7.2.4 诱导公式（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

7.2.4 诱导公式 题型一 求已知角的三角函数（式）的值 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】B 6.【答案】C 题型二 由已知三角函数值求其它三角函数（式）的值 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】 6．【答案】/ 7．【答案】/ 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系进行求解即可； （2）利用同角三角函数的关系进行求解即可 【详解】（1）； （2） . 题型三 判断点所在象限 1．【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】B 题型四 根据三角函数值求角 1．【答案】C 2.【答案】（答案不唯一）. 3.【答案】 题型一   诱导公式的综合应用---化简、求值 1．【答案】C 2．【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 3．【答案】（1）；（2）. 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式化简可得所求代数式的值； （2）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系可得出所求代数式的值. 【详解】（1） ； （2）， 当时，原式. 4．【答案】(1)， (2) 【知识点】由条件等式求正、余弦、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可求得、的值； （2）求出的值，根据已知条件可得出，结合诱导公式可得出的值，再利用诱导公式以及弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】（1）因为为锐角，所以，， 由已知条件可得，解得. （2）因为角的终边与角的终边关于轴对称，则， 由（1）可知， 所以， 所以. 5．【答案】(1)5 (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式可求得，根据同角三角函数关系进行弦切互化，代入可求得结论. （2）利用同角三角函数关系及为第二象限角求出，利用诱导公式对所求式子进行化简，将代入即可得到答案. 【详解】（1）由，得． 故； （2）由（1）知，则， 解得或，又为第二象限角， 则，故， 所以． 6．【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可； （2）由题知，为第一、三象限角，再结合同角三角函数关系，根据，利用诱导公式分类讨论求解即可. 【详解】（1）解： （2）解：由得，故， 又，故， 因，故为第一、三象限角 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，， 因为 所以， 故当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，． 7．【答案】(1)且； (2)； (3) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）运用诱导公式规则，分别化简分子、分母中每个三角函数（如，等），再对化简后的分式进行约分，最终转化为基本三角函数（正切）的形式化简求值； （2）先利用同角三角函数的平方关系（），将所求式子中的“”“”转化为含的表达式，再将“弦函数（，）表达式”转化为“切函数（）表达式”，化简求值即可； （3）先将，代入已知等式，结合诱导公式（）化简等式，再结合同角三角函数的平方关系，建立关于的方程，解方程得的值（即）即可. 【详解】（1）由且， 所以且. （2）由题设及（1）知， 且 因为，所以， 所以 ； （3）由题知，得 所以代入原式得：， 即， 又， 整理得， 所以，       可得， 所以， 因为，所以， 等式两边同时除以得： 所以，            即 . 题型二 诱导公式的综合应用---证明三角恒等式 1．【答案】证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立. 【详解】 ， ， 故等式左边，等式成立． 2．【答案】证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 3．【答案】证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 4．【答案】证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 5．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 题型一   诱导公式的综合应用---求点的坐标 1．【答案】D 2．【答案】/ 3.【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用三角函数定义，求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标； （2）先由点在单位圆上求得点的坐标为，再利用三角函数定义与诱导公式求解. 【详解】（1）因为，所以，所以点的坐标为． 由题意，，所以，所以点的坐标为． （2）由点在单位圆上，得，又点位于第一象限，所以， 所以点的坐标为，所以， 所以，所以． 题型二   由条件等式求函数（式）的值 1．【答案】/ 2．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、给值求值型问题 【分析】（1）由题意可得，结合，解一元二次方程即可得出答案； （2）由诱导公式、弦化切可化简为，可得答案； （3）将所求式子利用同角三角函数的平方关系恒等变形后除以化为，即可得出答案. 【详解】（1）由可得：， 即，解得：或. 因为，所以，所以. （2）. （3） . 3.【答案】（1）；（2） 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）根据题意，求得得到，利用三角函数的基本关系式，求得，联立方程组，求得的值，结合诱导公式和商数关系，即可求解. 【详解】（1）解：由， 因为，可得, 又因为，所以， 所以， 所以； （2）解：由，平方得， 可得，且， 因为，所以，此时，则， 又因为，所以， 联立方程组，解得， 所以. 题型三   三角函数定义与诱导公式的综合问题 1．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简原式，代入即可求解； （3）根据题意，得到，结合诱导公式，化简原式，即可求解. 【详解】（1）解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. （2）解：由. （3）解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 2．【答案】(1)； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求解即得. （2）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解即得. 【详解】（1）由角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，得， 则，所以. （2） 依题意，，所以. 3．【答案】(1)； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数的定义，求出，的值，再利用诱导公式化简给出的三角函数式，代入，的值，计算可得结果. 【详解】（1）由题意可得, 所以，. 所以. （2）因为 . 4．【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义求得的值，再根据诱导公式、同角三角函数关系齐次转化化简求值即可； （2）利用平方关系与商数关系进行齐次转化化简求值即可. 【详解】（1）已知角终边上的一点，且， 所以， 则 ； （2） . 5．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，再将（1）中的结果代入即可求出结果； （3）根据所在象限确定的正负，然后结合同角三角函数关系式联立解出的值即可得出的值. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以， 所以. （2）由 . （3）因为为第二象限角，所以， 联立，解得：， 所以. 6．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义可求出答案； （2）由题意知，利用三角函数的定义和诱导公式即可求出答案. （3）利用诱导公式化简即可求出答案. 【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 由题意知， 所以，， 所以. （3）， ， ， ， 所以. 7．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，的值，代入即得答案； （2）平方化简得到的值，代入可得答案； （3）化简求得的值，代入利用诱导公式可得答案. 【详解】（1）的终边过点，，，； （2）因为，所以，即， 从而， 因为，，，所以，因此， 从而，故 （3） . 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.4 诱导公式 题型一 求已知角的三角函数（式）的值 1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（25-26高一上·天津南开·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值求解，即得答案. 【详解】， 故选：B 3．（20-21高一下·安徽阜阳·期中） （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、特殊角的三角函数值 【分析】直接利用诱导公式化简求解即可 【详解】． 故选：C． 4．（22-23高一上·北京大兴·期末）等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值 【分析】根据诱导公式以及特殊角的正切值即可求解. 【详解】． 故选：D． 5．（21-22高一上·河南信阳·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、特殊角的三角函数值 【分析】直接利用诱导公式化简计算即可 【详解】， 故选：B 6.（2025高三·全国·专题练习）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案. 【详解】sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60° ＝－＋＝． 故选：C. 题型二 由已知三角函数值求其它三角函数（式）的值 1．（25-26高一上·全国·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用诱导公式、同角三角函数关系式以及所给角的范围求值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 所以， 故选：C. 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知，则＝（   ） A． B． C．－2 D．2 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式和计算即可. 【详解】已知， 则 . 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏·月考）已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由得，结合诱导公式，利用同角三角函数的平方和关系及商数关系即可求解. 【详解】由得， 故 . 故选：D 4．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 5．（25-26高一上·浙江·月考）已知，则 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 6．（25-26高一上·江苏泰州·月考）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 7．（25-26高一·全国·假期作业）已知，，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数，可得答案. 【详解】因且，则， 则. 故答案为：. 8．（25-26高三上·福建厦门·月考）若为第二象限角，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用正切函数的诱导公式求出，然后利用正弦函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系对所给式子进行化简，最后再根据角的范围确定三角函数的正负对式子进一步化简求值. 【详解】由，知， ， 因为为第二象限角，所以，且， 所以原式， 又，且，联立两式可得， 所以原式. 故答案为：. 9．（24-25高一上·江苏南通·期末）设，则 （结果用含的式子表示）. 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. 【详解】原式 故答案为： 10．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系进行求解即可； （2）利用同角三角函数的关系进行求解即可 【详解】（1）； （2） . 题型三 判断点所在象限 1．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】确定已知角所在象限、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、诱导公式一 【分析】利用诱导公式判断的正负，再判断的所在象限即可. 【详解】根据诱导公式，可得， 又是第三象限角，所以，即， 同理，所以，即， 所以点位于第三象限. 故选：C. 2.（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）角满足，则角终边一定过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】利用诱导公式以及各象限三角函数值的符号即可判断得出结论. 【详解】由可得， 又，可知角终边一定在第四象限. 故选：D 3.（24-25高一下·河南南阳·期末）已知角的终边上有一点，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据角的象限确定三角函数值正负即可判断点的象限. 【详解】因为， 所以是第四象限角. 故选：D. 4.（24-25高一下·山东日照·阶段练习）点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用诱导公式判断，的正负，再判断的所在象限即可. 【详解】由诱导公式得， ， ， 且， 则，， 得到，即， 则，故， 得到点位于第二象限，故B正确. 故选：B. 题型四 根据三角函数值求角 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分别判断当时的值，以及当时的取值情况，然后根据充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】判断充分性 当时，根据正弦函数的性质，. 所以由能推出，充分性成立. 判断必要性 当时，或， 满足的不只是，还有情况. 所以由不能推出，必要性不成立. 故是的充分非必要条件. 故选：C 2.（24-25高一下·北京·期末）使等式成立的一个的值为 . 【答案】（答案不唯一）. 【分析】由诱导公式得，进一步得即可求解. 【详解】因为， 所以或 所以. 故答案为：（答案不唯一）. 3.（25-26高二上·上海·开学考试）已知角终边上点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】先根据点的坐标求出角的范围，然后根据任意角三角函数的定义结合诱导公式可求得答案. 【详解】因为角终边上点坐标为，且，， 所以， 因为 ， 所以. 故答案为： 题型一   诱导公式的综合应用---化简、求值 1．（25-26高一上·广东广州·月考）化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式及同角三角函数基本关系化简可得结果. 【详解】因为 . 又因为2为第二象限角，所以，. 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·广东珠海·月考） ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简即得. 【详解】. 故答案为： 3．（25-26高一上·天津南开·月考）（1）求值：； （2）已知，先化简再求出下列结果：. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式化简可得所求代数式的值； （2）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系可得出所求代数式的值. 【详解】（1） ； （2）， 当时，原式. 4．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知锐角满足． (1)求、的值； (2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由条件等式求正、余弦、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可求得、的值； （2）求出的值，根据已知条件可得出，结合诱导公式可得出的值，再利用诱导公式以及弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】（1）因为为锐角，所以，， 由已知条件可得，解得. （2）因为角的终边与角的终边关于轴对称，则， 由（1）可知， 所以， 所以. 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知． (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式可求得，根据同角三角函数关系进行弦切互化，代入可求得结论. （2）利用同角三角函数关系及为第二象限角求出，利用诱导公式对所求式子进行化简，将代入即可得到答案. 【详解】（1）由，得． 故； （2）由（1）知，则， 解得或，又为第二象限角， 则，故， 所以． 6．（25-26高一上·广东惠州·月考）已知 (1)化简; (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可； （2）由题知，为第一、三象限角，再结合同角三角函数关系，根据，利用诱导公式分类讨论求解即可. 【详解】（1）解： （2）解：由得，故， 又，故， 因，故为第一、三象限角 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，， 因为 所以， 故当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，． 7．（25-26高一上·江苏淮安·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)且； (2)； (3) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）运用诱导公式规则，分别化简分子、分母中每个三角函数（如，等），再对化简后的分式进行约分，最终转化为基本三角函数（正切）的形式化简求值； （2）先利用同角三角函数的平方关系（），将所求式子中的“”“”转化为含的表达式，再将“弦函数（，）表达式”转化为“切函数（）表达式”，化简求值即可； （3）先将，代入已知等式，结合诱导公式（）化简等式，再结合同角三角函数的平方关系，建立关于的方程，解方程得的值（即）即可. 【详解】（1）由且， 所以且. （2）由题设及（1）知， 且 因为，所以， 所以 ； （3）由题知，得 所以代入原式得：， 即， 又， 整理得， 所以，       可得， 所以， 因为，所以， 等式两边同时除以得： 所以，            即 . 题型二 诱导公式的综合应用---证明三角恒等式 1．（24-25高一上·全国·课后作业）证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立. 【详解】 ， ， 故等式左边，等式成立． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 4．（20-21高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 5．（21-22高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 题型一   诱导公式的综合应用---求点的坐标 1．（2025·四川德阳·一模）若角的终边过点，则的终边与单位圆交点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】由三角函数定义和诱导公式依次求出即可得解. 【详解】由题可得， 所以， 所以的终边与单位圆交点在第四象限，横坐标为. 故选：D 2．（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后到达点Q，则点Q的横坐标为 . 【答案】/ 【知识点】由单位圆求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】运用余弦函数的定义进行求解即可. 【详解】设坐标为的点为，设单位圆与横轴正半轴的交点为 所以， 因为点P从点出发，沿单位圆逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后到达点Q， 所以， 所以， 所以点Q的横坐标为. 故答案为： 3.（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，记，将角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，记． (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用三角函数定义，求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标； （2）先由点在单位圆上求得点的坐标为，再利用三角函数定义与诱导公式求解. 【详解】（1）因为，所以，所以点的坐标为． 由题意，，所以，所以点的坐标为． （2）由点在单位圆上，得，又点位于第一象限，所以， 所以点的坐标为，所以， 所以，所以． 题型二   由条件等式求函数（式）的值 1．（2025高一上·江苏·专题练习）若，则的值为 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】，即， 两边取平方，可得， 化简得． 故． 故答案为：. 2．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、给值求值型问题 【分析】（1）由题意可得，结合，解一元二次方程即可得出答案； （2）由诱导公式、弦化切可化简为，可得答案； （3）将所求式子利用同角三角函数的平方关系恒等变形后除以化为，即可得出答案. 【详解】（1）由可得：， 即，解得：或. 因为，所以，所以. （2）. （3） . 3.（25-26高一上·重庆·月考）（1）已知，且，求； （2）已知，且，求． 【答案】（1）；（2） 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）根据题意，求得得到，利用三角函数的基本关系式，求得，联立方程组，求得的值，结合诱导公式和商数关系，即可求解. 【详解】（1）解：由， 因为，可得, 又因为，所以， 所以， 所以； （2）解：由，平方得， 可得，且， 因为，所以，此时，则， 又因为，所以， 联立方程组，解得， 所以. 题型三   三角函数定义与诱导公式的综合问题 1．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义和三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式，化简原式，代入即可求解； （3）根据题意，得到，结合诱导公式，化简原式，即可求解. 【详解】（1）解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. （2）解：由. （3）解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 2．（25-26高一上·贵州毕节·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求解即得. （2）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解即得. 【详解】（1）由角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，得， 则，所以. （2） 依题意，，所以. 3．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知角的终边经过点. (1)求的值; (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数的定义，求出，的值，再利用诱导公式化简给出的三角函数式，代入，的值，计算可得结果. 【详解】（1）由题意可得, 所以，. 所以. （2）因为 . 4．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知角终边上的一点，（）. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义求得的值，再根据诱导公式、同角三角函数关系齐次转化化简求值即可； （2）利用平方关系与商数关系进行齐次转化化简求值即可. 【详解】（1）已知角终边上的一点，且， 所以， 则 ； （2） . 5．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. (3)已知，为第二象限角，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，再将（1）中的结果代入即可求出结果； （3）根据所在象限确定的正负，然后结合同角三角函数关系式联立解出的值即可得出的值. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以， 所以. （2）由 . （3）因为为第二象限角，所以， 联立，解得：， 所以. 6．（25-26高一上·四川遂宁·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.    (1)求； (2)求； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义可求出答案； （2）由题意知，利用三角函数的定义和诱导公式即可求出答案. （3）利用诱导公式化简即可求出答案. 【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 由题意知， 所以，， 所以. （3）， ， ， ， 所以. 7．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知. (1)若的始边为轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，的值，代入即得答案； （2）平方化简得到的值，代入可得答案； （3）化简求得的值，代入利用诱导公式可得答案. 【详解】（1）的终边过点，，，； （2）因为，所以，即， 从而， 因为，，，所以，因此， 从而，故 （3） . 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.4 诱导公式 题型一 求已知角的三角函数（式）的值 1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津南开·月考）（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一下·安徽阜阳·期中） （　　） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·北京大兴·期末）等于（    ） A． B． C． D．1 5．（21-22高一上·河南信阳·期末）（    ） A． B． C． D． 6.（2025高三·全国·专题练习）的值为（   ） A． B． C． D． 题型二 由已知三角函数值求其它三角函数（式）的值 1．（25-26高一上·全国·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）已知，则＝（   ） A． B． C．－2 D．2 3．（25-26高一上·江苏·月考）已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 4．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江·月考）已知，则 . 6．（25-26高一上·江苏泰州·月考）若，则 ． 7．（25-26高一·全国·假期作业）已知，，则 ． 8．（25-26高三上·福建厦门·月考）若为第二象限角，且，则 ． 9．（24-25高一上·江苏南通·期末）设，则 （结果用含的式子表示）. 10．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 题型三 判断点所在象限 1．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）角满足，则角终边一定过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3.（24-25高一下·河南南阳·期末）已知角的终边上有一点，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4.（24-25高一下·山东日照·阶段练习）点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四 根据三角函数值求角 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（24-25高一下·北京·期末）使等式成立的一个的值为 . 3.（25-26高二上·上海·开学考试）已知角终边上点坐标为，则 ． 题型一   诱导公式的综合应用---化简、求值 1．（25-26高一上·广东广州·月考）化简得（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东珠海·月考） ． 3．（25-26高一上·天津南开·月考）（1）求值：； （2）已知，先化简再求出下列结果：. 4．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知锐角满足． (1)求、的值； (2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知． (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值． 6．（25-26高一上·广东惠州·月考）已知 (1)化简; (2)若，求的值． 7．（25-26高一上·江苏淮安·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 题型二 诱导公式的综合应用---证明三角恒等式 1．（24-25高一上·全国·课后作业）证明：． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 4．（20-21高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 5．（21-22高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 题型一   诱导公式的综合应用---求点的坐标 1．（2025·四川德阳·一模）若角的终边过点，则的终边与单位圆交点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆克拉玛依·期末）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后到达点Q，则点Q的横坐标为 . 3.（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，记，将角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，记． (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求的值． 题型二   由条件等式求函数（式）的值 1．（2025高一上·江苏·专题练习）若，则的值为 2．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 3.（25-26高一上·重庆·月考）（1）已知，且，求； （2）已知，且，求． 题型三   三角函数定义与诱导公式的综合问题 1．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 2．（25-26高一上·贵州毕节·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点. (1)求的值； (2)求的值. 3．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知角的终边经过点. (1)求的值; (2)求的值. 4．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知角终边上的一点，（）. (1)求的值； (2)求的值. 5．（25-26高一上·广东佛山·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. (3)已知，为第二象限角，求的值. 6．（25-26高一上·四川遂宁·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.    (1)求； (2)求； (3)求的值. 7．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知. (1)若的始边为轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值； (3)若，，求的值. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $