北京市海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试 数学B卷

北京海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学B卷 考试时长：120分钟 满分：100分+10分 注意事项： 1．本试卷共6页，共三道大题，22道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 毕达哥拉斯弦定律是一种描述弦长与振动频率的关系的物理定律．根据这个定律，弦的振动频率与弦的长度成反比，即当弦长变为原来的两倍时，振动频率变为原来的．在音乐中，相邻的音组中相同音名的两个音，包括变化音级，称之为八度．比如低音和中音差一个八度，中音5和高音差一个八度．相差一个八度的音，声音的频率恰好是倍关系．比如中音5的频率是低音的两倍．在其他条件不变的情况下，某弦乐器弹奏使用的弦长为，则其弹奏所使用的弦长为（ ）cm． A. B. C. D. 以上均不对 4. 如图，在由边长相等的正方形组成的网格图中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 5. 如果五边形五边形，且相似比为，则这两个五边形各自全部对角线的乘积的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，且．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 7. 在中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使，如下四个尺规作图，正确是（ ）． A. （作一个角的平分线） B. （作线段的垂直平分线） C （作高） D. （作等腰三角形） 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 8. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 9. 已知面积为1，点D，E分别在线段，上，且，，则四边形的面积为________． 10. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 11. 已知一张纸对折使得两短边重合，裁开后就是两张纸，纸对折后就是的纸…，它们都是相似的矩形．设m为纸的长，n为纸的宽，则______． 12. 如图为达芬奇的《最后的晚餐》，该画作使用了透视画法，左右侧门的上底边和下底边所在的直线，顶上的天花板的一些边所在的直线等是交于一点的，在绘画领域它叫“消失点”．透视画法在数学上的类似变换是______消失点在该变换中的类似物是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，若，则正方形的面积是______． 14. 在高楼前D点测得楼顶的仰角为向高楼前进100米到C点，又测得仰角为，则该高楼的高度的精确值为______米． 三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求锐角，使得：； （2）计算：． 16. 如图，已知为等边三角形，．求证： （1）； （2）； （3）． 17. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）的值为______． （2）对于，正对值的取值范围是______． （3）已知，试求的值． （4）设，，通过完善的推导，将写成的表达式． 18. 如图，正方形中，是边的中点，在边上，且，连接，过点作于点． （1）连接，证明：； （2）证明：． 19. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 20. （1）证明四条边及一条对角线对应成比例的两个四边形是相似的四边形． （2）如果四边形对角线与交于O，称为该四边形的截断对角线．证明四条截断对角线对应成比例且两条对角线夹角对应相等的两个四边形相似． 21. 直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了．这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，______，______． ，，，， 因此三点不共线，同理三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． （1）将小明的证明补充完整，______，______． （2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明； 附加题（共1小题，每小题5分，共5分） 22. （1）假设你先学了相似三角形再学习的一次函数的理论．你已经确信相似三角形的各种判定定理是正确的．由此证明任何一次函数的图像都是直线． （2）托勒密定理：如图所示，，证明． 提示：在上合理地取一点E，连接，将拆分为两个三角形，这两个三角形分别和，相似． （3）构造几何图形证明：若α，β，都是锐角，则． 北京海淀实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学B卷 考试时长：120分钟 满分：100分+10分 注意事项： 1．本试卷共6页，共三道大题，22道小题． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】 ①. 中心投影 ②. 投影中心 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）；（2）0 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1）； （2）． 【20题答案】 【答案】（1）见解析（2）见解析 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析，， （2）见解析 附加题（共1小题，每小题5分，共5分） 【22题答案】 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $