精品解析：山西省长治市潞州区长治市实验中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

长治市实验中学教育集团2025—2026学年 九年级阶段性监测（三）数学试题 时长：120分钟 满分：120分 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数，含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式； B、被开方数2无平方因数且无分母，是最简二次根式； C、被开方数含有分母，故不是最简二次根式； D、被开方数，含有能开得尽方的因数9，故不是最简二次根式． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除法则逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：∵，且计算值不相等，∴A错误； 对于选项B：∵，∴B正确； 对于选项C：∵，∴C错误； 对于选项D：∵，∴D错误． 故选：B． 3. 在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 故选：C． 4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线定理可得，即可得到解答． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 即为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5. 把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得函数的表达式为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，表达式变为， 再向下平移5个单位，表达式变为， 即所得函数表达式为． 故选：C． 6. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 7. 在一个不透明的箱子里装有黄球、绿球、蓝球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从箱子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则箱子中黄球的个数约为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据频率估计概率，已知概率求数量．根据频率稳定性，摸到黄球的频率稳定在左右，即概率约为，用总球数乘以概率可得黄球个数． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右， ∴黄球的个数约为（个）． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 9. 如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（ ）仍不能判断与相似． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可：两组角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】解：由，，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 由可得，再由，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意； 由，可得，再由，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 由结合现有条件，无法证明与相似，故C符合题意； 故选：C． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、认真填一填，试试自己的身手！（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求分式的值，分式的加减，将所求分式拆分为1与已知分式的和，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 为了方便学生进出操场，我校修建了如图所示的地下通道，该通道于2022年开通，如图是该通道的示意图，斜坡的坡度（i为铅直高度与水平长度的比），假设肖老师某次锻炼完，从底端A以米/秒的速度，用时13秒到达顶端B，则肖老师上升的铅直高度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度，勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上定义和公式． 假设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 假设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13. 一元二次方程有实数根，则常数c的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式 ，由此列出不等式求解． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴ ，即 ， ∴解得 ． 故答案为 ． 14. 某二次函数的函数关系式为：，则：①函数图像开口向上．②顶点坐标为．③与y轴交点的坐标为．④当时，y随x的增大而增大，以上说法中正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，熟知相关性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，通过系数判断开口方向，利用顶点公式计算顶点坐标，代入求与y轴交点，依据对称轴分析单调性． 【详解】解：对于二次函数， ①二次项系数，因此函数图像开口向上，正确 ②顶点横坐标，纵坐标，因此顶点坐标为，正确 ③与y轴交点时，代入得，因此与y轴交点的坐标为，正确 ④对称轴为，且开口向上，函数在时y随x的增大而增大，正确， 故答案为：①②③④． 15. 如图，在中，，，，点D为边上的一点，连接，过点A作于点E，交边于点F．当时，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作交延长线于点K，先解求出，再根据求出，最后由，根据等角的三角函数值相等求解即可． 【详解】解：过点作交延长线于点K， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、用心做一做，显显你的能力！（本题共8个小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握实数的混合运算法则，解一元二次方程的方法是解题的关键. （1）先进行开方，特殊角的三角函数值，负整数指数幂和零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可. 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， ∴或， ∴，． 17. 如图，是的角平分线，延长至点E，使得．若，，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，等边对等角，角平分线的定义等知识，首先由角平分线得到，然后由等边对等角得到，等量代换得到，然后证明出，得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 凭借灵动的舞蹈、专业的指导团队与丰富的活动规划，我校舞蹈社团在初一年级招新工作中备受青睐，成功吸纳了64名热爱舞蹈、怀揣艺术梦想的同学加入，为社团注入了青春力量．为了让更多同学感受舞蹈魅力，社团计划再次开展两期招新活动，且每期成员人数的增长率相同．经过两期的招新，社团成员规模扩大至100人． （1）求该社团每期成员人数的增长率是多少？ （2）若按照该增长率持续推进第三期招新活动，第三期结束时，该社团的成员人数是否会超过120人？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：超过，理由如下：（人）， 因为， 所以第三期成员人数超过120人． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设该社团每期成员人数的增长率是x，根据增长后的量增长前的量（1+增长率），结合经过两期招新后社团成员规模扩大至人，可列出方程求解；（2）根据（1）中求出的增长率计算出第三期结束时社团的成员人数，再与人比较大小，从而判断是否超过人． 【小问1详解】 解：设该社团每期成员人数的增长率是x． 根据题意得：， 解得：，（不符题意，舍去）， 答：该社团每期成员人数的增长率是． 【小问2详解】 略 19. 平遥古城非遗店铺推出剪纸纪念品盲抽活动，柜台里有四种山西特色剪纸，分别是“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，每种剪纸各有1张，共4张，打乱后供游客抽取．游客小王随机抽取2张作为纪念． （1）小王第一次抽取就拿到“应县木塔”剪纸的概率是______． （2）请用列表或画树状图的方法，求小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列表法或画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）根据列举法求概率进行解答即可； （2）根据列表法或画树状图求概率进行解答即可． 【小问1详解】 解：小王第一次抽取的结果有“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，共4种等可能性的结果，其中拿到“应县木塔”剪纸的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：将“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”剪纸依次记作A、B、C、D，画树状图如下： 共有12种等可能性的结果，其中恰好有“黄河壶口瀑布”剪纸的结果有6种， ∴P（恰好有“黄河壶口瀑布”剪纸）， 答：小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率是． 20. 传承校训精神，彰显校园文化，凝聚学子情怀．在学校文化标识调研活动中，实践小组计划测量和生楼上方校徽的直径．为了获得准确数据，同学们在教学楼前进行实地测量．方法如下：如图，在距离和生楼校徽正下方楼底部点若干米的点处，利用测角仪测得校徽底部点的仰角为、校徽顶部点的仰角为．由于楼底部有台阶，所以小组成员在点处后退米至点处，再次利用测角仪测得校徽底部点的仰角为，校徽顶部点的仰角为，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，，，三点在同一条水平直线上，，，三点在同一条铅垂线上．请根据以上信息，求校徽的直径．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】校徽直径为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用、一元一次方程的实际应用．熟悉根据仰角、俯角构造直角三角形，结合三角函数（正切、正弦、余弦）建立边与角的关系，是解题的关键． 根据已知情境中的水平、垂直关系转化为平面直角三角形的边的关系，利用“，，三点共线”，“，，三点共线”，“”等条件，根据三角函数构建直角三角形，利用不同位置测量得到的角度，列出关于未知数的方程，进而求解线段长度． 【详解】解：如图，延长交于点， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴设， 在中，，， ∴， ∵， ∴可列方程为：， 解得：， 在中，，设， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴可列方程为：， 解得：， ∴， 答：校徽直径为米． 21. 下面是小颖同学课后反思笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 2025年12月25日 晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过菱形的性质得到了菱形面积的新算法，如图1，在菱形中，对角线与相交于点，则菱形的面积为，基本思路如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ． 我们已经学习了三角函数，能否借助三角函数的相关知识，来探究一般四边形面积的类似算法？ 已知，如图2，在四边形中，对角线与相交于点，（为锐角），求四边形的面积（用、、表示）． 小颖给出了如下思路： 解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． …… 任务： （1）补全小颖的解题过程． （2）如图3，四边形中，对角线，，，则四边形的面积为______． （3）如图4，四边形的两条对角线与相交于点，，，求四边形面积的最大值，写出解题过程（直接用任务1中的发现）． 【答案】（1） 解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 在中，， ∴， 同理：， ∴ ． （2） （3）25 【解析】 【分析】本题主要考查了运用锐角三角函数进行解三角形，求菱形的面积，二次函数的应用等，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作交于点，过点作交于点，可得，，利用即可求解； （2）同理（1）的方法即可求解； （3）设，则，将条件代入（1）中的式子可得四边形面积关于的二次函数，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 在中，，∴， 同理：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：，则， ∴ ． ∴当时，有最大值，最大值为25． 22. 某文具店新进一款护眼台灯，该台灯搭载环境光自适应功能，可精准捕捉周围光线强度并自动调节亮度，能有效减轻用眼疲劳，该台灯进价为每台元，规定每台售价不低于进价，且不高于元，文具店采用网络下单，送货上门的方式销售，该文具店销售人员进行了市场调研． 调研数据： 下表是日销售量（台）与销售单价（元/台）的部分调研数据． 销售单价x（元/台） …… 46 48 50 52 54 …… 销售量y（台） …… 68 64 60 56 52 …… 建立模型： （1）根据调研数据可知，是的______（填“一次”、“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为______． （2）在销售过程中，该文具店需每台额外给送货员补贴元，那么护眼台灯销售单价定为多少元时，文具店日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）一次； （2）当护眼台灯销售单价为元时，日销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值，解答关键是列出函数表达式再求解． （1）先判定为一次函数，再利用待定系数法求解； （2）设日销售利润为元，根据“利润=单件利润×销售量”求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，是的一次函数， 设这个一次函数解析式为， 则， 解得， 这个一次函数解析式为； 故答案为：一次，； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元，根据题意得： ； ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当护眼台灯销售单价为元时，日销售利润最大，最大利润为元． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，，．点D是线段上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，点E，F分别是A，B的对应点． （1）如图2，当点D位于中点处时，连接，，判断的形状，并说明理由； （2）如图3，当点D在线段上时（），连接，，猜想，的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）当点D在线段上运动时，是否存在某一时刻，使得是直角三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： 由旋转可得，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （2） 解：，．理由如下： 连接，，并延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，． （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，从而得到，，即可判定是等边三角形； （2）连接，，，并延长交于点G，由等腰求出，由旋转可得，，，，从而证得，得到，根据三角形内角和求出，因此，又，即可判定四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答； （3）分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 分两种情况讨论： ①如图，当时，连接，，， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可证， ∴，在同一直线上，即点B，E，F三点共线， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． ②如图，当时，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D与点C重合，如图所示， 过点A作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，存在某一时刻，使得是直角三角形，此时的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长治市实验中学教育集团2025—2026学年 九年级阶段性监测（三）数学试题 时长：120分钟 满分：120分 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 3. 在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明在外选一点C，连接，分别取的中点D，E，为了测量A，B两地间的距离，则可以选择测量线段（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线先向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得函数的表达式为（） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 在一个不透明的箱子里装有黄球、绿球、蓝球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从箱子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则箱子中黄球的个数约为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（ ）仍不能判断与相似． A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、认真填一填，试试自己的身手！（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 若，则的值为______． 12. 为了方便学生进出操场，我校修建了如图所示的地下通道，该通道于2022年开通，如图是该通道的示意图，斜坡的坡度（i为铅直高度与水平长度的比），假设肖老师某次锻炼完，从底端A以米/秒的速度，用时13秒到达顶端B，则肖老师上升的铅直高度为______米． 13. 一元二次方程有实数根，则常数c的取值范围是______． 14. 某二次函数的函数关系式为：，则：①函数图像开口向上．②顶点坐标为．③与y轴交点的坐标为．④当时，y随x的增大而增大，以上说法中正确的序号是______． 15. 如图，在中，，，，点D为边上的一点，连接，过点A作于点E，交边于点F．当时，则的长为________． 三、用心做一做，显显你的能力！（本题共8个小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，是的角平分线，延长至点E，使得．若，，，求的长． 18. 凭借灵动的舞蹈、专业的指导团队与丰富的活动规划，我校舞蹈社团在初一年级招新工作中备受青睐，成功吸纳了64名热爱舞蹈、怀揣艺术梦想的同学加入，为社团注入了青春力量．为了让更多同学感受舞蹈魅力，社团计划再次开展两期招新活动，且每期成员人数的增长率相同．经过两期的招新，社团成员规模扩大至100人． （1）求该社团每期成员人数的增长率是多少？ （2）若按照该增长率持续推进第三期招新活动，第三期结束时，该社团的成员人数是否会超过120人？请说明理由． 19. 平遥古城非遗店铺推出剪纸纪念品盲抽活动，柜台里有四种山西特色剪纸，分别是“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，每种剪纸各有1张，共4张，打乱后供游客抽取．游客小王随机抽取2张作为纪念． （1）小王第一次抽取就拿到“应县木塔”剪纸的概率是______． （2）请用列表或画树状图的方法，求小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率． 20. 传承校训精神，彰显校园文化，凝聚学子情怀．在学校文化标识调研活动中，实践小组计划测量和生楼上方校徽的直径．为了获得准确数据，同学们在教学楼前进行实地测量．方法如下：如图，在距离和生楼校徽正下方楼底部点若干米的点处，利用测角仪测得校徽底部点的仰角为、校徽顶部点的仰角为．由于楼底部有台阶，所以小组成员在点处后退米至点处，再次利用测角仪测得校徽底部点的仰角为，校徽顶部点的仰角为，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，，，三点在同一条水平直线上，，，三点在同一条铅垂线上．请根据以上信息，求校徽的直径．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 21. 下面是小颖同学课后反思笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 2025年12月25日 晴 在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过菱形的性质得到了菱形面积的新算法，如图1，在菱形中，对角线与相交于点，则菱形的面积为，基本思路如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ． 我们已经学习了三角函数，能否借助三角函数的相关知识，来探究一般四边形面积的类似算法？ 已知，如图2，在四边形中，对角线与相交于点，（为锐角），求四边形的面积（用、、表示）． 小颖给出了如下思路： 解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． …… 任务： （1）补全小颖的解题过程． （2）如图3，四边形中，对角线，，，则四边形的面积为______． （3）如图4，四边形的两条对角线与相交于点，，，求四边形面积的最大值，写出解题过程（直接用任务1中的发现）． 22. 某文具店新进一款护眼台灯，该台灯搭载环境光自适应功能，可精准捕捉周围光线强度并自动调节亮度，能有效减轻用眼疲劳，该台灯进价为每台元，规定每台售价不低于进价，且不高于元，文具店采用网络下单，送货上门的方式销售，该文具店销售人员进行了市场调研． 调研数据： 下表是日销售量（台）与销售单价（元/台）的部分调研数据． 销售单价x（元/台） …… 46 48 50 52 54 …… 销售量y（台） …… 68 64 60 56 52 …… 建立模型： （1）根据调研数据可知，是的______（填“一次”、“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为______． （2）在销售过程中，该文具店需每台额外给送货员补贴元，那么护眼台灯销售单价定为多少元时，文具店日销售利润最大，最大利润是多少？ 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，，．点D是线段上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，点E，F分别是A，B的对应点． （1）如图2，当点D位于中点处时，连接，，判断的形状，并说明理由； （2）如图3，当点D在线段上时（），连接，，猜想，的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）当点D在线段上运动时，是否存在某一时刻，使得是直角三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $