）①把 代入即可求得解析式，把解析式化成顶点式，求得顶点坐标即可；
②根据二次函数的增减性得出 ，结合，求出m的取值范围解题即可；
（2）求得抛物线的解析式，进而求得平移后的函数解析式，根据题意分情况得到关于k的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①当 时，抛物线解析式为 ，
，
∴顶点坐标为：；
②∵二次函数的对称轴为直线，
∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：，
．
（2）解：，
∴抛物线的顶点为 ，
①若 ，将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 ，
∴对称轴为直线，而，
∴当时，此时，
∵，
∴当时函数取得最大值，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
当时，此时，
此时当时函数取得最大值，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
②若 ，
∵对称轴为直线，而，，
∴当时，函数取得最大值，则，解得：，不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
压轴题型四、二次函数的最值问题
13．已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为 ，
∵，即抛物线开口向上，
∴最小值为，
∴当时，该函数的最小值为，
∵，
∴当时，函数取得最大值，为，
∵当时，该函数的最大值与最小值的差是，
∴，
解得：．
故选：C．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线为直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】题是考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
分别令、，可求得，三点的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的函数表达式；过点作轴交直线于，设，且，则，得，由轴，可得，进而得，化成顶点是即可求得答案．
【详解】解：令，得，
解得：，，
∴，，
令，得：，∴，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的函数表达式为；
过点作轴交直线于，
设，且，则，
，
∵轴，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴最大值是．
故答案为：．
15．已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A．
(1)若时，求m的值．
(2)求m与k的关系式．
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围．
【答案】(1)0或3
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键．
（1）把代入，即可求解；
（2）求得平移后的函数解析式，根据题意得到，消去a即可求得；
（3）根据对称轴直线，分对称轴在区间左侧、右侧、区间内三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得或，
故m的值为0或3．
（2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为，
∵平移后的图象也经过点，
∴，
消去a，得；
（3）解：对称轴为直线．
①当时，
当时，y取最大值，
当时，代入得y取最小值，
所以，
解得（舍去）．
②当时，
．当时，
当 时，代入得y取到最大值，
当时，代入得y取到最小值，
所以，符合题意．
．当时，
当时，y取到最大值，
当时，y取到最小值
所以
解得（均舍去）．
综上所述，．
由，得．
16．已知满足：，且方程有两相等的实数根．．
(1)求在区间上的最大值．
(2)是否存在实数、，使得在区间上的最小值为，最大值为？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，关键是分情况讨论和根据特征点解题．
（1）利用二次函数的对称性求得对称轴，由方程有两相等的实数根，则中，即可求得，，求得解析式，进而即可求得在区间，上的最大值；
（2）分三种情况：、若，有：①，②，③，由此求出、的值相同，不合题意；、若，有：①，②，③，由此确定，不合题意；、若，，此时函数的最大值为1，，得出，不合题意，便可得出结果．
【详解】（1）解：满足：，
对称轴为直线，
，
，
方程有两相等的实数根，
，则，
，
，
，
，
时，有最大值1，
在区间，上的最大值是1；
（2）解：不存在，理由如下，
分三种情况：
、，有：①，②，③，
解得，不合题意；
、，有：①，②，③，
①②得：，，
，
代入①解得：，；
不合题意，
、若，，
此时函数的最大值为1，
，
，
不合题意，
综上所述：不存在实数、，使得在区间上的最小值为，最大值为．
压轴题型五、二次函数的存在性问题
17．如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题：
(1)求线段的长；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当或时，为直角三角形．
【分析】（1）先解方程，可得，，再利用勾股定理求解即可；
（2）如图，过作于，证明，可得，再分两种情况列函数解析式即可；
（3）如图，当，时，则，可得，求解；当时，证明，求解：（不符合题意，舍去）当时，此时，证明，可得；从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，，
∵和的长分别是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图，过作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴；
（3）解：如图，当，时，则，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，此时，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
同理可得：时不符合题意，舍去；
综上：当或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
18．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
(3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为或或或；
(3)点D的坐标为．
【分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法可求；
（2）求出线段的长，分类讨论解答即可；
（3）取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，这样．利用三角形的相似得出．从而得到M的坐标；求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组可求交点D的坐标．
【详解】（1）解：将代入得：
．
解得：．
∴此抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若是等腰三角形，分三种情形：
当时，，
∴，
∴P点坐标为或；
当时，
．
∴P点坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∵，，
∴．
解得：．
∴点P的坐标为．
综上，是等腰三角形，点P的坐标为或或或；
（3）解：存在，D点坐标为．理由：
如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴M的坐标为，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴联立得，
解得：或，
当时，，
∴D点的坐标为，
∴存在点D使得，点D的坐标为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．待定系数法是确定解析式的重要方法；利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．将两个解析式联立可以求出交点的坐标．
19．综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
将点和代入解方程组得到结论；
由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论；
如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
（3）存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
20．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或或
【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：把代入中，得
，
解得
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：存在．
∵，
∴，
设，
①当为菱的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
②当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得，
∴；
③当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
压轴题型六、二次函数的角度问题
21．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为
(1)请直接写出A、B、D三点坐标．
(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值；
(3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；
(2)
(3)或
【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标；
设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论；
确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下：
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
当时，得，
解得：或，
当时，得，
，，，
抛物线，
，
点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；
（2）解：设轴于点E，设，如图1，
设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
过点M作x轴的垂线，交直线于点N，
，
，
，
当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为；
（3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
①如图2，
，
∴，
设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
②如图3，设交于点G，作射线交于点F，
，
，
，，
，
垂直平分，
点F是的中点，
点F的坐标是，即，
设直线的解析式为，过点，
，
，
直线的解析式为，
直线：与直线：交于点G，
联立，
解得：，
，
设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键．
22．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)符合条件的P点坐标是或
(3)或或
【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可；
（2）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可．
（3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，，
∴，
把A，E两点坐标代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
，
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为，
①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M，
在中，
∵，
∴，
即，
解得，（舍去），
当时，，
∴，
②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N，
在中，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴，
综上，符合条件的P点坐标是或．
（3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
如图，当为对角线时，
设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
当为对角线时，如图，
设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
如图，当为对角线时，
设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
综上：或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．
23．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求的最大值．
(3)如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的横坐标为1或
【分析】（1）根据求出点C的坐标，再把点A，C坐标代入，求出a，c的值即可；
（2）求出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值；
（3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程的解即可得出点P的横坐标．
【详解】（1），
，
，
，
，
把代入，得：，解得，
二次函数表达式为；
（2）如图1，过点作于点，
设直线的解析式为，
把代入得：，解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
，
最大值为．
（3）存在点使得，此时点的横坐标为1或．
理由如下：
如图2，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
轴，
，
，
，
，，
同理可得，，
，
在中，，
在对称轴上，则，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，解得，，
存在点使得，此时点的横坐标为1或．
【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，求函数的最值，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，求出，，的值是解答本题的关键．
24．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；
(2)点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度；
(3)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)点；
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据是等腰直角三角形，直线和直线的夹角为 ，推出或，进行分类讨论即可解答；
（3）根据函数的性质和函数图象以及函数的最大值与最小值的差是一个定值得出结论；
【详解】（1）∵对称轴为直线 ，
∴，
，
∵抛物线 与y轴交于C点，代入得：
，
∴抛物线的解析式为，
由抛物线的表达式知，点；
（2），
是等腰直角三角形，
则，
∵直线和直线的夹角为 ，
或，
在中，，
，
当 时，如图1所示：
∵，
则，
则；
当时，如图2所示：
，
，
∴的长度为 或 ；
（3）当和在对称轴两侧时，
此时，抛物线在时，取得最小值，
当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，y的值为最大值，
此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，
此时，
即，函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式，方程组的解法、二次函数的图象与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论；本题综合性强，注意分类讨论；解题的关键是数形结合思想的应用．
压轴题型七、二次函数的面积问题
25．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点E的坐标为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，代入求解即可；
（2）过点作轴的平行线，交于点，设，则，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
则，，
将，代入抛物线解析式可得：
，
解得，
即；
（2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，∴当时，有最小值，最小值为3；
此时点E的坐标为；
（3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即，
当为边时，点到点的水平距离是4，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是5或，
代入抛物线解析式可得，，，
即点的坐标为或，
当为对角线时，点到点的水平距离是3，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去），
则，即点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
26．如图，二次函数与轴交于A，两点，其中点A在点的左侧，A为，抛物线与轴交于点，对称轴为，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点G为直线上方的抛物线上的一动点，试计算以A，，，为顶点的四边形的面积的最大值；
(3)若点为对称轴上的一个动点，点为抛物线上的一个动点，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)、或
【分析】（1）根据点、的坐标结合抛物线的对称轴为直线，即可得出关于、、的方程组，解之即可得出结论；
（2）过点作轴的平行线，交于点，由点的坐标结合抛物线的对称性可得出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，利用三角形的面积公式可得出，配方后即可得出以、、、为顶点的四边形的面积的最大值；
（3）分为边及为对角线考虑：①当为边，四边形为平行四边形时，根据四边形的性质结合、的坐标及点的横坐标，即可得出点的横坐标，进而即可得出点、的坐标；当为边，四边形为平行四边形时，根据四边形的性质结合、的坐标及点的横坐标，即可得出点的横坐标，进而即可得出点、的坐标；②当为对角线时，由、的坐标及点的横坐标利用平行四边形的对角线互相平分，即可得出点的横坐标，进而即可得出点、的坐标．综上，此题得解．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点、，且对称轴为直线，
，
解得：，
∴．
（2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图1所示．
，抛物线的对称轴为直线，
．
设直线的解析式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
．
，
当时，取最大值，最大值为．
（3）解：①当为边，四边形为平行四边形时，
，，点的横坐标为1，
点的横坐标，
点的坐标为，
点的坐标为，即；
当为边，四边形为平行四边形时，
，，点的横坐标为1，
点的横坐标，
点的坐标为，
点的坐标为，即；
②当为对角线时，
，，点的横坐标为1，
点的横坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，即．
综上所述：点的坐标为、或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象和性质、三角形的面积、平行四边形的性质，平移坐标变换规律，解题的关键是：（1）根据点的坐标结合抛物线的对称轴，求出、、的值；（2）利用三角形的面积公式找出；（3）利用平行四边形的性质找出点的横坐标．
27．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中，．直线经过B，C两点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使最小，直接写出点M的坐标；
(3)连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)3
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、最短路径问题、三角形的面积．
（1）根据抛物线与x轴交于，与y轴交于C点，可以求得该抛物线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再根据点B和点C的坐标，即可求得直线的解析式；
（2）根据两点之间线段最短和二次函数图象具有对称性，可以找到点M所在的位置，然后求出点M的坐标即可；
（3）根据点D和点M的坐标，可以求得的长，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积．
【详解】（1）将点，代入，
得
解这个方程组，得
抛物线的解析式为.
当时，，
解得，
∴点B的坐标为，
∵直线经过B，C两点，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
（2）∵点A和点B关于对称轴对称，
∴当点M是直线和对称轴的交点时，取得最小值，
∵抛物线，
∴点D的坐标为，对称轴为直线，
将代入直线，得：，
∴点M的坐标为；
（3）∵点，点，
∴，
∵点，
∴，
∴．
28．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点．
①若点是的中点，求的面积；
②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)①；②的值为或．
【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可；
（2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可；
②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵点是的中点，
∴点，
当时，，
则点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴；
②∵点是抛物线上一个动点，
∴，则，
当点在原点上方时，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
∴；
当点在原点下方时，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
压轴题型八、二次函数与方程、不等式综合
29．已知二次函数，其顶点为．
(1)求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)二次函数图象顶点的坐标为；
(2)或．
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
（1）化成顶点式即可求得；
（2）求出抛物线过N点时a的值，再结合图象求a的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数图象顶点的坐标为；
（2）解：∵一次函数与直线交于点，与直线交于点，
∴，，
∵抛物线顶点的坐标为，
∴点在点的上方，
∵线段与二次函数只有一个交点，
则点N在抛物线上或抛物线下方，
当过点N时，
，即，
解得或，
∴或．
30．已知抛物线．
(1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2)若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式组的解集，二次函数与轴的交点．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）由，可得抛物线的顶点坐标为；
（2）由，可知二次函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；由，可知当，且时，即，此时；当，且时，无解．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：存在，
∵恒成立，
∴二次函数图象开口向下，
当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小，
∵，
∴当，且时，即，此时；
当，且时，无解；
综上，时，．
31．已知抛物线经过两点，
(1)求b，c的值；
(2)当时，求函数值y的取值范围；
(3)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）依据题意，由（1）可得，抛物线为，从而当时，取最小值为，结合当时，；当时，，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由函数的图象为平行于的直线，从而结合图象，可以判断得解．
【详解】（1）解：抛物线经过两点
∴
解得：
（2）由（1）可得，抛物线为，
当时，取最小值为．
又当时，；当时，，
当时，．
（3）由题意，函数的图象为平行于的直线，
当时，函数的函数值总大于函数的函数值，故结合图象如下．
函数的图象过时，，
．
当时，函数的函数值总大于函数的函数值，则．
32．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于点，．
(1)求一次函数解析式；
(2)若抛物线与轴存在交点，且当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、抛物线与x轴的交点、二次函数与不等式等知识点．
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先利用待定系数法求得抛物线的解析式为，再根据题意列出不等式组，即可求得答案．
【详解】（1）（1）解：点，在函数的图象上，
解得
一次函数解析式为．
（2）解：将点代入
得，
解得：，
∵抛物线与轴存在交点，且当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，
解得：．
压轴题型九、二次函数应用之含参问题
33．厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：
（t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天）
1
3
6
10
20
…
日销售量
118
114
108
100
80
…
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少?
(2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)60
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，最值问题，分段函数等知识，正确理解题意，弄清各量间的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
（1）根据日销售量与时间t（天）的关系表，设，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量；
（2）根据题意列出日销售利润，此二次函数的对称轴为直线，要使W随t的增大而增大，，即可得出n的取值范围．
【详解】（1）依题意，设，将，代入中，
得：，
解得：，
∴日销售量与时间t（天）的关系．
当时，．
答：在第30天的日销售量为60千克．
（2）解：依题意，得：，
该函数图象的开口向下，对称轴为直线，要使在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
由二次函数的性质知：，解得．
又∵，
∴．
34．教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本）
销售单价x（元、件）
…
60
70
75
…
每天销售量y（件）
…
240
180
150
…
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可．
【详解】（1）解：设，
由题意得：当时，，当时，，
∴，
解之得，
∴；
（2）解：设每天利润为w元，由题意得
，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴当时，，
答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；
（3）解：设表示扣除捐款后的日利润，
，
∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，
∴，
解得，
∵，
∴．
35．利民超市购进了一批某种商品，进价为20元/件．在销售过程中统计发现；日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系如图所示．
(1)请直接写出y关于x的函数解析式；
(2)销售单价定为多少元时，所获该种商品的日销售利润w最大？最大利润是多少？
(3)超市决定每销售一件该种商品，就向社区福利院捐赠a元，捐赠后，为确保销售该商品的日最大利润满足的利润率，求a的值．（利润率）
【答案】(1)；
(2)销售单价定为30元/件时，日销售利润w最大为200元
(3)a的值为4．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，分式方程的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润单件利润销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设日销售利润为元，根据利润单件利润销售量销售量求出w关于x的函数表达式，再利用日最大利润满足的利润率，列得分式方程，据此计算求解即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为，
将，代入得，，解得，
∴y关于x的函数解析式为；
（2）解：设日销售利润为w元，根据题意，得：
，
∵，开口向下，
∴当时，有最大值为200，
∴该商品销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：设日销售利润元，
根据题意，得
，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵日最大利润满足的利润率，成本为，
又∵，
∴成本为，
∴，
解得或，
经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的根，且符合题意，
∴a的值为4．
36．某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（元/件）
（件）
10000
9500
9000
(1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值．
【答案】(1)
(2)一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元
(3)3，4，5
【分析】（1）用待定系数法即可求解即可；
（2）由，根据函数的性质即可求解；
（3）根据题意得，，则对称轴为直线，进而求解．
【详解】（1）解：设和的函数表达式为，
则，
解得，
故和的函数表达式为；
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元，
由题意得 ，
解得，
则，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，x为正整数，
∴当时，有最大值，
最大值为，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为元，销售单价分别为元；
（3）根据题意得，，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
对称轴，大于等于，则对称轴大于等于，由于取整数，
实际上是二次函数的离散整数点，取，，时利润一直增大，
只需保证时利润大于时即可满足要求，所以对称轴要大于就可以了，
故，
解得，
∵，
∴，
整数的值为3，4，5．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的实际应用、一元一次不等式组的实际应用、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式等知识，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
压轴题型十、二次函数应用之符合要求问题
37．某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由；
(3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)米
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由题意得，点F的横坐标为，当时，，即可求解；
（3）设提高h米，则新抛物线的表达式为，由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为，当时，，则符合要求，即可求解．
【详解】（1）解：把点和点代入得，
，
解得，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：不能，理由：
由题意得，点F的横坐标为，
当时，，
故校车不能完全停到车棚内；
（3）解：根据题意得：新抛物线的表达式为：，
由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为，
当时，，
则，
故米，
38．根据以下素材，探索完成任务．
素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高．
素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
(1)任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行．
(2)任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是 个．
【答案】(1)能，理由见解析
(2)8
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数的相关性质时解题的关键．
（1）先求出二次函数的解析式，当时，，解得：，由即可判断；
（2）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼．
【详解】（1）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
则点B的坐标为，
设函数关系式为，代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∵
∴该货船能顺利通行；
（2）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
∴当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
∴，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：；
方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最多8个灯笼，
故答案为：8．
39．如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点B到水面的距离是4米．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？
(3)如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)4.8米
(3)
【分析】（1）由图象可知抛物线的对称轴为直线，抛物线经过原点，将原点坐标代入函数解析式即可求得的值；
（2）根据题意求出时，所对应的之间的距离，也就是小船的最大宽度；
（3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，根据图象性质，得到函数在上，满足随的增大而减小，列出不等式组或，求解集即可．
【详解】（1），且点在轴上，
，
根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线，
顶点，
∴设抛物线的解析式为，
把原点代入得，
解得，
∴此二次函数的表达式．
（2）二次函数的表达式，
令得：
，
解得：，，
小船的最大宽度为：米．
（3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，如图：
根据图象性质，得到当或时随的增大而减小，
或，
解得或（舍去），
故的取值范围是．
40．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【答案】(1)见详解
(2)1.5
(3)2.1米
【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，
即，
故答案为：1.5．
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节1.6米，
（米，
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．
压轴题型十一、反比例函数的图象与性质
41．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
(1)求k的值；
(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积；
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点P的坐标是或．
【分析】（1）本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点代入函数解析式即可求得k的值，解答本题的关键在于函数交点都满足解析式．
（2）本题主要考查反比例函数与坐标轴围成面积，解答本题的关键在于利用已知点的坐标表示出围成图形的边长运用反比例函数k的几何意义即可求解．
（3）本题主要考查反比例函数正比例函数图象结合问题，解答本题的关键在于反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点P，Q的坐标，点P在点A的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A横坐标为4，
把代入
得，
∴，
∵点A是直线与双曲线的交点，
∴．
（2）解法一：如图1，
∵点C在双曲线上，
当时，，
∴点C的坐标为．
过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形．
∵，S△ONC＝4，S△CDA＝9，S△OAM＝4．
∴；
解法二：如图2，
过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点C在双曲线上，
当时，，
∴点C的坐标为．
∵点C、A都在双曲线上，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设点P的横坐标为（且），
得 ，
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴，
若，如图3，
∵，
∴．
∴．
∴，（舍去），
∴；
若，如图4，
∵，
∴．
∴，
解得，（舍去），
∴．
∴点P的坐标是或．
42．我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．
(1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；
②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到；
③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
(2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，．
(3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案．
【答案】(1)①，；②上，1；③它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
(2)见解析，
(3)
【分析】（1）①由阅读部分提示信息直接作答即可；②由，结合提示信息可得答案；③由，结合提示信息可得答案；
（2）先判断是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；再利用图象的平移进行画图即可，结合函数的图象可得时x的范围；
（3）先求出第一次复习的“最佳时机点”，然后代入，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
【详解】（1）解：①由题意可得：将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为；
②∵，
∴函数的图象可由得图象向上平移1个单位得到；
③∵，
∴它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．
（2）∵是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；
∴其对称中心是．图象如图所示：
由，得， 解得，经检验符合题意．
结合图象可得，当时，．
（3）当时， ，
则由，解得：，经检验符合题意，
即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点在函数的图象上，
则，解得：， 经检验符合题意；
∴， 当，
解得：，经检验符合题意；
即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
【点睛】此题属于反比例函数综合题．主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题．注意熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
43．在平面直角坐标系中，函数的图像与一次函数的图像交于点．
(1)求，的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点是射线上一点，过点分别作轴，轴的垂线交函数的图像于点，．将线段，和函数的图像在点，之间的部分所围成的区域（不含边界）记为．
利用函数图像解决下列问题：
①若点的横坐标是，直接写出区域内整点个数；
②若区域内恰有个整点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）先根据直线的解析式可求的值，从而可得点的坐标，再将点坐标代入反比例函数的解析式可得的值；
（2）①先求出点坐标，再根据反比例函数的解析式求出点、坐标，然后结合函数图像、整点的定义即可得；②由图可知点不可能在点下方，故点在点上方，结合函数图像列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：函数的图像与一次函数的图像交于点，
，即，
，
将代入反比例函数中，解得：，
故答案为：，；
（2）①由（1）可知反比例函数解析式为，
点是射线上一点，的横坐标是，
将代入，得
将代入，得
点与 轴，轴的垂线交函数的图像于点，，
，，
如图：
结合函数图像可知，区域内有个整数点；
②区域内恰有个整点，由图可知点只能位于的上方如图：
如图，当的纵坐标为时，横坐标为，
结合图像可知，当时，区域内有个整数点．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质，正确画出函数图像是解题关键．
44．如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B．
(1)求m的值；
(2)点是图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E．
①当时，判断与的数量关系，并说明理由；
②当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）将点代入反比例函数，即可求得m的值
（2）①将分别代入反比例函数和一次函数即可求得与，即可得到与的数量关系
②当时，可以得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴
（2）①，理由如下：
将代入得： ，
∴
将代入得：，
∴,
∴
②∵，，且，
∴，，
∵，
∴，且，
∴，
∴或，且，
∴或
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，解决问题的关键是能够按照点的坐标求到坐标轴的距离
压轴题型十二、反比例函数的实际应用综合
45．请根据以下素材，探索完成任务．
问题：单价变化时，再次购买物品，按相同金额购买和按相同数量购买哪个更划算？
素材1
某草莓种植农户，为寻求合适的销售价格，在某水果超市进行了6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元）之间成反比例关系，已知第1天以元的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元）之间都满足这一关系．
素材2
在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元，但销售量却是第2天的2倍．
素材3
在试销第2天时，甲、乙两人去此水果超市各购买了元的草莓，在试销第6天时甲去此水果超市购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同．
问题解决：
任务1
求与之间的函数表达式；
任务2
农户第2天的销售价格？
任务3
求得甲两次购买这种草莓的平均单价为___________元；乙两次购买这种草莓的平均单价为___________元；生活中，无论购买东西时单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同数量购买，结合甲、乙两次购买这种草莓的平均单价的计算结果，建议按相同___________购买更合算．（填“金额”或“数量”）
【答案】任务1：；任务2：元；任务3：，，金额．
【分析】此题考查了反比例函数，分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点．
任务1：设与之间的函数表达式为，根据题意列出式子，求出即可；
任务2：设农户第2天销售这种草莓价格单价为元，则第6天的销售价格为元，进而得出第2天和第6天的销售量，结合题意可得，求解检验即可；
任务3：由任务2可得第2天的销售价格为元，第6天的销售价格为元，结合题意可得第2天甲、乙两人购买草莓，第6天时甲购买草莓的重量为，乙购买草莓总价为元，进而可得甲，乙两次购买这种草莓的平均单价为，根据，可得按相同金额购买更合算．
【详解】解：任务1：由题意可设与之间的函数表达式为，
根据题意可列，
解得：，
∴与之间的函数表达式为．
任务2：设农户第2天销售这种草莓价格单价为元，则第6天的销售价格为元．
∵与之间的函数表达式为，
∴第2天销售量为，第6天的销售量为，
∵第6天的销售量是第2天的2倍，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
答：农户第2天的销售价格为元；
任务3：由任务2可得第2天的销售价格为元，第6天的销售价格为元，
∵甲、乙两人第2天去此水果超市各购买了元的草莓，在试销第6天时甲去此水果超市购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，
∴第2天甲、乙两人购买草莓，
又∵第6天时甲去此水果超市购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，
∴第6天时甲购买草莓的重量为，乙购买草莓总价为元，
∴甲两次购买这种草莓的平均单价为元，乙两次购买这种草莓的平均单价为元，
∵，
∴按相同金额购买更合算．
46．某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；
③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系．
如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题：
(1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______；
(2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式；
(3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？
【答案】(1)60，140
(2)
(3)分钟
【分析】（1）根据速度等于温度除以时间计算即；利用待定系数法求解析式，后求函数值解答即可；
（2）分成和两段计算解答即可；
（3）求出反比例函数的解析式，分别计算的自变量的值，自变量的差即为所求．
本题考查了待定系数法求解析式，持续时长的计算，一次函数与反比例函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键．
【详解】（1）解：根据速度等于温度除以时间计算即；
设温度与时间之间的关系式为，
根据题意，得，
解得，
故，
当时，，
故答案为：60,140．
（2）解：由图象可知：当时，；
当时，，
综上：．
（3）解：当时，设，
将代入得：
；
当时，
依次代入及中，
分别解得，
故持续时间长为： (分钟)；
答：三明治机工作温度在以上持续分钟．
47．【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值”
【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)点的“纵横值”为________；
(2)求函数的“最优值”；
(3)已知二次函数．
①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值；
②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值；
③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值．
【答案】(1)3
(2)函数的“最优值”为3；
(3)①见解析；②的值为或；③的值为或．
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．
（1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优值”的定义计算即可；
（2）根据“最优值”的定义计算即可；
（3）①根据“最优值”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5；
②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值；
③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：点的“纵横值”为，
故答案为：3；
（2）解：函数的“纵横值”为，
时，的最大值为，
函数的“最优值”为3；
（3）解：①∵
，
∵，
∴，
∴，
∴无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5；
②∵，
∴当时，有最大值5，
当时，，
解得：或（舍）；
当时，，
解得（舍）或；
综上，的值为或；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵点与点到直线的距离相等，
∴点与点关于直线对称或，
当点与点关于直线对称时，，即，
解得；
当时，，解得；
综上，的值为或．
48．【项目式学习】
项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表
物体到凸透镜距离u
像到凸透镜距离v
像的大小
像的正倒
缩小
倒立
等大
倒立
放大
倒立
与物同侧
放大
正立
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
(1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________；
(2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ，
①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ；
②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”）
（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
【答案】(1)，，；
(2)①；②减小
【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质
（1）任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，
（2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象，
②根据反比例函数的增减性，即可求解，
【详解】（1）解：任务一：①根据题意得：矩形，
∴，
根据题意得：与平行，
则，
∴，即：，
设，则，，
由题意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
故答案为：，，；．
（2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，，
，
由任务一可知：，
，
即，
解得：；
②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：
当当 时，随的增大而减小，
故答案为：减小．
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专题09 二次函数和反比例函数章末压轴满分题型（原卷版）
目录
压轴题型一、二次函数的图象与性质
压轴题型二、二次函数的图象与各系数关系
压轴题型三、二次函数的平移问题
压轴题型四、二次函数的最值问题
压轴题型五、二次函数的存在性问题
压轴题型六、二次函数的角度问题
压轴题型七、二次函数的面积问题
压轴题型八、二次函数与方程、不等式综合
压轴题型九、二次函数应用之含参问题
压轴题型十、二次函数应用之符合要求问题
压轴题型十一、反比例函数的图象与性质
压轴题型十二、反比例函数的实际应用综合
压轴题型一、二次函数的图象与性质
1．已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数在范围内的最小值不小于3，则实数t的取值范围是 ．
3．关于x的方程 的两个实根分别为α，β，则的最小值是 ．
4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)若，求a的值；
(2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由．
压轴题型二、二次函数的图象与各系数关系
5．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若函数，可整理为方程，且有两个根和，，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为，其中正确的结论有( )个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则；⑤当时则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．抛物线经过点和，且．下列结论：①；②；③一元二次不等式的解集为；④当时，一元二次方程无实数根．其中正确的是 （填写序号）．
8．已知二次函数，且满足条件，，给出以下结论：
①；
②存在满足条件的，，，使得二次函数在时取得最小值；
③；
④对任意满足的实数，都有；
其中正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
压轴题型三、二次函数的平移问题
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（ ）
A．8 B． C． D．
11．已知抛物线（是实数）的对称轴为直线，现将该抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是 ．
12．已知二次函数．
(1)当时，
①这个二次函数的顶点坐标为 ；
②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值．
压轴题型四、二次函数的最值问题
13．已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线为直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点，则的最大值是 ．
15．已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A．
(1)若时，求m的值．
(2)求m与k的关系式．
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围．
16．已知满足：，且方程有两相等的实数根．．
(1)求在区间上的最大值．
(2)是否存在实数、，使得在区间上的最小值为，最大值为？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
压轴题型五、二次函数的存在性问题
17．如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题：
(1)求线段的长；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
(3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
19．综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
20．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
压轴题型六、二次函数的角度问题
21．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为
(1)请直接写出A、B、D三点坐标．
(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值；
(3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标．
22．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标．
23．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求的最大值．
(3)如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．
(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；
(2)点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度；
(3)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
压轴题型七、二次函数的面积问题
25．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，二次函数与轴交于A，两点，其中点A在点的左侧，A为，抛物线与轴交于点，对称轴为，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点G为直线上方的抛物线上的一动点，试计算以A，，，为顶点的四边形的面积的最大值；
(3)若点为对称轴上的一个动点，点为抛物线上的一个动点，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点的坐标．
27．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中，．直线经过B，C两点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使最小，直接写出点M的坐标；
(3)连接，求的面积．
28．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点．
①若点是的中点，求的面积；
②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
压轴题型八、二次函数与方程、不等式综合
29．已知二次函数，其顶点为．
(1)求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围．
30．已知抛物线．
(1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
(2)若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
31．已知抛物线经过两点，
(1)求b，c的值；
(2)当时，求函数值y的取值范围；
(3)当时，函数的函数值总大于函数的函数值，直接写出n的取值范围．
32．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于点，．
(1)求一次函数解析式；
(2)若抛物线与轴存在交点，且当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，请直接写出的值．
压轴题型九、二次函数应用之含参问题
33．厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：
（t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天）
1
3
6
10
20
…
日销售量
118
114
108
100
80
…
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少?
(2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
34．教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本）
销售单价x（元、件）
…
60
70
75
…
每天销售量y（件）
…
240
180
150
…
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．
35．利民超市购进了一批某种商品，进价为20元/件．在销售过程中统计发现；日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系如图所示．
(1)请直接写出y关于x的函数解析式；
(2)销售单价定为多少元时，所获该种商品的日销售利润w最大？最大利润是多少？
(3)超市决定每销售一件该种商品，就向社区福利院捐赠a元，捐赠后，为确保销售该商品的日最大利润满足的利润率，求a的值．（利润率）
36．某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量（件）与售价（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
（元/件）
（件）
10000
9500
9000
(1)求关于的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元件．若某一周该商品的销售量不少于件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于元件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数的值．
压轴题型十、二次函数应用之符合要求问题
37．某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由；
(3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值．
38．根据以下素材，探索完成任务．
素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20米，拱顶离水面5米．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8米达到最高．
素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40厘米长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于1米（此时水面是指最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6米；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
(1)任务1，拟定通行方案：当该河段水位再涨1.8米达到最高时，有一艘货船它露出水面高2.2米，船体宽8米，需要从拱桥下通过，请你在图2中建立合适的直角坐标系，并通过计算判断该货船是否能顺利通行．
(2)任务2，拟定设计方案：根据素材信息，符合所有悬挂条件的灯笼数量最多可以是 个．
39．如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽米，桥拱顶点B到水面的距离是4米．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？
(3)如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
40．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
压轴题型十一、反比例函数的图象与性质
41．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
(1)求k的值；
(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积；
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
42．我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．
(1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；
②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到；
③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
(2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，．
(3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案．
43．在平面直角坐标系中，函数的图像与一次函数的图像交于点．
(1)求，的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点是射线上一点，过点分别作轴，轴的垂线交函数的图像于点，．将线段，和函数的图像在点，之间的部分所围成的区域（不含边界）记为．
利用函数图像解决下列问题：
①若点的横坐标是，直接写出区域内整点个数；
②若区域内恰有个整点，直接写出点的横坐标的取值范围．
44．如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B．
(1)求m的值；
(2)点是图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E．
①当时，判断与的数量关系，并说明理由；
②当时，直接写出的取值范围．
压轴题型十二、反比例函数的实际应用综合
45．请根据以下素材，探索完成任务．
问题：单价变化时，再次购买物品，按相同金额购买和按相同数量购买哪个更划算？
素材1
某草莓种植农户，为寻求合适的销售价格，在某水果超市进行了6天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元）之间成反比例关系，已知第1天以元的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元）之间都满足这一关系．
素材2
在试销期间，第6天的销售价格比第2天低了9元，但销售量却是第2天的2倍．
素材3
在试销第2天时，甲、乙两人去此水果超市各购买了元的草莓，在试销第6天时甲去此水果超市购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同．
问题解决：
任务1
求与之间的函数表达式；
任务2
农户第2天的销售价格？
任务3
求得甲两次购买这种草莓的平均单价为___________元；乙两次购买这种草莓的平均单价为___________元；生活中，无论购买东西时单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同数量购买，结合甲、乙两次购买这种草莓的平均单价的计算结果，建议按相同___________购买更合算．（填“金额”或“数量”）
46．某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；
③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系．
如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题：
(1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______；
(2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式；
(3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？
47．【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值”
【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)点的“纵横值”为________；
(2)求函数的“最优值”；
(3)已知二次函数．
①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值；
②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值；
③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值．
48．【项目式学习】
项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表
物体到凸透镜距离u
像到凸透镜距离v
像的大小
像的正倒
缩小
倒立
等大
倒立
放大
倒立
与物同侧
放大
正立
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
(1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________；
(2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ，
①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ；
②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”）
（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
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