专题13 空间几何体与外接球内切球问题（培优讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦空间几何体与外接球内切球高考核心考点，按考情精析、方法技巧、题型速解、决胜冲刺系统架构，通过考点梳理、模型归类、典例精讲、变式巩固等环节，帮助学生掌握补形法、体积法等关键方法，突破球心定位、半径计算等难点。 资料以“模型固化+方法落地”为特色，如对棱相等三棱锥补成长方体转化模型，培养数学眼光与思维，设置分层练习与易错警示，助力学生高效构建解题模板，为教师提供精准复习路径，提升学生空间想象与运算推理能力。

专题13 空间几何体与外接球内切球问题 目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】球的截面问题 【题型02】长方体模型（三垂） 【题型03】对棱相等的三棱锥 【题型04】直棱柱模型（侧棱垂底的锥体） 【题型05】圆锥、正棱锥模型 【题型06】面面垂直模型 【题型07】正棱台（圆台）模型 【题型08】二面角模型 【题型09】与外接球有关的最值问题 【题型10】直棱柱的内切球模型 【题型11】锥体的内切球 【题型12】立体几何的外接球和内切球的综合应用 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练 考向聚焦 一、外接球核心考向 模型分类：重点考查长方体 / 正方体模型（体对角线为直径）、直棱柱模型（球心在上下底面外心连线中点）、棱锥模型（含墙角锥、正棱锥、侧棱垂直底面锥）。 关键方法：“定球心”（利用球心到各顶点距离相等，结合对称性质）、“求半径”（构造直角三角形，用勾股定理列方程，如，为球心到面的距离，为底面外接圆半径）。 高频题型：已知几何体棱长求外接球表面积 / 体积，折叠问题中外接球不变性，组合体中外接球位置关系判断。 二、内切球核心考向 适用几何体：多为规则几何体（正多面体、直棱柱、正棱锥），核心条件是 “球心到各面距离相等（等于半径）”。 求解关键：利用体积法（），通过几何体体积与表面积建立等式求；正棱锥内切球心必在高上，可结合相似三角形求解。 易错点：混淆内切球与外接球适用条件，忽略非规则几何体无内切球的情况。 三、备考要点 高频模型需熟练掌握公式，非规则几何体可通过补形法（补成长方体 / 正方体）转化为规则模型；注重空间想象与方程思想结合，避免因球心定位错误导致失分。 关键能力 一是空间定位能力： 外接球需精准判断球心位置（对称点、底面外心连线中点等），内切球明确球心到各面等距的本质； 二是模型转化能力： 非规则几何体通过补形（补成长方体）、分割转化为规则模型，适配公式应用； 三是运算推理能力： 外接球巧用勾股定理建立方程，内切球熟练运用体积法，结合几何体棱长、表面积等条件求解半径。同时需具备易错辨析能力，区分内外接球适用场景，避免公式混淆与定位失误。 备考策略 备考核心在于 “模型固化 + 方法落地 + 易错规避”。首先，熟记高频模型（长方体、直棱柱、正棱锥等）的外接球球心定位规律与内切球适用条件，提炼 “补形法”“体积法” 等核心技巧，形成解题模板。其次，强化题型专项训练，重点突破 “棱长求半径”“折叠 / 组合体” 等高频题，熟练运用和两大核心公式。最后，建立错题本，聚焦球心定位失误、公式混淆、忽略几何体适配性等易错点，通过复盘深化理解，结合空间想象与方程思想，提升解题精准度与效率。 ◇方法技巧 01 立体几何的外接球和内切球模型的常用方法 一、规则模型直接法 （1）长方体，正方体模型（墙角模型）：体对角线即为外接球的直径，即； （2）对棱相等模型：三棱锥满足，则三棱锥可以放入长方体中，即外接球的半径为； （3）直棱柱/圆柱模型（侧棱垂直于底面）：侧棱垂直于底面时，可以放入直棱柱中进行外接球的求解，即外接球的半径为，为底面外接圆的半径（正弦定理求解），为高； （4）正棱锥/圆锥模型：正棱锥的外接球半径，为底面外接圆的半径（正弦定理求解），为高； （5）正棱台/圆台模型：先求解上下底面外接圆的半径，和高，在两圆心的连线和一条侧棱上构建直角三角形进行求解，即； （6）面面垂直模型：求解两个垂面的几何图形的外接圆半径，两面的交线，即； （7）二面角模型：二面角为，求解两个形成二面角的平面图形的外接圆半径，两面的交线，即，其中； 二、内切球常用方法 （1）直棱柱/圆柱的内切球模型：求解直棱柱的上表面几何图形的内切圆的半径，，所以内切球的半径为； （2）锥体的内切球模型：锥体的内切球的半径 （3）定位辅助法：正棱锥内切球心在高上，可通过相似三角形确定球心位置，再结合体积法或勾股定理求，避免盲目运算。 ◇题型 01 球的截面问题 典｜例｜精｜析 典例1．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 典例2．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】 设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 典例3．已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案． 【详解】设正方体棱长为，则正方体对角线长就是球的直径， 球心O是正方体对角线中点， 由正方体对角线公式，解得． 因为点是棱的中点，当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小． 因为，，勾股定理，解得， 设截面圆半径为，则， 所以截面面积， 故选：C． 忽略截面性质前提：误将“截面圆半径、球半径、球心到截面距离”的关系用在非圆截面（如椭圆截面），须知球的任意截面必为圆，该公式恒成立但需明确 “截面过球心时，”。 距离计算失误：求球心到截面距离时，未利用几何体对称性（如棱柱底面中心、棱锥高的垂足）定位垂足，导致求解错误；或混淆 “点到面距离” 与 “线段长度”。截面最值判断偏差：误以为截面圆最大半径由几何体棱长决定，实则最大截面为过球心的大圆（），最小截面为与球心连线垂直的截面（最大时最小）。 组合体截面分析疏漏：多球或球与几何体组合时，未明确截面与各球的公共点，遗漏 “截面同时过两球心时为公共大圆” 等特殊情况。 变｜式｜巩｜固 变式1．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，根据题意，分别设出为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离，根据题意，且根据即可求得，然后直接求解球的体积即可. 【详解】由已知，A、B、C、D在同一平面内，且， 所以四边形为正方形， 设为球半径，为四边形外接圆半径，为球心到平面的距离， 根据球心到该平面的距离是球半径的一半，可知，， 而正方形边长为，所以， 由，解得， 所以. 故选：A. 变式2．如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， 所以两点的球面距离为，故选择B． 变式3．已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为___________________． 【答案】 【分析】由正弦定理求得正三角形的外接圆半径，结合球心O到平面的距离，根据勾股定理可求得球O的半径，从而求得球O的体积. 【详解】设正三角形的外接圆半径为. 根据正弦定理可得，，所以. 设球O的半径为，则，. 所以球O的体积为. 故答案为：. ◇题型 02 长方体模型（三垂） 典｜例｜精｜析 典例1．一个底面积为的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为______________． 【答案】 【分析】求出正四棱柱底边的边长以及外接球半径，分析可知该正四棱柱的外接球直径即为该正四棱柱的体对角线长，即可得解. 【详解】设该正四棱柱底边的边长为，高为，则，可得， 设该正四棱柱的外接球的半径为，则，解得， 由题意可知，该正四棱柱的外接球直径即为该正四棱柱的体对角线长， 即，解得， 因此该正四棱柱的高为. 故答案为： 典例2．已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为______________． 【答案】 【详解】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示， PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且,设正方体棱长为a，则， 由，得，所以，因为球心到平面ABC的距离为. 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力 典例3．已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长度关系分析可知球面与表面没有公共点，且与表面，的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧，即可得结果. 【详解】因为正方体的棱长为，则表面上的点到点A的最大距离为， 所以以顶点A为球心，为半径的球的球面与这三个表面没有公共点． 如图，若球面与表面的公共点为P， 因为，则， 由，可得，同理可得，则， 可知P的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆与表面的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧， 同理可得球面与表面的交线也都是圆心角为，半径为2的圆弧， 所以交线总长为． 故选：B. 公式混淆：误将正方体外接球半径套用于长方体，忽略长方体需用（为棱长）。 线判断失误：将面对角线当作外接球直径，尤其正方体中混淆 “面对角线” 与 “体对角线”，导致半径计算减半。 特殊长方体疏漏：含正方形面的长方体（如），未注意底面外心与球心位置关系，仍按正方体公式计算。 组合体定位偏差：长方体与其他几何体组合时，未以长方体体对角线为外接球直径，误判球心位置。 变｜式｜巩｜固 变式1．长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两、点的球面距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出AD，然后通过球的直径求出AD，解出∠AOB，可求A，B两点的球面距离． 【详解】解：设AD=a，则AB=2a，AA1=球的直径2R= 即R=，在△AOB中，OA=OB=R=，AB=2a， 因为，所以∠AOB=90°，从而A，B点的球面距离为2π= 故选：C． 变式2．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为________________． 【答案】/0.5 【分析】不妨设，可得体对角线，外接圆半径，由长度关系可得，，再由，即得解 【详解】不妨设 故体对角线，外接圆半径 球心O和A，B构成的三角形为等腰三角形且 ， 球心O和A，D1构成的三角形为等腰三角形且 由于 故答案为： ◇题型 03 对棱相等的三棱锥 典｜例｜精｜析 典例1．在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求解，把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，进而可求解. 【详解】 设，取的中点，连接， 则､平面，所以平面， 且，所以的面积为， 则三棱锥的体积为，所以， 把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，如下图所示： 设长方体的长､宽､高分别为，球的半径为，则 所以，所以， 所以球的表面积为. 故选：A. 典例2．（多选）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是，，，则对该等腰四面体的叙述正确的是（ ） A．该四面体ABCD的体积是． B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C． D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是 【答案】ABD 【分析】将等腰四面体放入长方体中，即可由长方体的性质求解AB,利用三角形全等即可判断C，由展开图，利用两点距离最小即可判断D. 【详解】如图，将等腰四面体补成长方体， 设该长方体的长、宽、高分别是，，， 则解得，，， 则该等腰四面体的体积为：．故A正确， 由于，，，所以,,故 所以,故C错误， 由于等腰四面体的三条棱分别是长方体的三条面对角线，所以长方体的外接球即为等腰四面体的外接球，而长方体的体对角线长度为，故外接球的半径为，故表面积为，故B正确， 将平面和平面沿着翻折到一个平面内，连接,则即为最短距离，由于，，，则四边形为平行四边形，设与交于点,则为与的中点， 在中，, 故在中， 故D正确， 故选：ABD． 缺失：未掌握 “对棱相等三棱锥可补成长方体” 的核心转化，仍用常规棱锥外接球方法求解，导致计算复杂且出错。 棱长对应失误：补成长方体时，误将三棱锥对棱当作长方体面对角线，正确对应应为 “三棱锥三组对棱分别是长方体三组面对角线”，进而错算长方体棱长。 外接球直径混淆：补形后未明确 “长方体体对角线即为外接球直径”，仍单独求三棱锥顶点到球心距离，徒增难度。 公式应用偏差：记错补形后半径公式，正确应为，（）为长方体棱长，由三棱锥对棱列方程求解）。 变｜式｜巩｜固 变式1．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球等价于长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别为， 则，可得， 所以长方体的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：. 变式2．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AC的中点为，由题意可证明平面ACD，则球心在BE上，利用勾股定理解出球的半径即可. 【详解】如图，取AC的中点为，连接DE，BE. 因为，所以. 又，所以， 所以为Rt的外心. 由题意，得， 所以，即. 又，且平面ACD， 所以平面ACD，所以球心在BE上. 设球的半径为，连接OC. 在Rt中，，即，解得. 所以球的表面积为. 故选：B 变式3．在四面体中，已知点分别为棱的中点，且．若，则四面体外接球的表面积为_______________． 【答案】 【分析】依题意可构造长方体使得四面体的顶点与长方体的顶点重合，长方体的外接球即为四面体的外接球，求出长方体外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】由题可将几何体补形为长方体，如下图所示： 对棱，且对棱中点分别满足， 所以该长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的长、宽、高分别为， 则， 所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为， 因此，该四面体外接球的表面积． 故答案为： ◇题型 04 直棱柱模型（侧棱垂底的锥体） 典｜例｜精｜析 典例1．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出三棱锥和球的体积，再算比值即可. 【详解】 试题分析：如图所示，因为球心在上，所以，，又因为，所以，因为底面，所以三棱锥体积为，而球的体积为，所以球的体积与三棱锥体积之比是. 故选：D. 典例2．已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______________________． 【答案】. 【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果. 【详解】如图： 取的中点为，的中点为，的中点为， 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以， 因为，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 因为，所以， 所以根据弧长公式可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题. 球心定位偏差：误将底面外接圆圆心当作球心，忽略球心在“上下底面外心连线中点”，且连线与侧棱平行（长度为侧棱长）。 距离计算失误：套用时，错将取为侧棱长，正确应为（球心到底面距离）。 底面外接圆半径疏漏：圆柱或直棱柱底面为非正多边形时，未先求底面外接圆半径，直接用底面边长代替计算。 特殊情况混淆：圆柱外接球误按 “直径等于母线长” 计算，实则直径为，与直棱柱公式本质一致（为底面外接圆半径）。 变｜式｜巩｜固 变式1．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为_____________________． 【答案】 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,设正六棱柱的上下底面中心分别为,球心为O,一个顶点为A,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA,再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】 作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面,如右图,则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为 ,则球心O是的中点. 正六棱柱底面边长为,侧棱长为 中, ,可得 因此,该球的体积为 故答案为. 【点睛】本题给出一个正六棱柱,求它的外接球的体积,着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点,属于基础题. 变式2．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则___________________． 【答案】2 【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 变式3．已知点在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是__________________. 【答案】 【分析】在球体中作出几何体，根据垂直关系判断出恰好为直径，另在中求出，从而求出，在扇形中求的长即可. 【详解】 如图，因为所以为外接圆的直径， 因为,所以， 所以为球的直径，其中点为球心， 连接和，则， 在中，因为, 所以,, 故两点间的球面距离是. 故答案为：. ◇题型 05 圆锥、正棱锥模型 典｜例｜精｜析 典例1．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的体积公式，列出方程，求得，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，设外接球的半径为，则， 则正四棱锥的体积为，解得， 所以球的表面积为． 【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。 典例2．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，，， 因此，这两个圆锥的体积之和为. 故选：B. 典例3．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作于，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 球心定位错误：误将正棱锥 / 圆锥的高中点当作球心，实则球心在高所在直线上，需通过方程求解（为底面外接圆半径，为几何体高）。 底面半径混淆：圆锥中误将底面圆半径当作（正确），正棱锥中错用底面边长代替底面外接圆半径，需先根据底面多边形类型求。 公式套用失误：直接套用直棱柱公式，忽略正棱锥 / 圆锥中（球心可能在高上或延长线），导致符号错误。 特殊情况疏漏：正四面体（特殊正棱锥）误按常规正棱锥公式计算，实则可补成长方体简化求解，避免复杂运算。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理可得外接圆半径，进而根据勾股定理可得四面体的高，即可根据球的性质，结合勾股定理求解半径得解. 【详解】由对称性，可知球心与正四面体重心重合， 由于球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，故每个面的交线为半径为3的圆． 设球心为,为的中心，则,故，故 设球心到任意面的距离为，则由等体积法可得, 故连接球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，再连交线圆上一点与球心（即为球的半径），由勾股定理得球的半径为，则表面积为． 故选：B． 变式2．已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定正四棱锥的结构特征，取底面中心，由平面及已知边长求出外接球半径.接着利用等体积法，通过算出到平面的距离.然后根据球的截面性质，即截面圆半径、球心到截面距离与球半径满足，求出截面圆半径.最后根据圆面积公式算出截面面积. 【详解】根据题意，取底面的中心为，可得平面， 又因为，可得，所以正四棱锥的外接球为以为球心， 以为半径的球，设到平面的距离为，由， 可得，解得， 设侧面所在平面被球所截的圆的半径为，则， 所以，所以该截面面积为， 故选：B. 变式3．已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解. 【详解】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则 所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则 解得， 设，则，则，得， 所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为， 则面积为. 故选：B ◇题型 06 面面垂直的模型 典｜例｜精｜析 典例1．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 典例2．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】如图，取的中点，连接，，因为，， 所以，因此点就是球心，又， 故是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 设球半径为，则，，则，， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的表面积为. 故选：A. 典例3．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________________． 【答案】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图： 在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 球心定位偏差：未利用面面垂直性质（如两平面交线为轴），误将单一平面外心当作球心，实则球心在两平面外心向交线作垂线的交点处。 距离关系误用：套用时，混淆 “球心到两平面的距离”，未结合面面垂直条件（一平面外心到另一平面距离为 0）简化计算。 外接圆半径疏漏：仅求一个平面的外接圆半径，忽略另一平面的外接圆半径与球心位置的关联，导致方程列错。 补形思路缺失：未将面面垂直的棱锥补成直棱柱（以垂直面为底面），仍按一般棱锥求解，增加运算难度与失误率。 变｜式｜巩｜固 变式1．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中点到四面体的四个顶点的距离相等，是四面体的外接球的球心. 【详解】如图， 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知． ∴点到四面体的四个顶点的距离相等， 即点为四面体的外接球的球心， ∴外接球的半径，则． 故选：C. 变式2．已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点间的球面距离都是，B、C两点间的球面距离是，则二面角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】做出示意图，由已知得出，，过B做于D，连接CD，则就是二面角的平面角，求解可得，得解. 【详解】由已知做出示意图如下图所示，则，所以所以， 过B做于D，连接CD，则，则就是二面角的平面角， 在中，所以，所以， 因为B，C两点的球面距离是，所以，所以是正三角形，所以， 所以在中，有，所以，所以二面角的大小是， 故选D. 【点睛】本题考查两点的球面距离和求二面角的大小，属于中档题，关键在于根据两点的球面距离得出其球心角的大小，再作出二面角的平面角后求解三角形，此类问题还培养了空间想象能力. 变式3．已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解. 【详解】连接，，由， 可知：和是等边三角形， 设三棱锥外接球的球心为， 所以球心到平面和平面的射影是和的中心，， 是等边三角形，为中点， 所以，又因为侧面底面，侧面底面， 所以底面，而底面，因此，所以是矩形, 和是边长为的等边三角形， 所以两个三角形的高， 在矩形中，，连接， 所以， 设过点的平面为，当时， 此时所得截面的面积最小，该截面为圆形， ， 因此圆的半径为：，所以此时面积为， 当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：， 所以截面的面积范围为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大． ◇题型 07 正棱台（圆台）模型 典｜例｜精｜析 典例1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 典例2．已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为________________. 【答案】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 球心位置误判：球心不在几何体内部中心，而在两底面中心的连线上。需通过作轴截面（等腰梯形或等腰三角形）辅助分析。 半径关系混淆：设球半径为，圆台上下底面半径为，高为。若球心在圆台外（偏向底面较大一侧），方程应为与，切勿遗漏或符号错误。 正棱台转化失误：需先求底面多边形的外接圆半径，再将其视为圆台模型求解，不可直接用棱长计算。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得正四棱台的高，确定球心位置，根据条件建立方程，解出后进一步计算即可. 【详解】根据题意可得正四棱锥的高， 如下图, 设正四棱台的外接球球心为,则点在上， 设，外接球半径为， 则, 即， 解得，则， 则外接球的表面积为， 故选: 变式2．已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为_____________________. 【答案】 【分析】取，的中点，连接，则平面，平面，设正四棱台外接球的球心为，半径为，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】如图，取，的中点，连接，则， 由对称性可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 则平面，平面，连接， 由，，得，， 设正四棱台的外接球的半径为， 则，又， 所以，解得，则， 所以该正四棱台外接球的表面积为. 故答案为：. 变式3．已知圆台上､下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为__________________. 【答案】 【分析】设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可． 【详解】如图， 设球的半径OA＝OB＝2，由题意可知∠OAB＝，故△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝，∴∠，∴，． ∴圆台的体积为：， 球的体积为：， ∴圆台的体积与球体积之比为：． 故答案为：． ◇题型 08 二面角模型 典｜例｜精｜析 典例1．如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，易得，过作交于，则为的中点，过作交于，则为二面角的平面角，求得的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线，过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径得解. 【详解】在图1中，延长AD、BC交于点，如图所示： 因为，且，所以， 即，所以， 所以是边长为4的等边三角形， 所以D、C分别为、的中点，所以， 所以， 易知. 过作交于，则为的中点， 过作交于，则为二面角的平面角. 所以. 记为外接球球心，半径为的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线， 过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，其截面如下： 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：D. 典例2．在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. 找圆心错误：忽略球心在两个半平面上的投影分别是各自截面三角形的外心，而非重心或垂心。 距离计算失误：设二面角大小为，两半平面外心到棱的距离为。球心到棱的距离满足；，常因记错公式或三角函数关系导致计算错误。 方程建立遗漏：最终求半径时，需利用（为截面圆半径），切勿只计算到球心到棱的距离即停止。 变｜式｜巩｜固 变式1．在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（ ） A．52π B．54π C．56π D．60π 【答案】A 【分析】三棱锥的外心必定在过一个三角形的外心与这个三角形所成的面垂直的垂线上，从而确定球心的位置，结合题意，利用几何关系求出外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，分别取和的外心与， 过两点分别作平面和平面的垂线，交于点， 则就是外接球的球心，连接， 则为二面角的平面角，即， 则是等边三角形，其边长为，， 在中，，所以， 又由，所以， 所以四面体的外接球的表面积为. 故选：A. 变式2．两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为_______________. 【答案】 【分析】由题意可知，为外接球的直径，设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，，得二面角的平面角为，设，，，由即可求，最后利用球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径， 设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，， 则，，故二面角的平面角为. 设，，，，， 则，，又，， 则， 又，，解得，即球的表面积为. 故答案为：. 变式3．已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】设弦的中点为，连接，依题意，可得如下图形， 由圆的性质可知，则即为二面角的平面角， 故， 四面体的体积为 ， 其中 ，当且仅当时取等号， 由球的截面性质，，， 所以四点共圆，则有外接圆直径， 从而， . 故选：C ◇题型 09 与外接球有关的最值问题 典｜例｜精｜析 典例1．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得． 详解：如图所示， 点M为三角形ABC的中心，E为AC中点， 当平面时，三棱锥体积最大 此时， , 点M为三角形ABC的中心 中，有 故选B. 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型． 典例2．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 轨迹判断错误：常见模型（如墙角模型、定弦定角模型）中，球心轨迹通常是直线或圆，易误判为平面或抛物线，导致后续距离公式套用错误。 忽略变量范围：利用函数（如求最值时，未结合几何体实际限制条件（如高或边长关系），导致求出的极值点不在定义域内。 “形”“数” 转化脱节：遇到动点问题，未能灵活运用对称性或几何不等式（如两点之间线段最短）直接求解，盲目建立坐标系导致计算量过大而算错 变｜式｜巩｜固 变式1．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C． 考点：外接球表面积和锥体的体积． 变式2．在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点作，由余弦定理得，再由平面平面时，三棱锥体积最大，记为外接球球心，半径为，其中的外接圆的圆心为，结合球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 因为为等腰梯形，且，所以，且， 由余弦定理得，可得， 因为，所以， 当平面平面时，三棱锥体积最大，此时平面， 记为外接球球心，半径为，其中的外接圆的圆心为， 连接，则平面，所以， 取的中点，因为，且，所以到平面的距离， 又因为的外接圆半径，所以， 所以球的表面积为. 故选：D. 变式3．已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为_______________. 【答案】 【分析】求得球心到平面的距离，可求得到平面的距离的最大值，进而可求四面体的体积的最大值. 【详解】设球心为，因为球的表面积为，所以球的半径. 因为是边长为3的正三角形，所以的外接圆半径为， 所以到平面的距离， 所以到平面的距离的最大值为， 所以四面体的体积的最大值为：. 故答案为： 变式4．在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为________________. 【答案】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： ◇题型 10 直棱柱的内切球模型 典｜例｜精｜析 典例1．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（ ） A．， B． C．， D． 【答案】B 【分析】设球的半径为，分别求出球的体积与圆柱体积，以及球的表面积与圆柱的表面积，即可得解． 【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 典例2．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B. 考点：球及其性质. 存在性判断失误：忽略前提条件（为高，为底面内切圆半径）。若高不等于底面直径，内切球不存在，更无法求解半径。 底面半径计算混淆：误将底面多边形的 “外接圆半径” 当作 “内切圆半径” 代入公式。例如正三角形，内切圆半径，外接圆半径，两者相差一倍，极易算错。 体积公式乱用：体积 表 是多面体有内切球的通用公式，切勿与外接球体积公式混淆，也不要漏掉表面积 表 中的侧面积部分。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为球与正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直径，底面正三角形内切圆半径是球半径，由此确定正三棱柱底面边长.求球心到平面距离时，找到相关点连线，利用正三棱柱上下底面中心与高的关系得到，再在直角三角形中求，进而得出球心到平面距离.根据勾股定理求截面圆半径，再用圆面积公式得截面圆面积.用球表面积公式求球表面积，最后算两者面积比值. 【详解】如图，设球的半径为球与正三棱柱的各个面均相切 正三棱柱的高为，底面边长为. 设正三棱柱上，下底面的中心分别是是的中点，连接交于， 则到平面的距离 .又. 所得截面圆半径， 故选：A. 变式2．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________________． 【答案】 【详解】试题分析：由题可知，小球的体积等于水面上升的体积，因此有，化简可得，； 考点：简单几何体的体积公式 变式3．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________________cm. 【答案】4 【详解】设球半径为r，则由, 可得， 解得． 【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可． 变式4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，得到结果即可. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 则该球的表面积的最大值为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解题关键是判断出表面积最大时的情况，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半径，进而得到所要求的表面积即可． ◇题型 11 锥体的内切球 典｜例｜精｜析 典例1．如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四棱锥的高，利用相切可求球的半径，结合体积公式可得答案. 【详解】正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，所以斜高为，高为， 设底面中心为,的中点为，如图，截面中，设为球与平面的切点，则在上，且. 设球的半径为,则, 因为，所以，所以, 所以，即. 设球与球相切于点，则，设球的半径为， 同理可得，所以，故小球的体积为. 故选：A 典例2．一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为，再根据勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故选：C 公式记忆偏差：通用体积公式中，是表面积（含底面积），极易误算为侧面积，导致结果偏小。 相似比找错：在轴截面（如圆锥、正四棱锥）中，利用求解时，常混淆球心到底面距离与球半径的关系，或搞错线段对应比例。 忽略正棱锥特性：正棱锥的内切球球心必在高线上，且到各侧面距离相等。若未利用这一对称性建立直角三角形，计算会变得繁琐且易出错。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正四面体的性质，即内切球半径为高的四分之一，外接球半径为高的四分之三，再结合勾股定理进行求高，再利用球的表面积公式和体积公式，即可求解. 【详解】 如图能装下正四面体的最小正方体，其体积为，可知正方体边长为， 从而可得正四面体的棱长为正方体的面对角线长， 利用正四面体的性质可知， 正四面体的内切球球心位于正四面体的高线上，且内切球半径为高的四分之一； 正四面体的外接球球心位于正四面体的高线上，且外接球半径为高的四分之三； 由球与底面的切点为底面中心，可知， 而，所以， 即内切球半径为，外接球半径为， 所以有正四面体的体积为， 即， 故选：A. 变式2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______________． 【答案】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为， 由于，故， 设内切圆半径为，则： ， 解得：，其体积：. 故答案为：. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 变式3．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_________________． 【答案】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. ◇题型 12 立体几何的外接球和内切球的综合应用 典｜例｜精｜析 典例1．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，易知，且，设肉馅球半径为，，根据中点可知到的距离，，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得，结合余弦定理可得，进而可得，，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值. 【详解】 如图所示，取中点为，， 为方便计算，不妨设， 由，可知， 又、分别为所在棱靠近端的三等分点， 则， 且，、，，平面， 即平面， 又平面，则平面平面， 设肉馅球半径为，， 由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则到的距离，，， 又，解得：， 故， 又， 解得，， 所以：，解得，， 由以上计算可知：为正三棱锥， 故， 所以比值为. 故选：B. 典例2．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ） A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体的体积 【答案】AD 【分析】A选项根据勒洛四面体表面上任意两点间距离为a，进行判断； B选项，求出，相减即为能够容纳的最大球的半径； C选项，找到最大截面，求出截面面积； D选项，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球体积之间，求出正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球体积，从而求出答案. 【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离为a，故A正确； 勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图1，其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，易知BOE三点共线，设正四面体ABCD的外接球半径为，则由题意得： ，解得：， 所以， 易知，故B错误； 勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图2， 则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为a，圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，即，故C错误； 勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球体积之间， 正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为，故正四面体的高为，所以正四面体ABCD的体积， 设正四面体ABCD的外接球半径为，则由题意得： ，解得：， 所以外接球体积 所以勒洛四面体的体积，D正确. 故选：AD 【点睛】对于多面体与球的内切球问题外接球问题，要找到球心及球心在某平面上的投影，从而列出方程，求出半径，进而求出表面积或体积. 内外混淆：外接球关注 “顶点到球心距离相等”，内切球关注 “球心到面距离相等”。综合题中常因混淆半径公式导致整体思路错误。 模型识别不清：遇到折叠、切割、组合体时，不能快速还原到基础模型（如墙角、棱锥、圆台），导致无法找到球心位置。 转化不彻底：多面体与旋转体结合时，未利用轴截面将立体问题转化为平面几何问题，或未利用等体积法、相似三角形进行代数化，使问题复杂化。 变｜式｜巩｜固 变式1．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ） A．这两个球体的半径之和的最大值为 B．这两个球体的半径之和的最大值为 C．这两个球体的表面积之和的最大值为 D．这两个球体的表面积之和的最大值为 【答案】D 【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则，，其中，表达出，，求导得到函数单调性，得到最值，并求出，令，函数在上单调递增，求出，得到答案. 【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切， 过底面圆的直径作截面， 如图所示，过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点作⊥AB，垂足为E， 过点作⊥OF，垂足为D． 设圆O的半径为R，圆的半径为r，当下面的球与上底面相切时，取得最大值， 此时为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为，内切球半径为， 故，故R的最大值为，且取最大值时， 三点共线，设，则， 则，解得， 所以，，，，. 因为，所以①， 整理得，解得， 令函数，， . 令函数，，所以是增函数. 又因为，，所以，， 所以，，，， 即，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为. 由①可得， 这两个球体的表面积之和为. 令，函数在上单调递增， 所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为. 故选：D． 【点睛】方法点睛： 立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 变式2．（多选）如图1所示，在四边形中，，，．如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接．则下列选项正确的是（ ） A．当面面时，点到面的距离为 B．异面直线与所成角的取值范围为 C．当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，再利用点到平面的距离公式判断A，利用线线角的向量求法将线线角利用一元函数表示，再结合三角函数的有界性判断B，先证明鳄鱼模型公式的正确性，再代入数据结合球的体积公式求解C，结合球的表面积公式求解D即可. 【详解】找中点，作，面， 因为，，所以， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，，所以由勾股定理得， 又因，则，解得， 故，，，， 设，则，， 因,故，得， 则，， 由可得，化简得， 即点的轨迹方程是半径为的圆的一部分， 而该圆的参数方程为，， 故，则， 设平面的法向量为，则，解得， 且，令，解得， 得到，易得平面的法向量为， 对于A，当平面平面时，，此时，解得， 此时，而，， 设平面的法向量为，则， ，令，解得，， 故，而 设设点到面的距离为，则，故A正确； 对于B，由已知得，， 设异面直线与所成角为，且， 则， 而，结合余弦函数性质得， 故，由余弦函数性质解得，故B正确； 首先，我们来证明求解外接球半径的鳄鱼模型， 我们给定三棱锥，设分别是的外心， 设外接球球心为，是中点，连接,则，， 所以是二面角的平面角，设， 设，，连接,则面，面， 在四边形中，可得， 所以四点共圆，且设四边形的外接圆半径为， 所以，连接，由正弦定理得，设， 故，而在中，由余弦定理得， 连接，所以，则得，且 设，在直角三角形中，， 所以，即鳄鱼模型得证， 对于C，在本题中，我们设二面角的大小为，且， ，如图，的外心为，找中点作为外心， 则由中位线性质得，得到， 此时公式变为， 对于C，当二面角的大小为时，， 代入公式得，解得， 则三棱锥的外接球的体积为，故C错误； 对于D，若三棱锥的外接球的表面积的最小， 则其半径一定最小，由上分析可得， 而，结合正弦函数性质可得当时最小， 此时，由球的表面积公式得表面积为， 则三棱锥的外接球的表面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是证明鳄鱼模型的正确性，然后利用其求解外接球半径，得到所要求的体积和表面积最小值即可． 变式3．（多选）如图所示，两个正方形,的边长为，两个动点分别在正方形对角线和上,中点为且,.则（ ） A．运动过程中，不存在 B．若平面平面,,则平面平面 C．当在线段上运动时（不包括端点），二面角可以为直二面角 D．当在线段上运动时（不包括端点），四面体的外接球表面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据线面垂直、面面垂直的判定定理，线面平行的性质定理判断A，B；利用二面角的概念结合图形判定C；运用四面体的结构特征，结合外接球半径公式计算分析判定D. 【详解】 对于A，如图，当分别运动到的中点时，取的中点，分别连接， 因是边长为的正方形，则有 因平面，故平面， 因平面，故此时，即A错误； 对于B，如图，因平面（即平面）平面， 且平面，平面，则平面， 又平面，故，因，则， 又，平面，故平面. 又则平面，因因，平面，故平面⊥平面，故B正确； 对于C，D，连结，易得四面体是一个对棱相等的四面体. 如图，当在线段上运动时（不包括端点），在点处二面角为，在点处二面角大小为. 由于四面体的这种特殊性质，使得二面角与两个正方形平面的二面角大小相等， 所以在的变化过程中，二面角可以为直二面角，故C正确； 当在线段上运动时（不包括端点），四面体的外接球半径记为. 因四面体的对棱相等，故有：(*).（下面提供证明） 设.由图 . 代入(*)，. 则四面体的外接球表面积. 因为，所以，则D正确. 故选：BCD. [下面证明对棱相等的四面体的外接球半径公式]： 如图，四面体的三条对棱都分别相等，设过点的三条棱长分别为， 则该四面体的四个顶点可作为长方体的顶点， 设长方体中过点的三条棱长分别为，则四面体与长方体有相同的外接球， 设半径为，则，且， 则，即. 【点睛】关键点点睛：本题关键是找出满足题意的位置，运用对棱相等四面体外接球性质，结合正方体知识，求出半径即可求出表面积. 变式4．已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为_____________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则____________________. 【答案】； 【分析】由题当平面平面时，这时三棱锥的体积最大，作出图形，依次确定外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥的外接球的球心，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积；由，,就是相交所成的二面角的平面角，运算得解. 【详解】因为的面积为定值，所以当平面平面时，点到平面的距离最大， 这时三棱锥的体积最大. 设的中点为的中心为的中点为，则平面， ∵四棱锥外接球的球心为，则平面， 又，所以是四边形外接圆的圆心，故平面， 则， 此球的半径， 所以外接球的表面积； 这时， 在中， 又，, 则， 故. 故答案为：，. 一、单项选择题 1．（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为. 故选：B 2．（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，进而可求其体积. 【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体， 则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为 球O的体积为， 故选：． 3．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥两两垂直的特性将三棱锥补为长方体，三棱锥外接球的半径为所补长方体的直径，计算求出半径，代入体积公式可得结果. 【详解】因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 故选：C． 4．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A．5π B．10π C．28π D．56π 【答案】D 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理：平面， 设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则平面，平面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 在等边中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 5．（2025·广东佛山·二模）已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由题意三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，作出图形，根据外接球的表面积求出外接球半径为，，根据线面角的定义得，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，即可得解. 【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为， 因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为， 取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上， 如下图所示： 根据线面角的定义知，则，因为，， 所以，在中，， 所以，解得或，即. 故选：D. 6．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 7．（2026·河北邯郸·模拟预测）在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出球的半径，再根据直四棱柱的性质，求出圆心到侧面的距离，进而求出截面半径，最后根据弧长公式求解． 【详解】球的表面积， ， 设，底面为菱形， 是等边三角形，则菱形面积， 直四棱柱的体积，解得， 取的中点，连接，是等边三角形，， 直四棱柱中底面，， 侧面， 侧面，则，即为点到侧面的距离， 球面与平面的交线为圆，设截面半径为，由球的截面的性质可得， 截面圆的圆心为，半径为4，如下图所示， ， 为等边三角形，故， 交线长度，故D正确． 故选：D． 8．（2025·四川南充·二模）已知正三棱锥底面边长为2，其内切球的表面积为，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据内切球的表面积求出内切球半径，再利用等体积法求出正三棱锥的高，最后找出二面角的平面角，进而求出其余弦值. 【详解】已知内切球表面积，则，解得. 设正棱锥的顶点在底面上的射影为，取中点，连接 . 因为正棱锥的性质，平面，，根据三垂线定理可得，所以就是二面角的平面角. 底面是边长为的正三角形，则. 设正棱锥的体积为，表面积为. 底面的面积. 侧面中，，，则侧面面积， 正棱锥的表面积. 根据等体积法，即 化简，即，. 两边平方：整理得到，即，解得（舍去）或. 在中，，，，所以. 二面角的余弦值为. 故选：A. 二、多项选择题 9．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（ ） A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质定理可判断A，由三棱锥的体积公式计算可判断B，由直棱锥的外接球半径计算方法可判断C，作出过，C，E三点确，进而求得截面的周长判断D. 【详解】对于A，∵，，， 平面，平面，∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B：三棱锥的体积，故B错误； 对于C，设三棱锥的外接球的半径为， 的外接圆半径为，， 在中，由余弦定理得，， 所以，则有， 三棱锥的外接球的表面积为，故C正确. 对于D，如图，过，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形 （其中F为的中点，故等腰梯形的周长为，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·安徽·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长均为6，点分别是线段的中点，则（　　） A．平面 B． C．三棱柱外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，利用线线平行可证平面判断A；可证平面，进而可得平面，可证判断B；记的外接圆圆心分别为，利用，可求外接球的表面积判断C；利用等体积法求得点到平面的距离判断D. 【详解】取的中点，连接， 因为点分别是线段的中点，所以，所以四边形为平行四边形， 故，又平面平面， 所以平面，故正确； 因为点分别是线段的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，又平面，所以， 又是正三角形，又是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则.若，则平面， 则，显然这不成立，故错误； 记的外接圆圆心分别为，则， 故，故所求外接球的表面积为，故正确； ，故. 设点到平面的距离为.，则， 即，解得，故正确. 故选：ACD. 11．（2025·湖南·模拟预测）在三棱锥中，已知分别为，的重心，以下说法正确的是（ ） A． B．平面 C．若，则二面角的大小为 D．若，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，由已知可证得平面，进而得；对于B，由已知可得，进而得平面；对于C，作出二面角的平面角，利用勾股定理的逆定理可得二面角的大小为，对于D，判断出外接球的球心的位置，利用勾股定理可求得外接球的半径，即可求得外接球的表面积. 【详解】 对于A，取的中点为，连接. 由已知得，，又，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，因为分别为的重心，所以， 且，所以，所以， 又平面平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由得二面角的平面角为， 因为， 则，因为，所以，所以， 所以二面角的大小为，故C错误； 对于D，取的中点为，连接，由得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上， 设，外接球的半径为， 在中，，则， 在中，，则， 由得，， 解得，所以外接球的半径， 所以外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为________________________. 【答案】 【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 13．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为________________________. 【答案】 【分析】先求出外接圆的半径，再结合球的半径求出球心到平面的距离，进而得到点到平面的最大距离，最后根据三棱锥体积公式求出体积的最大值. 【详解】设外接圆的圆心为，半径为. 由正弦定理，在正中，，，则. 因为，所以，即，解得. 已知球的半径，球心到平面的距离，外接圆的半径，根据勾股定理，可得. 当点，球心，共线且与在平面同侧时，点到平面的距离最大，最大距离. 根据正三角形面积公式，可得. 根据三棱锥体积公式，可得. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于________________________. 【答案】 【分析】设，则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，进而求半径表达式并利用配方法求出球半径的最小值，从而可得的值. 【详解】设球的半径为，则球的体积为， 所以球体积取得最小值时，则球的半径最小. 设，则， 由题意知三棱锥外接球的球心是过和的外心E，H， 易知分别为的中点，且四点共圆， 且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O， 为三棱锥外接球半径，取的中点为G，如图： 由条件知， 在中，由余弦定理可得 ， ∴的外接圆直径， 当时，球的半径取得最小值. 故. 故答案为： 四、解答题 15．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 3 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 空间几何体与外接球内切球问题 目录 第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法 第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固 【题型01】球的截面问题 【题型02】长方体模型（三垂） 【题型03】对棱相等的三棱锥 【题型04】直棱柱模型（侧棱垂底的锥体） 【题型05】圆锥、正棱锥模型 【题型06】面面垂直模型 【题型07】正棱台（圆台）模型 【题型08】二面角模型 【题型09】与外接球有关的最值问题 【题型10】直棱柱的内切球模型 【题型11】锥体的内切球 【题型12】立体几何的外接球和内切球的综合应用 第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练 考向聚焦 一、外接球核心考向 模型分类：重点考查长方体 / 正方体模型（体对角线为直径）、直棱柱模型（球心在上下底面外心连线中点）、棱锥模型（含墙角锥、正棱锥、侧棱垂直底面锥）。 关键方法：“定球心”（利用球心到各顶点距离相等，结合对称性质）、“求半径”（构造直角三角形，用勾股定理列方程，如，为球心到面的距离，为底面外接圆半径）。 高频题型：已知几何体棱长求外接球表面积 / 体积，折叠问题中外接球不变性，组合体中外接球位置关系判断。 二、内切球核心考向 适用几何体：多为规则几何体（正多面体、直棱柱、正棱锥），核心条件是 “球心到各面距离相等（等于半径）”。 求解关键：利用体积法（），通过几何体体积与表面积建立等式求；正棱锥内切球心必在高上，可结合相似三角形求解。 易错点：混淆内切球与外接球适用条件，忽略非规则几何体无内切球的情况。 三、备考要点 高频模型需熟练掌握公式，非规则几何体可通过补形法（补成长方体 / 正方体）转化为规则模型；注重空间想象与方程思想结合，避免因球心定位错误导致失分。 关键能力 一是空间定位能力： 外接球需精准判断球心位置（对称点、底面外心连线中点等），内切球明确球心到各面等距的本质； 二是模型转化能力： 非规则几何体通过补形（补成长方体）、分割转化为规则模型，适配公式应用； 三是运算推理能力： 外接球巧用勾股定理建立方程，内切球熟练运用体积法，结合几何体棱长、表面积等条件求解半径。同时需具备易错辨析能力，区分内外接球适用场景，避免公式混淆与定位失误。 备考策略 备考核心在于 “模型固化 + 方法落地 + 易错规避”。首先，熟记高频模型（长方体、直棱柱、正棱锥等）的外接球球心定位规律与内切球适用条件，提炼 “补形法”“体积法” 等核心技巧，形成解题模板。其次，强化题型专项训练，重点突破 “棱长求半径”“折叠 / 组合体” 等高频题，熟练运用和两大核心公式。最后，建立错题本，聚焦球心定位失误、公式混淆、忽略几何体适配性等易错点，通过复盘深化理解，结合空间想象与方程思想，提升解题精准度与效率。 ◇方法技巧 01 立体几何的外接球和内切球模型的常用方法 一、规则模型直接法 （1）长方体，正方体模型（墙角模型）：体对角线即为外接球的直径，即； （2）对棱相等模型：三棱锥满足，则三棱锥可以放入长方体中，即外接球的半径为； （3）直棱柱/圆柱模型（侧棱垂直于底面）：侧棱垂直于底面时，可以放入直棱柱中进行外接球的求解，即外接球的半径为，为底面外接圆的半径（正弦定理求解），为高； （4）正棱锥/圆锥模型：正棱锥的外接球半径，为底面外接圆的半径（正弦定理求解），为高； （5）正棱台/圆台模型：先求解上下底面外接圆的半径，和高，在两圆心的连线和一条侧棱上构建直角三角形进行求解，即； （6）面面垂直模型：求解两个垂面的几何图形的外接圆半径，两面的交线，即； （7）二面角模型：二面角为，求解两个形成二面角的平面图形的外接圆半径，两面的交线，即，其中； 二、内切球常用方法 （1）直棱柱/圆柱的内切球模型：求解直棱柱的上表面几何图形的内切圆的半径，，所以内切球的半径为； （2）锥体的内切球模型：锥体的内切球的半径 （3）定位辅助法：正棱锥内切球心在高上，可通过相似三角形确定球心位置，再结合体积法或勾股定理求，避免盲目运算。 ◇题型 01 球的截面问题 典｜例｜精｜析 典例1．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 典例2．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 典例3．已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 忽略截面性质前提：误将“截面圆半径、球半径、球心到截面距离”的关系用在非圆截面（如椭圆截面），须知球的任意截面必为圆，该公式恒成立但需明确 “截面过球心时，”。 距离计算失误：求球心到截面距离时，未利用几何体对称性（如棱柱底面中心、棱锥高的垂足）定位垂足，导致求解错误；或混淆 “点到面距离” 与 “线段长度”。截面最值判断偏差：误以为截面圆最大半径由几何体棱长决定，实则最大截面为过球心的大圆（），最小截面为与球心连线垂直的截面（最大时最小）。 组合体截面分析疏漏：多球或球与几何体组合时，未明确截面与各球的公共点，遗漏 “截面同时过两球心时为公共大圆” 等特殊情况。 变｜式｜巩｜固 变式1．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ） A． B． C． D． 变式2．如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是（ ） A． B． C． D． 变式3．已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为___________________． ◇题型 02 长方体模型（三垂） 典｜例｜精｜析 典例1．一个底面积为的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正四棱柱的高为______________． 典例2．已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为______________． 典例3．已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（ ） A． B． C． D． 公式混淆：误将正方体外接球半径套用于长方体，忽略长方体需用（为棱长）。 线判断失误：将面对角线当作外接球直径，尤其正方体中混淆 “面对角线” 与 “体对角线”，导致半径计算减半。 特殊长方体疏漏：含正方形面的长方体（如），未注意底面外心与球心位置关系，仍按正方体公式计算。 组合体定位偏差：长方体与其他几何体组合时，未以长方体体对角线为外接球直径，误判球心位置。 变｜式｜巩｜固 变式1．长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两、点的球面距离为（ ） A． B． C． D． 变式2．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为________________． ◇题型 03 对棱相等的三棱锥 典｜例｜精｜析 典例1．在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 典例2．（多选）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是，，，则对该等腰四面体的叙述正确的是（ ） A．该四面体ABCD的体积是． B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C． D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是 缺失：未掌握 “对棱相等三棱锥可补成长方体” 的核心转化，仍用常规棱锥外接球方法求解，导致计算复杂且出错。 棱长对应失误：补成长方体时，误将三棱锥对棱当作长方体面对角线，正确对应应为 “三棱锥三组对棱分别是长方体三组面对角线”，进而错算长方体棱长。 外接球直径混淆：补形后未明确 “长方体体对角线即为外接球直径”，仍单独求三棱锥顶点到球心距离，徒增难度。 公式应用偏差：记错补形后半径公式，正确应为，（）为长方体棱长，由三棱锥对棱列方程求解）。 变｜式｜巩｜固 变式1．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式2．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式3．在四面体中，已知点分别为棱的中点，且．若，则四面体外接球的表面积为_______________． ◇题型 04 直棱柱模型（侧棱垂底的锥体） 典｜例｜精｜析 典例1．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A． B． C． D． 典例2．已知直四棱柱的棱长均为2，．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______________________． 球心定位偏差：误将底面外接圆圆心当作球心，忽略球心在“上下底面外心连线中点”，且连线与侧棱平行（长度为侧棱长）。 距离计算失误：套用时，错将取为侧棱长，正确应为（球心到底面距离）。 底面外接圆半径疏漏：圆柱或直棱柱底面为非正多边形时，未先求底面外接圆半径，直接用底面边长代替计算。 特殊情况混淆：圆柱外接球误按 “直径等于母线长” 计算，实则直径为，与直棱柱公式本质一致（为底面外接圆半径）。 变｜式｜巩｜固 变式1．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为_____________________． 变式2．已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则___________________． 变式3．已知点在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是__________________. ◇题型 05 圆锥、正棱锥模型 典｜例｜精｜析 典例1．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意，设外接球的半径为，则， 典例2．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A． B． C． D． 典例3．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 球心定位错误：误将正棱锥 / 圆锥的高中点当作球心，实则球心在高所在直线上，需通过方程求解（为底面外接圆半径，为几何体高）。 底面半径混淆：圆锥中误将底面圆半径当作（正确），正棱锥中错用底面边长代替底面外接圆半径，需先根据底面多边形类型求。 公式套用失误：直接套用直棱柱公式，忽略正棱锥 / 圆锥中（球心可能在高上或延长线），导致符号错误。 特殊情况疏漏：正四面体（特殊正棱锥）误按常规正棱锥公式计算，实则可补成长方体简化求解，避免复杂运算。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式2．已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（ ） A． B． C． D． 变式3．已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． ◇题型 06 面面垂直的模型 典｜例｜精｜析 典例1．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 典例2．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 典例3．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________________． 球心定位偏差：未利用面面垂直性质（如两平面交线为轴），误将单一平面外心当作球心，实则球心在两平面外心向交线作垂线的交点处。 距离关系误用：套用时，混淆 “球心到两平面的距离”，未结合面面垂直条件（一平面外心到另一平面距离为 0）简化计算。 外接圆半径疏漏：仅求一个平面的外接圆半径，忽略另一平面的外接圆半径与球心位置的关联，导致方程列错。 补形思路缺失：未将面面垂直的棱锥补成直棱柱（以垂直面为底面），仍按一般棱锥求解，增加运算难度与失误率。 变｜式｜巩｜固 变式1．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 变式2．已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点间的球面距离都是，B、C两点间的球面距离是，则二面角的大小是（ ） A． B． C． D． 变式3．已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． ◇题型 07 正棱台（圆台）模型 典｜例｜精｜析 典例1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 典例2．已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为________________. 球心位置误判：球心不在几何体内部中心，而在两底面中心的连线上。需通过作轴截面（等腰梯形或等腰三角形）辅助分析。 半径关系混淆：设球半径为，圆台上下底面半径为，高为。若球心在圆台外（偏向底面较大一侧），方程应为与，切勿遗漏或符号错误。 正棱台转化失误：需先求底面多边形的外接圆半径，再将其视为圆台模型求解，不可直接用棱长计算。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式2．已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为_____________________. 变式3．已知圆台上､下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为__________________. ◇题型 08 二面角模型 典｜例｜精｜析 典例1．如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 典例2．在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ） A．或 B．或 C． D． 找圆心错误：忽略球心在两个半平面上的投影分别是各自截面三角形的外心，而非重心或垂心。 距离计算失误：设二面角大小为，两半平面外心到棱的距离为。球心到棱的距离满足；，常因记错公式或三角函数关系导致计算错误。 方程建立遗漏：最终求半径时，需利用（为截面圆半径），切勿只计算到球心到棱的距离即停止。 变｜式｜巩｜固 变式1．在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（ ） A．52π B．54π C．56π D．60π 变式2．两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为_______________. 变式3．已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． ◇题型 09 与外接球有关的最值问题 典｜例｜精｜析 典例1．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 典例2．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 轨迹判断错误：常见模型（如墙角模型、定弦定角模型）中，球心轨迹通常是直线或圆，易误判为平面或抛物线，导致后续距离公式套用错误。 忽略变量范围：利用函数（如求最值时，未结合几何体实际限制条件（如高或边长关系），导致求出的极值点不在定义域内。 “形”“数” 转化脱节：遇到动点问题，未能灵活运用对称性或几何不等式（如两点之间线段最短）直接求解，盲目建立坐标系导致计算量过大而算错 变｜式｜巩｜固 变式1．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式2．在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式3．已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为_______________. 变式4．在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为________________. ◇题型 10 直棱柱的内切球模型 典｜例｜精｜析 典例1．“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（ ） A．， B． C．， D． 典例2．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则该球体积V的最大值是（ ） A． B． C． D． 存在性判断失误：忽略前提条件（为高，为底面内切圆半径）。若高不等于底面直径，内切球不存在，更无法求解半径。 底面半径计算混淆：误将底面多边形的 “外接圆半径” 当作 “内切圆半径” 代入公式。例如正三角形，内切圆半径，外接圆半径，两者相差一倍，极易算错。 体积公式乱用：体积 表 是多面体有内切球的通用公式，切勿与外接球体积公式混淆，也不要漏掉表面积 表 中的侧面积部分。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知球与正三棱柱的各个面均相切，记平面截球所得截面的面积为，球的表面积为，则（ ） A． B． C． D． 变式2．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________________． 变式3．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________________cm. 变式4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ） A． B． C． D． ◇题型 11 锥体的内切球 典｜例｜精｜析 典例1．如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（ ）． A． B． C． D． 典例2．一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 公式记忆偏差：通用体积公式中，是表面积（含底面积），极易误算为侧面积，导致结果偏小。 相似比找错：在轴截面（如圆锥、正四棱锥）中，利用求解时，常混淆球心到底面距离与球半径的关系，或搞错线段对应比例。 忽略正棱锥特性：正棱锥的内切球球心必在高线上，且到各侧面距离相等。若未利用这一对称性建立直角三角形，计算会变得繁琐且易出错。 变｜式｜巩｜固 变式1．已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（ ） A． B． C． D． 变式2．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______________． 变式3．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_________________． ◇题型 12 立体几何的外接球和内切球的综合应用 典｜例｜精｜析 典例1．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）. A． B． C． D． 典例2．（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ） A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 D．勒洛四面体的体积 内外混淆：外接球关注 “顶点到球心距离相等”，内切球关注 “球心到面距离相等”。综合题中常因混淆半径公式导致整体思路错误。 模型识别不清：遇到折叠、切割、组合体时，不能快速还原到基础模型（如墙角、棱锥、圆台），导致无法找到球心位置。 转化不彻底：多面体与旋转体结合时，未利用轴截面将立体问题转化为平面几何问题，或未利用等体积法、相似三角形进行代数化，使问题复杂化。 变｜式｜巩｜固 变式1．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ） A．这两个球体的半径之和的最大值为 B．这两个球体的半径之和的最大值为 C．这两个球体的表面积之和的最大值为 D．这两个球体的表面积之和的最大值为 变式2．（多选）如图1所示，在四边形中，，，．如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接．则下列选项正确的是（ ） A．当面面时，点到面的距离为 B．异面直线与所成角的取值范围为 C．当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为 变式3．（多选）如图所示，两个正方形,的边长为，两个动点分别在正方形对角线和上,中点为且,.则（ ） A．运动过程中，不存在 B．若平面平面,,则平面平面 C．当在线段上运动时（不包括端点），二面角可以为直二面角 D．当在线段上运动时（不包括端点），四面体的外接球表面积的最小值为 变式4．已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为_____________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则____________________. 一、单项选择题 1．（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A．5π B．10π C．28π D．56π 5．（2025·广东佛山·二模）已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ） A． B． C．2 D．3 6．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·河北邯郸·模拟预测）在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（ ） A． B． C． D． 8．（2025·四川南充·二模）已知正三棱锥底面边长为2，其内切球的表面积为，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（ ） A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 10．（2025·安徽·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长均为6，点分别是线段的中点，则（　　） A．平面 B． C．三棱柱外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 11．（2025·湖南·模拟预测）在三棱锥中，已知分别为，的重心，以下说法正确的是（ ） A． B．平面 C．若，则二面角的大小为 D．若，则三棱锥外接球的表面积为 三、填空题 12．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为________________________. 13．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为________________________. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知二面角的大小为，且，，若四点，，，都在同一个球面上，当该球体积取最小值时，等于________________________. 四、解答题 15．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $