专题02 二次函数（期末复习专项训练，13大题型）九年级数学上学期北京版

专题02 二次函数 题型1 y=ax2的图象性质 题型8 二次函数对称性、求最值（易错点） 题型2 y=ax2+k的图象性质 题型9 二次函数的最值（难点） 题型3 y=a（x-h）2的图象性质 题型10 二次函数的平移 题型4 y=a（x-h）2+k的图象性质 题型11 二次函数图象性质综合（难点） 题型5 一般式化顶点式 题型12 二次函数的应用（难点） 题型6 y=ax2+bx+c的图象性质（常考点） 题型13 二次函数实际应用（难点） 题型7 二次函数图象与系数的关系 题型一 y=ax2的图象性质（共3小题） 1．下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）. 3．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A． B． C． D． 题型二 y=ax2+k的图象性质（共3小题） 4．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣ 5．二次函数的图象与轴交于、两点，与轴相交于点．下列说法中，错误的是 A．是等腰三角形 B．点的坐标是 C．的长为2 D．随的增大而减小 6．已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式 ． 题型三 y=a（x-h）2的图象性质（共3小题） 7．如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 8．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 9．对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是（  ） A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点 题型四 y=a（x-h）2+k的图象性质（共3小题） 10．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 11．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 12．抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 一般式化顶点式（共3小题） 13．将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 14．将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 15．将二次函数化为的形式，则所得表达式为（    ） A． B． C． D． 题型六 y=ax2+bx+c的图象性质（共4小题） 16．已知二次函数． …… …… …… …… (1)在平面直角坐标系中画出此函数图象； (2)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围： ； (3)若，点在抛物线上（不与点重合），直线交直线于点．若点位于抛物线的上方，则点的横坐标的取值范围是 ． …… 0 1 …… …… 0 0 …… 17．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 18．平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且． (1)当时，求t的值； (2)点在抛物线上，若，判断与的大小关系，并说明理由． 题型七 二次函数图象与系数的关系（共3小题） 20．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 22．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 题型八 二次函数对称性、求最值（共5小题） 23．已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ． 24．已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 那么该抛物线的顶点坐标是 ． 25．一个二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表： x … 0 1 2 n 4 … y … 15 m 3 0 0 3 8 … (1)这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______ ． (2)m 的值是______，n 的值是______． (3)这个二次函数的解析式为______； 26．已知：二次函数的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为（    ） A． B． C． D． 27．在平面直角坐标系中，点，为抛物线上任意两点，其中．    (1)若抛物线的对称轴为，当为何值时，； (2)设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求t的取值范围． 题型九 二次函数的最值（共3小题） 28．已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则 ． 29．下表给出了代数式与x的一些对应值： x …… 0 1 2 3 …… …… 5 n c 2 …… (1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值． (2)设，直接写出当时y的最大值． 30．已知函数与函数，定义新函数． (1)若，则新函数_______； (2)若新函数y的表达式为，则_______，_______； (3)设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 题型十 二次函数的平移（共3小题） 31．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 32．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 33．将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 题型十一 二次函数图象性质综合（共5小题） 34．已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 35．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)若，当时，都有，求的取值范围． 36．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． (1)抛物线的对称轴为直线，．求抛物线的表达式； (2)将（1）中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，求点P的坐标； (3)当时，抛物线上有两点和，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 37．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 38．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值． (1)函数在区间上的最小值是 (2)求函数在区间上的最小值． (3)求函数在区间（t为任意实数）上的最小值的解析式． 题型十二 二次函数的应用（共5小题） 39．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为． (1)用含的式子表示抛物线的顶点坐标； (2)点为，点为． ①当时，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围； ②当时，若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围． 40．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围． 41．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． (2)已知点都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 42．如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 43．对于平面直角坐标系中的两点和给出如下定义：如果，或者，则称点M到点N的距离很远． 已知点，． (1)在点，，中到点A的距离很远的是点______； (2)若抛物线上的任意一点到A，B两点的距离都很远，则的取值范围是______； (3)点P在的内部或边上，点Q在直线上，若点P到O，A，B，Q四点的距离都很远，直接写出点P运动区域的面积的最小值及此时的点Q的坐标. 题型十三 二次函数实际应用（共5小题） 44．如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 45．一个大型社区，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心．    (1)以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (2)求水管的长． 46．通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： （） （） (1)求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系； (2)这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． ①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围． 47．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 48．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 题型1 y=ax2的图象性质 题型8 二次函数对称性、求最值（易错点） 题型2 y=ax2+k的图象性质 题型9 二次函数的最值（难点） 题型3 y=a（x-h）2的图象性质 题型10 二次函数的平移 题型4 y=a（x-h）2+k的图象性质 题型11 二次函数图象性质综合（难点） 题型5 一般式化顶点式 题型12 二次函数的应用（难点） 题型6 y=ax2+bx+c的图象性质（常考点） 题型13 二次函数实际应用（难点） 题型7 二次函数图象与系数的关系 题型一 y=ax2的图象性质（共3小题） 1．下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【来源】北京市燕山区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题 【分析】本题考查了二次函数的性质；一次函数的性质，首先判断每个函数是哪一类函数，再根据函数的性质分别进行判断． 【详解】解：①此函数是正比例函数，，y随x的增大而增大，故符合题意； ②此函数是一次比例函数，，y随x的增大而减小，故不符合题意； ③函数中，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故符合题意； ④函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故不符合题意； 故选：C． 2．若点，，三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 .（按从小到大的顺序，用“”连接）. 【答案】 【来源】北京市密云区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，开口向下，离对称轴越远的点纵坐标越小，由此可解． 【详解】解：中， 的图象开口向下，对称轴为y轴， 距离y轴越远的点纵坐标越小， ， ， 故答案为：． 3．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市燕山地区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图像的性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正比例函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； B、一次函数的图像，随的增大而增大， 故此选项不符合题意； C、二次函数的图像，开口向上，对称轴为轴， 当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二 y=ax2+k的图象性质（共3小题） 4．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣ 【答案】C 【来源】福建省福州市鼓楼区镇中学2019-2020学年九年级上学期期末数学试题 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误； 顶点坐标为（0，1），故选项B错误； 当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．二次函数的图象与轴交于、两点，与轴相交于点．下列说法中，错误的是 A．是等腰三角形 B．点的坐标是 C．的长为2 D．随的增大而减小 【答案】D 【来源】2011届北京市大兴区初三第一学期期末数学卷 【分析】由于二次函数y=-x2+1的图象与二次函数y=-x2的图象相同，所以对称轴仍为y轴；A，B两点间的距离即为两交点之间的距离；根据这些即可判断选项的正误． 【详解】解：由题意可得：A、∵二次函数y=-x2+1的图象的对称轴为y轴，∴△ABC是等腰三角形，正确； B、∵二次函数y=-x2+1的常数项为1，∴二次函数y=-x2+1的图象与y轴交于点（0，1），即点C的坐标是（0，1），正确； C、AB=|x2-x1|==2，正确； D、∵a=-1＜0∴抛物线开口向下，当x＞0时y随x的增大而减小；当x＜0时y随x的增大而增大．错误； 故选D． 6．已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【来源】北京市丰台区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，，当时，开口向上，即可作答． 【详解】解：设， ∵二次函数的图象开口向上，且经过点， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 题型三 y=a（x-h）2的图象性质（共3小题） 7．如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【来源】上海市浦东模范中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（12月） 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 8．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【答案】D 【来源】北京市朝阳区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】在二次函数中， ∵， ∴图像开口向下，故A错误； 令，则， ∴图像不经过原点，故B错误； 二次函数的对称轴为直线，故C错误； 二次函数的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键． 9．对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是（  ） A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点 【答案】A 【来源】安徽省安庆市宿松县新安初中2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 【分析】根据抛物线的图象与性质即可解答； 【详解】解：对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是形状与开口方向相同， 抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，有最高点（0，0）； 抛物线的对称轴是直线x=h，顶点是（h，0），有最高点（h，0）； 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，属于基础题目，熟练掌握抛物线的图象与性质是关键． 题型四 y=a（x-h）2+k的图象性质（共3小题） 10．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京市第三十五中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【分析】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握顶点式的顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的结构特征，直接确定顶点坐标对应的和的值． 【详解】解：对于抛物线的顶点式，其顶点坐标为， 在抛物线中，，所以顶点坐标为． 故选：B． 11．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【来源】2011届北京市西城区初三第一学期期末数学卷 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式方程，可以直接确定其对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 12．抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【来源】安徽省淮北市西园中学2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质找出二次函数图像的顶点坐标是正确解答此题的关键． 由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标进而求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线的顶点坐标在第二象限， 故答案为：B． 题型五 一般式化顶点式（共3小题） 13．将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2014年北京市房山区中考一模数学试卷 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式． 配方后转化即可． 【详解】， 故选：D． 14．将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京市大兴区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键，①一般式： (a，b，c为常数，)；②顶点式： (a，b，c为常数，)；③交点式：． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：， 所以，； 故选B． 15．将二次函数化为的形式，则所得表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京市顺义区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了将二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及完全平方公式． 【详解】解：， 故选：B． 题型六 y=ax2+bx+c的图象性质（共4小题） 16．已知二次函数． …… …… …… …… (1)在平面直角坐标系中画出此函数图象； (2)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围： ； (3)若，点在抛物线上（不与点重合），直线交直线于点．若点位于抛物线的上方，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月期末模拟考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结合思想的运用； （1）根据列表，描点，连线画图即可； （2）根据二次函数的对称性求解即可； （3）根据题意作图，数形结合即可得解． 【详解】（1）解：列表如图， …… 0 1 …… …… 0 0 …… 函数图象如图， （2）解：， 对称轴为直线， ， 点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即， 解得：或； （3）解：如图， 由图象可知，当时，点位于抛物线的上方， 故答案为：． 17．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市第八中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像的对称性、二次函数的最值是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③正确；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，可得当时，，即可判断②正确；根据抛物线的对称性可知点在抛物线上，由抛物线开口向下，可得时，，即可判断④正确，综上即可得答案． 【详解】解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， ∵二次函数的对称轴是， ∴， ∴，故①正确； ∵最大值为， ∴， ∴，即，故③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故②正确； ∵点在此抛物线上， ∴点在抛物线上， ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴关于x的不等式的解集是，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共个． 故选：D． 18．平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出的长； ②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①7；② 【来源】北京市朝阳区2025-2026学年上学期九年级数学期中调研试卷 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；②可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴； ②联立，解得或， ∴直线与抛物线交于点和点， ∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值； 在中，当时，， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小． 19．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且． (1)当时，求t的值； (2)点在抛物线上，若，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【来源】北京景山学校远洋分校2024~2025学年下学期 八年级数学期末测试题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据对称轴计算公式可得答案； （2）求出，则由对称轴计算公式可得，由此可求出t的取值范围，求出点关于直线的对称点，再根据a小于0得到在对称轴左侧，y随x增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∵点关于直线的对称点为，且， ∴． 题型七 二次函数图象与系数的关系（共3小题） 20．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月期末模拟考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据开口方向，抛物线与y轴交点坐标可判断a，c的正负，再根据对称轴为直线可判断b的正负，进而可判断选项；再根据，即可判断选项，再根据当时，二次函数对应的点的纵坐标为负即可判断． 【详解】解：由图象可知，， 对称轴是直线， ， ，， ， 故正确不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故错误符合题意， 由图象可知，当时，， 故正确不符合题意； 故选：． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【来源】北京市大兴区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点，列方程组判断①，由顶点的性质即可判断②，根据直线在直线的下面，即可判断③． 【详解】∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得，故①错误； ∵， ∴， ∴直线， ∴当时，有最大值， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴直线在直线的下面， ∵当时，， ∴直线于抛物线的交点的在轴的两侧， 故关于的一元二次方程有两个异号实数根，故③正确， 故答案为：②③． 22．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【来源】北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线，即，可得进而可以判断；③当时，，即，根据,可得，即可判断；④根据顶点坐标和进而可以判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴①错误； ②∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故②正确； ③由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵, ∴，故③正确； ④∵, ∴， 如果, 那么, ∵， ∴, 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④正确． 故答案为：②③④． 题型八 二次函数对称性、求最值（共5小题） 23．已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ． 【答案】 【来源】北京市清华大学附属中学创新班2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴时，t有最小值为：． 故答案为：． 24．已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 那么该抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【来源】北京市丰台区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 【分析】根据二次函数图象上点的对称性，可得对称轴为，即可求解． 【详解】解：由表格可得，点和点对称， ∴对称轴为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征，根据二次函数图象上对称点求得对称轴是解题的关键． 25．一个二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表： x … 0 1 2 n 4 … y … 15 m 3 0 0 3 8 … (1)这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______ ． (2)m 的值是______，n 的值是______． (3)这个二次函数的解析式为______； 【答案】(1)， (2)， (3) 【来源】北京景山学校大兴实验学校2022-2023年八年级上学期数学期末试卷 【分析】（1）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解； （2）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解； （3）待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据二次函数图象的对称性，可知，当时与时，函数值相等， ∴对称轴为直线， 当时，， 即顶点坐标为， 故答案为：， ； （2）解：∵对称轴为直线， ∴时，或， ∴， 解得：， 当与时，函数值相等， ∴， 故答案为：，； （3）∵顶点坐标为， 设该二次函数解析式为， 将，代入得，， 解得：， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 26．已知：二次函数的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市平谷区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】此题主要考查了二次函数图象的对称性，根据表格数据可知，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时的值与时的值相等，即可求解． 【详解】解：由表格可知，当，，当，， 由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为， ∴时的值与时的值相等， ∴时的值为，即的值为， 故选：D． 27．在平面直角坐标系中，点，为抛物线上任意两点，其中．    (1)若抛物线的对称轴为，当为何值时，； (2)设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】北京市门头沟区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据抛物线的对称性解决问题即可． （2）由题意点连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于2，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：由题意可得： ，， ，， ， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型九 二次函数的最值（共3小题） 28．已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则 ． 【答案】 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月期末模拟考试数学试卷 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，解得， ①当，即时， 则当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴，解得或（舍去）； ②当时，即时， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值为，当时，函数值为， ∵， ∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75； 综上：； 故答案为：． 29．下表给出了代数式与x的一些对应值： x …… 0 1 2 3 …… …… 5 n c 2 …… (1)根据表格中的数据，确定b，c，n的值． (2)设，直接写出当时y的最大值． 【答案】(1) (2)y的最大值是5 【来源】2015届北京市顺义区九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据时，代数式的值可得一个关于b，c的二元一次方程组，解方程组可得b，c的值，再将代入代数式即可得n的值； （2）先将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得， 解得：， ， 当时，， ； （2）解：由（1）可知：， ， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y最大． 30．已知函数与函数，定义新函数． (1)若，则新函数_______； (2)若新函数y的表达式为，则_______，_______； (3)设新函数y顶点为． ①当k为何值时，n有大值，并求出最大值； ②求n与m的函数表达式． 【答案】(1) (2)5， (3)①当时，；② 【来源】北京市海淀区清华大学附属中学将台路校区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题： （1）将代入函数，得，即可求出结果； （2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值； （3）①利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出n的最大值； ②根据①中的关系式，将代入即可求出结果． 【详解】（1）解：当时，， ∵函数，定义新函数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵函数与函数，定义新函数， ∴新函数的解析式为， ∵新函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：5，； （3）解：①由（2）知，新函数解析式为， ∵新函数顶点为， ∴， ∴， ∵， 当时，； ②由①知，， 将代入得： ∴． 题型十 二次函数的平移（共3小题） 31．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月期末模拟考试数学试卷 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 32．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市朝阳区2025-2026学年上学期九年级数学期中调研试卷 【分析】本题考查的是抛物线的平移．抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，直接利用规律解题即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是， 故选：C． 33．将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市海淀区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键； 根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】∵将抛物线向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：． 故选：A． 题型十一 二次函数图象性质综合（共5小题） 34．已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【来源】北京十一晋元中学2024—2025学年上学期九年级期末模拟数学试题 【分析】（1）由抛物线过点，得且，求解即可； （2）当时，则，即可求解；当时，当时；当即时，只要满足即可；当即时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴且， 解得：或（舍去）， 即； （2）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴抛物线开口向上，点与关于直线对称， ∵，在抛物线上，且对于，都有， ∴， 解得：， ∴； 当时，抛物线开口向下， ∵，在抛物线上，且对于，都有， 又∵， ∴在对称轴的右侧； 当，即， 此时，即， ∵， ∴与对称轴的距离小于与对称轴的距离， ∴， 则； 当即时，则， 解得：； 此时不合题意； 当即时，， 解得：； 此时不合题意； 综上，； 综上所述，的取值范围或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 35．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)若，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【来源】北京市西城区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解． （2）利用二次函数的图象和性质判断即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 ∵， ∴点，关于直线对称. ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ①当时，随着的增大而减小， ∵当时，都有， ∴， ∴， ∴； ②当时，随着的增大而增大， ∴点关于直线的对称点的坐标是. ∵当时，都有， ∴， ∴. 综上，的取值范围是或. 36．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． (1)抛物线的对称轴为直线，．求抛物线的表达式； (2)将（1）中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，求点P的坐标； (3)当时，抛物线上有两点和，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【来源】北京市2022-2023学年北师大版九年级上学期期末数学典型试题1 【分析】对于（1），由题意可知，，，求出b，再将A点代入，即可求函数解析式； 对于（2），设抛物线向下平移m个单位，则平移后解析式为，再将代入求出m的值，即可确定平移后函数解析式； 对于（3），由题意可知到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，再由，可知N点到对称轴的距离大于M点到对称轴的距离，即可求答案． 本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数的图像和性质，二次函数图像的平移，理解各点与对称轴之间的距离是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，，且A在B的左侧 ∴ ∴ ∴，. ∵， ∴， ∴. 将点代入， ∴， ∴， ∴； （2）， 设抛物线向下平移m个单位， ∴， ∴. ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴平移后抛物线为， ∴； （3）当时，， ∴抛物线的对称轴为. ∵， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为. ∵， ∴， ∴N点到对称轴的距离大于M点到对称轴的距离. ∵抛物线开口向下， ∴． 37．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 或 【来源】北京市北京市十一学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题是二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质与图象，二次函数与方程、不等式的关系掌握这些关系是解答关键． （1）求出抛物线与y轴的交点坐标，此点与点关于抛物线对称轴对称，则可求得对称轴； （2）①由可得的范围，则可得P、Q到对称轴的距离大小关系，结合即可判断； ②设点P关于直线的对称点为，由可得，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线中，令，则， 即抛物线与y轴的交点， 故点与点关于抛物线对称轴对称， 而，则抛物线对称轴为直线； （2）解：①当时，，， ； ， 即， ， ； ②设点P关于直线的对称点为， 则，即； ， ； 而， 则． ， ， 故当或时，， 解得：或． 38．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值． (1)函数在区间上的最小值是 (2)求函数在区间上的最小值． (3)求函数在区间（t为任意实数）上的最小值的解析式． 【答案】(1) (2)当x=0时，函数y有最小值 (3) 【来源】专题03 二次函数的最值问题-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用） 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题： （1）根据函数解析式可得对称轴为直线为，函数图象开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此可得当时，y有最小值，最小值为； （2）根据解析式可得二次函数对称轴为直线，且图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此可得当时，y有最小值，最小值为； （3）分顶点横坐标在区间左侧， 顶点横坐标在区间上， 顶点横坐标在区间右侧，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线为，函数图象开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为； （2）解：二次函数对称轴为直线，且图象开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为； （3）解：将二次函数配方得： ∴对称轴为直线：，顶点坐标为，图象开口向上， 若顶点横坐标在区间左侧，则，即． 当时，函数取得最小值： 若顶点横坐标在区间上，则，即． 当时，函数取得最小值： 若顶点横坐标在区间右侧，则，即． 当时，函数取得最小值： 综上讨论，得． 题型十二 二次函数的应用（共5小题） 39．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为． (1)用含的式子表示抛物线的顶点坐标； (2)点为，点为． ①当时，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围； ②当时，若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月期末模拟考试数学试卷 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质， （1）根据顶点坐标公式计算即可； （2）①将代入抛物线解析式得：，得到新的函数解析式，得出抛物线与线段有两个不同交点的条件，并求解即可； ②将代入抛物线解析式得：，得到新的函数解析式，得出抛物线与线段恰有一个交点的条件，并求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴， 把代入，得， ， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：①当时，点为，点为， 将代入抛物线解析式得：， 整理得：， 设，其开口向上，对称轴为． ∴， 综合以上条件，取交集得． 答：m的取值范围为． ②当时，点为，点为， 将代入抛物线解析式得：， 整理得：， 设，其开口向上，对称轴为． 当或 或（另一个根在区间外）或（另一个根在区间外） 解得：或或（根在范围内，在范围外），或（根在范围内，在范围外）． 综合以上情况，m的取值范围为或． 答：m的取值范围为或． 40．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围． 【答案】(1)，． (2)①的长为9；②． 【来源】北京市第八十中学2025-2026学年上学期12月份月考九年级数学试题 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将和点代入解析式即可求解； （2）①当，抛物线表达式为，直线表达式为，继而求出，，则，即可求解； ②先求出，，得到， 令，即，解得或，推导出，分类讨论：第一种情况：分，第二种情况：，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点和点， ∴， ∴ ∴； （2）①如图， 当时，，抛物线表达式为，直线表达式为， ∵点作x轴的垂线，， ∴当时，，即， ，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将，代入，得 ，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， ∵在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴， 第一种情况：当时，有，即点在轴右侧，即点从原点向右运动，如图 有点N在点M的上方，， ∴ ， ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随t的增大而增大， ∵从点O运动到点的过程中，的长始终随的长的增大而增大， ∴，即， ∵， ∴． 第二种情况：当时，，即点在轴左侧，即点P(t，0)从原点向左运动，如图 有点M在点N的上方，且， ∴ ， ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的值随t的增大而增大， ∵ ∴ ∴当时，随t的增大而增大，此时随t的增大而减小， 即当时，随t的增大而增大，而从点O向左运动到点的过程中，的长会先随的长的增大而减小，不符合题意，舍去． 综上所述，． 41．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． (2)已知点都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线与y轴交点的坐标为 ．对称轴 (2)①；② 【来源】北京市东城区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1），可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解； （2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴抛物线与y轴交点的坐标为 ． 对称轴． （2）解：① ∵函数图象的对称轴为直线， ∴点关于直线对称， ∴， 故答案为：； ②∵函数图象的对称轴为直线，， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧． 当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴，不合题意． 当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则， ，，，四个函数值可以满足， ∴， 即当时，，当时，． 解得 ． 42．如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 【答案】(1)； (2)不能达到；理由见解析 【来源】 北京市石景山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了二次函数的实际应用及求二次函数的最值． （1）过点D作于E，求得，，利用梯形的面积公式列式计算即可求解； （2）利用二次函数的性质求得当时，，苗圃的面积不能达到． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴ 过点D作于E， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∴，， ∴ ， 由题意，，且， ∴， 解得， ∴； （2）解：判断：苗圃的面积不能达到． 理由如下： ， ∵，且， ∴当时，， ∵， ∴苗圃的面积不能达到． 43．对于平面直角坐标系中的两点和给出如下定义：如果，或者，则称点M到点N的距离很远． 已知点，． (1)在点，，中到点A的距离很远的是点______； (2)若抛物线上的任意一点到A，B两点的距离都很远，则的取值范围是______； (3)点P在的内部或边上，点Q在直线上，若点P到O，A，B，Q四点的距离都很远，直接写出点P运动区域的面积的最小值及此时的点Q的坐标. 【答案】(1)D， (2)或 (3)点P运动区域的面积的最小值为，此时点Q坐标为 【来源】北京市朝阳区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题结合新定义考查了二次函数的性质，分类讨论的数学思想，准确理解新定义是解题关键． （1）按照题中“距离很远”的定义逐个判断即可； （2）分当时和时两类讨论：当时，需在时，，当时，需在时，，即可得到的取值范围； （3）根据题意，画出P点运动的范围的示意图，如图点P运动的区域为和正方形和正方形（内部含边缘），即Q点只能在线段上运动，且只有当Q点位于网格线上时，点P运动区域的面积才能有最小值，当Q点位于点M时，点P运动区域的面积为，当Q点位于点N时，点P运动区域的面积为，当Q点位于R、S两点时，点P运动区域的面积都不能达到最小，从而可得到答案； 【详解】（1）解：对于点， ∵且， 故C点不合题意； 对于点， ∵，故D点符合题意； 对于点， ∴，故点E符合题意， 综上，在点，，中到点A的距离很远的是点D和点E， 故答案为：D，； （2）解：当时，欲使抛物线上的任意一点到A，B两点的距离都很远， ∵当时，已满足， ∴只需在时，还要满足，即， 即，故； 当时，则，欲使抛物线上的任意一点到A，B两点的距离都很远， ∵当时，已满足，只需在时，还要满足， ∴，即， ∴ 故答案为或 ； （3）解：如下图所示， ， 若点P到O，A，B的距离都很远，则点P运动的区域为和正方形和正方形（内部含边缘）， 画出直线的图象，即直线，交网格线分别于R、M、N， 易知，，， 当P到点Q距离也很远时，即Q点只能在线段上运动， 显然，只有当Q点位于网格线上时，点P运动区域的面积才能有最小值， 当Q点位于点M时，点P运动区域的面积为， 当Q点位于点N时，点P运动区域的面积为， 当Q点位于R、S两点时，点P运动区域的面积都不能达到最小， 故点P运动区域的面积的最小值为，此时点Q坐标为； 题型十三 二次函数实际应用（共5小题） 44．如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【来源】 北京市昌平区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时， 【详解】（1）解:(1)当时，， ∴. 故答案为：； （2） （3）（3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7 故答案为：4.7； ②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，， 故答案为：； 45．一个大型社区，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心．    (1)以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (2)求水管的长． 【答案】(1)见解析 (2)水管应长 【来源】北京市燕山地区 2024—2025学年上学期九年级期末质量检测 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为，将代入求得值，令，得的y值即为水管的长． 【详解】（1）解：如图，建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，    （2）解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 则设抛物线的解析式为：，代入， 解得：． 将值代入得到抛物线的解析式为： ， 令，则． 故水管长为． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系． 46．通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度（单位：）与时间（单位：h）满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系，下表记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： （） （） (1)求这位患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系； (2)这位患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时，两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，且该药引起中毒的最低血药总浓度为． ①当时，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由； ②当该药的血药浓度不低于时，它对治疗疾病有疗效.若要求该患者既能安全用药，又能对治疗疾病持续有疗效，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】北京市西城区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（）由表格可知二次函数的顶点坐标为，进而可得，再利用待定系数法解答即可； （）①由题意可得，利用二次函数的性质可得的最大值为，据此即可判断求解；②当时，，可得当时，有最大值为，刚好中毒，即得，当时，可得，，由二次函数的性质可得当时，随的增大而减小，得到，综上即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴， 把代入得，， 解得， ∴患者第一次服用该药后的血药浓度与时间满足的函数关系为； （2）解：①患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为小时， ∴血药总浓度， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴存在中毒风险； ②由①知，当时，存在中毒风险， 当时，， 此时，当时，有最大值为，刚好中毒， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 综上，的取值范围为． 47．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2024年北京东城区中考一模数学试题 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可． 【详解】（1）解：当时，， 故击球点的高度为； （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得， 抛物线的解析式为：， （3）第一次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， 第二次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， ， ， 故答案为： 48．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【来源】北京市海淀区清华大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $